Corrigé détaillé Banque PT Physique B PT 2021 (page 3/4 : Thermodynamique (questions 1 à 16))

1. Positionnement des points sur le diagramme (P, h) :

• Point f (liquide juste saturé) : situé sur l'isobare P = 1\text{ bar}, sur la courbe d'ébullition (branche gauche de la courbe de saturation), à l'abscisse h_f = -911\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et à la température T_f = -162\,^\circ\text{C}.
• Point 10 (vapeur sèche saturante) : situé sur l'isobare P = 1\text{ bar}, sur la courbe de rosée (branche droite de la courbe de saturation), à l'abscisse h_{10} = -400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et à la température T_f = -162\,^\circ\text{C}.
• Point i (gaz sec) : situé dans le domaine de la vapeur surchauffée (phase gaz, à droite de la courbe de saturation), sur l'isobare P = 1\text{ bar}, à l'abscisse h_i = 0\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et sur l'isotherme T_0 = 25\,^\circ\text{C}.

2. Expression littérale de l'entropie massique s_f :

La transition de l'état f (liquide saturé) à l'état 10 (vapeur saturante) correspond à la vaporisation complète d'une unité de masse de méthane sous la pression d'équilibre P_0 = 1\text{ bar} à la température T_f.

Ce changement d'état physique étant isotherme et réversible à la température absolue T_f, la variation d'entropie massique de vaporisation s'écrit :

où T_f est exprimée en kelvins : T_f = \theta_f + 273{,}15 = -162 + 273{,}15 = 111{,}15\text{ K}.

On en déduit l'expression littérale de s_f :

Application numérique :

L'installation de liquéfaction fonctionne en régime permanent et comporte :

• une unique entrée pour le méthane gazeux (état \mathrm{i}), de débit massique D et d'enthalpie massique h_{\mathrm{i}} ;
• une unique sortie pour le méthane liquide saturé (état \mathrm{f}), de même débit massique D et d'enthalpie massique h_{\mathrm{f}} par conservation globale de la masse.

En négligeant les variations d'énergie cinétique macroscopique et d'énergie potentielle de pesanteur du fluide entre l'entrée et la sortie, le premier principe industriel s'écrit :

soit directement :

Considérons le système ouvert constitué par l'installation de liquéfaction en régime permanent. L'installation échange :

• un débit massique D de méthane entrant à l'état i (entropie massique s_i) et sortant à l'état f (entropie massique s_f) ;
• une puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{th}} avec le milieu extérieur thermostaté à la température uniforme T_0.

Le deuxième principe de la thermodynamique appliqué à ce système ouvert en régime stationnaire s'écrit sous forme de bilan de flux d'entropie :

En explicitant chaque terme :

• flux convectifs d'entropie : \dot{S}_{\text{sortie}} - \dot{S}_{\text{entrée}} = D s_f - D s_i = D(s_f - s_i) ;
• flux d'entropie échangé avec la source à température T_0 : \dot{S}_{\text{éch}} = \dfrac{\mathscr{P}_{\mathrm{th}}}{T_0} ;
• flux d'entropie créé par irréversibilités, associé à la création massique d'entropie s_c : \dot{S}_{\text{créée}} = D \, s_c avec s_c \ge 0.

On obtient ainsi le deuxième principe appliqué à l'installation :

Vérification de l'homogénéité et unité de s_c :

• Le terme de gauche et le terme D s_c ont la dimension d'un débit massique multiplié par une entropie massique :

  [D \cdot s] = (\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}) \times (\text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}) = \text{W}\cdot\text{K}^{-1}

• Le terme de transfert thermique s'exprime en :

  \left[\frac{\mathscr{P}_{\mathrm{th}}}{T_0}\right] = \frac{\text{W}}{\text{K}} = \text{W}\cdot\text{K}^{-1}

  L'égalité est donc homogène et chaque terme est homogène à un flux d'entropie (en \text{W}\cdot\text{K}^{-1}).

