Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2021

On étudie le système constitué de la masse m, assimilée à un point matériel M, dans le référentiel \mathcal{R}_{\text{sol}} lié au sol.

Le sol étant animé d'un mouvement de translation verticale d'altitude z_s(t) par rapport au référentiel galiléen (O,X,Y,Z), le référentiel \mathcal{R}_{\text{sol}} est non galiléen. L'accélération d'entraînement est :

La force d'inertie de Coriolis est nulle car l'entraînement est une pure translation.

La masse m est soumise aux forces suivantes :

• son poids : \vec{P} = -m g\,\vec{e}_z ;

• la force de rappel élastique exercée par le ressort de longueur l = h - z(t) :

  \vec{F}_{\text{él}} = k(l - l_0)\,\vec{e}_z = k(h - z(t) - l_0)\,\vec{e}_z
• la force fluide exercée par l'amortisseur : \vec{F}_a = -\lambda\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{e}_z ;
• la force d'inertie d'entraînement : \vec{F}_{ie} = -m \vec{a}_e = -m\,\frac{\mathrm{d}^2 z_s}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{e}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse m dans \mathcal{R}_{\text{sol}} :

En projetant sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z, on obtient :

soit :

En l'absence de séisme (z_s(t) = 0), la masse est à l'équilibre à la position z = z_{\text{éq}}, d'où \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = 0 et \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} = 0. L'équation différentielle donne :

d'où :

En posant z(t) = z_{\text{éq}} + u(t), on a \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} et \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}t^2}. En injectant cette décomposition dans l'équation différentielle sur z(t) et en simplifiant grâce à la définition de z_{\text{éq}}, on aboutit à :

D'après l'équation différentielle obtenue à la question Q1 régissant le mouvement relatif u(t) :

En adoptant la notation complexe en régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega (avec la convention temporelle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}) :

L'équation différentielle se traduit dans le domaine fréquentiel par :

On en déduit la fonction de transfert \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{\underline{u}(t)}{\underline{z}_s(t)} :

Cette fonction de transfert peut également s'écrire sous forme canonique :

en posant \omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}} et \sigma = \dfrac{\lambda}{2\sqrt{km}}, ce qui correspond à la forme du second diagramme de la figure 2 avec H_0 = -1.

Comportement asymptotique :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : \underline{H}(\mathrm{j}\omega) \sim \dfrac{m}{k}\omega^2 \to 0 (asymptote de pente +40\text{ dB/décade}) ;
• À haute fréquence (\omega \to \infty) : \underline{H}(\mathrm{j}\omega) \to -1, soit |\underline{H}| \to 1 (0\text{ dB}).

Il s'agit donc d'un filtre passe-haut du second ordre.

En régime sinusoïdal forcé, l'amplitude complexe \underline{u} de la réponse est reliée à celle de l'excitation \underline{z}_s par la fonction de transfert établie à la question Q2 :

L'excitation étant z_s(t) = Z_0 \cos(\omega t), son amplitude complexe associée est \underline{z}_s = Z_0. L'amplitude maximale (ou amplitude crête) U de la réponse u(t) = U \cos(\omega t + \varphi) s'obtient par le module :

D'après l'expression de \underline{H}(\mathrm{j}\omega) issue de la question Q2 :

Le calcul du module donne directement :

On en déduit l'expression de l'amplitude U :

D'après la question Q3, l'amplitude du déplacement relatif s'écrit :

Pour que l'amplitude U soit égale à Z_0 (soit U/Z_0 \approx 1), il faut que les deux termes correctifs sous la racine soient très petits devant 1 :

• Type de suspension : Pour pouvoir mesurer des séismes de basse fréquence, la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{k/m} doit être la plus faible possible, ce qui impose une très faible raideur k. La suspension est donc qualifiée de souple.

• Phase du mouvement : Lorsque ces conditions sont satisfaites, la fonction de transfert devient asymptotiquement :

  \underline{H}(\mathrm{j}\omega) \approx \frac{\omega^2}{-\omega^2} = -1 = \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi}

  Le déphasage de u(t) par rapport à z_s(t) vaut \pi. La masse m vibre donc en opposition de phase avec le sol.

D'après l'expression de la fonction de transfert établie à la question Q2 :

Le carré du module de la fonction de transfert s'écrit :

Posons la variable X = \dfrac{1}{x^2} = \left(\dfrac{\omega_0}{\omega}\right)^2 > 0. Le dénominateur s'exprime sous la forme :

Une résonance correspond à l'existence d'un maximum de |\underline{H}(\mathrm{j}\omega)|, c'est-à-dire à un minimum local de D(X) pour une valeur strictement positive de X.

La fonction polynôme D(X) admet un extremum en :

Comme X est nécessairement strictement positif, ce minimum n'existe physiquement dans le domaine des fréquences que si :

Pour éviter tout phénomène de résonance (la réponse en amplitude croît alors de façon strictement monotone vers l'asymptote haute fréquence sans jamais dépasser celle-ci), il faut donc :

En remplaçant \sigma par son expression \sigma = \dfrac{\lambda}{2\sqrt{km}}, on obtient :

soit finalement :

1. Période et fréquence du signal sinusoïdal

Sur la voie CH1 de l'oscillogramme 1 (figure 3), le signal temporel présente environ 3,75 périodes sur 10 divisions. Avec une base de temps de b = 250\text{ }\mu\text{s/div}, une période correspond à environ :

soit une fréquence voisine de 1{,}5\text{ kHz}.

