Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2025

Choix Techniques pour un Parc Aquatique

68 questions corrigées
Difficulté estimée : classique (1,5 / 4)
Vérifié question par question

Ce sujet très ancré dans le concret explore quatre facettes de l'ingénierie et de l'entretien d'un complexe aquatique : la dynamique et la sécurité de l'arrivée d'un toboggan, le dimensionnement hydrodynamique de la pompe de circulation d'eau, l'efficacité énergétique du chauffage par pompe à chaleur couplée à la métrologie de température, et enfin le traitement chimique de l'eau des bassins.

D'un niveau technique très abordable et progressif, l'épreuve constitue un support idéal pour des révisions transversales. Elle balaie avec clarté les fondamentaux de mécanique du point (frottements solide et fluide), d'hydraulique en conduite avec pertes de charge régulières, de thermodynamique industrielle sur diagramme $(P, h)$ , de traitement analogique du signal (conditionnement et filtrage d'un capteur résistif) ainsi que de chimie des solutions et de cinétique formelle.

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Partie I : Sécurisation de la zone d’arrivée d’un toboggan aquatique

Question 1

Application directeFaisable en Sup

Notions : travail d'une force, force conservative

Exprimer, puis calculer le travail $W_{P}$ du poids de l’enfant lors de cette descente de A vers B.

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Exprimer le travail d'une force conservative constante en fonction de la variation d'altitude entre le point de départ A et le point d'arrivée B.

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Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le poids \vec{P} = m\vec{g} est une force uniforme. Le travail du poids lors du déplacement de l'enfant du point \text{A} au point \text{B} ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des altitudes initiale z_\text{A} = H et finale z_\text{B} = h :

W_{\vec{P}} = \int_{\text{A}}^{\text{B}} \vec{P} \cdot \mathrm{d}\vec{r} = m g (z_\text{A} - z_\text{B}) = m g (H - h)

Application numérique avec m = 50\text{ kg}, g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}, H = 21,0\text{ m} et h = 1,0\text{ m} :

W_{\vec{P}} = 50 \times 10 \times (21,0 - 1,0) = 1,0 \cdot 10^4\text{ J}

\boxed{W_{\vec{P}} = m g (H - h) = 1,0 \cdot 10^4\text{ J} = 10\text{ kJ}}

Résultat

W_{P} = m g (H - h) = 1, 0 \cdot 1 0^{4} J = 10 kJ

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Question 2

Application directeFaisable en Sup

Notions : théorème de l'énergie cinétique

Citer le théorème de l’énergie cinétique. L’appliquer à l’enfant qui glisse sans frottement entre les points A et B et en déduire l’expression de la vitesse $v_{B_s an s_f r o tt e m e n t}$ atteinte au point B en fonction des données.

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Énoncer le théorème de l'énergie cinétique entre A et B en rappelant que la réaction normale de la piste ne travaille pas.

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Énoncé du théorème de l'énergie cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un point matériel entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures appliquées à ce point matériel entre ces deux positions :

\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{A \to B}(\vec{F}_{\text{ext}})

Application à l'enfant :

Système : enfant modélisé par le point matériel \text{M} de masse m.
Référentiel : terrestre, supposé galiléen.
Bilan des forces :
- le poids \vec{P} ;
- la réaction normale de la piste \vec{R}_N, orthogonale à tout instant au déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell} (glissade sans frottement), d'où un travail nul : W_{A \to B}(\vec{R}_N) = 0.

L'enfant partant sans vitesse initiale depuis le point A, on a v_A = 0, soit E_c(A) = 0. Au point B, son énergie cinétique s'écrit E_c(B) = \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2.

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique entre A et B et en utilisant l'expression du travail du poids établie à la question Q1 :

\begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2 - 0 &= W_{A \to B}(\vec{P}) + W_{A \to B}(\vec{R}_N) \\ \frac{1}{2} m v_{B\_{sans\_frottement}}^2 &= m g (H - h) \end{aligned}

On en déduit l'expression de la vitesse atteinte au point B :

\boxed{v_{B\_{sans\_frottement}} = \sqrt{2g(H - h)}}

Résultat

v_{B_s an s_f r o tt e m e n t} = 2 g (H - h)

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Question 3

Application directeFaisable en Sup

Notions : théorème de l'énergie cinétique

Donner la valeur de cette vitesse $v_{B_s an s_f r o tt e m e n t}$ .

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Faire l'application numérique directe à partir du dénivelé H - h = 20{,}0\text{ m}.

