Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2020

Pour étudier le mouvement du palet, on choisit le référentiel terrestre, lié à la patinoire (ou au laboratoire), auquel le plan incliné est rigidement fixé.

La durée caractéristique de l'expérience (la phase de propulsion dure \Delta t = 0{,}5\text{ s}, et l'ensemble du mouvement quelques secondes) est extrêmement courte devant la période de rotation propre de la Terre sur elle-même :

Durant cet intervalle de temps, les effets liés à la rotation terrestre (forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis) sont totalement négligeables.

Le référentiel terrestre peut donc être considéré comme galiléen avec une excellente approximation.

Le système étudié est le palet, assimilé à son centre d'inertie G de masse m.

Durant la phase de propulsion, les frottements entre le palet et la glace étant supposés négligeables (\vec{R}_T = \vec{0}), le palet est soumis à trois forces extérieures :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;
• la réaction normale de la glace \vec{R}_N = R_N\,\vec{u}_y, perpendiculaire au plan incliné et orientée vers le haut ;
• la force de propulsion exercée par la crosse \vec{F} = F\,\vec{u}_x, parallèle au plan incliné et orientée selon la ligne de plus grande pente vers le haut.

On applique le principe fondamental de la dynamique au palet de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

En projetant cette relation vectorielle sur l'axe (Ox) orienté selon la ligne de plus grande pente vers le haut :

où a désigne l'accélération du palet selon l'axe (Ox).

On en déduit immédiatement l'expression de l'intensité de la force de propulsion F :

Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale (v(0) = 0), la vitesse à l'instant t s'écrit :

À la fin de la phase de propulsion, pour t = \Delta t = 0{,}5\text{ s}, le palet atteint la vitesse du record du monde v_1 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

D'après la relation établie à la question Q3, l'intensité de la force de propulsion exercée par le joueur s'écrit :

Application numérique :

• m = 160\text{ g} = 0{,}160\text{ kg} ;
• a = 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \sin(20^\circ) \cong 0{,}34 (aide au calcul).

On obtient :

En ne conservant que deux chiffres significatifs en accord avec les données :

Dans cette deuxième phase, le palet n'est plus en contact avec la crosse et les frottements restent négligés. Le système {palet} n'est soumis qu'à deux forces :

• le poids \vec{P} = m\vec{g}, dirigé verticalement vers le bas ;
• la réaction normale de la glace \vec{R}_N = R_N\,\vec{u}_y, orthogonale au plan incliné et orientée vers le haut.

Le vecteur vitesse du centre d'inertie s'écrit \vec{v} = \dot{x}\,\vec{u}_x avec \dot{x} > 0 lors de la montée. Étudions la puissance de chaque force :

• Réaction normale \vec{R}_N :
  \vec{R}_N est orthogonale à chaque instant au déplacement (\vec{R}_N \cdot \vec{v} = 0). Son travail est nul : cette force est sans effet sur le mouvement (elle n'accélère ni ne freine le palet).

• Poids \vec{P} :
  En projetant le poids dans la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y), on a \vec{P} = -mg\sin\alpha\,\vec{u}_x - mg\cos\alpha\,\vec{u}_y. La puissance développée vaut :

  \mathcal{P}(\vec{P}) = \vec{P}\cdot\vec{v} = -mg\dot{x}\sin\alpha < 0

  Le travail du poids est strictement négatif lors de la montée : le poids a un caractère résistant.

On étudie le palet de masse m assimilé à son centre d'inertie G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Dans cette deuxième phase, le palet n'est plus en contact avec la crosse (\vec{F} = \vec{0}) et les frottements restent négligés (\vec{R}_T = \vec{0}). Les forces appliquées sont le poids \vec{P} et la réaction normale de la glace \vec{R}_N.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur l'axe (Ox) orienté vers le haut de la pente, avec P_x = -mg\sin\alpha et R_{N,x} = 0, on obtient :

Le mouvement est rectiligne uniformément décéléré selon (Ox). En intégrant une première fois par rapport au temps :

À l'instant initial de cette deuxième phase (t=0), la vitesse est \dot{x}(0) = v_0, d'où C_1 = v_0 :

En intégrant une seconde fois :

En choisissant l'origine des positions à l'endroit où commence cette deuxième phase, soit x(0) = 0, la constante d'intégration vaut C_2 = 0. On en déduit l'expression du déplacement :

Méthode cinématique :

D'après la question précédente, la vitesse et la position du palet selon l'axe (Ox) au cours de la deuxième phase sont données par :

Le palet s'arrête à un instant noté t_a tel que sa vitesse s'annule :

La distance d parcourue avant l'arrêt correspond à la position x(t_a) :

On obtient bien :

Application numérique : avec v_0 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \sin(20^\circ) \cong 0{,}34 :

Non, les forces de frottement ne sont pas des forces conservatives : ce sont des forces dissipatives (ou non conservatives).

En effet :

• le travail d'une force de frottement dépend du chemin suivi reliant deux points donnés (il n'est pas nul sur une boucle fermée, mais au contraire strictement résistant) ;
• une force de frottement ne dérive d'aucune énergie potentielle ;
• au cours d'un glissement, la force de frottement dissipe l'énergie mécanique du système sous forme d'énergie thermique.

Le mouvement a lieu sur une surface horizontale. Choisissons un axe horizontal (Ox) dirigé dans le sens du déplacement du palet, de vecteur unitaire \vec{u}_x, et un axe vertical ascendant (Oy) de vecteur unitaire \vec{u}_y.