En bas de l'écran, le fréquencemètre matériel de l'oscilloscope mesure directement et très précisément la fréquence du signal de la voie CH1 :

La période du signal sinusoïdal est donc :

2. Fréquence d'échantillonnage

L'oscilloscope enregistre le signal sur une durée totale d'acquisition correspondant à 10 carreaux :

D'après l'énoncé, le nombre total d'échantillons prélevés durant cette durée est N = 2\,480. La période d'échantillonnage T_e vaut ainsi :

La fréquence d'échantillonnage f_e = \frac{1}{T_e} s'en déduit :

Soit en valeur approchée :

3. Lien entre f_{\text{max}} et la fréquence d'échantillonnage f_e

Le curseur 2, situé à l'extrémité droite de l'axe des fréquences du spectre affiché, repère la plus haute fréquence observable :

On remarque immédiatement la relation numérique exacte :

Ainsi :

Cette valeur correspond précisément à la fréquence de Nyquist (ou fréquence de coupure de Shannon), qui constitue la fréquence maximale au-delà de laquelle un signal échantillonné subirait un phénomène de repliement spectral (aliasing).

1. Ajustement à effectuer sur l'oscilloscope

Dilater l'échelle des fréquences signifie restreindre l'intervalle d'affichage [0,\, f_{\text{max}}] afin d'opérer un « zoom » sur les basses fréquences, c'est-à-dire diminuer la fréquence maximale f_{\text{max}}.

D'après la question Q6, la fréquence maximale est reliée à la base de temps b par :

Le nombre de points enregistrés N = 2\,480 étant fixé, pour diminuer f_{\text{max}}, il faut augmenter la base de temps b (durée par division).

2. Cohérence avec l'oscillogramme 2 (figure 4)

En bas de l'oscillogramme 2, on lit :

La base de temps a bien été augmentée (d'un facteur 100). Cela est parfaitement cohérent : l'échelle fréquentielle est dilatée, le pas par division devient \Delta f/\text{div} = 500\text{ Hz}, et le pic de fréquence est désormais nettement discernable et précisément pointé par le curseur X1 à f_1 = 1{,}500\text{ kHz}.

3. Prévisibilité de la nouvelle valeur de f_{\text{max}}

Oui, la nouvelle valeur était directement prévisible. Puisque f_{\text{max}} est inversement proportionnelle à b :

On en déduit la nouvelle fréquence maximale :

Cette valeur correspond exactement à celle repérée par le curseur X2 à l'extrémité droite de l'écran sur la figure 4 (f_2 = 4{,}960\text{ kHz}).

Sur l'oscillogramme 3 (figure 5), la base de temps sélectionnée est :

La durée totale d'acquisition sur 10 divisions est T_{\text{acq}} = 10 \times 100\text{ ms} = 1\text{ s}. Le nombre d'échantillons étant fixé à N = 2\,480, la nouvelle fréquence d'échantillonnage vaut :

La fréquence maximale affichée sur le spectre (fréquence de Nyquist) est alors :

Cette valeur correspond exactement à la position du curseur X2 (f_2 = 1{,}240\text{ kHz}).

Le signal délivré par le GBF a pour fréquence réelle f_0 \approx 1{,}50\text{ kHz} (le fréquencemètre intégré à l'oscilloscope affiche 1{,}49995\text{ kHz} en bas à droite de l'écran).

On constate que :

Le critère de Shannon-Nyquist n'est plus respecté : il y a sous-échantillonnage, ce qui engendre un phénomène de repliement de spectre (aliasing).

La composante spectrale apparaît à la fréquence apparente f_{\text{app}} située dans l'intervalle [0\,;\,f_e/2] :

L'A.Li. est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire (bouclage sur la borne inverseuse par le conducteur ohmique de résistance R_0) :

• l'impédance d'entrée est infinie, d'où des courants d'entrée nuls : i_+ = i_- = 0 ;
• le gain différentiel est infini, d'où une tension différentielle nulle : V_+ - V_- = 0, soit V_- = V_+.

L'entrée non-inverseuse étant reliée à la masse, on a V_+ = 0\text{ V}, d'où :

Appliquons la loi des nœuds au niveau de l'entrée inverseuse (-) :

Comme V_- = 0, il vient directement :

soit :

La tension de sortie est proportionnelle à une combinaison linéaire à coefficients négatifs des tensions d'entrée : ce montage est un sommateur inverseur (ou sommateur inverseur pondéré).

D'après la question Q9, pour le sommateur inverseur avec R_0 = R_1 = R_2 = R_3 et l'entrée V_3(t) = V_m(t), la tension de sortie s'écrit :

avec V_m(t) = k\,V_1(t)\,V_2(t). En remplaçant les signaux d'entrée V_1(t) = V_0 \cos(2\pi f_1 t) et V_2(t) = V_0 \cos(2\pi f_2 t) :

En utilisant la formule trigonométrique \cos(a)\cos(b) = \dfrac{1}{2}\big(\cos(a-b) + \cos(a+b)\big), il vient :

La tension de sortie V_s(t) est donc une somme de quatre composantes sinusoïdales :

Le spectre d'amplitude théorique de V_s est constitué de quatre raies discrètes :

• deux raies de même amplitude V_0 situées aux fréquences fondamentales f_1 et f_2 ;
• deux raies de même amplitude \dfrac{k V_0^2}{2} situées aux fréquences somme f_1 + f_2 et différence |f_1 - f_2|.