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D'après le résultat établi à la question Q2 :

v_{B\_{sans\_frottement}} = \sqrt{2g(H - h)}

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1} = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
H = 21,0\text{ m} ;
h = 1,0\text{ m}, soit H - h = 20,0\text{ m}.

On en déduit :

v_{B\_{sans\_frottement}} = \sqrt{2 \times 10 \times 20,0} = \sqrt{400} = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

\boxed{v_{B\_{sans\_frottement}} = 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

Résultat

v_{B_s an s_f r o tt e m e n t} = 20 m \cdot s^{- 1}

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Question 4

Application directeFaisable en Sup

Notions : principe fondamental de la dynamique

Faire figurer sur un schéma, sans souci d’échelle, les forces appliquées sur le point M en un endroit quelconque de la glissade.

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Représenter le poids vertical descendant, la réaction normale perpendiculaire au profil local de la piste et la force de frottement tangente à la trajectoire opposée à la vitesse.

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On étudie l'enfant assimilé au point matériel M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. En un point quelconque du toboggan, le point M se déplace vers l'aval le long de la piste.

Le système est soumis aux actions mécaniques suivantes :

son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical, dirigé vers le bas ;
l'action de contact de la piste, traditionnellement décomposée en :
- une composante normale \vec{R}_N, perpendiculaire au profil de la piste et dirigée vers le haut (orientée vers l'extérieur de la surface de glisse pour empêcher la pénétration) ;
- la force de frottement \vec{F} (composante tangentielle), colinéaire à la vitesse (tangente à la trajectoire) et dirigée dans le sens opposé au mouvement (vers l'amont).

La résultante des actions de contact exercées par la piste sur l'enfant est \vec{R} = \vec{R}_N + \vec{F}.

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Question 5

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : théorème de l'énergie cinétique, travail d'une force

Exprimer, puis calculer le travail $W_{F}$ de cette force de frottement $F$ sur le trajet AB.

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Appliquer le théorème de l'énergie cinétique entre A et B en prenant en compte la vitesse finale réelle v_B = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

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Appliquons le théorème de l'énergie cinétique à l'enfant, modélisé par le point matériel M, entre les points A et B dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

\Delta E_c = E_c(B) - E_c(A) = W_{\vec{P}} + W_{\vec{R}_N} + W_{\vec{F}}

Le contact étant unilatéral avec glissement le long de la piste, la réaction normale \vec{R}_N est orthogonale à chaque instant au déplacement élémentaire \mathrm{d}\vec{\ell}, d'où W_{\vec{R}_N} = 0.

De plus, l'enfant part du repos en A, soit E_c(A) = 0, et arrive en B avec la vitesse v_B, soit E_c(B) = \frac{1}{2} m v_B^2.

Il vient ainsi :

\frac{1}{2} m v_B^2 = W_{\vec{P}} + W_{\vec{F}}

D'où l'expression du travail de la force de frottement :

\boxed{W_{\vec{F}} = \frac{1}{2} m v_B^2 - m g (H - h)}

Application numérique :

\begin{aligned} W_{\vec{F}} &= \frac{1}{2} \times 50 \times 10^2 - 50 \times 10 \times (21,0 - 1,0) \\ W_{\vec{F}} &= 2\,500 - 10\,000 = -7\,500\text{ J} \end{aligned}

\boxed{W_{\vec{F}} = -7,5 \cdot 10^3\text{ J} = -7,5\text{ kJ}}

Résultat

W_{F} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} - m g (H - h)

W_{F} = - 7, 5 \cdot 1 0^{3} J = - 7, 5 kJ

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Question 6

Application directeFaisable en Sup

Notions : travail d'une force

Donner l’expression du travail élémentaire de la force de frottement $δ W_{F}$ pour en déduire une expression du travail $W_{F}$ sur le trajet AB, en supposant la force de frottement de norme $F$ constante sur le trajet.

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Projeter la force de frottement sur le déplacement élémentaire colinéaire et opposé : \delta W_{\vec{F}} = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = -F\,\mathrm{d}\ell.

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À chaque instant, le déplacement élémentaire du point matériel M le long de la trajectoire s'écrit :

\mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\ell \, \vec{u}

où \vec{u} est le vecteur unitaire tangent à la piste orienté dans le sens du mouvement, et \mathrm{d}\ell > 0 l'abscisse curviligne élémentaire.

