Corrigé détaillé Banque PT Physique B PT 2021 (page 4/4 : Thermodynamique (questions 17 à 26))

1. Bilan thermique sur les échangeurs \mathrm{E}_0, \mathrm{E}_1 et \mathrm{E}_2

Pour un fluide en écoulement stationnaire dans un échangeur sans pièces mobiles (\mathscr{P}_i = 0) et en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, le premier principe industriel s'écrit pour chacun des échangeurs :

• Dans \mathrm{E}_0, parcouru par le débit D :

  \dot{\mathscr{Q}}_{\mathrm{E}_0} = D\,(h_0 - h_i)

• Dans \mathrm{E}_1, parcouru par le débit D_1 :

  \dot{\mathscr{Q}}_{\mathrm{E}_1} = D_1\,(h_3 - h_2)

• Dans \mathrm{E}_2, parcouru par le débit D_1 :

  \dot{\mathscr{Q}}_{\mathrm{E}_2} = D_1\,(h_5 - h_4)

La puissance thermique totale transférée à la source froide \mathrm{SF}_1 correspond à la puissance thermique cédée par le fluide, soit :

Soit, sous forme littérale :

2. Puissance électrique à fournir au réfrigérateur \mathrm{REF}_1

Par définition du coefficient de performance (ou efficacité) d'une machine frigorifique, le fluide du réfrigérateur absorbant la puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{th1}} à sa source froide en consommant la puissance électrique \mathscr{P}_{e1}, on a :

On en déduit l'expression littérale de la puissance électrique à fournir :

L'évaluation numérique menée avec les valeurs lues sur le diagramme conduit à :

Ce qui confirme bien la valeur indiquée par l'énoncé :

Le fluide traversant l'échangeur E_3 est le débit de méthane comprimé D_1. Il entre dans l'échangeur à l'état 6 et en ressort à l'état 7, sous la pression constante P = 100\text{ bar}.

En régime permanent, en l'absence de parties mobiles (\mathscr{P}_u = 0) et en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle, le premier principe industriel appliqué au fluide dans l'échangeur s'écrit :

D'après l'énoncé, la chaleur cédée par le méthane est intégralement absorbée par la source froide \mathrm{SF}_2 du réfrigérateur \mathrm{REF}_2. La puissance thermique \mathscr{P}_{\mathrm{th2}} reçue par \mathrm{SF}_2 s'exprime donc par :

En utilisant la relation établie à la question Q13, D_1 = \dfrac{D}{1 - x_g}, on peut également écrire :

Par définition de l'efficacité (ou coefficient de performance) du réfrigérateur \mathrm{REF}_2, le rendement électromécanique du moteur étant de 100\,\% :

On en déduit l'expression littérale de la puissance électrique à fournir à \mathrm{REF}_2 :

Application numérique : D'après les lectures sur le diagramme (P, h) pour le point 6 (P_6 = 100\text{ bar}, compression isentropique depuis l'état 5 où T_5 = 7^\circ\text{C}) et pour le point 7 (P_7 = 100\text{ bar}, T_7 = -63^\circ\text{C}) :

• h_6 \approx 180\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_7 \approx -480\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• d'où h_6 - h_7 \approx 660\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

Avec D_1 = 25\text{ g}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}025\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et \mathrm{Cop} = 5 :

On retrouve bien la valeur indiquée par l'énoncé.

L'installation globale consomme de la puissance sous forme mécanique et électrique sur trois postes distincts :

• la puissance mécanique \mathscr{P} fournie à l'arbre des trois compresseurs principaux C_1, C_2 et C_3, déterminée à la question 14 :

  \mathscr{P} = 19{,}2\text{ kW}

• la puissance électrique \mathscr{P}_{e1} alimentant le compresseur du premier réfrigérateur \mathrm{REF}_1, obtenue à la question 17 :

  \mathscr{P}_{e1} = 2{,}4\text{ kW}

• la puissance électrique \mathscr{P}_{e2} alimentant le compresseur du second réfrigérateur \mathrm{REF}_2, obtenue à la question 18 :

  \mathscr{P}_{e2} = 3{,}3\text{ kW}

Les rendements électromécaniques étant de 100\,\%, la puissance utile totale \mathscr{P}_{\mathrm{utile}} fournie depuis l'extérieur à l'ensemble du dispositif s'écrit :

Application numérique :

D'après la question 6, le taux de performance de l'installation s'exprime par le rapport entre la puissance minimale réversible \mathscr{P}_{\min} (calculée à la question 5 pour D = D_L = 10\text{ g}\cdot\text{s}^{-1}, soit \mathscr{P}_{\min} = 10{,}6\text{ kW}) et la puissance utile réelle consommée :

Application numérique :

Le transfert thermique à travers la paroi sphérique s'effectue par diffusion en régime stationnaire. La cuve métallique et l'isolant thermique constituent deux milieux conducteurs en série, traversés par le même flux thermique \Phi orienté de l'extérieur (température T_a) vers le GNL (température T_0 < T_a).

