Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MPI 2025

En négligeant les effets de bord, l'armature mobile en x = X(t) est assimilée à un plan infini perpendiculaire à \vec{u}_x, portant la charge +Q uniformément répartie sur la surface S, soit une densité surfacique de charge :

Symétries et invariances :

• La distribution est invariante par toute translation parallèlement au plan (Oyz). En coordonnées cartésiennes, le champ ne dépend donc que de la coordonnée x : \vec{E}_1 = \vec{E}_1(x).

• Tout plan orthogonal au plan (Oyz) et contenant la normale \vec{u}_x est un plan de symétrie de la distribution. Le champ électrique appartient à l'intersection de ces plans de symétrie, donc il est purement dirigé selon la normale :

  \vec{E}_1(x) = E_{1,x}(x)\,\vec{u}_x

• Le plan x = X est un plan de symétrie de la distribution de charge, d'où la relation d'antisymétrie pour la composante normale :

  E_{1,x}(X + \delta x) = - E_{1,x}(X - \delta x) \quad (\delta x > 0)

Théorème de Gauss : Considérons une surface cylindrique fermée d'axe (Ox), de section droite d'aire S_c, comprise entre deux plans d'abscisses symétriques X - \delta x et X + \delta x.

• Le flux à travers la surface latérale est nul car \vec{E}_1 \cdot \vec{n}_{\text{ext}} = 0.

• Le flux sortant total s'écrit :

  \Phi = E_{1,x}(X + \delta x)S_c - E_{1,x}(X - \delta x)S_c = 2\,E_{1,x}(X + \delta x)S_c
• La charge intérieure est Q_{\text{int}} = \sigma S_c = \frac{Q}{S} S_c.

D'après le théorème de Gauss :

Par antisymétrie, on en déduit l'expression du champ électrique \vec{E}_1 dans tout l'espace :

L'armature fixe située en x = d porte la charge -Q(t), soit une densité surfacique de charge uniforme \sigma_2 = -Q(t)/S. Par analogie directe avec le résultat de la question Q1, le champ électrique \vec{E}_2 créé par cette seule armature s'écrit :

Entre les deux armatures, c'est-à-dire pour X(t) < x < d, le principe de superposition donne le champ électrique total :

(on vérifie par ailleurs que le champ total est nul en dehors de l'espace inter-armatures).

Le potentiel électrostatique V(x) vérifie la relation :

En intégrant entre x et d, et compte tenu de la condition au potentiel nul de l'électrode fixe (V(d) = 0) :

Le potentiel en tout point situé entre les armatures s'écrit donc :

L'armature mobile étant maintenue au potentiel constant V_0, on a V(X(t)) = V_0 :

(ce qui permet aussi d'exprimer le potentiel sous la forme V(x) = V_0\,\frac{d - x}{d - X(t)}).

Par définition de la capacité d'un condensateur, Q(t) = C(t)\,(V(X) - V(d)) = C(t)\,V_0, d'où :

D'après la question Q2, le condensateur présente à chaque instant une capacité :

Comme l'armature fixe en x=d est au potentiel nul et l'armature mobile en x=X(t) est maintenue au potentiel constant V_0, la tension aux bornes du condensateur est constante et égale à V_0. La charge portée par l'armature mobile s'écrit donc :

D'après l'orientation du circuit sur la figure 1, le courant fléché i(t) arrive sur l'armature mobile de charge +Q(t) en sortie du générateur de tension. La conservation de la charge électrique impose ainsi :

La tension V_0 étant constante, il vient par dérivation d'une fonction composée :

On obtient bien la relation cherchée i(t) = K(X) \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} avec :

L'armature mobile, portant la charge totale +Q, est située en x = X < d. Elle est soumise au champ électrique \vec{E}_2 créé par l'armature fixe située en x = d. D'après la question Q2, pour x < d :

La résultante des forces électrostatiques s'exerçant sur l'armature mobile est donc :

D'après la question Q2, la charge s'écrit Q = C(X)V_0 = \frac{\varepsilon_0 S V_0}{d - X}. En injectant cette relation, on obtient la composante algébrique F_e(X) :