La force de frottement fluide/solide \vec{F} est opposée au mouvement à chaque instant :

\vec{F} = -F \, \vec{u}

Le travail élémentaire de la force de frottement s'exprime donc par :

\delta W_{\vec{F}} = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = (-F \, \vec{u}) \cdot (\mathrm{d}\ell \, \vec{u}) = -F \, \mathrm{d}\ell

\boxed{\delta W_{\vec{F}} = -F \, \mathrm{d}\ell}

Puisque la norme F est supposée constante tout au long de la glissade, le travail total sur le trajet de longueur L reliant A à B s'obtient par intégration :

\begin{aligned} W_{\vec{F}} &= \int_A^B \delta W_{\vec{F}} \\ &= \int_0^L -F \, \mathrm{d}\ell \\ &= -F \int_0^L \mathrm{d}\ell \\ &= -F \cdot L \end{aligned}

\boxed{W_{\vec{F}} = -F \cdot L}

Résultat

δ W_{F} = - F d ℓ

W_{F} = - F \cdot L

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Question 7

Application directeFaisable en Sup

Notions : travail d'une force

Déduire ainsi la norme $F$ de la force de frottement.

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Intégrer le travail élémentaire sur la longueur totale L de la piste pour isoler la norme F.

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D'après la question Q6, le travail de la force de frottement s'écrit :

W_{\vec{F}} = -F \cdot L

On en déduit l'expression de la norme F de la force de frottement :

F = -\frac{W_{\vec{F}}}{L}

En utilisant la valeur numérique obtenue à la question Q5 (W_{\vec{F}} = -7,5 \cdot 10^3\text{ J}) et la longueur de la piste L = 37,5\text{ m} :

\begin{aligned} F &= \frac{7,5 \cdot 10^3}{37,5} = \frac{7500}{37,5} = 200\text{ N} \end{aligned}

\boxed{F = 2,0 \cdot 10^2\text{ N}}

Résultat

F = 2, 0 \cdot 1 0^{2} N

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Question 8

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : chute libre, équation horaire

En d'étaillant votre raisonnement, exprimer, puis calculer la distance horizontale $d$ depuis B parcourue par l’enfant lorsqu’il arrive au contact avec l’eau au point C.

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Décomposer le mouvement balistique de chute libre sans vitesse initiale verticale depuis la hauteur h pour trouver la durée de chute, puis multiplier par la vitesse horizontale v_B.

Voir la stratégie

Définir le système, le référentiel et le repère d'espace associé avec l'origine temporelle au point B.
Appliquer la deuxième loi de Newton pour établir les équations horaires du mouvement balistique sans frottement.
Déterminer la durée de chute jusqu'au niveau de l'eau, puis en déduire la portée horizontale d.

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On étudie le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On choisit un repère (B, \vec{u}_x, \vec{u}_y) où l'axe (Bx) est horizontal orienté dans le sens du mouvement, et (By) est vertical ascendant (la surface de l'eau se situe donc à la cote y_C = -h).

À l'instant initial t = 0 (passage en B) :

\vec{OM}(0) = \vec{0} \quad \text{et} \quad \vec{v}(0) = v_B\,\vec{u}_x

Pendant la phase aérienne entre B et C, les frottements de l'air étant négligés, l'enfant n'est soumis qu'à son poids \vec{P} = -m\,g\,\vec{u}_y. La deuxième loi de Newton s'écrit :

m\vec{a} = \vec{P} = m\vec{g} \iff \vec{a} = -g\,\vec{u}_y

Par intégrations successives :

\begin{aligned} \vec{v}(t) &= v_B\,\vec{u}_x - g\,t\,\vec{u}_y \\ \vec{OM}(t) &= v_B\,t\,\vec{u}_x - \frac{1}{2}g\,t^2\,\vec{u}_y \end{aligned}

L'enfant atteint la surface de l'eau au point C à une date notée t_C telle que y(t_C) = -h, soit :

-\frac{1}{2}g\,t_C^2 = -h \implies t_C = \sqrt{\frac{2h}{g}}

La distance horizontale d parcourue depuis B s'écrit alors :

d = x(t_C) = v_B\,t_C = v_B \sqrt{\frac{2h}{g}}

Application numérique :

\begin{aligned} t_C &= \sqrt{\frac{2 \times 1,0}{10}} = \sqrt{0,2} = 0,45\text{ s} \\ d &= 10 \times 0,45 = 4,5\text{ m} \end{aligned}

\boxed{d = v_B \sqrt{\frac{2h}{g}} = 4,5\text{ m}}

Résultat

d = v_{B} \frac{2 h}{g} = 4, 5 m

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Question 9

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : principe fondamental de la dynamique, frottement fluide

Montrer que cette composante horizontale de vitesse $v_{x} (t)$ répond à l’équation différentielle :

\frac{d v _{x}}{d t} + \frac{k}{m} v_{x} = 0, avec comme condition initiale v_{x} (0) = v_{B} . (1)

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Appliquer la deuxième loi de Newton projetée sur l'axe horizontal en ne conservant que la composante F'_x = -k\,v_x.