Le palet étant en glissement selon (Ox), la composante normale de la réaction du support est :

Le mouvement s'effectuant uniquement le long de l'axe horizontal, la projection du principe fondamental de la dynamique sur l'axe (Oy) donne :

D'après les lois de Coulomb (document 1), le palet étant en phase de glissement sur la glace, la norme de la composante tangentielle vaut :

La force de frottement s'opposant au glissement, son vecteur s'écrit :

Lors d'un déplacement d'une distance d dans le sens de \vec{u}_x, le vecteur déplacement est \vec{\Delta r} = d\,\vec{u}_x. Comme \vec{R}_T est constant au cours du mouvement, le travail s'écrit :

On applique le théorème de l'énergie cinétique au palet de masse m, modélisé par un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, entre l'instant initial (vitesse v_0 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et l'instant d'arrêt (vitesse nulle) :

Sur un plan horizontal, le poids \vec{P} et la réaction normale \vec{R}_N sont perpendiculaires au déplacement rectiligne, donc leurs travaux sont nuls :

D'après le résultat de la question Q9, le travail de la force de frottement dynamique s'écrit :

Le théorème de l'énergie cinétique donne ainsi :

Application numérique :

D'après le texte introductif, la patinoire mesure L = 60\text{ m} de long. Le nombre de longueurs de patinoire que le palet pourrait parcourir avant de s'arrêter est :

Le diagramme de phases (P, T) de l'eau est reproduit ci-dessous :

1. Identification des domaines d'existence :

• Domaine 1 : phase gaz (vapeur d'eau) ;
• Domaine 2 : phase liquide ;
• Domaine 3 : phase solide (glace) ;
• Domaine 4 : état ou domaine du fluide supercritique.

2. Identification des points caractéristiques :

Il correspond à la coexistence en équilibre des trois phases solide, liquide et gazeuse (T_{\text{t}} \approx 0{,}01\text{ }^\circ\text{C}, P_{\text{t}} \approx 6{,}11\text{ mbar}).

Il marque la fin de la courbe d'équilibre liquide-vapeur ; au-delà des coordonnées critiques (T_{\text{c}} \approx 374\text{ }^\circ\text{C}, P_{\text{c}} \approx 221\text{ bar}), il n'y a plus de transition de phase liquide-vapeur avec discontinuité d'état.

Deux causes physiques concourent à la formation de cette fine couche d'eau liquide :

• La fusion par surpression : la lame du patin présente une très faible surface de contact S. Sous l'effet du poids du joueur, la pression locale P \approx F/S exercée sur la glace devient considérable. Or, comme le montre le diagramme (P,T) (figure 6), la pente de la courbe de fusion de l'eau est négative \left(\dfrac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}T} < 0\right) du fait de l'anomalie dilatométrique de l'eau (V_{\text{m,liq}} < V_{\text{m,sol}}). Une augmentation de la pression entraîne donc un abaissement de la température de fusion en dessous de la température de la glace, ce qui provoque sa liquéfaction sous la lame.
• L'échauffement par frottement : lors du glissement du patin, l'énergie mécanique dissipée par les forces de frottement est convertie en énergie thermique. Cet apport de chaleur localisé à l'interface élève la température superficielle jusqu'au point de fusion et fait fondre une mince pellicule de glace.

Les trois modes de transfert thermique sont :

• La conduction (ou diffusion thermique) : transfert d'énergie thermique de proche en proche au sein de la matière, sous l'effet d'un gradient de température, sans déplacement macroscopique de matière ;
• La convection : transfert d'énergie thermique s'accompagnant d'un déplacement macroscopique de matière au sein d'un fluide (liquide ou gaz), qu'elle soit naturelle ou forcée ;
• Le rayonnement : transfert d'énergie thermique par émission et absorption d'ondes électromagnétiques, pouvant s'effectuer avec ou sans support matériel (y compris dans le vide).

D'après la loi de Fourier, pour un milieu isotrope de conductivité thermique \lambda, le vecteur densité de flux thermique (ou vecteur densité de courant thermique) \vec{j}_{\mathrm{th}} s'écrit de façon générale sous la forme :

Dans le cadre du problème, la température ne dépend dans l'espace que de la coordonnée x orientée selon le vecteur unitaire \vec{u}_x (dirigé vers le bas de la surface vers le fond du lac, d'après la figure 7).

Le gradient se réduit donc à la dérivée spatiale selon x, ce qui donne pour le vecteur densité de flux thermique au sein de la glace :

Considérons le système fermé constitué par la tranche de glace indilatable et incompressible située entre les plans d'abscisses x et x+\mathrm{d}x, d'aire transversale S, pendant la durée \mathrm{d}t comprise entre t et t+\mathrm{d}t.

1. Variation d'énergie interne du système :
Le volume de la tranche est \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x, soit une masse \mathrm{d}m = \rho\, S\,\mathrm{d}x. Pour un solide incompressible et indilatable de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'écrit :

2. Échange thermique au cours de l'intervalle \mathrm{d}t :
Le transfert thermique est unidimensionnel suivant l'axe (Ox), le flux s'effectuant uniquement à travers les parois perpendiculaires à (Ox) d'aire S. En notant j_{\mathrm{th}}(x,t) la composante algébrique du vecteur densité de flux thermique le long de \vec{u}_x (\vec{j}_{\mathrm{th}} = j_{\mathrm{th}}\,\vec{u}_x) :

• l'énergie thermique entrant par la face située en x vaut : \delta Q_{\mathrm{entrant}} = j_{\mathrm{th}}(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
• l'énergie thermique sortant par la face située en x+\mathrm{d}x vaut : \delta Q_{\mathrm{sortant}} = j_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

En l'absence de terme source interne d'énergie au sein de la glace, le transfert thermique net reçu par la tranche s'écrit :

3. Premier principe de la thermodynamique :
Le système étant indilatable, aucun travail des forces de pression n'est échangé (\delta W = 0). Le premier principe s'écrit ainsi :

En remplaçant par les expressions précédentes :

En simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient la relation différentielle locale :

D'après le bilan d'énergie établi à la question Q36, la relation différentielle locale régissant l'évolution de la température s'écrit :

où j_{\mathrm{th}}(x,t) est la composante algébrique du vecteur densité de flux thermique selon l'axe (Ox).