Le mouvement de la membrane étant unidimensionnel le long de l'axe (Ox), le travail élémentaire de la force électrique lors d'un déplacement \mathrm{d}X s'écrit :

Comme F_e ne dépend que de la position X, la forme différentielle F_e(X)\,\mathrm{d}X est toujours exacte : la force \vec{F}_e est donc conservative. Elle dérive d'une énergie potentielle E_p(X) définie à une constante additive près par :

L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur s'écrit :

En dérivant cette expression par rapport à X, on constate que :

En rapprochant cette égalité de F_e(X) = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}X}, on obtient :

En fixant conventionnellement la constante d'intégration à zéro, il vient :

Soit O_1 le premier orifice situé à la distance x_1 de la membrane \mathrm{M}, et O_2 le second orifice situé en x_2 = x_1 + d. L'onde incidente, supposée plane à grande distance, se propage à la célérité c_a dans une direction faisant un angle \theta avec l'axe (Ox) du tube.

Différence de marche entre les deux trajets : Considérons une surface d'onde incidente plane \Sigma. D'après le théorème de Malus, tous les points de cette surface d'onde sont en phase.

• À l'extérieur du tube : le front d'onde atteint l'orifice O_2 avant O_1. La distance supplémentaire que l'onde doit parcourir dans l'air extérieur pour atteindre O_1 vaut :

  \Delta L_{\text{ext}} = d \cos\theta

• À l'intérieur du tube : après diffraction au niveau de chaque orifice, les ondes se propagent le long de l'axe (Ox) vers la membrane \mathrm{M} (située en amont, du côté des x décroissants). L'onde entrée en O_2 doit donc parcourir la distance d = O_1 O_2 supplémentaire dans le tube pour atteindre O_1 puis \mathrm{M} :

  \Delta L_{\text{int}} = d

Le chemin acoustique total parcouru par l'onde passant par O_2 dépasse donc celui de l'onde passant par O_1 de la différence de marche :

Expression des amplitudes complexes : Avec la convention temporelle en \mathrm{e}^{j\omega t}, la propagation d'une onde sur une distance L s'accompagne d'un terme de phase \mathrm{e}^{-j k L} avec le nombre d'onde k = \frac{\omega}{c_a} = \frac{2\pi f}{c_a}.

L'onde parvenant en \mathrm{M} par l'orifice O_2 présente donc par rapport à celle passant par O_1 un retard de phase :

On en déduit immédiatement la relation liant les amplitudes complexes en \mathrm{M} :

avec :

Pour N = 2, le signal acoustique reçu en \mathrm{M} est la superposition des ondes issues des deux orifices :

En factorisant par l'exponentielle de l'arc moitié :

L'intensité acoustique reçue en \mathrm{M} est donnée par la moyenne temporelle I_{\text{tot}} = |\underline{p}_{\text{tot}}|^2. Comme |\underline{p}_1|^2 = p_0^2 = I_0, on obtient :

On identifie ainsi l'intensité sous la forme demandée I_{\text{tot}} = I_0 f_2(\varphi) avec :

Commentaires sur la fonction f_2 :

• Formule d'interférences à deux ondes : On retrouve la formule classique d'interférences à deux ondes cohérentes de même amplitude (formule de Fresnel).
• Périodicité : La fonction f_2 est paire et 2\pi-périodique en \varphi.
• Interférences constructives : Lorsque \varphi \equiv 0 \pmod{2\pi}, f_2(\varphi) = 4, soit I_{\text{tot}} = 4I_0. En particulier, pour une onde arrivant dans l'axe du tube (\theta = 0), on a \varphi = 0 : les deux ondes arrivent en phase en \mathrm{M}, leurs amplitudes de pression s'ajoutent constructivement, conférant un gain d'un facteur 4 en intensité.
• Interférences destructives : Lorsque \varphi \equiv \pi \pmod{2\pi}, f_2(\varphi) = 0, d'où I_{\text{tot}} = 0. Il y a extinction complète du signal sonore pour les directions d'incidence correspondantes.