En supposant, par exemple, 0 < f_1 < f_2 et f_2 > 2f_1 (ce qui conduit à f_1 < f_2 - f_1 < f_2 < f_1 + f_2), l'allure du spectre d'amplitude théorique est la suivante :

D'après la question Q9 et le schéma de la figure 7, la tension en sortie du montage sommateur s'écrit :

Avec la condition R_0 = R_1 = R_2 = 2R_3, les gains associés aux différentes entrées valent :

La tension de sortie devient donc :

On en déduit les modifications apportées au spectre :

• Les fréquences des différentes raies spectrales sont inchangées : elles restent situées en |f_1 - f_2|, f_1, f_2 et f_1 + f_2.
• Les amplitudes des raies associées aux fréquences fondamentales f_1 et f_2 restent inchangées, égales à V_0.
• Les amplitudes des deux raies issues de la multiplication, aux fréquences |f_1 - f_2| et f_1 + f_2, sont doublées : elles passent de \dfrac{k V_0^2}{2} à k V_0^2 (ce qui correspond à une augmentation de 20\log_{10}(2) \approx +6\text{ dB} sur une échelle logarithmique).

D'après les questions Q10 et Q11, le signal V_s(t) est la somme de quatre composantes sinusoïdales de fréquences :

Sur l'oscillogramme 4 (figure 8), la fenêtre de mesure du spectre (voie MATH) indique une échelle horizontale de \text{Div} = 250\text{ Hz/div} :

• Le curseur X1 pointe sur le premier pic à la fréquence :

  f_{X1} = 300{,}0\text{ Hz}

• Le curseur X2 pointe sur un pic à la fréquence :

  f_{X2} = 900{,}0\text{ Hz}

• Un pic de forte amplitude est nettement visible entre les deux curseurs, situé à mi-chemin, soit à :

  f = 600\text{ Hz}

• Un quatrième pic de plus faible amplitude apparaît à 6\text{ divisions} de l'origine (6 \times 250\text{ Hz}), soit à :

  f = 1\,500\text{ Hz}

Les deux pics de plus forte amplitude correspondent aux signaux d'entrée V_1(t) et V_2(t), dont les amplitudes sont supérieures à celles des produits d'intermodulation issus du multiplieur. Ces deux raies centrales sont à 600\text{ Hz} et 900\text{ Hz}.

On vérifie parfaitement les relations de battement :

On en déduit (à l'ordre près des indices) :

1. Formes prépondérantes et concentration du phosphore

Les constantes d'acidité associées à l'acide phosphorique sont :

• \mathrm{H}_3\mathrm{PO}_4 / \mathrm{H}_2\mathrm{PO}_4^- : \mathrm{p}K_{a1} = 2{,}1 ;
• \mathrm{H}_2\mathrm{PO}_4^- / \mathrm{HPO}_4^{2-} : \mathrm{p}K_{a2} = 7{,}2 ;
• \mathrm{HPO}_4^{2-} / \mathrm{PO}_4^{3-} : \mathrm{p}K_{a3} = 12{,}3.

Le domaine de prédominance de l'ion hydrogénophosphate \mathrm{HPO}_4^{2-} correspond à :

Le \mathrm{pH} de l'effluent étant de 9{,}3, l'espèce prépondérante du phosphore est l'ion hydrogénophosphate \mathbf{HPO_4^{2-}}.

De plus, l'écart avec les valeurs des \mathrm{p}K_a adjacents est important :

Par conservation de l'élément phosphore, toutes les autres espèces sont en proportions négligeables devant \mathrm{HPO}_4^{2-} :

2. Formes prépondérantes et concentration de l'azote ammoniacal

Le couple ion ammonium/ammoniac vérifie la relation de Henderson-Hasselbalch :

Or, le \mathrm{pH} de l'effluent vaut exactement :

Les deux formes, l'ion ammonium \mathbf{NH_4^+} et l'ammoniac \mathbf{NH_3}, sont donc co-prépondérantes à parts égales.

Par conservation de l'azote ammoniacal :

D'où :

La réaction de précipitation de la struvite s'écrit :

Le premier grain de précipité apparaît à la limite de solubilité, lorsque le quotient de réaction Q_r atteint la constante d'équilibre, c'est-à-dire le produit de solubilité K_s de la réaction inverse de dissolution :

où c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

D'après la question Q13, la concentration en ions ammonium est :

L'espèce prépondérante du phosphore à \mathrm{pH} = 9{,}3 est \mathrm{HPO}_4^{2-}, avec [\mathrm{HPO}_4^{2-}] \approx C_P = 5\cdot 10^{-3}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

La concentration minoritaire en ions phosphate \mathrm{PO}_4^{3-} est reliée à celle de \mathrm{HPO}_4^{2-} par la constante d'acidité K_{a3} du couple \mathrm{HPO}_4^{2-}/\mathrm{PO}_4^{3-} :

Avec \mathrm{pH} = 9{,}3 et \mathrm{p}K_{a3} = 12{,}3, on obtient :

On en déduit l'expression littérale de la concentration minimale en magnésium :

Application numérique :

Le chlorure de magnésium solide est totalement soluble dans l'eau selon l'équation de dissolution :

L'apport d'une mole de \mathrm{MgCl}_{2(\mathrm{s})} libère donc une mole d'ions \mathrm{Mg}^{2+}. Pour atteindre la concentration minimale [\mathrm{Mg}^{2+}]_{\min} déterminée à la question Q14 dans un volume V = 1\text{ m}^3 = 10^3\text{ L} d'effluent, la quantité de matière minimale de \mathrm{MgCl}_2 à introduire est :

La masse minimale de chlorure de magnésium correspondante s'écrit alors :

Application numérique :