D'après la loi de Fourier rappelée à la question Q35 :

La conductivité thermique \lambda de la glace étant supposée constante et uniforme dans le milieu, sa dérivée spatiale est nulle. On a donc :

En injectant cette relation dans le bilan d'énergie, on obtient l'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle :

Dans le cadre de l'approximation quasi stationnaire (ARQS), la croissance de la couche de glace est un processus très lent devant le temps caractéristique de diffusion de la chaleur à travers la couche. Le profil spatial de température s'établit donc de façon quasi instantanée à chaque instant : le terme instationnaire dans l'équation de diffusion (4) est négligeable devant les termes de diffusion :

En intégrant par rapport à x à un instant t donné, on obtient une distribution de température affine avec l'espace :

où A(t) et B(t) sont deux fonctions du temps déterminées par les conditions aux limites :

• À la surface supérieure du lac (x = 0), en contact avec l'air :

  T(0,t) = T_0(t) \implies B(t) = T_0(t).

• À l'interface glace/eau liquide (x = L(t)), l'eau liquide et la glace sont en équilibre diphasique à la température de fusion T_E :

  T(L(t),t) = T_E \implies A(t)\, L(t) + T_0(t) = T_E \implies A(t) = \frac{T_E - T_0(t)}{L(t)}.

En injectant ces constantes dans l'expression de T(x,t), on obtient bien pour 0 \le x \le L(t) :

D'après l'expression du profil de température obtenue à la question Q38 :

le gradient spatial de température dans la couche de glace s'écrit, en tout point x \in [0, L(t)] :

D'après la loi de Fourier rappelée à la question Q35, la densité de flux thermique au sein de la glace selon l'axe (Ox) (orienté vers le bas) vaut :

Le flux thermique surfacique traversant la glace vers la surface libre en x = 0 (c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_x, de la glace vers l'air) est donc :

D'autre part, selon la loi de Newton fournie par l'énoncé, le flux thermique surfacique cédé par la glace à l'air en x=0 s'exprime par :

L'interface en x = 0 n'ayant pas de capacité thermique propre, il y a continuité du flux thermique à la traversée de cette surface :

En isolant L(t), on retrouve la relation demandée :

D'après le document 4, l'épaisseur minimale de glace recommandée est de :

• 15\text{ cm} pour la marche ou le patinage individuel ;
• 20\text{ cm} pour le patinage en groupe ou les jeux (cas d'un match ou d'un entraînement de hockey sur glace).

D'après le texte introductif, la température de l'air au-dessus du lac est T_A = -10\ ^\circ\mathrm{C}.

Sur la figure 8, la courbe correspondant à T_A = -10\ ^\circ\mathrm{C} (symbolisée par des croix) donne pour t = 20\text{ h} :

Même pour une température d'air extrême de -40\ ^\circ\mathrm{C}, l'épaisseur n'atteint qu'environ 0{,}16\text{ m} = 16\text{ cm}.

Dans tous les cas, et en particulier pour les conditions de l'étude (T_A = -10\ ^\circ\mathrm{C}), l'épaisseur de la glace (6{,}5\text{ cm}) est très inférieure aux 20\text{ cm} requis :

La vitesse de formation de la couche de glace correspond à la dérivée temporelle de son épaisseur, soit v_{\text{form}} = \dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}, ce qui correspond graphiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe L(t) à l'instant considéré.

1. Pour une même température de l'air T_A :

• Commentaire : Quelle que soit la valeur de T_A, la pente de la courbe L(t) est maximale au début (t = 0) puis diminue continûment au cours du temps (courbe concave). La vitesse de formation de la glace décroît donc au fur et à mesure que le temps s'écoule.
• Explication physique : La solidification à l'interface eau/glace (x = L(t)) libère de la chaleur latente qui doit être évacuée par conduction thermique à travers la couche de glace vers la surface libre (x = 0), puis par convection vers l'air. Au fur et à mesure que l'épaisseur L(t) croît, la résistance thermique de conduction de la glace, proportionnelle à L(t) (R_{\text{th, cond}} = \dfrac{L}{\lambda S}), augmente. La glace joue ainsi le rôle d'un isolant thermique grandissant : le flux thermique évacué diminue, ce qui freine la progression du front de solidification.

2. Pour différentes températures de l'air T_A :

• Commentaire : À tout instant t, la pente \dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} et l'épaisseur L(t) sont d'autant plus importantes que la température de l'air T_A est basse (la courbe pour -40\,^\circ\text{C} est située nettement au-dessus de celle pour -10\,^\circ\text{C}).
• Explication physique : L'écart de température global \Delta T = T_E - T_A entre l'eau liquide (T_E = 0\,^\circ\text{C}) et l'atmosphère extérieure constitue la force motrice du transfert thermique. Plus l'air est froid (T_A très négatif), plus le gradient thermique et le flux de chaleur extrait du système vers l'extérieur sont élevés. L'énergie issue du changement d'état est ainsi évacuée plus rapidement, ce qui accélère la formation de la glace.

À l'interface mobile x = L(t), l'eau liquide à la température T_{\mathrm{E}} se transforme en glace à la même température. Cette transformation est un changement d'état physique (la solidification de l'eau), qui libère de l'énergie thermique.

Le flux thermique extrait par conduction vers la surface évacue la chaleur libérée lors de la congélation de la masse infinitésimale de glace formée \mathrm{d}m = \rho\, S\,\mathrm{d}L pendant la durée \mathrm{d}t :

La grandeur indispensable manquante est donc l'enthalpie massique de fusion de la glace (ou chaleur latente massique de fusion de l'eau, notée \ell_{\mathrm{f}} ou L_{\mathrm{f}}, ou encore son opposée l'enthalpie massique de solidification \ell_{\mathrm{sol}} = -\ell_{\mathrm{f}}).

• Définition : L'enthalpie massique de fusion est l'énergie thermique qu'il faut fournir, à température et pression constantes, à une unité de masse d'un corps pur solide pour le faire passer entièrement à l'état liquide (ou, de manière équivalente, l'énergie thermique libérée par unité de masse lors de la solidification du liquide).
• Unité dans le SI : Elle s'exprime en joules par kilogramme, notée \mathrm{J\cdot kg^{-1}} (ou usuellement en \mathrm{kJ\cdot kg^{-1}}).