D'après la question Q5, les ondes issues des N=4 orifices parviennent en \mathrm{M} avec des déphasages successifs réguliers de \varphi :

L'amplitude complexe totale s'écrit donc :

En utilisant la formule d'Euler ou la factorisation par l'arc moitié :

On en déduit immédiatement pour u = \varphi et u = 2\varphi :

Puisque I_0 = |\underline{p}_1|^2 = p_0^2, on obtient bien :

En explicitant avec les cosinus :

• Période \psi : La fonction \varphi \mapsto \cos^2(\varphi/2) est de période 2\pi, tandis que \varphi \mapsto \cos^2(\varphi) est de période \pi. Le produit est donc périodique de période \psi = 2\pi. En effet, pour \varphi = 0, I_{\text{tot}} = 16 I_0, alors que pour \varphi = \pi, I_{\text{tot}} = 0, ce qui confirme que la plus petite période non nulle est :

  \boxed{\psi = 2\pi}

• Valeur maximale I_{\text{max}} : Les fonctions cosinus étant bornées par 1, le maximum est atteint lorsque \cos^2(\varphi/2) = 1 et \cos^2(\varphi) = 1, c'est-à-dire pour \varphi \equiv 0 \pmod{2\pi} :

  \boxed{I_{\text{max}} = 16 I_0}

Commentaires physiques :

• Période \psi = 2\pi : Un déphasage \Delta\varphi = 2\pi correspond à une variation de différence de marche entre orifices consécutifs égale à une longueur d'onde acoustique (\Delta\delta = \lambda = c_a/f). L'état vibratoire relatif des ondes est alors strictement invariant par translation spatiale d'une longueur d'onde.
• Intensité maximale I_{\text{max}} = 16 I_0 = N^2 I_0 : Pour \varphi = 0, les N=4 ondes acoustiques interfèrent de manière totalement constructive. Les amplitudes de pression s'additionnent en phase (p_{\text{tot}} = 4 p_0). L'intensité étant quadratique en amplitude, elle vaut p_{\text{tot}}^2 = (4 p_0)^2 = 16 I_0.

D'après la figure 4, l'axe vertical comporte 5 graduations entre 0 et I_{\max} : chaque subdivision représente 0{,}20\,I_{\max}. La première ligne horizontale correspond donc exactement au seuil de 20\,\%.

L'axe horizontal présente 8 graduations entre 0 et \psi = 2\pi, soit un pas de \frac{\pi}{4} par division. L'intensité du lobe secondaire ne dépasse pas \approx 7{,}4\,\% < 20\,\% ; seul le lobe principal autour de \varphi = 0 dépasse le seuil de 20\,\%. L'intersection du lobe principal avec le seuil 0{,}20\,I_{\max} a lieu pour :

Remarque analytique : en choisissant \varphi = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05\text{ rad}, on a \frac{I_{\text{tot}}}{I_{\max}} = \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{4}\times\frac{1}{4} = \frac{3}{16} = 18{,}75\,\% \approx 20\,\%, ce qui confirme \varphi_c \approx 1{,}03\text{ rad}.

D'après le résultat de la question Q5, le déphasage s'écrit :

Pour des ondes provenant d'une direction proche de l'axe (Ox), l'angle \theta est petit (\theta \ll 1), d'où 1 - \cos\theta \approx \frac{\theta^2}{2}. Le déphasage devient :

Le signal reçu est significatif si \varphi \le \varphi_c, ce qui conduit à :

Par invariance par rotation autour de l'axe (Ox), cette condition définit bien un cône de révolution d'axe (Ox) et de demi-angle au sommet \theta_{\max}.

