Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2025 (page 2/4 : Partie II et partie III (questions 26 à 31))

La relation de Bernoulli s'applique sous les hypothèses suivantes :

• fluide parfait (viscosité négligeable, absence de frottements visqueux) ;
• fluide incompressible et homogène (\rho = \text{cte}) ;
• écoulement stationnaire (ou permanent) ;
• écoulement dans le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z, en l'absence de machine (pas de pompe ni de turbine sur la portion considérée, aucun échange de travail utile) ;
• le long d'une même ligne de courant (valable dans tout le fluide si l'écoulement est irrotationnel).

Sous ces conditions, la quantité suivante est conservée le long d'une ligne de courant :

où :

• P est la pression statique du fluide au point considéré (en \text{Pa}) ;
• \rho est la masse volumique du fluide (en \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}) ;
• v est la vitesse de la particule de fluide (en \text{m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• z est l'altitude du point considéré selon un axe vertical orienté vers le haut (en \text{m}) ;
• g est l'accélération de la pesanteur (en \text{m}\cdot\text{s}^{-2} ou \text{N}\cdot\text{kg}^{-1}).

L'eau est modélisée comme un fluide incompressible (\rho = \mathrm{cte}) et l'écoulement est supposé permanent (stationnaire). La conservation de la masse impose alors la conservation du débit volumique D_V à travers toute section droite de la conduite.

La vitesse de l'écoulement étant de plus supposée uniforme sur la section S des tuyaux, le débit volumique s'écrit :

D'après l'énoncé, la section droite utile est identique au point D et au point F :

Par conséquent :

Le débit volumique s'exprime dans le système international par :

L'écoulement étant incompressible et la vitesse uniforme sur la section S au point de refoulement G, le débit volumique s'écrit :

En effectuant l'application numérique :

Dans le cadre des hypothèses précédentes, le fluide est parfait, incompressible et en écoulement stationnaire. On applique le théorème de Bernoulli entre les points D (sortie de pompe) et F (sommet de la colonne montante) situés sur une même ligne de courant :

D'après la question Q15, la section utile du tuyau étant constante de D à F (S = 5{,}0\cdot 10^{-3}\text{ m}^2), la conservation du débit volumique impose v_D = v_F. Le terme d'énergie cinétique se simplifie donc :

D'après le schéma de la figure 3, le tronçon DE est horizontal (z_E = z_D) et le tronçon vertical EF a pour hauteur L_2 = 25\text{ m}, d'où :

L'expression littérale de la pression P_F est donc :

Application numérique :

• P_D = 5{,}5\text{ bar} = 5{,}5\cdot 10^5\text{ Pa}
• \rho = 1{,}0\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1}
• L_2 = 25\text{ m}

Sur le tronçon horizontal DE de longueur L_1 = 30\text{ m}, l'altitude et la section du tuyau sont constantes (z_D = z_E et v_D = v_E). La différence de pression observée est donc uniquement due aux pertes de charge régulières :

Les pertes de charge régulières étant supposées proportionnelles à la longueur de tuyau, la perte de charge par unité de longueur s'écrit :

Sur le tronçon EF de longueur L_2 = 25\text{ m}, la perte de charge régulière est donc :

En négligeant la perte de charge singulière au coude E, le théorème de Bernoulli avec pertes de charge entre E et F (avec v_E = v_F) s'écrit :

Comme \rho g L_2 = 1{,}0 \cdot 10^3 \times 10 \times 25 = 2{,}5 \cdot 10^5\text{ Pa} = 2{,}5\text{ bar} :

Procédons à l'analyse dimensionnelle du produit D_V \Delta P_{\text{pertes}} :

• Le débit volumique D_V représente un volume par unité de temps :

  [D_V] = \mathrm{L}^3 \cdot \mathrm{T}^{-1}

• Une pression (ou une différence de pression \Delta P_{\text{pertes}}) est une force par unité de surface. D'après le principe fondamental de la dynamique (F = m a), une force a pour dimension [F] = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}, d'où :

  [\Delta P_{\text{pertes}}] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{M} \cdot \mathrm{L} \cdot \mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M} \cdot \mathrm{L}^{-1} \cdot \mathrm{T}^{-2}

En effectuant le produit des deux grandeurs :

Or, une puissance \mathcal{P} est une énergie par unité de temps, soit le travail d'une force (W = F \cdot \ell) divisé par un temps :

On constate que :

La quantité D_V \Delta P_{\text{pertes}} est donc bien homogène à une puissance.

Considérons l'écoulement permanent d'eau (fluide incompressible de masse volumique \rho) entre un point de la surface libre du bassin (noté \text{SL}) et le point de refoulement G.