1. Énoncé du théorème du moment cinétique :

Dans un référentiel galiléen, pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe \Delta = (Oz) orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_z, le théorème du moment cinétique scalaire s'écrit :

où L_{\Delta} = J \dot{\theta} est le moment cinétique du solide par rapport à l'axe \Delta, J son moment d'inertie par rapport à cet axe et \sum \mathcal{M}_{\Delta}\big(\vec{F}_{\text{ext}}\big) la somme des moments scalaires des forces extérieures appliquées au solide par rapport à l'axe \Delta.

2. Bilan des actions extérieures appliquées à la crosse : On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le système étudié est la crosse de masse M.

• Action de la liaison pivot en O : la liaison étant supposée parfaite, elle n'exerce aucun couple résistant selon l'axe (Oz), d'où :

  \mathcal{M}_{\Delta}\big(\vec{R}_O\big) = 0
• Frottements de l'air : négligés d'après l'énoncé.

• Poids de la crosse : \vec{P} = M\vec{g} = M g \vec{u}_x (l'axe (Ox) étant orienté selon la verticale descendante), appliqué au centre d'inertie G.

  Le vecteur position du centre d'inertie s'écrit :

  \vec{OG} = h\cos\theta\,\vec{u}_x + h\sin\theta\,\vec{u}_y

  Le moment du poids par rapport au point O est donné par :

  \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) &= \vec{OG} \wedge \vec{P} \\ &= (h\cos\theta\,\vec{u}_x + h\sin\theta\,\vec{u}_y) \wedge (Mg\,\vec{u}_x) \\ &= - Mgh\sin\theta\,(\vec{u}_x \wedge \vec{u}_y) \\ &= - Mgh\sin\theta\,\vec{u}_z \end{aligned}

  puisque \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z. Le moment scalaire par rapport à l'axe (Oz) vaut donc :

  \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}) = \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P})\cdot \vec{u}_z = - Mgh\sin\theta

3. Équation différentielle du mouvement :

En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire selon l'axe (Oz) :

ce qui conduit immédiatement à la forme demandée :

La position d'équilibre stable de la crosse correspond à la verticale descendante, soit \theta_{\text{éq}} = 0.

Dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (|\theta| \ll 1\text{ rad}), on réalise un développement limité à l'ordre 1 :

En injectant cette approximation dans l'équation (1), J\ddot{\theta} + Mgh\sin\theta = 0, on obtient l'équation différentielle linéaire du mouvement, notée (2) :

que l'on peut également écrire sous la forme canonique de l'oscillateur harmonique :

D'après l'équation (2) établie à la question Q12, le mouvement de la crosse pour des oscillations de faible amplitude est régi par l'équation d'un oscillateur harmonique :

La pulsation propre du mouvement s'écrit donc :

La période T_0 des petites oscillations s'en déduit directement par la relation T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} :

L'équation différentielle (1) établie à la question Q11 s'écrit :

Multiplions cette relation par \dot{\theta} :

En reconnaissant des dérivées par rapport au temps :

L'équation se met donc sous la forme d'une dérivée temporelle nulle :

Par intégration par rapport au temps t, on obtient une intégrale première du mouvement, notée (3) :

Remarque : On peut également écrire cette relation sous la forme :

en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur à la position d'équilibre stable (\theta = 0).

D'après la question Q14, l'intégrale première du mouvement s'écrit :

1. Interprétation énergétique des différents termes :

• Le terme \dfrac{1}{2}J\dot{\theta}^2 représente l'énergie cinétique E_c du solide en rotation autour de l'axe fixe (Oz) avec la vitesse angulaire \dot{\theta}.

• Le terme -Mgh\cos\theta représente l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp} de la crosse (à une constante additive près). En effet, en repérant l'altitude z selon un axe vertical ascendant avec l'origine en O, le centre d'inertie G a pour altitude z_G = -h\cos\theta, soit :

  E_{pp} = M g z_G = -Mgh\cos\theta

• L'équation (3) traduit ainsi la conservation de l'énergie mécanique totale de la crosse :

  E_m = E_c + E_{pp} = \text{cte}

  Cette conservation est conforme aux hypothèses : la liaison pivot en O est parfaite et les frottements de l'air sont négligés, le système est donc conservatif.

2. Vérification de l'homogénéité dans le Système International d'unités (SI) :

Dans le SI, une énergie E a pour unité dérivée le joule (\text{J}). À partir de l'expression du travail d'une force (W = F \cdot d) et du principe fondamental de la dynamique (F = m a), sa dimension s'écrit :

L'unité SI de base d'une énergie est donc le \mathbf{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}.

• Pour le premier terme \dfrac{1}{2}J\dot{\theta}^2 :

  • Le moment d'inertie J s'exprime en \text{kg}\cdot\text{m}^2 ([J] = [M]\cdot[L]^2) ;
  • La vitesse angulaire \dot{\theta} s'exprime en \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}, le radian étant sans dimension ([\dot{\theta}] = [T]^{-1}).

  Ainsi :

  \left[\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2\right] = [M]\cdot[L]^2\cdot[T]^{-2} \implies \text{unité : } \mathbf{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}

• Pour le second terme Mgh\cos\theta :

  • La masse M s'exprime en \text{kg} ([M]) ;
  • L'accélération de pesanteur g s'exprime en \text{m}\cdot\text{s}^{-2} ([L]\cdot[T]^{-2}) ;
  • La distance h s'exprime en \text{m} ([L]) ;
  • Le cosinus est une grandeur adimensionnée.

  Ainsi :

  [Mgh\cos\theta] = [M]\cdot\left([L]\cdot[T]^{-2}\right)\cdot[L] = [M]\cdot[L]^2\cdot[T]^{-2} \implies \text{unité : } \mathbf{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}

D'après le portrait de phase de la figure 3, le mouvement est pendulaire (oscillatoire).