Pour assurer la condition \theta_{\max} < \theta_{\text{lim}} = 5^{\circ} = \frac{5\pi}{180}\text{ rad} \approx 0{,}0873\text{ rad}, il convient de choisir :

La fonction f \mapsto \frac{\varphi_c\,c_a}{\pi f \theta_{\text{lim}}^2} étant strictement décroissante, la condition la plus contraignante sur toute la bande passante [100\text{ Hz}, 5\text{ kHz}] est obtenue à la fréquence minimale f_{\min} = 100\text{ Hz} :

Application numérique : avec c_a = 345\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \theta_{\text{lim}} = 0{,}0873\text{ rad} et \varphi_c \approx 1{,}03\text{ rad} :

• pour f_{\min} = 100\text{ Hz} :

  d > \frac{1{,}03 \times 345}{\pi \times 100 \times (0{,}0873)^2} \approx 1{,}5 \times 10^2\text{ m}

• même à la fréquence maximale f_{\max} = 5\text{ kHz} :

  d > \frac{1{,}5 \times 10^2}{50} \approx 3\text{ m}

Commentaires :

• Faisabilité : de telles valeurs de d sont physiquement irréalisables pour un microphone portatif dont la longueur totale n'excède pas quelques dizaines de centimètres (20\text{ à }40\text{ cm}). Un angle de directivité aussi étroit que 5^{\circ} ne peut donc pas être obtenu en pratique par ce principe.
• Dépendance en fréquence : puisque \theta_{\max} \propto f^{-1/2}, la directivité est fortement sélective en fréquence : le microphone est directionnel dans les aigus (hautes fréquences), mais devient quasi omnidirectionnel dans les graves (f \sim 100\text{ Hz}), où la longueur d'onde acoustique (\lambda \sim 3{,}5\text{ m}) est bien supérieure aux dimensions du tube.
• Critère de non-repliement : pour éviter l'apparition d'un pic principal secondaire (interférence constructive d'ordre supérieur à \varphi = 2\pi) pour \theta \in [0, \pi], il faut de plus que \varphi(\pi) = \frac{4\pi f_{\max} d}{c_a} < 2\pi, soit d < \frac{c_a}{2f_{\max}} \approx 3{,}5\text{ cm}, ce qui impose une borne supérieure stricte sur d.

Une onde se propage le long de l'axe (Ox) si et seulement si la composante de son vecteur d'onde \underline{k}(x) est un réel non nul, ce qui équivaut à :

D'après la relation de dispersion fournie :

Comme k_0 > 0, \omega > 0 et \omega_r(x) > 0, le numérateur est strictement positif. La condition de propagation pour x \in [0, x_r[ s'écrit donc :

L'onde pénètre dans la cochlée en x = 0 et se propage dans le sens des x croissants jusqu'à atteindre en x = x_r le lieu d'absorption où cesse la propagation. Au-delà de x_r (x > x_r), l'onde ne se propage plus et devient évanescente, ce qui correspond à \underline{k}^2(x) < 0, soit \omega_r(x) < \omega.

La fonction \omega_r(x) passe donc d'une valeur supérieure à \omega pour x < x_r à une valeur inférieure à \omega pour x > x_r. Puisque la fonction \omega_r est monotone, elle est nécessairement :

Au point d'absorption x = x_r, la propagation s'arrête à la frontière entre le domaine de propagation et le domaine évanescent. Le dénominateur de la relation de dispersion s'annule, ce qui correspond à une résonance (k(x) \to +\infty) :

L'onde acoustique s'écrit sous la forme :

Calculons les dérivées spatiales successives de \underline{p} par rapport à x :

En injectant cette dérivée dans l'équation spatiale \dfrac{\partial^2 \underline{p}}{\partial x^2}(x,t) = -k^2(x)\,\underline{p}(x,t) et en simplifiant par le terme non nul \mathrm{e}^{j(\omega t - \varphi(x))}, il vient :

Puisque A(x), \varphi(x) et k^2(x) sont des grandeurs réelles pour x < x_r, l'identification des parties réelle et imaginaire conduit au système des deux équations différentielles :

Multiplions la seconde équation par A(x) \neq 0 :

Il en résulte qu'il existe une constante réelle C_0 telle que :

Signe de \varphi'(x) : la phase instantanée de l'onde s'écrit \Phi(x,t) = \omega t - \varphi(x). La condition de propagation à phase constante \Phi(x,t) = \text{cte} donne, par dérivation par rapport au temps :