Le théorème de Bernoulli généralisé avec apport de travail utile et pertes de charge s'écrit sous forme de bilan de puissance :

Précisons les conditions en chacun des deux points :

• À la surface libre (SL) :

  • Le bassin étant ouvert à l'air libre, la pression est atmosphérique : P_{\text{SL}} = P_{\text{atm}}.
  • Les dimensions du bassin étant très grandes devant la section du tuyau, la vitesse y est négligeable : v_{\text{SL}} \approx 0.

• Au point de refoulement (G) :

  • Le jet débouche à l'air libre, donc la pression vaut également la pression atmosphérique : P_G = P_{\text{atm}}, d'où P_G - P_{\text{SL}} = 0.
  • La vitesse du fluide est la vitesse d'éjection calculée à la question précédente : v_G = \dfrac{D_V}{S}.

• Dénivelé : D'après la figure 3, la pompe et le tronçon horizontal DE sont situés à la profondeur p sous la surface libre (z_E = z_{\text{SL}} - p), et le tronçon vertical a pour hauteur L_2 (z_G = z_E + L_2). On en déduit :

  z_G - z_{\text{SL}} = L_2 - p

En injectant ces résultats dans le bilan de puissance, on obtient :

D'après la question Q20, la puissance utile fournie par la pompe s'exprime par :

avec :

• D_V = 3{,}6\cdot 10^4\text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{36\text{ m}^3}{3600\text{ s}} = 1{,}0\cdot 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} ;

• la charge gravitaire :

  \rho g (L_2 - p) = 1{,}0\cdot 10^3 \times 10 \times (25 - 1{,}0) = 2{,}4\cdot 10^5\text{ Pa} = 2{,}4\text{ bar}

• les pertes de charge :

  \Delta P_{\text{pertes}} = 2\text{ bar} = 2{,}0\cdot 10^5\text{ Pa}

• la charge cinétique au refoulement (avec v_G = 2{,}0\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} d'après Q16) :

  \frac{1}{2}\rho v_G^2 = \frac{1}{2} \times 1{,}0\cdot 10^3 \times (2{,}0)^2 = 2{,}0\cdot 10^3\text{ Pa} = 0{,}02\text{ bar}

On constate que la charge cinétique (0{,}02\text{ bar}) est négligeable devant les autres contributions :

Le rendement global \eta de l'ensemble {moteur + pompe} est défini comme le rapport de la puissance mécanique utile fournie au fluide P_u sur la puissance électrique consommée par le moteur P_{\text{elec}} :

On en déduit l'expression de la puissance électrique nécessaire :

Avec P_u = 4{,}4\text{ kW} (d'après la question Q21) et \eta = 60\,\% = 0{,}60 :

D'après la relation (2) fournie par l'énoncé, la puissance utile de la pompe s'exprime sous la forme :

On en déduit l'expression littérale de la Hauteur Manométrique Totale :

Avec les valeurs numériques :

• P_u = 4,4\text{ kW} = 4,4 \cdot 10^3\text{ W} (d'après la question Q21) ;
• \rho = 1,0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• g = 10\text{ N}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• D_V = 3,6 \cdot 10^4\text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{3,6 \cdot 10^4 \cdot 10^{-3}}{3600}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 1,0 \cdot 10^{-2}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}.

Le calcul donne :

Comme la hauteur d'une colonne d'eau est directement exprimée en mètres de colonne d'eau (mCE), on a :

Le cahier des charges impose :

• un débit volumique de fonctionnement :

  D_V = 3{,}6 \cdot 10^4\text{ L}\cdot\text{h}^{-1} = 36\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} = 10\text{ L}\cdot\text{s}^{-1}

• une hauteur manométrique totale (calculée à la question Q23) :

  \text{HMT} = 44\text{ mCE}

Sur le graphique supérieur de l'annexe représentant la hauteur manométrique totale \text{HMT} en fonction du débit volumique D_V pour différents diamètres de roue :

• à l'abscisse D_V = 36\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} (soit 10\text{ L}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• à l'ordonnée \text{HMT} = 44\text{ mCE}.

Le point de fonctionnement (36\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}\,;\,44\text{ mCE}) se situe directement sur la courbe correspondant au diamètre :

Le régime optimal d'une pompe correspond à son point de meilleur rendement hydraulique (noté souvent BEP, pour Best Efficiency Point), c'est-à-dire là où l'énergie fournie est convertie avec le minimum de pertes.

Pour le point de fonctionnement de l'installation :

la lecture des courbes d'iso-rendement sur le document technique (annexe) indique :

Or, le rendement maximal offert par cette famille de pompes se situe autour de :

et ce rendement optimal n'est atteint que pour des débits nettement supérieurs, compris entre 80\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1} et 100\text{ m}^3\cdot\text{h}^{-1}.