En effet :

• la trajectoire de phase reste localisée au voisinage de l'origine (0,0) : l'angle \theta reste borné entre une valeur minimale et une valeur maximale (il n'augmente ni ne diminue indéfiniment) ;
• la courbe coupe l'axe des abscisses (\dot{\theta} = 0), ce qui correspond à l'annulation de la vitesse angulaire aux points de rebroussement du mouvement ;
• dans un mouvement révolutif, le solide effectuerait des tours complets sans changer de sens de rotation, \dot{\theta} garderait un signe constant (sans s'annuler) et \theta croîtrait (ou décroîtrait) indéfiniment.

Au début de la partie II (et à la question Q11), le modèle reposait sur deux hypothèses simplificatrices :

• une liaison pivot en O supposée parfaite (absence de frottements mécaniques au niveau de l'axe) ;
• des frottements de l'air négligés.

Sous ces hypothèses conservatives, l'énergie mécanique se conserve (E_m = \text{cte}, question Q15), ce qui devrait conduire dans l'espace des phases (\theta, \dot{\theta}) à une trajectoire fermée (ellipse dans l'approximation des petites oscillations).

Or, l'observation du portrait de phase expérimental (figure 3) montre que :

• la trajectoire n'est pas une courbe fermée : elle forme une spirale qui converge vers le centre d'équilibre (0, 0) ;
• les amplitudes angulaire \theta_{\max} et de vitesse angulaire \dot{\theta}_{\max} diminuent à chaque oscillation.

Cela traduit une dissipation continue d'énergie mécanique au cours du temps.

Pour rendre compte des frottements (frottement visqueux de l'air ou frottement dans la liaison pivot), il faut introduire dans l'équation différentielle du mouvement un couple résistant s'opposant à la vitesse angulaire, classiquement modélisé sous la forme d'un terme proportionnel à \dot{\theta} :

C'est cette modification de l'équation (1) qui permet d'obtenir le portrait de phase de la figure 3.

Concernant l'évolution du tracé au cours du temps :

• Le point représentatif (\theta(t), \dot{\theta}(t)) parcourt la trajectoire dans le sens horaire, puisque \theta croît quand \dot{\theta} > 0 (demi-plan supérieur, \dot{\theta} > 0 \implies \text{déplacement vers la droite}) et décroît quand \dot{\theta} < 0 (demi-plan inférieur, \dot{\theta} < 0 \implies \text{déplacement vers la gauche}).
• En raison de la dissipation continue d'énergie mécanique, l'amplitude des oscillations diminue : la trajectoire s'enroule en une spirale convergeant vers l'origine (\theta = 0, \dot{\theta} = 0), qui constitue un point d'équilibre stable (puits ou foyer attracteur).

Le fluide est supposé incompressible. Par définition du débit volumique D_v à travers une section droite S de conduite circulaire de diamètre d :

On en déduit l'expression de la vitesse moyenne d'écoulement :

Application numérique :

• D_v = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}
• d = 60\text{ mm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m}

D'après le document 6, le nombre de Reynolds associé à l'écoulement dans une conduite cylindrique s'exprime par :

où :

• v \approx 0{,}53\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est la vitesse moyenne du fluide calculée à la question Q43 (avec v = \dfrac{5}{3\pi}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
• d = 60\text{ mm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} est le diamètre intérieur des tubes ;
• \rho_f = 1{,}1 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est la masse volumique du fluide frigoporteur ;
• \eta = 2{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-1} est sa viscosité dynamique.

L'application numérique donne :

(ou plus précisément R_e = \dfrac{5500}{\pi} \approx 1{,}75 \cdot 10^3).

D'après le critère donné dans le document 6 :

Le nombre de Reynolds étant strictement inférieur au seuil de 2\,000, l'écoulement dans les tubes rectilignes du réseau est bien laminaire.

Dans une conduite cylindrique rectiligne en écoulement laminaire, stationnaire et établi d'un fluide newtonien (écoulement de Poiseuille cylindrique) :

• la vitesse du fluide est nulle aux parois en raison de la condition d'adhérence : v(r = R) = 0 ;
• la vitesse est maximale sur l'axe de la conduite (r=0) : v(0) = v_{\max} = 2v ;

• le profil d'écoulement présente une symétrie axiale et suit une loi parabolique :

  v(r) = v_{\max} \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)

  où r est la distance à l'axe de symétrie et R = d/2 est le rayon intérieur de la conduite.

1. Conditions générales d'application du théorème de Bernoulli

La relation de Bernoulli sous la forme indiquée s'applique pour :

• un écoulement en régime stationnaire (ou permanent) ;
• un fluide parfait (viscosité négligeable, c'est-à-dire sans frottements visqueux, ce qui est le cas hors de la couche limite) ;
• un fluide incompressible et homogène (\rho_f = \text{constante}) ;
• des forces de volume dérivant d'un potentiel (ici, pesanteur uniforme) ;
• le long d'une même ligne de courant (ou dans tout le volume fluide si l'écoulement est irrotationnel).

2. Expression entre l'entrée et la sortie du réseau

En notant l'indice 1 pour l'entrée et l'indice 2 pour la sortie :

3. Simplification de l'expression

• Le réseau de tuyauteries est posé horizontalement sur un « sol plat, ferme et nivelé », donc les altitudes d'entrée et de sortie sont identiques :

  z_1 = z_2

• Le fluide est incompressible et le diamètre du tube est constant d'un bout à l'autre de la conduite (d_1 = d_2 = d = 60\text{ mm}, soit une section droite constante S_1 = S_2 = S). Par conservation du débit volumique D_v = S_1 V_1 = S_2 V_2 :

  V_1 = V_2

En simplifiant les termes cinétiques et de pesanteur dans le théorème de Bernoulli, il vient directement :

soit :

Dans un fluide réel avec dissipation visqueuse, le théorème de Bernoulli généralisé s'écrit entre l'entrée (point 1) et la sortie (point 2) du réseau sous la forme :

où \Delta h représente la variation de charge totale (en mètres de fluide).