• [\mathrm{Mg}^{2+}]_{\min} = 2{,}5\cdot 10^{-4}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} (d'après Q14)
• V = 1\text{ m}^3 = 10^3\text{ L}
• M(\mathrm{MgCl}_2) = 95\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

Avec deux chiffres significatifs :

Le diagramme binaire présenté est un diagramme d'équilibre liquide-solide à un eutectique simple, sans solution solide (non-miscibilité totale des solides) :

• Domaine II (au-dessus du liquidus) : Il n'y a qu'une seule phase, la phase liquide homogène (solution aqueuse de chlorure de sodium ou saumure) :

  \boxed{\text{Domaine II : solution liquide homogène (saumure)}}

• Domaine I (pour des teneurs en sel inférieures à celle de l'eutectique, sous le liquidus de l'eau) : Il s'agit d'un domaine d'équilibre diphasique constitué de glace pure et de solution liquide :

  \boxed{\text{Domaine I : glace pure } \mathrm{H_2O_{(s)}} + \text{solution liquide}}

• Domaine III (pour des teneurs en sel supérieures à celle de l'eutectique, sous le liquidus du sel) : Il s'agit d'un domaine d'équilibre diphasique constitué de chlorure de sodium solide et de solution liquide saturée :

  \boxed{\text{Domaine III : chlorure de sodium solide } \mathrm{NaCl_{(s)}} + \text{solution liquide}}

• Domaine IV (situé sous la température de l'eutectique P, soit T < T_E \approx -21\,^\circ\mathrm{C}) : La solution est entièrement solidifiée en un mélange diphasique des deux solides non miscibles :

  \boxed{\text{Domaine IV : glace pure } \mathrm{H_2O_{(s)}} + \text{chlorure de sodium solide } \mathrm{NaCl_{(s)}}}

D'après le tableau des sels dissous fourni en fin de sujet, la teneur en ions chlorure est de 19\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1} d'eau et celle en ions sodium de 10{,}5\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1} d'eau. La salinité totale de l'eau de mer est d'environ 35\text{ g}\cdot\text{kg}^{-1}, ce qui correspond à un pourcentage massique en sel d'environ :

Cette teneur se situe nettement à gauche du point eutectique P (w_P \approx 23\,\%, T_P \approx -21\,^{\circ}\text{C}).

L'énoncé indique d'ailleurs que l'eau de mer commence à geler à la température T_1 = -1{,}8\,^{\circ}\text{C}.

Le système est maintenu à pression atmosphérique fixée (P = \text{cte}). La variance s'écrit par la règle des phases de Gibbs : v = c + 1 - \varphi = 3 - \varphi, où c = 2 constituants indépendants (\mathrm{H_2O} et \mathrm{NaCl}) et \varphi est le nombre de phases.

Le refroidissement se décompose en quatre étapes successives :

1. De 15\,^{\circ}\text{C} à -1{,}8\,^{\circ}\text{C} : solution liquide seule (\varphi = 1 \implies v = 2). La température diminue continûment jusqu'à atteindre la courbe de liquidus.
2. À T_1 = -1{,}8\,^{\circ}\text{C} : apparition des premiers cristaux de glace pure. Il y a rupture de pente sur la courbe T(t) car le changement d'état libère de l'énergie (enthalpie de solidification), diminuant la vitesse de refroidissement.
3. De -1{,}8\,^{\circ}\text{C} à T_{\text{eut}} \approx -21\,^{\circ}\text{C} (domaine I) : équilibre liquide + glace pure (\varphi = 2 \implies v = 1). La température continue de chuter pendant que la solution s'enrichit en sel le long du liquidus. La courbe T(t) est concave, avec une pente plus faible que celle du liquide seul.
4. À T_{\text{eut}} \approx -21\,^{\circ}\text{C} : la composition du liquide atteint celle du point eutectique P. Trois phases coexistent : glace, sel et liquide (\varphi = 3 \implies v = 0). Il y a invariance thermique : apparition d'un palier eutectique à température constante T_{\text{eut}} jusqu'à solidification totale du liquide.
5. Pour T < T_{\text{eut}} (domaine IV) : deux phases solides en présence (\varphi = 2 \implies v = 1). La température des solides décroît de nouveau continûment jusqu'à tendre asymptotiquement vers la température d'équilibre du congélateur, soit -30\,^{\circ}\text{C}.

1. Dénomination du point P

Le point P correspond au minimum commun des courbes de liquidus, où la solution liquide est en équilibre simultané avec les deux solides purs (\text{H}_2\text{O}_{(\text{s})} et \text{NaCl}_{(\text{s})}). Il s'agit du point eutectique.

2. Courbe de refroidissement du mélange eutectique

À la composition de l'eutectique (w \approx 23\,\% en masse de \text{NaCl}), le système évolue à pression fixée (P = P^\circ = 1\text{ bar}) :

• Pour T > T_{\text{eut}} (ici T > -21\,^\circ\text{C}) : le système est monophasique (solution liquide homogène, \varphi = 1). La variance à pression fixée vaut :

  v = c + 1 - \varphi = 2 + 1 - 1 = 2

  La température décroît de façon continue depuis 15\,^\circ\text{C} jusqu'à la température eutectique T_{\text{eut}} \approx -21\,^\circ\text{C}.

• À T = T_{\text{eut}} : les trois phases sont en équilibre (liquide de composition eutectique, glace pure \text{H}_2\text{O}_{(\text{s})} et sel \text{NaCl}_{(\text{s})}, \varphi = 3). La variance à pression fixée est nulle :

  v = c + 1 - \varphi = 2 + 1 - 3 = 0

  Le système est invariant : la solidification simultanée de l'eau et du chlorure de sodium se fait à température rigoureusement constante. La courbe présente un palier thermique horizontal à T = T_{\text{eut}}.