• L'entropie massique créée s_c a la dimension d'une entropie massique ; son unité dans le Système international est le joule par kelvin et par kilogramme (\text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}), usuellement exprimée en \text{kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

D'après le deuxième principe appliqué à l'installation en régime permanent (question Q3) :

On en déduit l'expression de la puissance thermique échangée avec l'extérieur :

D'après le premier principe industriel appliqué à cette même installation (question Q2) :

En injectant l'expression de \mathscr{P}_{\text{th}}, il vient :

En tenant compte du choix d'origine des grandeurs du tableau I (h_i = 0 et s_i = 0), cette relation peut aussi s'écrire :

D'après l'expression établie à la question précédente :

Le débit massique D et la température de thermostat T_0 étant strictement positifs, et le second principe imposant une création massique d'entropie positive ou nulle :

Pour des états initial i et final f fixés, la puissance utile \mathscr{P}_i est donc minorée par la valeur obtenue pour un fonctionnement réversible (s_c = 0) :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• D = 10\text{ g}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0\cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• T_0 = 298\text{ K} ;
• h_i = 0\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et s_i = 0\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_f = -911\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

Si l'on utilise la valeur s_f \approx -6{,}61\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} lue sur le diagramme au point de liquide saturé :

On obtient :

D'après le deuxième principe de la thermodynamique, le terme de création massique d'entropie est nécessairement positif ou nul en raison des irréversibilités :

D'après les questions Q4 et Q5, la puissance utile s'écrit :

avec \mathscr{P}_{\min} = 10{,}6\text{ kW} > 0 et la pente D\,T_0 > 0. C'est une fonction affine strictement croissante de s_c.

Le taux de performance est alors :

C'est une fonction strictement décroissante de s_c, telle que \text{TP}(0) = 1 et \lim_{s_c \to +\infty} \text{TP}(s_c) = 0.

Commentaires :

• Dans la limite d'un fonctionnement réversible (s_c = 0), la puissance requise est minimale (\mathscr{P}_i = \mathscr{P}_{\min}) et le taux de performance est optimal : \text{TP} = 1 (soit 100\,\%) ;
• Toute irréversibilité au sein de l'installation (s_c > 0, due aux frottements visqueux, écarts de température finis dans les échangeurs ou détentes Joule-Thomson irréversibles) induit une dissipation d'énergie qui majore la puissance à fournir à raison de D\,T_0\,s_c ;
• Il en résulte une dégradation continue du taux de performance \text{TP} < 1, qui tend vers 0 lorsque la création d'entropie devient très importante.

a- Compresseurs (C_1, C_2, C_3) :

• Les compresseurs sont par hypothèse parfaitement isolés thermiquement (\mathscr{P}_{\mathrm{th}} = 0, transformation adiabatique) et fonctionnent sans irréversibilité (s_c = 0).

• D'après le second principe en régime stationnaire :

  s_{\text{sortie}} - s_{\text{entrée}} = \frac{\mathscr{P}_{\mathrm{th}}}{D T} + s_c = 0

  La compression dans chacun des trois compresseurs est donc isentropique.

b- Vanne de détente V :

• La vanne est un organe passif fixe (\mathscr{P}_i = 0), parfaitement calorifugé (\mathscr{P}_{\mathrm{th}} = 0), et les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligées.

• Le premier principe industriel en régime permanent s'écrit :

  h_9 - h_8 = \frac{\mathscr{P}_i + \mathscr{P}_{\mathrm{th}}}{D_1} = 0 \implies h_9 = h_8

  La détente de Joule-Thomson dans la vanne est donc isenthalpique.

c- Éléments M, S et R :

• Caractéristique commune : Les fluides y circulent sans perte de charge d'après les hypothèses. Toutes les transformations au sein de chacun de ces éléments (ou de chacune de leurs branches) sont donc isobares.
• Mélangeur M : La transformation s'effectue sans perte de charge à la pression atmosphérique (P_0 = 1\text{ bar}), elle est donc isobare. De plus, M étant thermiquement isolé et sans parties mobiles, le mélange est globalement isenthalpique (D_1 h_1 = D h_0 + D_2 h_{11}).
• Séparateur S : Le mélange diphasique liquide-vapeur y est séparé à la pression atmosphérique (P_0 = 1\text{ bar}) sans échange d'énergie mécanique ni thermique. Le corps pur étant sous deux phases en équilibre à pression fixée, la température reste fixée à la température d'ébullition T_f = -162\,^\circ\text{C} : la séparation est isobare et isotherme.
• Échangeur récupérateur R : Il ne comporte aucune pièce mobile (\mathscr{P}_i = 0) et est isolé de l'extérieur. Les deux flux (haute pression de 7 à 8 à 100\text{ bar}, et basse pression de 10 à 11 à 1\text{ bar}) s'écoulent sans frottement : les transformations dans chacune des deux voies sont isobares.