D'après les hypothèses établies à la question précédente :

• le tapis glacier repose sur un sol horizontal et nivelé, d'où z_1 = z_2 ;
• la conduite a une section constante et le fluide est incompressible, donc la conservation du débit impose V_1 = V_2.

L'expression se simplifie donc en :

Effectuons l'application numérique avec \rho_f = 1{,}1 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \Delta h = -0{,}30\text{ m} :

La pression en sortie s'élève donc à :

Calculons la proportion de pression restante :

Pour que le refroidissement soit convenablement assuré, l'énoncé impose la condition suivante :

Comme P_2 \approx 2{,}97\text{ bar} > 2{,}7\text{ bar} (la chute de pression n'est que de l'ordre de 1{,}1\%), la condition est très largement respectée.

1. Schématisation de la situation

Le technicien met en place une sonde de Pitot en perçant la canalisation :

• Le tube droit est raccordé perpendiculairement à la paroi de la conduite : il mesure la pression statique P du fluide ;
• Le tube coudé est inséré de façon à ce que son ouverture débouche au centre de l'écoulement, face au fluide : le fluide y est arrêté en un point d'arrêt A, le tube mesure donc la pression d'arrêt (ou pression totale) P_A = P_t.

2. Relations et calculs théoriques

On applique le théorème de Bernoulli le long d'une ligne de courant horizontale (z = \text{cte}) reliant un point amont non perturbé (où la vitesse est v et la pression P) au point d'arrêt A situé à l'entrée du tube coudé (où la vitesse est nulle et la pression P_A) :

Dans chacun des tubes manométriques verticaux ouverts à la pression atmosphérique P_{\text{atm}}, la loi de la statique des fluides s'écrit (en notant z_0 la cote de l'axe de la conduite) :

La différence de pression s'exprime donc en fonction de la dénivellation \Delta h = h_2 - h_1 mesurée à la règle graduée :

En égalant les deux expressions :

3. Problème rencontré lors de la réalisation

La pression absolue à l'intérieur du réseau vaut environ P_1 = 3{,}0\text{ bar} = 3{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa}. La pression atmosphérique extérieure est P_{\text{atm}} \approx 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa}.

Si les tubes sont ouverts à l'air libre, la hauteur de fluide H nécessaire pour équilibrer la surpression relative \Delta P = P_1 - P_{\text{atm}} = 2{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa} est donnée par la statique des fluides :

Les tubes dont dispose le technicien ne mesurent évidemment pas une vingtaine de mètres : dès que la paroi sera percée et les tubes insérés, le fluide sous pression va violemment jaillir hors des tubes (effet geyser), inondant l'installation de fluide frigorigène sans qu'aucune mesure de dénivellation ne soit possible avec la règle graduée. De plus, percer une conduite sous 3\text{ bar} présente un réel danger pour l'opérateur.

Dans la notation usuelle d'un noyau ou d'un atome {}_{Z}^{A}\mathrm{X} :

• Z représente le numéro atomique (nombre de protons) ;
• A représente le nombre de masse (nombre total de nucléons, c'est-à-dire protons et neutrons).

Pour l'atome de fer {}_{26}^{56}\mathrm{Fe} :

• Le nombre de protons est donné directement par Z :

  N_p = Z = 26

• Le nombre de neutrons N_n correspond à la différence entre le nombre de masse A et le numéro atomique Z :

  N_n = A - Z = 56 - 26 = 30

• L'atome étant électriquement neutre, le nombre d'électrons N_{e^-} est égal au nombre de protons :

  N_{e^-} = Z = 26

L'établissement de la configuration électronique fondamentale repose sur :

• Le principe de stabilité (ou d'énergie minimale) : les électrons occupent les niveaux d'énergie disponibles les plus bas possibles.

• La règle de Klechkowski : les sous-couches se remplissent par ordre croissant de la somme n + \ell, et en cas d'égalité, par ordre de n croissant. L'ordre de remplissage est ainsi :

  1s \rightarrow 2s \rightarrow 2p \rightarrow 3s \rightarrow 3p \rightarrow 4s \rightarrow 3d \rightarrow \dots
• Le principe d'exclusion de Pauli : deux électrons d'un même atome ne peuvent avoir leurs quatre nombres quantiques identiques ; une orbitale atomique (définie par n, \ell, m_\ell) peut donc contenir au plus 2 électrons de spins opposés.
• La règle de Hund : pour des orbitales de même énergie (dégénérées, comme les cinq orbitales de la sous-couche 3d), les électrons occupent d'abord le maximum d'orbitales avec des spins parallèles afin de maximiser le spin total.

Pour le fer (Z = 26), on répartit 26 électrons :

ou, en faisant apparaître le cœur de gaz rare de l'argon ([\text{Ar}], Z = 18) :

Le fer \alpha (structure cubique centrée) et le fer \gamma (structure cubique à faces centrées) sont deux structures cristallines différentes d'un même corps simple (l'élément fer) dans le même état physique solide. Ces différentes formes sont appelées des variétés allotropiques.

Le passage d'une variété cristalline à une autre s'appelle donc une transformation allotropique (ou transition allotropique, ou encore transition de phase solide-solide).

Dans une structure cubique à faces centrées (cfc) représentée sur la figure 4, les atomes de fer occupent :

• les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes et comptant donc pour une fraction \frac{1}{8} ;
• les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes et comptant pour une fraction \frac{1}{2}.