Considérons comme système thermodynamique l'eau contenue dans le bassin, assimilée à une phase condensée indilatable et incompressible de masse volumique \rho = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et de volume V = 200\text{ m}^3. Sa masse totale est :

D'après le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne de l'eau lors de ce réchauffement isobare (à pression atmosphérique) sans travail utile s'écrit :

La chaudière fournit une puissance constante P pendant la durée \Delta t. Pour un rendement de chauffe de 100\,\%, toute l'énergie thermique dégagée par la chaudière est transférée à l'eau :

On en déduit l'expression de la durée de chauffe \Delta t :

Application numérique :

D'où :

En convertissant en heures (1\text{ h} = 3\,600\text{ s}) :

La combustion complète d'un alcane linéaire comme le butane \mathrm{C_4H_{10}} dans le dioxygène produit exclusivement du dioxyde de carbone \mathrm{CO_2} et de l'eau \mathrm{H_2O}.

L'ajustement stœchiométrique des éléments chimiques donne :

• conservation du carbone : 4 moles de \mathrm{CO_2} par mole de \mathrm{C_4H_{10}} ;
• conservation de l'hydrogène : 5 moles de \mathrm{H_2O} par mole de \mathrm{C_4H_{10}} ;
• conservation de l'oxygène : 4 \times 2 + 5 \times 1 = 13 atomes d'oxygène, soit \frac{13}{2} moles de \mathrm{O_2}.

L'équation de la réaction de combustion complète s'écrit donc, rapportée à une mole de butane :

ou, avec des coefficients stœchiométriques entiers :

La puissance thermique P développée par la chaudière est liée au débit massique de combustible D_m et à son pouvoir calorifique PC par la relation :

Application numérique en \mathrm{g}\cdot\mathrm{s}^{-1} : Avec P = 100\text{ kW} = 100\text{ kJ}\cdot\text{s}^{-1} et PC = 50\text{ kJ}\cdot\text{g}^{-1} :

Conversion en \mathrm{g}\cdot\mathrm{min}^{-1} : Sachant qu'une minute compte 60\text{ s}, le débit massique par minute s'écrit :

D'après les masses molaires atomiques fournies :

D'après la question Q28, la masse de butane consommée pendant une durée \Delta t_0 = 1\text{ min} de fonctionnement est :

La quantité de matière de butane brûlée par minute s'écrit alors :

D'après l'équation de la réaction de combustion complète établie à la question Q27 :

la stœchiométrie impose que la combustion d'une mole de butane engendre 4 moles de dioxyde de carbone :

La masse m(\mathrm{CO_2}) produite par minute de fonctionnement est donc :

Application numérique :

Avec deux chiffres significatifs cohérents avec les données :

L'enthalpie massique de vaporisation \Delta h_{\text{vap}} du fluide à la température \theta = 0\,^{\circ}\text{C} est égale à la variation d'enthalpie massique lors du passage de l'état de liquide saturé à l'état de vapeur saturée sèche :

Sous la courbe de saturation (zone diphasique liquide-vapeur), le changement d'état d'un corps pur est isotherme et isobare. L'isotherme T = 0\,^{\circ}\text{C} correspond à un segment horizontal à la pression de vapeur saturante p_{\text{sat}}(0\,^{\circ}\text{C}) \approx 0{,}47\text{ MPa} \approx 4{,}7\text{ bar} (cohérent avec la valeur approchée de 5\text{ bar} mentionnée dans les données de l'énoncé) :

• À l'intersection avec la courbe d'ébullition (liquide saturé, à gauche) : l'encart d'état de référence du diagramme indique directement :

  h_L(0\,^{\circ}\text{C}) = 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• À l'intersection avec la courbe de rosée (vapeur saturée, à droite) : la lecture sur l'axe des abscisses donne :

  h_V(0\,^{\circ}\text{C}) \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad (\text{compris entre } 570 \text{ et } 580\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1})

On en déduit l'enthalpie massique de vaporisation du R290 à 0\,^{\circ}\text{C} :

L'enthalpie massique de vaporisation à une température T donnée est définie par la différence entre l'enthalpie massique de la vapeur saturée et celle du liquide saturé :

Sur le diagramme enthalpique (h, \ln P), cette grandeur correspond à la largeur du dôme de saturation le long d'une isotherme :

• à basse température, l'écart entre les états liquide et gazeux est maximal, \Delta h_{\text{vap}} prend une valeur élevée ;
• lorsque la température T augmente, les densités et enthalpies des phases liquide et vapeur se rapprochent, si bien que \Delta h_{\text{vap}}(T) décroît de façon strictement monotone ;

• au point critique (T = T_c), les deux phases deviennent indiscernables : le dôme se referme au point critique C et l'enthalpie massique de vaporisation s'annule :

  \Delta h_{\text{vap}}(T_c) = 0

  De plus, la courbe présente une tangente verticale au point critique en raison d'un comportement d'échelle au voisinage critique (\Delta h_{\text{vap}} \propto (T_c - T)^\beta avec \beta \approx 0{,}38).

• pour T > T_c, le domaine diphasique liquide-gaz n'existe plus (état supercritique).