Au point 9, en sortie de la vanne de détente V et à la pression P_0 = 1\text{ bar}, le méthane se trouve sous forme d'un mélange diphasique liquide-gaz de titre massique en vapeur x_g.

Les phases en équilibre sont :

• le liquide saturé (état f) d'enthalpie massique h_f ;
• la vapeur saturante sèche (état 10) d'enthalpie massique h_{10}.

Par définition du titre en vapeur x_g = \dfrac{m_V}{m_{\text{tot}}}, la fraction massique de liquide vaut 1 - x_g = \dfrac{m_L}{m_{\text{tot}}}. L'extensivité de l'enthalpie conduit à l'expression de l'enthalpie massique du mélange :

Application numérique : Avec x_g = 0{,}6, h_{10} = -400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_f = -911\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} :

1. Positionnement des points sur le diagramme (P, h) :

• Points à basse pression (P = 1\text{ bar}) :

  • Point \text{i} : P_{\text{i}} = 1\text{ bar}, T_{\text{i}} = 25^\circ\text{C} et h_{\text{i}} = 0\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (gaz).
  • Point 0 : P_0 = 1\text{ bar}, T_0 = 7^\circ\text{C} (gaz).
  • Point 1 : P_1 = 1\text{ bar}, T_1 = -43^\circ\text{C} (gaz).
  • Point 10 : P_{10} = 1\text{ bar}, T_{10} = -162^\circ\text{C}, sur la courbe de rosée (h_{10} = -400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, vapeur saturante).
  • Point \text{f} : P_{\text{f}} = 1\text{ bar}, T_{\text{f}} = -162^\circ\text{C}, sur la courbe d'ébullition (h_{\text{f}} = -911\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, liquide saturé).
  • Point 9 : issu de la détente isenthalpique (h_9 = h_8 \approx -605\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} d'après la question Q8), sous la cloche de saturation à P_9 = 1\text{ bar} et T_9 = -162^\circ\text{C} (mélange diphasique liquide-vapeur avec x_g = 0{,}6).

• Compressions isentropiques et refroidissements intermédiaires :

  • Compresseur \mathrm{C}_1 (1 \to 2) : compression isentropique (s_2 = s_1) de P_1 = 1\text{ bar} à P_2 = 5\text{ bar}. En suivant l'isentrope issue du point 1, on atteint à P_2 = 5\text{ bar} :

    T_2 \approx 70^\circ\text{C} \quad (\text{gaz})
  • Échangeur \mathrm{E}_1 (2 \to 3) : refroidissement isobare à P = 5\text{ bar} jusqu'à T_3 = 7^\circ\text{C} (gaz).

  • Compresseur \mathrm{C}_2 (3 \to 4) : compression isentropique (s_4 = s_3) de P_3 = 5\text{ bar} à P_4 = 25\text{ bar}. En suivant l'isentrope issue du point 3, on atteint à P_4 = 25\text{ bar} :

    T_4 \approx 125^\circ\text{C} \quad (\text{gaz})
  • Échangeur \mathrm{E}_2 (4 \to 5) : refroidissement isobare à P = 25\text{ bar} jusqu'à T_5 = 7^\circ\text{C} (gaz).