• Pour T < T_{\text{eut}} : tout le liquide a disparu, le système est constitué du mélange solide biphasique (\varphi = 2, variance v = 1). La température du solide décroît de T_{\text{eut}} pour tendre asymptotiquement vers la température du congélateur (-30\,^\circ\text{C}).

L'iceberg, assimilé à un bloc de glace d'eau douce de volume total V et de masse volumique \rho_{\text{gl}} = d_{\text{gl}}\,\rho_0 (avec \rho_0 la masse volumique de l'eau pure liquide à 4\,{^\circ}\mathrm{C}), est en équilibre statique à la surface de l'océan de masse volumique \rho_{\text{oc}} = d_{\text{oc}}\,\rho_0.

Le volume de glace immergé sous l'eau est noté V_{\text{imm}} = V - v, où v désigne le volume émergé.

Le système {iceberg} est soumis à deux actions mécaniques :

• son poids : \vec{P} = - m_{\text{ice}}\,g\,\vec{e}_z = - \rho_{\text{gl}} V g\,\vec{e}_z ;
• la poussée d'Archimède due à l'eau de mer déplacée : \vec{\Pi} = \rho_{\text{oc}} V_{\text{imm}} g\,\vec{e}_z = \rho_{\text{oc}} (V - v) g\,\vec{e}_z.

À l'équilibre mécanique dans le référentiel lié à la Terre :

Soit, en projection sur l'axe vertical ascendant \vec{e}_z :

En simplifiant par g et \rho_0 :

On en déduit l'expression de la proportion de volume émergé :

Application numérique avec les données de l'énoncé (d_{\text{gl}} = 0{,}9 et d_{\text{oc}} = 1{,}1) :

La banquise est une couche de glace flottant sur l'océan. Notons :

• S_T la surface totale du globe terrestre ;
• S_b = 0{,}015\, S_T la surface occupée par la banquise arctique pérenne ;
• S_{\text{oc}} = 0{,}70\, S_T la surface totale des océans ;
• e = 4\text{ m} l'épaisseur moyenne de la banquise ;
• \rho_{\text{gl}} = d_{\text{gl}}\,\rho_0 = 900\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} la masse volumique de la glace (avec \rho_0 = 1\,000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} la masse volumique de l'eau douce) ;
• \rho_{\text{oc}} = d_{\text{oc}}\,\rho_0 = 1\,100\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} la masse volumique de l'eau de mer salée.

Le volume total de la banquise est V_b = S_b \times e et sa masse totale est :

1. Volume d'eau déplacé par la banquise flottante :

À l'équilibre de flottaison, la poussée d'Archimède équilibre le poids de la banquise, soit :

2. Volume d'eau liquide issu de la fonte :

La banquise étant assimilée à de la glace d'eau douce, sa fonte totale donne une masse M d'eau douce liquide de masse volumique \rho_0. Le volume occupé par cette eau fondue est :

3. Variation de volume et élévation du niveau des océans :

L'apport net de volume au niveau des océans est la différence entre le volume d'eau liquide apporté et le volume d'eau initialement déplacé :

Ce volume supplémentaire se répartit sur la surface S_{\text{oc}} des océans, d'où une élévation du niveau marin :

Application numérique :

En régime permanent (indépendant du temps), les grandeurs électromagnétiques ne dépendent pas du temps (\partial / \partial t = 0). Les deux équations de Maxwell faisant intervenir le champ magnétique \vec{B} s'écrivent :

1. Équation de Maxwell-Thomson (ou équation de conservation du flux magnétique) :

   \boxed{\operatorname{div} \vec{B} = 0}

   Elle traduit l'absence de charges magnétiques isolées (monopôles magnétiques) et impose que le champ \vec{B} soit à flux conservatif.

2. Équation de Maxwell-Ampère en régime permanent : En régime stationnaire, le terme de courant de déplacement de Maxwell \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} est nul, ce qui donne :

   \boxed{\vec{\operatorname{rot}} \vec{B} = \mu_0 \vec{j}}

   où \vec{j} désigne le vecteur densité volumique de courant électrique et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

Considérons un conducteur unidimensionnel selon l'axe (Ox), invariant par translation transverse, de section constante S. On isole par la pensée un volume fixe (système ouvert) compris entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x.

1. Charge contenue dans le volume de contrôle En notant \rho(x,t) la densité volumique de charge électrique, la charge totale contenue dans ce volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x à la date t s'écrit :

2. Bilan de charge La charge électrique étant une grandeur conservative (ni créée, ni détruite), sa variation pendant la durée \mathrm{d}t est égale à la charge algébrique nette qui traverse la frontière du volume :

Les charges ne traversent que les sections droites d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, selon la densité de courant \vec{j} = j_x(x,t)\,\vec{e}_x :

Le bilan s'écrit donc :

3. Équation locale à une dimension En effectuant un développement limité au premier ordre :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \neq 0, on obtient :

4. Analogie avec la mécanique des fluides À trois dimensions, cette équation de continuité s'écrit \operatorname{div}\vec{j} + \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0. Par analogie directe, en substituant à la densité de charge \rho la masse volumique \mu, et au flux volumique de charge \vec{j} = \rho\,\vec{v} le flux volumique de masse \vec{j}_m = \mu\,\vec{v}, on retrouve l'équation locale de conservation de la masse :

Pour un fluide incompressible et homogène, la masse volumique est constante et uniforme : \mu = \rho_0 = \text{cte}. Ainsi :

L'équation de conservation de la masse devient donc :

Par analogie avec la magnétostatique :

• le champ magnétique \vec{B} à flux conservatif (\operatorname{div}\vec{B} = 0) correspond au champ des vitesses \vec{v} (\operatorname{div}\vec{v} = 0) ;
• l'équation de Maxwell-Ampère \vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{j} correspond à la définition du rotationnel de la vitesse \vec{\operatorname{rot}}\vec{v} = 2\vec{\omega}.