Voir la stratégie

Définir le système et le référentiel d'étude (supposé galiléen), puis dresser le bilan des forces.
Appliquer la deuxième loi de Newton et la projeter sur l'axe horizontal (Ox).
Justifier la condition initiale v_x(0) à partir de la vitesse horizontale à l'arrivée en C.

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On étudie l'enfant assimilé au point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre, supposé galiléen.

Dans l'eau, les forces appliquées à M sont :

son poids \vec{P} = -m g \vec{u}_y (vertical descendant) ;
la poussée d'Archimède éventuelle \vec{\Pi}_A (verticale ascendante) ;
la force de frottement fluide \vec{F}' = -k \vec{v} = -k(v_x \vec{u}_x + v_y \vec{u}_y).

D'après la deuxième loi de Newton :

m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{P} + \vec{\Pi}_A + \vec{F}'

Les forces de pesanteur et d'Archimède étant purement verticales, leur projection selon l'axe horizontal (Ox) est nulle. En projetant la relation vectorielle sur l'axe (Ox), on obtient :

m \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} = -k v_x

En divisant par la masse m, on aboutit directement à :

\boxed{\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} + \frac{k}{m} v_x = 0}

Condition initiale : Lors de la chute dans l'air entre B et C, le frottement de l'air étant négligé, l'accélération horizontale était nulle. La composante horizontale de la vitesse est restée constante et égale à sa valeur initiale en B :

v_x(t_C^-) = v_B

En prenant l'instant d'arrivée dans l'eau au point C comme nouvelle origine des dates (t = 0), la continuité de la vitesse impose :

\boxed{v_x(0) = v_B}

Résultat

\frac{d v _{x}}{d t} + \frac{k}{m} v_{x} = 0

v_{x} (0) = v_{B}

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Question 10

Application directeFaisable en Sup

Notions : frottement fluide, constante de temps

En déduire dans ce cas l’expression d’un temps caractéristique de ralentissement $τ$ .

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Identifier le temps caractéristique \tau en écrivant l'équation sous la forme canonique \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} + \frac{v_x}{\tau} = 0.

Voir la stratégie

Écrire l'équation différentielle linéaire du premier ordre sous forme canonique : \dfrac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} + \dfrac{v_x}{\tau} = 0.
Identifier le temps caractéristique \tau par comparaison avec l'équation établie à la question précédente.

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L'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse v_x(t), obtenue à la question Q9, s'écrit :

\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} + \frac{k}{m} \, v_x = 0

La forme canonique d'une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre homogène fait intervenir un temps caractéristique \tau tel que :

\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} + \frac{v_x}{\tau} = 0

Par identification directe des termes, on en déduit l'expression du temps caractéristique de ralentissement :

\boxed{\tau = \frac{m}{k}}

Résultat

τ = \frac{m}{k}

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Question 11

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : frottement fluide

Proposer un modèle mathématique pour cette courbe dans le cadre de l’hypothèse précédente sur l’expression de la force de frottement.

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Résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec la condition initiale v_x(0) = v_B.

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D'après la question Q9 et en introduisant le temps caractéristique \tau = \frac{m}{k} déterminé à la question Q10, la composante horizontale de la vitesse v_x(t) vérifie l'équation différentielle linéaire du premier ordre :

\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} + \frac{v_x}{\tau} = 0

La solution générale de cette équation différentielle sans second membre s'écrit sous la forme :

v_x(t) = A \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)

où A est une constante d'intégration déterminée par la condition initiale v_x(0) = v_B :

v_x(0) = A = v_B

Le modèle mathématique décrivant l'évolution temporelle de la vitesse horizontale est donc une décroissance exponentielle :

\boxed{v_x(t) = v_B \exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = v_B \exp\left(-\frac{k}{m}t\right)}

Avec v_B = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, ce modèle s'écrit numériquement :

\boxed{v_x(t) = 10\,\mathrm{e}^{-t/\tau}}

Résultat

v_{x} (t) = v_{B} exp (- \frac{t}{τ}) = v_{B} exp (- \frac{k}{m} t)

v_{x} (t) = 10 e^{- t / τ}

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Question 12

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : frottement fluide, constante de temps

En déduire alors graphiquement, en estimant la valeur du temps caractéristique $τ$ , celle de $k$ coefficient de force de frottement fluide.