Le nombre d'atomes de fer appartenant en propre à une maille est ainsi :

La maille cubique de paramètre a possède un volume :

Elle contient N = 4 atomes de fer (d'après la question Q22). La masse d'un atome étant \frac{M(\text{Fe})}{N_{\mathrm{A}}}, la masse d'une maille est :

La masse volumique \rho du fer \gamma s'exprime donc par le rapport de la masse de la maille sur son volume :

On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

Pour le fer \gamma, le document 2 donne \rho = 7{,}6\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}. Avec M(\text{Fe}) = 56\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et N_{\mathrm{A}} = 6{,}0\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

D'après l'aide au calcul fournie en page 18 :

Soit, en convertissant en mètres (1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m}) :

Considérons une face carrée de la maille cubique de côté a. La longueur de sa diagonale vaut :

Le long de cette diagonale, deux atomes situés aux sommets opposés encadrent l'atome situé au centre de la face. La condition de tangence s'écrit :

On en déduit l'expression du rayon atomique du fer \gamma :

D'après le résultat de la question Q23, le paramètre de maille vaut a = 3{,}7 \cdot 10^{-10}\text{ m}. En utilisant l'aide au calcul \dfrac{3{,}7}{\sqrt{2}} \cong 2{,}6 (ou 3{,}7 \times \sqrt{2} \cong 5{,}2) :

Le rayon d'un atome de fer \gamma est donc bien d'environ 1{,}3 \cdot 10^{-10}\text{ m}.

Dans une structure cubique à faces centrées (CFC), les sites interstitiels octaédriques sont localisés :

• au centre du cube (de coordonnées réduites (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})) ;
• au milieu de chacune des 12 arêtes de la maille.

Le nombre de sites octaédriques en propre par maille est donc :

Il y a autant de sites octaédriques que de motifs de fer dans la maille CFC (N = 4).

Considérons le site octaédrique situé au milieu d'une arête de la maille cubique de côté a. Ce site est encadré par deux atomes de fer situés aux deux sommets délimitant cette arête.

Pour qu'un atome étranger sphérique de rayon r puisse s'insérer dans ce site sans repousser les atomes de fer (c'est-à-dire sans dilater la maille), les sphères doivent être au maximum tangentes le long de l'arête :

Le rayon maximal d'insertion r_{\max} (ou rayon d'habitabilité du site octaédrique) vérifie donc :

D'après la question Q24, la tangence des atomes de fer le long de la diagonale d'une face impose a = 2\sqrt{2}\,R_{\text{Fe}}, ce qui permet également d'écrire :

Application numérique : En utilisant a = 3{,}7 \cdot 10^{-10}\text{ m} (Q23) et R_{\text{Fe}} \cong 1{,}3 \cdot 10^{-10}\text{ m} (Q24) :

ou, avec le rapport d'habitabilité \sqrt{2}-1 \cong 0{,}414 :

D'après le document 3, le rayon de l'atome de carbone vaut :

D'après la question Q26, le rayon maximal sans déformation d'un site octaédrique est :

On constate ainsi que :

L'atome de carbone étant plus gros que la taille disponible dans le site interstitiel au repos, son insertion entraîne :

• À l'échelle microscopique : une distorsion locale (dilatation élastique) du réseau cristallin du fer autour du site occupé.
• À l'échelle macroscopique : un champ de contraintes résiduelles qui entrave le déplacement des dislocations (durcissement par solution solide d'insertion). Comme indiqué dans le document 2, cela diminue les possibilités de déformation plastique, conférant à l'acier une dureté et une résistance mécanique accrues par rapport au fer pur.

Déterminons le nombre d'oxydation (n.o.) de l'élément fer dans chaque espèce :

• pour le fer métallique \mathrm{Fe(s)} : \mathrm{n.o.(Fe)} = 0 ;
• pour le cation ferreux \mathrm{Fe}^{2+}(\mathrm{aq}) et le précipité d'hydroxyde de fer(II) \mathrm{Fe(OH)}_2(\mathrm{s}) : \mathrm{n.o.(Fe)} = +\mathrm{II} ;
• pour le cation ferrique \mathrm{Fe}^{3+}(\mathrm{aq}) et le précipité d'hydroxyde de fer(III) \mathrm{Fe(OH)}_3(\mathrm{s}) : \mathrm{n.o.(Fe)} = +\mathrm{III}.

1. Classement selon le potentiel (axe vertical) :

• Le domaine situé tout en bas du diagramme correspond au degré d'oxydation le plus faible (0) : le domaine C est donc attribué au fer métallique \mathrm{Fe(s)}.
• Les domaines intermédiaires correspondent au degré d'oxydation +\mathrm{II} : il s'agit des domaines B et E.
• Les domaines supérieurs correspondent au degré d'oxydation le plus élevé (+\mathrm{III}) : il s'agit des domaines A et D.

2. Classement selon le pH (axe horizontal) : L'augmentation du pH favorise la précipitation des hydroxydes métalliques par apport d'ions hydroxyde \mathrm{HO}^-. Les cations libres sont donc stables à pH acide (à gauche), tandis que les hydroxydes sont stables à pH plus basique (à droite) :

• Au degré d'oxydation +\mathrm{II} :

  \mathrm{Fe}^{2+}(\mathrm{aq}) + 2\,\mathrm{HO}^-(\mathrm{aq}) = \mathrm{Fe(OH)}_2(\mathrm{s})

  \mathrm{Fe}^{2+} est présent à pH plus acide que \mathrm{Fe(OH)}_2. Ainsi, le domaine B correspond à \mathrm{Fe}^{2+}(\mathrm{aq}) et le domaine E à \mathrm{Fe(OH)}_2(\mathrm{s}).

• Au degré d'oxydation +\mathrm{III} :

  \mathrm{Fe}^{3+}(\mathrm{aq}) + 3\,\mathrm{HO}^-(\mathrm{aq}) = \mathrm{Fe(OH)}_3(\mathrm{s})

  \mathrm{Fe}^{3+} est présent à pH plus acide que \mathrm{Fe(OH)}_3. Ainsi, le domaine A correspond à \mathrm{Fe}^{3+}(\mathrm{aq}) et le domaine D à \mathrm{Fe(OH)}_3(\mathrm{s}).

On retrouve bien l'identification demandée :

D'après la question précédente, l'espèce \text{B} est l'ion fer(II) \mathrm{Fe^{2+}_{(aq)}} et l'espèce \text{C} est le fer métallique \mathrm{Fe_{(s)}}.