En appliquant le théorème de Stokes au champ de vecteurs \vec{v} sur un contour fermé \Gamma orienté, délimitant une surface ouverte \Sigma :

Comme \vec{\operatorname{rot}}(\vec{v}) = 2\vec{\omega}, on obtient le théorème d'Ampère hydrodynamique :

La circulation du champ des vitesses le long de \Gamma est égale au double du flux du vecteur tourbillon à travers la surface \Sigma s'appuyant sur \Gamma.

On utilise les coordonnées cylindriques (r, \theta, z) associées à la base locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z).

Symétries et invariances : La distribution de tourbillon \vec{\omega} = \omega(r)\,\vec{e}_z présente :

• une invariance par translation le long de l'axe Oz et par rotation autour de cet axe, d'où \vec{v} ne dépend que de la coordonnée radiale r ;

• tout plan contenant l'axe Oz est un plan d'antisymétrie pour le vecteur axial (pseudo-vecteur) \vec{\omega}, donc un plan de symétrie pour le champ des vitesses (vrai vecteur) \vec{v}. Il en résulte que \vec{v} est orthogonal à ces plans, soit selon la direction orthoradiale :

  \vec{v}(r) = v(r)\,\vec{e}_\theta

Application du théorème de circulation : D'après la question Q23, la circulation du champ de vitesse le long d'un contour fermé \Gamma orienté s'écrit :

On choisit pour contour \Gamma un cercle de rayon r, centré sur l'axe Oz, situé dans un plan orthogonal à Oz et orienté selon \vec{e}_\theta. L'élément de longueur est \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta et le vecteur surface orienté s'appuyant sur \Gamma est \mathrm{d}\vec{S} = r'\,\mathrm{d}r'\,\mathrm{d}\theta'\,\vec{e}_z.

La circulation vaut :

• À l'intérieur de la tornade (r < R_T) : Le tourbillon est uniforme : \vec{\omega} = \omega_0\,\vec{e}_z. Le flux de tourbillon à travers le disque de rayon r est :

  \iint_\Sigma \vec{\omega} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \omega_0 \times (\pi r^2)

  D'où :

  2\pi r\,v(r) = 2 \pi r^2 \omega_0 \implies v(r) = \omega_0 r

• À l'extérieur de la tornade (r > R_T) : Le tourbillon est nul pour r' > R_T, de sorte que le flux provient uniquement de la zone r' \le R_T :

  \iint_\Sigma \vec{\omega} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \omega_0 \times (\pi R_T^2)

  D'où :

  2\pi r\,v(r) = 2 \pi R_T^2 \omega_0 \implies v(r) = \frac{\omega_0 R_T^2}{r}

Le vecteur vitesse s'écrit donc en tout point de l'espace :

Allure de la courbe v(r) : La vitesse v(r) croît linéairement depuis l'axe (v(0) = 0) jusqu'à sa valeur maximale v(R_T) = \omega_0 R_T à la périphérie du cœur tourbillonnaire, puis décroît en 1/r vers zéro à l'infini. Elle est continue en r = R_T.

Le théorème de Bernoulli s'applique sous les hypothèses suivantes :

• écoulement stationnaire (permanent) ;
• fluide parfait (effets visqueux négligeables) ;
• fluide incompressible et homogène (\rho_0 = \text{cte}) ;
• forces de volume conservatives (ici la pesanteur \vec{g} = -g\,\vec{e}_z).

Dans ces conditions, le long d'une ligne de courant, la quantité suivante est constante :

De plus, dans la zone extérieure au cyclone (r > R_T), le vecteur tourbillon est nul (\vec{\omega} = \vec{0}), donc l'écoulement est irrotationnel :

La constante de Bernoulli est alors globale : elle prend la même valeur en tout point du domaine r > R_T, et non plus seulement le long d'une même ligne de courant.

Considérons deux points situés à la même altitude z :

• très loin du cyclone (r \to +\infty) : la pression vaut P^\circ et la vitesse s'annule, v \to 0 ;
• à la surface de la tornade (r = R_T) : la pression vaut P(R_T) et la vitesse vaut v(R_T) = \omega_0 R_T (d'après le résultat de la question Q24).

L'application du théorème de Bernoulli entre ces deux points conduit à :

On en déduit l'expression de la pression à la surface de la tornade :

D'après le résultat établi à la question précédente (Q25), la dépression à la surface de la tornade s'écrit :

où v(R_T) = \omega_0 R_T représente la vitesse du vent en r = R_T.

Exprimons la vitesse dans le Système International :

Avec la masse volumique de l'air fournie dans les données (\rho_0 = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), on obtient :

Considérons une portion de toit de surface S. L'air situé sous les combles est sensiblement au repos à la pression atmosphérique P^\circ, tandis que l'air en mouvement rapide au-dessus de la toiture est à une pression plus faible P.