  • Compresseur \mathrm{C}_3 (5 \to 6) : compression isentropique (s_6 = s_5) de P_5 = 25\text{ bar} à P_6 = 100\text{ bar}. En suivant l'isentrope issue du point 5, on atteint à P_6 = 100\text{ bar} :

    T_6 \approx 125^\circ\text{C} \quad (\text{fluide supercritique})

• Ligne haute pression (P = 100\text{ bar}) et vanne \mathrm{V} :

  • Échangeur \mathrm{E}_3 (6 \to 7) : refroidissement isobare à P_7 = 100\text{ bar} jusqu'à T_7 = -63^\circ\text{C} (fluide supercritique car P > P_c \approx 46\text{ bar} et T > T_c \approx -82^\circ\text{C}).

  • Échangeur \mathrm{R} (7 \to 8) : refroidissement isobare à P_8 = 100\text{ bar}. La détente dans la vanne \mathrm{V} étant isenthalpique, h_8 = h_9 \approx -605\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. À l'intersection de l'isobare P = 100\text{ bar} et de la droite d'enthalpie h = -605\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, la lecture sur le faisceau d'isothermes donne :

    T_8 \approx -85^\circ\text{C} \quad (\text{liquide comprimé / hypercritique})
  • Vanne de détente \mathrm{V} (8 \to 9) : segment vertical descendant de P_8 = 100\text{ bar} à P_9 = 1\text{ bar} à enthalpie constante (h_9 = h_8).

2. Tableau d'état complété :

Sous la pression P_0 = 1\text{ bar}, le changement d'état liquide-vapeur s'effectue à la température d'ébullition constante T_f = -162\,^\circ\mathrm{C}.

L'enthalpie massique de vaporisation L_v est la variation d'enthalpie massique accompagnant la vaporisation complète d'une unité de masse de liquide saturé (état \mathrm{f}) en vapeur saturante sèche (état 10) à température et pression constantes :

D'après le tableau I de l'énoncé :

• h_f = -911\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_{10} = -400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit la valeur numérique :

L'installation fonctionne en régime permanent (stationnaire), par conséquent, pour tout volume de contrôle fixe, la masse de fluide est constante :

Bilan massique sur le mélangeur M : Le mélangeur \mathrm{M} reçoit deux flux entrants :

• le flux de méthane gazeux frais d'appoint (point 0), de débit massique D ;
• le flux de méthane gazeux recyclé réchauffé dans l'échangeur \mathrm{R} (point 11), de débit massique D_2.

Le mélange homogénéisé sort au point 1 avec le débit massique D_1 alimentant la chaîne de compression. Le bilan massique s'écrit donc :

Bilan massique sur le séparateur S : Le séparateur \mathrm{S} reçoit le flux diphasique issu de la vanne de détente au point 9, avec le débit massique total du circuit haute pression, soit D_1. Il sépare ce flux en deux sorties :

• la vapeur saturante prélevée en tête (point 10) envoyée vers l'échangeur \mathrm{R}, de débit massique D_2 ;
• le liquide saturé soutiré en fond de cuve (point \mathrm{f}), de débit massique D_L.

Le bilan massique s'écrit donc :

Lien entre D_L et D : En retranchant les deux relations ou en égalant les expressions de D_1 :

Considérons le séparateur S en régime permanent, délimité par une surface de contrôle fixe :

• une entrée : fluide diphasique au point 9 avec le débit massique D_1 et l'enthalpie massique h_9 ;
• deux sorties : vapeur saturante au point 10 avec le débit massique D_2 et l'enthalpie massique h_{10}, et liquide saturé au point f avec le débit massique D_L et l'enthalpie massique h_f.

Le séparateur est parfaitement calorifugé (\mathscr{P}_{\mathrm{th}} = 0), sans pièces mobiles (\mathscr{P}_i = 0), et on néglige les variations d'énergie cinétique et potentielle. Le premier principe industriel en régime permanent s'écrit donc :

soit :

D'après la question Q8, l'enthalpie massique du fluide diphasique entrant en 9 s'exprime par le théorème des moments :

D'après le bilan de matière établi à la question Q11, le débit de liquide vaut D_L = D_1 - D_2. En substituant ces relations dans le bilan enthalpique, on obtient :

Comme h_{10} - h_f = L_v \neq 0 (enthalpie massique de vaporisation du méthane), on simplifie par (h_{10} - h_f) :

On en déduit bien :

D'après le bilan de matière au niveau du mélangeur \text{M} établi à la question Q11 :

D'après la relation démontrée à la question Q12 pour le séparateur \text{S} calorifugé :

En substituant D_2 dans le bilan massique du mélangeur, on obtient :

soit :

On en déduit immédiatement l'expression de D_2 :

Application numérique : Avec D = 10\text{ g}\cdot\text{s}^{-1} et x_g = 0{,}6 (d'où 1 - x_g = 0{,}4) :

Les trois compresseurs sont couplés sur le même arbre et traversés en régime stationnaire par le même débit massique de méthane gazeux D_1.