Comme l'onde pénètre en x = 0 et se propage vers les x croissants (jusqu'en x = x_r), la vitesse de phase v_\varphi est positive. Avec \omega > 0, on en déduit nécessairement :

Puisque A(x) > 0 et \varphi'(x) > 0, la constante C_0 est strictement positive. En posant C_0 = H^2 avec H > 0, on obtient bien :

1. Sens de variation de k(x) :

D'après la relation de dispersion :

D'après la question Q9, la pulsation de coupure locale \omega_r(x) est strictement décroissante sur [0, x_r[ avec \omega_r(x) > \omega, et tend vers \omega en x \to x_r.

Le dénominateur \sqrt{\omega_r^2(x) - \omega^2} est donc une fonction strictement décroissante de x, strictement positive et s'annulant en x_r. Par conséquent :

2. Sens de variation de A(x) :

La première équation différentielle obtenue à la question Q10 s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation WKB (milieu lentement variable, où les variations relatives d'amplitude sont faibles à l'échelle d'une longueur d'onde locale, soit |A''| \ll k^2 A), on obtient l'approximation eikonale :

car \varphi'(x) > 0 pour une onde se propageant dans le sens des x croissants.

Puisque k(x) est strictement croissante, la dérivée spatiale de la phase \varphi'(x) est également une fonction strictement croissante. En vertu de la relation établie à la question Q10, A(x) = \frac{H}{\sqrt{\varphi'(x)}}, il vient :

3. Tracé de l'allure de l'onde de pression réelle :

L'onde réelle de pression s'écrit :

À un instant t fixé (par exemple t = 0) :

• la longueur d'onde locale \lambda(x) = \frac{2\pi}{k(x)} \approx \frac{2\pi}{\varphi'(x)} diminue au cours de la propagation vers x_r : les alternances de pression se resserrent spatialement ;
• l'amplitude A(x) de l'enveloppe diminue progressivement jusqu'à s'éteindre au voisinage du point d'absorption x_r.

Résistance totale R_b :
Les N spires sont parcourues par le même courant électrique i : elles sont donc associées en série. La résistance d'une association série de dipôles ohmiques étant égale à la somme de leurs résistances, on a directement :

Inductance propre totale L_b :
Les spires sont pratiquement jointives, de sorte qu'elles partagent la même géométrie et le même volume d'espace. Par superposition en régime quasi stationnaire, le champ magnétique créé en tout point par l'ensemble des N spires parcourues par le courant i est la somme des champs créés par chaque spire :

où \vec{B}_1 est le champ créé par une spire unique parcourue par le courant i.

Le flux du champ total à travers une spire quelconque s'écrit alors :

où L_1 est l'inductance propre d'une spire isolée.

Le flux total embrassé par l'ensemble des N spires en série est la somme des flux à travers chacune d'elles :

Par identification avec la relation définissant l'inductance propre globale \Phi_b = L_b i, on en déduit :

Considérons une spire circulaire de rayon r, située à la cote z(t) et orientée selon \vec{u}_\theta (de sorte que le vecteur surface soit orienté selon +\vec{u}_z par la règle de la main droite).

Pour déterminer le flux magnétique \Phi_1(z) = \iint_{\mathcal{D}(z)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S à travers le disque \mathcal{D}(z) délimité par la spire, introduisons une surface fermée cylindrique (\mathcal{S}) de rayon r, limitée par :

• la base \mathcal{D}(z) à la cote z(t), dont la normale sortante est -\vec{u}_z ;
• une base \mathcal{D}(z_0) située à une cote z_0 > z suffisamment éloignée de l'aimant pour que le champ magnétique y soit nul ou négligeable (\vec{B} \approx \vec{0}) ;
• la surface latérale \Sigma_{\text{lat}} comprise entre z et z_0, de normale sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r, où règne le champ radial \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_r.