Il en résulte une force nette vers le haut d'origine aérodynamique (phénomène de portance ou de succion), qui s'écrit par unité de surface :

D'après la question Q26, pour des vents de l'ordre de 180\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}, cette dépression vaut :

En l'absence de fixation mécanique, la seule force maintenant les tuiles sur la charpente est leur poids. La force surfacique vers le bas exercée par la pesanteur s'exprime en fonction de la densité surfacique de masse \sigma = 40\text{ kg}\cdot\text{m}^{-2} :

On constate que :

La force d'aspiration due au vent est près de quatre fois supérieure au poids des tuiles : le simple poids propre ne suffit pas à compenser la dépression aérodynamique. Il est donc indispensable de coller ou de fixer mécaniquement les tuiles dans les zones exposées à de forts vents pour éviter leur arrachement.

La synthèse directe d'une mole de glucose solide \mathrm{C_6H_{12}O_{6(s)}} s'effectue par réduction du dioxyde de carbone gazeux \mathrm{CO_{2(g)}} et oxydation de l'eau liquide \mathrm{H_2O_{(\ell)}}, avec coproduction de dioxygène gazeux \mathrm{O_{2(g)}}.

La conservation des éléments chimiques impose :

• élément carbone : 6 atomes de carbone dans une mole de glucose, soit 6\text{ moles} de \mathrm{CO_2} ;
• élément hydrogène : 12 atomes d'hydrogène dans une mole de glucose, soit 6\text{ moles} de \mathrm{H_2O} ;
• élément oxygène : les réactifs apportent 6\times 2 + 6\times 1 = 18\text{ moles} d'atomes d'oxygène. Le glucose en contenant 6\text{ moles}, il reste 12\text{ moles} d'atomes d'oxygène sous forme de dioxygène, soit 6\text{ moles} de \mathrm{O_2}.

L'équation-bilan s'écrit donc :

La quantité de matière de glucose \mathrm{C_6H_{12}O_{6(s)}} synthétisée pour une masse m vaut :

D'après la stœchiométrie de l'équation-bilan (1) établie à la question Q28 :

la formation d'une mole de glucose s'accompagne de la production de 6 moles de dioxygène \mathrm{O_{2(g)}}. La quantité de matière de dioxygène produite est donc :

Le dioxygène étant assimilé à un gaz parfait à la pression P et à la température T, l'équation d'état s'écrit :

On en déduit l'expression du volume de dioxygène recueilli :

1. Caractère spontané ou provoqué de la synthèse

Pour la réaction de photosynthèse écrite à la question précédente :

Le glucose étant un solide pur et l'eau le solvant liquide, leurs activités valent a(\mathrm{C_6H_{12}O_{6(s)}}) = 1 et a(\mathrm{H_2O_{(\ell)}}) \approx 1. Les gaz étant supposés parfaits, les activités du dioxygène et du dioxyde de carbone s'écrivent :

Avec P_{\text{tot}} = 1\text{ bar} = P^\circ, le quotient de réaction dans l'état atmosphérique s'écrit :

L'application numérique donne :

Par conséquent :

L'enthalpie libre de réaction à T \approx 300\text{ K} vaut donc :

Puisque \Delta_r G > 0 (affinité chimique A = -\Delta_r G < 0), l'évolution spontanée se produit dans le sens indirect (respiration cellulaire ou combustion du glucose).

La synthèse directe du glucose est donc une transformation provoquée : elle requiert un apport énergétique externe continu, assuré dans la nature par les photons de la lumière solaire absorbés par la chlorophylle.

2. Justification de la préservation des forêts équatoriales

• Puits de carbone majeur : Grâce à la photosynthèse, les forêts équatoriales (soumises à un fort ensoleillement tout au long de l'année et présentant une biomasse dense) absorbent d'immenses quantités de dioxyde de carbone atmosphérique \mathrm{CO_2} et le séquestrent durablement sous forme de matière organique.
• Régulation du climat global : Le dioxyde de carbone étant un gaz à effet de serre majeur, la préservation de ce puits de carbone limite l'accumulation du \mathrm{CO_2} dans l'atmosphère et freine l'amplification du réchauffement climatique anthropique.
• Préservation de la biodiversité et du cycle de l'eau : Ces écosystèmes hébergent une part déterminante de la biodiversité terrestre et jouent un rôle prépondérant dans l'évapotranspiration et les régimes pluviométriques continentaux.

La pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(T) d'un corps pur à la température T est la pression partielle sous laquelle la phase vapeur de ce corps pur est en équilibre thermodynamique avec sa phase condensée (ici liquide).

Pour que le sol puisse effectivement sécher, l'eau liquide présente dans le sol doit pouvoir s'évaporer continûment vers l'atmosphère. Le séchage correspond à un flux net ascendant d'évaporation et de diffusion de molécules d'eau vers l'extérieur. Ceci n'est possible que si l'atmosphère n'est pas déjà saturée en vapeur d'eau (l'air doit être sous-saturé), ce qui impose la condition :

Le séchage d'un sol repose sur le transfert de la vapeur d'eau depuis la surface (z = H) vers l'atmosphère libre (z > H).

• En l'absence de vent (air stagnant) : les molécules d'eau évaporées s'accumulent au voisinage immédiat du sol, formant une couche limite d'air épais et fortement saturé en humidité. La pression partielle en vapeur d'eau au-dessus du sol augmente, ce qui réduit le gradient moteur (P(H) - P_{\text{ext}}).

• En présence de vent :

  1. Le vent assure un renouvellement convectif continu de l'air au-dessus du sol en évacuant la vapeur d'eau émise vers l'atmosphère et en apportant de l'air plus sec, maintenant ainsi une pression partielle P_{\text{ext}} basse ;
  2. L'écoulement de l'air amincit la couche limite de diffusion, ce qui augmente le coefficient d'échange convectif h.