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Estimer graphiquement la date à laquelle la vitesse atteint v_B \mathrm{e}^{-1} \approx 0{,}37\,v_B (ou par la méthode de la tangente à l'origine), puis en déduire k = m/\tau.

Voir la stratégie

Déterminer graphiquement la constante de temps \tau à l'aide de la courbe v_x(t) de la figure 2, soit par la méthode de la tangente à l'origine, soit par la valeur v_x(\tau) = \frac{v_B}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37\,v_B.
Utiliser la relation établie à la question Q10, \tau = \frac{m}{k}, pour en déduire la valeur du coefficient de frottement fluide k = \frac{m}{\tau}.

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Pour une loi d'évolution exponentielle v_x(t) = v_B \exp(-t/\tau) :

À la date t = \tau, la vitesse vaut :
v_x(\tau) = \frac{v_B}{\mathrm{e}} \approx 0{,}368 \times 10 \approx 3{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
Sur la figure 2, l'ordonnée v_x = 3{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} correspond à une abscisse :
\tau \approx 0{,}25\text{ s} \quad (\text{on peut raisonnablement estimer }\tau \in [0{,}20\text{ ; } 0{,}30]\text{ s})
On peut également tracer la tangente à l'origine en t = 0, qui coupe l'axe des abscisses (v_x = 0) en t = \tau \approx 0{,}25\text{ s}.

D'après la question Q10, le coefficient de frottement fluide k s'exprime par :

k = \frac{m}{\tau}

Avec m = 50\text{ kg} et \tau \approx 0{,}25\text{ s} :

k = \frac{50}{0{,}25} = 200\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

\boxed{\tau \approx 0{,}25\text{ s} \quad \text{et} \quad k \approx 2{,}0 \cdot 10^2\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} \text{ (ou N}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-1}\text{)}}

Résultat

τ \approx 0, 25 s et k \approx 2, 0 \cdot 1 0^{2} kg \cdot s^{- 1} (ou N \cdot s \cdot m^{- 1})

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Question 13

ClassiqueFaisable en Sup

Notions : frottement fluide, intégration

Déterminer la distance horizontale, notée $d^{'}$ et mesurée à partir du point C, parcourue sous l’eau par le point M. Conclure vis-à-vis des consignes de sécurité de la piscine.

Voir l'indice

Intégrer la composante horizontale de la vitesse v_x(t) de t=0 à t\to\infty pour obtenir la distance d'arrêt d', puis comparer la distance totale d+d' aux dimensions de la zone interdite.

Voir la stratégie

Intégrer la composante horizontale de la vitesse v_x(t) entre t = 0 (instant d'arrivée en C) et l'arrêt théorique (t \to +\infty) pour obtenir la distance horizontale sous l'eau d'.
Évaluer la distance totale franchie par l'enfant depuis la sortie du toboggan au point B en ajoutant la distance de vol aérien d.
En déduire la dimension de la zone de sécurité à interdire aux baigneurs.

Voir le corrigé complet

Par définition, la vitesse horizontale est la dérivée de la position horizontale : v_x(t) = \dfrac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t}, où x'(t) est mesurée à partir du point C avec x'(0) = 0.

En utilisant le modèle obtenu aux questions Q10 et Q11, la distance totale parcourue horizontalement sous l'eau jusqu'à l'arrêt est :

d' = \int_{0}^{+\infty} v_x(t)\,\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} v_B \mathrm{e}^{-t/\tau}\,\mathrm{d}t = \left[ -v_B\tau\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \right]_0^{+\infty} = v_B \tau

Avec les valeurs numériques v_B = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \tau \approx 0{,}25\text{ s} (d'après Q12) :

d' = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5\text{ m}

\boxed{d' = 2{,}5\text{ m}}

Conséquence pour les consignes de sécurité :

Depuis la sortie du toboggan (point B), la distance horizontale totale atteinte par l'enfant est la somme du trajet aérien d (déterminé en Q8) et du trajet sous l'eau d' :

d_{\text{tot}} = d + d' = 4{,}5\text{ m} + 2{,}5\text{ m} = 7{,}0\text{ m}

Il convient donc de délimiter une zone d'interdiction aux baigneurs s'étendant à au moins 7{,}0\text{ m} de la sortie du toboggan (voire 8 à 10\text{ m} en prévoyant une marge de sécurité adaptée), afin d'éviter toute collision avec les enfants qui arrivent dans la piscine.

Résultat

d^{'} = 2, 5 m

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