La demi-équation d'oxydoréduction s'écrit :

D'après la formule de Nernst à 25\text{ }^\circ\mathrm{C} (en prenant \frac{RT}{F}\ln 10 \approx 0{,}059\text{ V} \approx 0{,}06\text{ V}) :

avec c^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} la concentration standard et l'activité du fer solide égale à 1.

Par convention de tracé du diagramme potentiel-pH (précisée sous la figure 5), la concentration totale en espèce dissoute à la frontière solide-soluté vaut :

Le potentiel de la frontière horizontale séparant les domaines \text{B} et \text{C} s'exprime donc par :

Sur l'axe des ordonnées de la figure 5, on lit directement le potentiel de cette frontière horizontale :

On en déduit la valeur du potentiel standard :

D'après la question Q28, l'espèce B est l'ion \text{Fe}^{2+}_{(\text{aq})} et l'espèce E est le solide \text{Fe(OH)}_{2\text{(s)}}.

La frontière entre ces deux domaines correspond à l'équilibre de dissolution/précipitation de l'hydroxyde de fer(II) :

À l'équilibre, le produit de solubilité s'écrit :

Par convention, sur la frontière entre une espèce dissoute et un solide, la concentration en soluté dissous est égale à la concentration de tracé imposée par l'énoncé, soit :

Sachant que \left[\text{HO}^-\right] = \dfrac{K_e}{\left[\text{H}_3\text{O}^+\right]} = \dfrac{K_e}{10^{-\text{pH}}}, l'expression du produit de solubilité devient :

En prenant le logarithme décimal :

Application numérique avec K_e = 10^{-14}, K_{S1} = 10^{-15} et c_{\text{tr}} = 10^{-1}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1} :

Ce résultat est en parfait accord avec la lecture graphique de la figure 5, où la frontière verticale séparant B et E se situe exactement à l'abscisse médiane entre 0 et 14.

1. Avantages de l'acier par rapport au fer pur

D'après le document 2, le fer pur présente une faible résistance à la traction et une faible dureté, ce qui le rend sujet aux déformations plastiques. Or, les cages de hockey doivent résister à des impacts répétés de palets lancés à des vitesses très élevées (jusqu'à 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, soit plus de 180\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}).

L'acier est un alliage d'insertion fer-carbone : l'insertion d'atomes de carbone dans les sites interstitiels du fer (étudiée en Q27) déforme le réseau cristallin et entrave le déplacement des dislocations. Cela confère à l'acier :

• une dureté et une limite d'élasticité nettement supérieures ;
• une forte résistance mécanique aux chocs violents et à la déformation permanente, garantissant l'intégrité de la structure des cages.

2. Nécessité de peindre les cages

D'après le document 2, le fer et les aciers non inoxydables sont très peu résistants à la corrosion.

Sur le diagramme potentiel-pH (figure 5) :

• Le domaine d'immunité du fer métallique \mathrm{Fe(s)} (domaine C) est situé entièrement sous les droites en pointillés délimitant le domaine de stabilité de l'eau (couples \mathrm{O_2/H_2O} à potentiel élevé et \mathrm{H^+/H_2} à potentiel plus bas).

• En contact avec la glace (présence inévitable d'un film d'eau liquide, comme vu en Q33) et exposé au dioxygène de l'air ambiant, le fer est dans une situation de corrosion thermodynamiquement spontanée :

  4\,\mathrm{Fe(s)} + 3\,\mathrm{O_2(g)} + 6\,\mathrm{H_2O(\ell)} \longrightarrow 4\,\mathrm{Fe(OH)_3(s)}

  Les produits formés (tels que l'hydroxyde de fer(III) \mathrm{Fe(OH)_3}, domaine D, constituant majeur de la rouille) sont poreux et non passivants : la dégradation du matériau se poursuit en profondeur.

L'application d'une couche de peinture forme un revêtement protecteur étanche (protection par barrière physique) qui empêche le contact direct du métal avec l'eau et le dioxygène de l'air, protégeant ainsi durablement les cages de la corrosion.

D'après le document 7, l'éthylène glycol est totalement miscible à l'eau et peu volatil : il se disperse ainsi préférentiellement dans les eaux de surface et souterraines (ruissellement des zones aéroportuaires, rejets industriels).

Dans ces milieux, sa dégradation rapide par des microorganismes s'accompagne d'une forte consommation de dioxygène dissous (demande biochimique en oxygène élevée), conduisant à une hypoxie voire une anoxie des eaux réceptrices, létale pour la faune aquatique.

Par conséquent, le milieu naturel le plus susceptible de subir les effets néfastes de l'éthylène glycol est le milieu aquatique (eaux douces de surface et eaux souterraines).

L'équation de la réaction étudiée est :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de cette réaction s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ des réactifs et des produits :

En utilisant les valeurs du tableau des Données 2 :

• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{C_2H_6O_2(g)}) = -392\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{C_2H_4O(g)}) = -51{,}0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_{\mathrm{f}} H^\circ(\mathrm{H_2O(g)}) = -285\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

On obtient :

D'après le résultat de la question précédente (Q50), l'enthalpie standard de la réaction d'hydrolyse de l'oxyde d'éthylène vaut :

L'enthalpie standard de réaction étant strictement négative, la transformation s'accompagne d'une libération d'énergie thermique vers le milieu extérieur à température et pression constantes (Q_P = \Delta H < 0).

La relation de Van 't Hoff relie la constante d'équilibre K à la température T :

Les enthalpies standard de formation étant supposées indépendantes de la température (approximation d'Ellingham), l'enthalpie standard de réaction \Delta_{\mathrm{r}}H^\circ est constante sur l'intervalle de température [T_1, T_2].

En intégrant la relation entre l'état à la température T_1 (constante K_1) et l'état à la température T_2 (constante K_2), on obtient :

En composant par la fonction exponentielle, on en déduit l'expression de la constante K_2 :