D'après la loi phénoménologique donnée à l'interface sol-atmosphère :

L'augmentation conjointe du coefficient de transfert h et de l'écart de pression motrice (P(H) - P_{\text{ext}}) accroît le flux de molécules d'eau quittant le sol, ce qui accélère le séchage.

La première loi de Fick modélise le phénomène de diffusion de matière d'origine thermique. Elle relie le vecteur densité de courant de particules \vec{j} au gradient de la densité volumique de particules n :

Pour un problème unidimensionnel selon l'axe vertical (Oz), cette relation se projette sous la forme :

Les grandeurs intervenant dans cette loi et leurs unités dans le Système International (\mathrm{SI}) sont :

• \vec{j} : vecteur densité volumique de flux (ou de courant) de particules, en \mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}} (ou \mathrm{mol\acute{e}cules\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}) ;
• D : coefficient de diffusion de l'espèce considérée dans le milieu, en \mathrm{m^2\cdot s^{-1}} ;
• n : concentration volumique de particules (nombre de molécules par unité de volume), en \mathrm{m^{-3}} ;
• \vec{\mathrm{grad}}(n) : gradient de la concentration volumique, en \mathrm{m^{-4}}.

Dans la zone asséchée du sol (z_m(t) < z < H), la vapeur d'eau diffuse sans qu'il n'y ait ni création ni disparition de molécules en volume (absence de source ou de puits). L'équation locale de conservation du nombre de molécules s'écrit :

Le phénomène de diffusion étant supposé en régime stationnaire, les grandeurs locales ne dépendent plus explicitement du temps, d'où \dfrac{\partial n_{\text{vap}}}{\partial t} = 0. Il en résulte :

Compte tenu de l'invariance par translation selon les directions \vec{e}_x et \vec{e}_y, le gradient de concentration est purement vertical et le vecteur densité de courant s'écrit \vec{j}(z) = j_z(z)\,\vec{e}_z. L'expression de la divergence se réduit alors à :

Le débit ascendant de molécules d'eau à travers une section horizontale plane S orientée selon \vec{e}_z s'exprime par :

La section S étant constante et j_z étant indépendant de la cote z, on en déduit que :

Le débit moléculaire ascendant \Phi_s à travers une section horizontale S, orientée selon \vec{e}_z, s'exprime par le flux du vecteur densité de courant \vec{j} :

car le milieu est invariant par translation parallèlement au plan horizontal (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y), de sorte que \vec{j} = j_z(z) \vec{e}_z est uniforme sur la section S.

D'après la première loi de Fick (question Q33), le flux de diffusion unidimensionnel s'écrit :

En combinant ces deux relations, on obtient :

soit :

D'après la question Q34, le régime étant quasi-stationnaire dans la zone asséchée, le débit \Phi_s est indépendant de z. Par intégration entre la position du front d'évaporation z_m(t) et une cote z \in [z_m(t),\, H] :

On en déduit le profil linéaire de concentration en vapeur d'eau :

À l'interface z = z_m(t), la vapeur d'eau coexiste en équilibre thermodynamique avec l'eau liquide à la température T. La pression partielle de la vapeur d'eau y est donc égale à la pression de vapeur saturante :

La vapeur d'eau étant assimilée à un gaz parfait à la température T, l'équation d'état appliquée à un volume V contenant N molécules (soit une quantité de matière n_{\text{mol}} = N/N_A) s'écrit :

La densité volumique locale de molécules d'eau sous forme vapeur, n_{\text{vap}}(z_m(t)) = \dfrac{N}{V}, s'exprime donc par :

D'après le profil de densité établi à la question Q35, pour z_m(t) \le z \le H :

En injectant l'expression de la densité à l'équilibre obtenue à la question Q36, n_{\text{vap}}(z_m(t)) = \frac{N_A P_{\text{sat}}(T)}{R T}, on obtient directement :

D'après le résultat de la question Q37, la densité volumique de molécules de vapeur d'eau en z = H s'écrit :

La vapeur d'eau étant assimilée à un gaz parfait à la température uniforme T, sa pression partielle P(H) en z = H vérifie la loi des gaz parfaits :

En substituant l'expression de n_{\text{vap}}(H), on obtient :

Soit finalement :

À l'interface sol-atmosphère (z = H), le vecteur densité de courant en molécules d'eau est :

Le débit ascendant \Phi_s à travers la section horizontale S s'écrit alors :

En utilisant l'expression de la pression partielle P(H) établie à la question Q38 :

On obtient :

Soit en développant :

En factorisant par \Phi_s :

D'où l'expression du débit de molécules d'eau :

Considérons une section horizontale d'aire S du sol entre les dates t et t + \mathrm{d}t.

Durant cet intervalle de temps, le front d'assèchement descend d'une quantité \mathrm{d}z_m(t) < 0. Le volume de sol passant de l'état mouillé à l'état sec est :

Puisque le sol mouillé contient n_{\text{liq}} molécules d'eau liquide par unité de volume, le nombre de molécules d'eau libérées par évaporation lors du recul du front est :

La densité de vapeur étant tout à fait négligeable devant la densité liquide (n_{\text{vap}} \ll n_{\text{liq}}), la quasi-totalité des molécules ainsi vaporisées alimente le flux ascendant de diffusion. Par définition du débit particulaire \Phi_s, le nombre de molécules traversant la section S vers le haut pendant \mathrm{d}t s'écrit :

En égalant ces deux expressions, on obtient :

soit encore :

ou sous forme explicite pour la vitesse de déplacement du front d'assèchement :