D'après l'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, le flux du champ magnétique sortant de cette surface fermée est nul :

Comme \vec{B} \approx \vec{0} sur \mathcal{D}(z_0), il vient :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans cette spire s'écrit :

La bobine étant constituée de N spires identiques branchées en série et animées de la même vitesse \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z, la force électromotrice totale induite est la somme des f.é.m. individuelles :

Un élément de longueur d'une spire parcourue par le courant i s'écrit dans la base cylindrique (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) :

Cet élément est plongé dans le champ magnétique permanent radial \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_r. La force élémentaire de Laplace qui s'y applique est :

car dans la base orthonormée directe (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), on a \vec{u}_\theta \times \vec{u}_r = -\vec{u}_z.

En intégrant sur une spire complète (\theta \in [0, 2\pi]) et en sommant sur les N spires identiques et jointives :

Calculons la puissance développée par cette force de Laplace lors du déplacement des spires à la vitesse \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z :

En reconnaissant l'expression de la f.é.m. de mouvement e = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} obtenue à la question Q13, il vient :

Interprétation physique :

• La grandeur \vec{F}\cdot\vec{v} représente la puissance mécanique reçue par la partie mobile de la part des forces électromagnétiques.
• La grandeur e\,i représente la puissance électrique cédée par la f.é.m. d'induction au circuit électrique (convention générateur).
• La relation \vec{F}\cdot\vec{v} + e\,i = 0 traduit la conservation de l'énergie lors de la conversion électromécanique : le couplage électromécanique convertit intégralement, et sans perte propre (hors effet Joule et frottements fluides modélisés ailleurs), la puissance électrique en puissance mécanique (fonctionnement moteur du haut-parleur) ou inversement (fonctionnement générateur d'un microphone).

On étudie le système constitué de l'équipage mobile (membrane et bobine de N spires), de masse M, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'équipage mobile effectue un mouvement de translation rectiligne le long de l'axe (Oz), sa vitesse étant \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z.

D'après le préambule précédant la question, on néglige l'effet de la pesanteur. L'ensemble est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :

• la force de rappel élastique des suspensions modélisées par un ressort équivalent de raideur K :

  \vec{F}_{\text{rappel}} = -K z(t)\,\vec{u}_z

• la force dissipative exercée par l'air (frottement fluide de coefficient \lambda) :

  \vec{f} = -\lambda \vec{v} = -\lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z

• la résultante des forces de Laplace exercée sur les N spires parcourues par le courant i(t), établie à la question Q14 :

  \vec{F} = -2\pi r N B_0\,i(t)\,\vec{u}_z

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'équipage mobile s'écrit :

En projetant sur le vecteur unitaire \vec{u}_z, il vient :

En divisant cette relation par la masse M > 0, on obtient :

Par identification avec la forme canonique de l'oscillateur harmonique amorti :

on identifie directement :

L'ensemble des N spires mobiles constituant la bobine est le siège :

• d'effets ohmiques, modélisés par la résistance totale R_b ;
• d'effets d'auto-induction, modélisés par l'inductance propre L_b ;
• d'un phénomène d'induction motionnelle caractérisé à la question Q13 par la force électromotrice e(t) = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.

Dans l'orientation du circuit associée au sens de comptage du courant i(t), la force électromotrice induite e(t) agit en convention générateur. Le circuit électrique équivalent est une maille unique fermée sur le générateur E(t) :

En convention récepteur pour la bobine (composée de R_b, L_b et du siège de la f.é.m. e), la tension à ses bornes s'écrit :

La loi des mailles impose E(t) = u_b(t), soit :

En injectant l'expression de la f.é.m. issue de la question Q13, e(t) = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Par identification avec la relation E(t) = R_b i(t) + L_b \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} - \gamma \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}, on en déduit :

D'après la question Q16, l'équation électrique s'écrit :

En multipliant par le courant i(t), on obtient le bilan de puissance électrique :

En introduisant la puissance fournie par le générateur \mathcal{P}_G = E(t)i(t), la puissance dissipée par effet Joule \mathcal{P}_J = R_b\,i^2 et l'énergie magnétique stockée dans la bobine E_m = \frac{1}{2}L_b\,i^2, ce bilan devient :

