Feuille d'entraînement : Diffusion thermique et diffusion de particules

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2025, Q1

   La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath} au gradient du champ scalaire de température T au sein du matériau conducteur :

   \boxed{\vec{\jmath} = -\lambda \, \vec{\mathrm{grad}}\, T}

   où \lambda > 0 désigne la conductivité thermique du milieu (exprimée en \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}).

   Justification du signe « - » :

   • Par définition mathématique, le vecteur gradient \vec{\mathrm{grad}}\, T pointe vers les zones de température croissante (les zones les plus chaudes).
   • Conformément au second principe de la thermodynamique, le transfert thermique s'effectue spontanément des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides (sens des températures décroissantes).

   Le signe « - » assure ainsi que le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath} est orienté dans le sens opposé au gradient de température, c'est-à-dire dans le sens réel de propagation de l'énergie thermique.

   Résultat

   $$\vec{ȷ}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2025, Q2

   Considérons le système fermé constitué par la tranche d'isolant comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de surface S, pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t.

   Son volume élémentaire est \mathrm{d}V = S \, \mathrm{d}x et sa masse est :

   \mathrm{d}m = \rho \, S \, \mathrm{d}x

   Le matériau étant au repos, indéformable et sans travail mécanique reçu (\delta W = 0), le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

   \mathrm{d}U = \delta Q

   Pour cette phase condensée de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'exprime par :

   \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, c \, [T(x, t + \mathrm{d}t) - T(x, t)] = \rho \, c \, S \, \mathrm{d}x \, \frac{\partial T}{\partial t} \, \mathrm{d}t

   Le transfert thermique \delta Q reçu par la tranche provient exclusivement de la conduction à travers les deux faces d'aire S situées en x et x + \mathrm{d}x :

   \delta Q = \left[ \Phi(x, t) - \Phi(x + \mathrm{d}x, t) \right] \mathrm{d}t

   où \Phi(x, t) = j(x, t) \, S désigne le flux thermique orienté selon \vec{u}_x. Au premier ordre en \mathrm{d}x, on a :

   \Phi(x + \mathrm{d}x, t) = \Phi(x, t) + \frac{\partial \Phi}{\partial x} \, \mathrm{d}x \implies \delta Q = - \frac{\partial j}{\partial x} \, S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t

   En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U = \delta Q et en simplifiant par S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de l'énergie (en l'absence de source interne de chaleur) :

   \rho \, c \, \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j}{\partial x}

   D'après la loi de Fourier unidimensionnelle rappelée à la question Q1, j(x, t) = -\lambda \, \frac{\partial T}{\partial x}. La conductivité thermique \lambda étant supposée constante et uniforme dans le matériau, il vient :

   \frac{\partial j}{\partial x} = -\lambda \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}

   En réinjectant cette expression, on obtient finalement l'équation de la diffusion thermique :

   \boxed{\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\lambda}{\rho \, c} \, \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}

   ou encore \dfrac{\partial T}{\partial t} = D \, \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, où D = \dfrac{\lambda}{\rho \, c} est la diffusivité thermique du milieu.

   Résultat

   $$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda }{\rho c}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2025, Q3

   Par analogie avec la loi d'Ohm électrique, la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'une paroi plane séparant deux surfaces isothermes à des températures T(0) et T(d) est définie par le rapport de la différence de température entre ses faces au flux thermique \Phi qui la traverse (orienté de la face à x=0 vers la face à x=d) :

   R_{\mathrm{th}} = \frac{T(0) - T(d)}{\Phi}

   En régime stationnaire (\partial / \partial t = 0), l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q2 devient :

   \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) = 0

   La dérivée spatiale de la température est donc uniforme dans l'épaisseur de la couche :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{T(d) - T(0)}{d} = \text{cte}

   Le flux thermique \Phi traversant la surface plane d'aire S orientée selon \vec{u}_x s'exprime grâce à la loi de Fourier (Q1) :

   \begin{aligned} \Phi &= \iint_S \vec{\jmath} \cdot \vec{u}_x \, \mathrm{d}S = j(x) \, S \\ \Phi &= -\lambda S \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{\lambda S}{d} \left[T(0) - T(d)\right] \end{aligned}

   En identifiant avec la définition de la résistance thermique, on obtient :

   \boxed{R_{\mathrm{th}} = \frac{d}{\lambda S}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{th}}=\frac{d}{\lambda S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2023, Q7

   La loi de Fourier régit le transfert thermique par conduction au sein de la matière. Elle s'écrit sous forme locale et vectorielle :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda \, \vec{\operatorname{grad}} T}

   où :

   • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} (noté également \vec{\jmath}_Q) est le vecteur densité volumique de courant thermique (ou densité de flux thermique), exprimé en \mathrm{W \cdot m^{-2}}. Sa signification physique est la puissance thermique transitant par conduction à travers une unité de surface orientée : la puissance élémentaire traversant une surface \mathrm{d}\vec{S} s'écrit \delta\phi = \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \mathrm{d}\vec{S}.
   • \lambda est la conductivité thermique du milieu conducteur, exprimée en \mathrm{W \cdot m^{-1} \cdot K^{-1}}. C'est un paramètre caractéristique du matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur.
   • T est le champ scalaire de température, exprimé en kelvins (\mathrm{K}).
   • \vec{\operatorname{grad}} T est le gradient de température, exprimé en \mathrm{K \cdot m^{-1}}, qui indique la direction et le sens de la plus forte augmentation spatiale de la température.

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2023, Q9

   Le flux thermique \phi à travers une section droite S orientée selon les z croissants s'écrit, d'après la loi de Fourier rappelée en Q7 :

   \phi = \iint_S \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot \vec{e}_z \, \mathrm{d}S = \iint_S \left( -\lambda \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} \vec{e}_z \right) \cdot \vec{e}_z \, \mathrm{d}S = -\lambda S \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z}

   D'après la question Q8, le flux \phi est indépendant de z en régime stationnaire. Par conséquent :

   \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = -\frac{\phi}{\lambda S} = \text{cte}

   La dérivée spatiale de la température étant constante, le profil de température est affine :

   T(z) = A z + B

   Les conditions aux limites imposées par les thermostats s'écrivent :

   • en z = 0 : T(0) = T_0 \implies B = T_0 ;
   • en z = L : T(L) = T_1 \implies A L + T_0 = T_1 \implies A = \frac{T_1 - T_0}{L}.

   On en déduit la loi de température dans la barre :

   \boxed{T(z) = T_0 + (T_1 - T_0)\frac{z}{L}}

   En réinjectant le gradient de température \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} = \frac{T_1 - T_0}{L} dans l'expression de \phi, on obtient :

   \boxed{\phi = \frac{\lambda S}{L}(T_0 - T_1)}

   Résultat

   $$T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z}{L}$$

   $$\varphi =\frac{\lambda S}{L}(T_0-T_1)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2023, Q10

   Par analogie avec la loi d'Ohm en électrocinétique (U = R_{\text{élec}} I), la résistance thermique R_{\text{th}} d'un élément conducteur reliant une zone à la température T_0 à une zone à la température T_1 est définie par le rapport de l'écart de température sur la puissance thermique \phi qui le traverse de la borne amont vers la borne aval :

   R_{\text{th}} = \frac{T_0 - T_1}{\phi}

   D'après l'expression du flux thermique obtenue à la question Q9, \phi = \frac{\lambda S}{L}(T_0 - T_1), on en déduit l'expression de la résistance thermique en fonction des caractéristiques géométriques et thermophysiques de la barre :

   \boxed{R_{\text{th}} = \frac{L}{\lambda S}}

   Elle s'exprime en kelvins par watt (\mathrm{K\cdot W^{-1}}).

   Résultat

   $$R_{\text{th}}=\frac{L}{\lambda S}$$

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7. Exercice 7Banque PT Physique A PT 2022, Q42

   L'équation de diffusion thermique unidimensionnelle dans la couche de glace s'écrit :

   \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \mu c_g \frac{\partial T}{\partial t}

   Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS thermique), la température évolue suffisamment lentement dans le temps pour que le terme d'accumulation soit négligeable devant le terme de conduction spatiale à chaque instant t :

   \frac{\partial T}{\partial t} \simeq 0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2} = 0

   Par double intégration par rapport à la variable spatiale x, le profil de température est une fonction affine :

   T(x) = a\,x + b

   Les conditions aux limites aux interfaces s'écrivent :

   • En surface (interface glace-air, x = 0) : T(0) = T_0, d'où :

     b = T_0

   • Au fond de la couche de glace (interface glace-eau, x = \ell) : T(\ell) = T_e, d'où :

     a\,\ell + b = T_e \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{T_e - T_0}{\ell}

   On obtient ainsi :

   \boxed{a = \frac{T_e - T_0}{\ell} \quad \text{et} \quad b = T_0}

   soit l'expression complète :

   T(x) = \frac{T_e - T_0}{\ell}x + T_0

   Résultat

   $$a=\frac{T_e-T_0}{\ell }\text{et}b=T_0$$

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8. Exercice 8Banque PT Physique B PT 2021, Q24

   La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique (ou vecteur densité de courant thermique) \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} au gradient local de température T au sein du matériau :

   \boxed{\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = -\lambda_i\,\vec{\mathrm{grad}}(T)}

   où :

   • \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique, exprimé en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} ;
   • \lambda_i est la conductivité thermique du matériau, exprimée en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} ;
   • \vec{\mathrm{grad}}(T) est le gradient de température au point considéré, exprimé en \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1}.