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• les compresseurs sont parfaitement calorifugés, soit \mathscr{P}_{\mathrm{th},k} = 0 pour chaque compresseur k \in \{1, 2, 3\} ;
• les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligeables.

En appliquant le premier principe industriel à chaque compresseur :

• pour le compresseur C_1 (évolution de l'état 1 à l'état 2) :

  \mathscr{P}_1 = D_1 \, (h_2 - h_1)

• pour le compresseur C_2 (évolution de l'état 3 à l'état 4) :

  \mathscr{P}_2 = D_1 \, (h_4 - h_3)

• pour le compresseur C_3 (évolution de l'état 5 à l'état 6) :

  \mathscr{P}_3 = D_1 \, (h_6 - h_5)

La puissance totale \mathscr{P} fournie à l'ensemble des trois compresseurs est la somme des puissances reçues :

D'après les questions Q11 et Q13, le débit injecté dans les compresseurs est relié au débit de liquide extrait D_L = D par :

On en déduit l'expression littérale :

Application numérique : Pour D_L = 10\text{ g}\cdot\text{s}^{-1} et x_g = 0{,}6, on a D_1 = 25\text{ g}\cdot\text{s}^{-1} = 2{,}5\cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}. Les compressions étant isentropiques, la lecture des enthalpies sur le diagramme P/h conduit, en accord avec l'énoncé, à :

Considérons le mélangeur M en régime stationnaire. Il comporte deux entrées (états 0 et 11) et une sortie (état 1).

D'après les hypothèses de l'énoncé, le mélangeur est parfaitement isolé thermiquement (\mathscr{P}_{\mathrm{th}} = 0), sans parties mobiles (\mathscr{P}_i = 0), et les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligées.

Le premier principe industriel appliqué à la surface de contrôle délimitant M s'écrit :

D'après les bilans massiques établis aux questions Q11 et Q12 :

On en déduit :

En divisant le bilan enthalpique par D_1, on obtient :

Soit en isolant l'enthalpie massique h_{11} :

1. Lecture de h_0 et h_1 sur le diagramme (P, h) :

• Le point 0 est situé à la pression P_0 = 1\text{ bar} et à la température T_0 = 7\,^\circ\text{C}. Sachant que pour T_i = 25\,^\circ\text{C}, h_i = 0, on lit :

  h_0 \approx -40\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• Le point 1 est situé à la pression P_1 = 1\text{ bar} et à la température T_1 = -43\,^\circ\text{C}. On lit :

  h_1 \approx -150\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

2. Calcul numérique de h_{11} :

D'après le bilan enthalpique obtenu à la question Q15 :

Avec x_g = 0{,}6 :

3. Caractéristiques et positionnement du point 11 :

• La pression au point 11 est celle de la branche basse pression reliant le séparateur S au mélangeur M : P_{11} = 1\text{ bar}.
• À la pression de 1\text{ bar}, l'enthalpie massique de la vapeur saturante est h_{10} = -400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Comme h_{11} > h_{10}, le fluide se trouve entièrement à l'état de vapeur surchauffée (gaz).

• En reportant P_{11} = 1\text{ bar} et h_{11} \approx -223\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} sur le diagramme (P, h), on se situe entre les isothermes -50\,^\circ\text{C} et -100\,^\circ\text{C}, ce qui donne :

  T_{11} \approx -78\,^\circ\text{C} \quad (\text{comprise entre } -75\,^\circ\text{C} \text{ et } -80\,^\circ\text{C})

Le tableau d'état complété est :