La résistance thermique équivalente totale est la somme des deux résistances en série :

Le flux thermique entrant dans la cuve s'écrit alors :

Pendant la durée du transport \Delta t, l'énergie thermique reçue par le GNL à la température d'ébullition T_0 est :

Cette énergie sert intégralement à vaporiser une masse M_{\mathrm{ev}} de GNL à la température de saturation T_0 sous P_0 = 1\text{ bar} :

Le taux d'évaporation x = \dfrac{M_{\mathrm{ev}}}{M_0} s'exprime donc par :

Par identification avec la relation proposée x = A \left[\dfrac{1}{1 + B\cdot e}\right], on obtient :

et

1. Domaines de définition et validité physique :

• Épaisseur de l'isolant e : Par définition d'une épaisseur, e \ge 0. De plus, la formule de la résistance thermique de l'isolant R_i = \frac{e}{4\pi\lambda_i b^2} repose sur l'hypothèse d'une couche mince : e \ll b = 10\text{ m}.
• Taux d'évaporation x : Mathématiquement, la fonction x(e) = \frac{100}{1 + 4\cdot 10^4\,e} est strictement positive, continue et strictement décroissante pour tout e \ge 0. Physiquement, le taux d'évaporation réel x = \frac{M_{\mathrm{ev}}}{M_0} ne peut excéder 1 (évaporation complète du chargement). La valeur x > 1 signifie simplement que la puissance thermique reçue est telle que la totalité du GNL s'évaporerait avant la fin du trajet de durée \Delta t.

2. Caractéristiques mathématiques de la courbe :

• Pour e = 0 (absence d'isolant) : x(0) = 100.
• Dérivée : x'(e) = -\frac{4\cdot 10^6}{(1 + 4\cdot 10^4\,e)^2} < 0, la fonction est strictement décroissante et convexe (x''(e) > 0).
• Pente à l'origine : x'(0) = -4\cdot 10^6\text{ m}^{-1}.
• Comportement asymptotique : \lim_{e \to +\infty} x(e) = 0 (asymptote horizontale d'équation x = 0).

• Valeur charnière x = 1 (évaporation intégrale) :

  1 + 4\cdot 10^4\,e = 100 \iff e = \frac{99}{4\cdot 10^4} \approx 2{,}5\cdot 10^{-3}\text{ m} = 2{,}5\text{ mm}

3. Représentation graphique :

Le cahier des charges impose que le taux d'évaporation vérifie :

La fonction x(e) étant strictement décroissante sur \mathbb{R}^+, cette condition se traduit par une épaisseur minimale e_0 telle que x(e_0) = x_0 :

En utilisant la relation numérique fournie à la question précédente (A = 100 et B = 4\cdot 10^4\text{ m}^{-1}) :

Comme 10^4 \gg 1, on a :

La couche isolante sphérique est délimitée par :

• sa paroi interne en contact avec la cuve métallique à r = b, où la température est égale à celle du GNL :

  T(b) = K_1 + \frac{K_2}{b} = T_0

• sa paroi externe en contact avec l'air ambiant à r = b + e, où la température vaut :

  T(b+e) = K_1 + \frac{K_2}{b+e} = T_a

En effectuant la différence membre à membre de ces deux relations, la constante K_1 s'élimine :

On en déduit l'expression exacte de la constante K_2 :

Puisque l'épaisseur d'isolant est très faible devant le rayon de la cuve (e \ll b), on effectue l'approximation au premier ordre b + e \approx b :

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique (ou vecteur densité de courant thermique) \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} au gradient local de température T au sein du matériau :

où :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité de flux thermique, exprimé en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} ;
• \lambda_i est la conductivité thermique du matériau, exprimée en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1} ;
• \vec{\mathrm{grad}}(T) est le gradient de température au point considéré, exprimé en \mathrm{K}\cdot\mathrm{m}^{-1}.

La cuve de transport ainsi que la couche de mousse isolante qui l'entoure présentent une géométrie à symétrie sphérique de centre O.

De plus, les conditions aux limites imposées sont uniformes sur chaque sphère :

• la surface interne de l'isolant (en r = b) est à la température uniforme T_0 ;
• la surface externe de l'isolant (en r = b+e) est à la température uniforme T_a.

Le système matériel et ses conditions aux limites sont donc invariants par toute rotation de centre O. Il en résulte que le champ scalaire de température ne dépend que de la distance radiale r au centre de la sphère :

Les dérivées partielles par rapport aux coordonnées angulaires sont donc identiquement nulles :

L'expression générale du gradient en coordonnées sphériques se simplifie donc immédiatement en :

Le vecteur unitaire \vec{u}_r est dirigé selon le rayon OM, orienté du centre O vers l'extérieur de la cuve.

Par définition, la résistance thermique R_i d'une paroi conductrice soumise à une différence de température \Delta T traversée en régime permanent par un flux thermique \Phi s'écrit :

Plaçons-nous en régime permanent, en l'absence de sources internes de chaleur dans l'isolant. L'équation locale de l'énergie impose \operatorname{div}\vec{\jmath}_{\mathrm{th}} = 0. Le flux thermique traversant une surface sphérique fermée de rayon r \in [b,\, b+e] est donc indépendant de r.

D'après les questions Q24 et Q25, la loi de Fourier en coordonnées sphériques s'écrit :

Comme T_a > T_0, la chaleur se propage de l'extérieur (r = b+e) vers l'intérieur (r = b), c'est-à-dire dans le sens opposé à \vec{u}_r. Le flux thermique reçu vers l'intérieur à travers une sphère de rayon r est algébriquement défini par :

En séparant les variables :

En intégrant à travers toute l'épaisseur de l'isolant, de la surface interne (r = b, où T = T_0) à la surface externe (r = b+e, où T = T_a) :

On en déduit l'expression exacte du flux thermique reçu par la cuve :

Par identification avec la définition R_i = \dfrac{T_a - T_0}{\Phi_{\text{entrant}}}, l'expression exacte de la résistance thermique d'une calotte sphérique est :

Sous l'hypothèse d'une couche isolante mince (e \ll b), on a b+e \approx b, d'où b(b+e) \approx b^2. On retrouve finalement l'expression fournie :