D'après la question Q15, l'équation mécanique s'écrit (en rappelant que \omega_0^2 = K/M, \frac{\omega_0}{Q_m} = \frac{\lambda}{M} et \beta = \gamma/M) :

Multiplions par la vitesse v = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} :

On reconnaît les énergies cinétique E_c = \frac{1}{2}M\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2 et potentielle élastique E_e = \frac{1}{2}K z^2 :

Par le principe des actions réciproques, la force exercée par la membrane mobile sur l'air est \vec{f}_{\text{m}\to\text{air}} = -\vec{f} = \lambda \vec{v}. La puissance cédée par la membrane à l'air environnant est donc :

En égalant le terme de couplage électromécanique -\gamma\,i\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \vec{F}\cdot\vec{v} dans les deux bilans, il vient :

En posant E_{\text{tot}} = E_c + E_e + E_m, le bilan énergétique global du haut-parleur s'écrit :

En régime harmonique à la pulsation \omega, on adopte les représentations complexes :

L'équation mécanique différentielle issue de la question Q15 s'écrit en grandeurs complexes :

On en déduit l'amplitude complexe du déplacement :

L'équation électrique établie à la question Q16 s'écrit en représentation complexe :

L'impédance électromécanique \underline{Z}_m(\omega) = \dfrac{\underline{E}_0}{\underline{I}_0} s'exprime donc sous la forme :

Comportement limite à très basse fréquence :

Lorsque \omega \to 0, le terme inductif j L_b \omega tend vers 0 et le terme de couplage mécanique vérifie :

On obtient ainsi :

La longueur d'onde acoustique associée à une onde sonore de fréquence f se propageant à la célérité c_a vaut :

D'après l'énoncé, le diamètre D de la membrane est de l'ordre de grandeur d'une demi-longueur d'onde :

Avec la valeur fournie c_a \simeq 345\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

• À la fréquence de coupure f_c = 1\text{ kHz} :

  \frac{\lambda_c}{2} = \frac{345}{2 \times 10^3} \approx 0{,}17\text{ m} = 17\text{ cm}

• Pour le woofer (sons graves, fréquences f \in [20\text{ Hz}, 1\text{ kHz}]) : Pour une fréquence représentative du registre grave, typiquement comprise entre 300\text{ Hz} et 1\text{ kHz} :

  D_{\text{woofer}} \sim 20\text{ cm} \quad (\text{de } 15\text{ cm à } 30\text{ cm})

  (une membrane de plus grand diamètre serait encombrante et trop lourde pour conserver une bonne réactivité mécanique).

• Pour le tweeter (sons aigus, fréquences f \in [1\text{ kHz}, 20\text{ kHz}]) : Pour une fréquence représentative du registre aigu, par exemple f \approx 5\text{ kHz} à 10\text{ kHz} :

  \begin{aligned} f = 5\text{ kHz} &\implies \frac{\lambda}{2} = \frac{345}{2 \times 5 \times 10^3} \approx 3{,}5\text{ cm} \\ f = 10\text{ kHz} &\implies \frac{\lambda}{2} = \frac{345}{2 \times 10^4} \approx 1{,}7\text{ cm} \end{aligned}

  On obtient ainsi :

  D_{\text{tweeter}} \sim 2\text{ à } 3\text{ cm}

Le haut-parleur étant assimilé électriquement à une résistance pure R_b, la puissance électrique moyenne maximale reçue lorsqu'il est soumis à la tension sinusoïdale de valeur efficace U_{\text{eff}} = 20\text{ V} s'écrit :

Avec U_{\text{eff}} = 20\text{ V} et \mathcal{P}_{\max} = 80\text{ W} :

À la fréquence de séparation f_c = 1\text{ kHz} (soit \omega_c = 2\pi f_c), les impédances de la bobine et du condensateur valent respectivement Z_L = L\omega_c et Z_C = \frac{1}{C\omega_c}. La condition d'adaptation selon laquelle ces impédances sont comparables à R_b conduit à :

Avec f_c = 1{,}0 \times 10^3\text{ Hz} et R_b = 5\ \Omega :

On retient ainsi pour ordres de grandeur :