   Résultat

   $${\vec{ȷ}}_{\mathrm{th}}=-{\lambda }_i\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)$$

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9. Exercice 9Banque PT Physique B PT 2021, Q25

   La cuve de transport ainsi que la couche de mousse isolante qui l'entoure présentent une géométrie à symétrie sphérique de centre O.

   De plus, les conditions aux limites imposées sont uniformes sur chaque sphère :

   • la surface interne de l'isolant (en r = b) est à la température uniforme T_0 ;
   • la surface externe de l'isolant (en r = b+e) est à la température uniforme T_a.

   Le système matériel et ses conditions aux limites sont donc invariants par toute rotation de centre O. Il en résulte que le champ scalaire de température ne dépend que de la distance radiale r au centre de la sphère :

   T(r,\theta,\varphi) = T(r)

   Les dérivées partielles par rapport aux coordonnées angulaires sont donc identiquement nulles :

   \frac{\partial T}{\partial \theta} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial T}{\partial \varphi} = 0

   L'expression générale du gradient en coordonnées sphériques se simplifie donc immédiatement en :

   \boxed{\vec{\operatorname{grad}}(T) = \frac{\partial T}{\partial r}\,\vec{u}_r = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\,\vec{u}_r}

   Le vecteur unitaire \vec{u}_r est dirigé selon le rayon OM, orienté du centre O vers l'extérieur de la cuve.

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T)=\frac{\partial T}{\partial r}{\vec{u}}_r=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}{\vec{u}}_r$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique B PT 2021, Q26

    Par définition, la résistance thermique R_i d'une paroi conductrice soumise à une différence de température \Delta T traversée en régime permanent par un flux thermique \Phi s'écrit :

    R_i = \frac{T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}}}{\Phi} > 0

    Plaçons-nous en régime permanent, en l'absence de sources internes de chaleur dans l'isolant. L'équation locale de l'énergie impose \operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = 0. Le flux thermique traversant une surface sphérique fermée de rayon r \in [b,\, b+e] est donc indépendant de r.

    D'après les questions Q24 et Q25, la loi de Fourier en coordonnées sphériques s'écrit :

    \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}(r) = -\lambda_i \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\,\vec{u}_r

    Comme T_a > T_0, la chaleur se propage de l'extérieur (r = b+e) vers l'intérieur (r = b), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_r. Le flux thermique reçu vers l'intérieur à travers une sphère de rayon r est algébriquement défini par :

    \Phi_{\text{entrant}} = \iint_{S(r)} \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} \cdot (-\vec{u}_r)\,\mathrm{d}S = 4\pi r^2 \lambda_i \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r} > 0

    En séparant les variables :

    \frac{\mathrm{d}r}{r^2} = \frac{4\pi \lambda_i}{\Phi_{\text{entrant}}}\,\mathrm{d}T

    En intégrant à travers toute l'épaisseur de l'isolant, de la surface interne (r = b, où T = T_0) à la surface externe (r = b+e, où T = T_a) :

    \begin{aligned} \int_b^{b+e} \frac{\mathrm{d}r}{r^2} &= \frac{4\pi \lambda_i}{\Phi_{\text{entrant}}} \int_{T_0}^{T_a} \mathrm{d}T \\ \left[ -\frac{1}{r} \right]_b^{b+e} &= \frac{4\pi \lambda_i (T_a - T_0)}{\Phi_{\text{entrant}}} \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b+e} &= \frac{4\pi \lambda_i (T_a - T_0)}{\Phi_{\text{entrant}}} \\ \frac{e}{b(b+e)} &= \frac{4\pi \lambda_i (T_a - T_0)}{\Phi_{\text{entrant}}} \end{aligned}

    On en déduit l'expression exacte du flux thermique reçu par la cuve :

    \Phi_{\text{entrant}} = \frac{T_a - T_0}{\dfrac{e}{4\pi \lambda_i b(b+e)}}

    Par identification avec la définition R_i = \dfrac{T_a - T_0}{\Phi_{\text{entrant}}}, l'expression exacte de la résistance thermique d'une calotte sphérique est :

    R_i = \frac{e}{4\pi \lambda_i b(b+e)}

    Sous l'hypothèse d'une couche isolante mince (e \ll b), on a b+e \approx b, d'où b(b+e) \approx b^2. On retrouve finalement l'expression fournie :

    \boxed{R_i \approx \frac{e}{4\pi \lambda_i b^2}}

    Résultat

    $$R_i\approx \frac{e}{4\pi {\lambda }_i{b}^2}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question