Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2020 (page 2/2 : Parties IV, V et VI)

Le système étudié est la Terre T, assimilée à un point matériel de masse M_T, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. La Terre est soumise uniquement à la force gravitationnelle exercée par le Soleil situé en O :

1. Conservation du moment cinétique (étude des propositions A et B) :

Le moment en O de la force gravitationnelle est nul à tout instant :

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en O dans un référentiel galiléen, le moment cinétique \mathbf{L}_O est une constante du mouvement :

En coordonnées polaires dans le plan orbital, la vitesse s'écrit \mathbf{v} = \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi. Aux positions orbitales extrêmes (périhélie A_p et aphélie A_a), la distance au centre de force est extrémale, de sorte que \dot{r} = 0. La vitesse y est donc purement orthoradiale :

Le moment cinétique scalaire L_z = \mathbf{L}_O \cdot \mathbf{e}_z s'écrit donc en ces deux points :

En simplifiant par la masse M_T > 0, on en déduit :

L'affirmation A est donc vraie, et l'affirmation B est fausse.

2. Conservation de l'énergie mécanique (étude des propositions C et D) :

La force gravitationnelle dérive d'une énergie potentielle :

Cette force étant la seule action mécanique prise en compte sur la Terre (forces non conservatives inexistantes dans ce modèle), l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est une constante du mouvement :

Par conséquent, l'énergie mécanique prend la même valeur au périhélie et à l'aphélie :

L'affirmation D est donc vraie, et l'affirmation C est fausse.

D'après la question Q19, la conservation du moment cinétique entre l'aphélie et le périhélie s'écrit :

L'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre dans le champ créé par le Soleil, avec l'origine choisie à l'infini, est :

La conservation de l'énergie mécanique \mathcal{E}_m(A_a) = \mathcal{E}_m(A_p) donne :

En substituant v_p = \dfrac{r_a}{r_p} v_a, il vient :

Pour une orbite non circulaire (r_a \neq r_p), on simplifie par (r_a - r_p) :

Comme v_a > 0, on obtient :

La réponse correcte est l'affirmation D.

À l'aphélie A_a (sommet de la trajectoire elliptique), la composante radiale de la vitesse s'annule : le vecteur vitesse \mathbf{v}_a est purement orthoradial et orthogonal au rayon vecteur \vec{OA_a}. Le moment cinétique de la Terre par rapport au centre O s'écrit donc :

Ainsi, la composante suivant \mathbf{e}_z est :

D'après le résultat de la question Q20 :

En introduisant cette expression dans celle de L_z, on obtient :

La réponse correcte est la proposition B.

Dans la base polaire orthonormée (\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\varphi, \mathbf{e}_z), le vecteur position et le vecteur vitesse du point matériel T s'écrivent :

Le moment cinétique par rapport au centre O s'en déduit par produit vectoriel :

La projection sur l'axe orthogonal au plan orbital fournit donc la constante des aires sous la forme :

En introduisant l'expression polaire r = \dfrac{p}{1 + e\cos\varphi}, il vient :

Comme e \ll 1, le terme u = e\cos\varphi vérifie |u| \le e \ll 1. On effectue un développement limité d'ordre 1 au voisinage de zéro via la formule usuelle (1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u avec \alpha = -2 :

On en déduit l'approximation au premier ordre en e :

L'affirmation correcte est donc la proposition D.

D'après les conventions de l'énoncé et la figure associée :

• Le périhélie A_p correspond à \varphi = 0, et l'aphélie A_a à \varphi = \pi.
• Les angles sont orientés dans le sens direct du parcours de la trajectoire (sens trigonométrique).

• Le solstice d'hiver H précède le périhélie de l'angle \beta, d'où :

  \varphi_H = -\beta

• Le solstice d'été E précède l'aphélie de l'angle \beta, d'où :

  \varphi_E = \pi - \beta

D'après le résultat de la question Q22 :

En introduisant la fonction g(\varphi) telle que g'(\varphi) = 1 - 2e\cos\varphi, on a :

L'égalité rappelée par l'énoncé s'écrit alors :

En intégrant entre l'instant initial t=0 (en H, où \varphi = \varphi_H) et l'instant t=\tau_1 (en E, où \varphi = \varphi_E) :

Comme L_z, M_T et p sont constants, le membre de gauche vaut simplement \frac{L_z}{M_T p^2}\tau_1. On en déduit :

Il vient finalement :

La réponse correcte est la proposition A.

Le mouvement s'effectuant dans le sens des \varphi croissants, le passage de la position du solstice d'été E à celle du solstice d'hiver H correspond à une variation continue de l'angle polaire depuis :

D'après la relation obtenue à la question Q22 :

En intégrant entre \varphi_E et \varphi_H, on obtient la durée \tau_2 :

En utilisant les relations trigonométriques \sin(2\pi - \beta) = -\sin\beta et \sin(\pi - \beta) = \sin\beta, il vient :

On en déduit l'expression de \tau_2 :

Ce résultat correspond à la proposition C.

Le cycle est constitué de quatre transformations réversibles :

• E_1 \to E_2 : compression isentropique, donc adiabatique réversible, ce qui implique Q_{12} = 0 ;

• E_2 \to E_3 : compression isochore (V = V_m = \text{cte}). Le travail des forces de pression est nul (W_{23} = 0). D'après le premier principe de la thermodynamique et la première loi de Joule :

  Q_{23} = \Delta U_{23} = n C_{vm} (T_3 - T_2)

  Lors de cette compression isochore, la pression augmente (p_3 > p_2), donc la température augmente (T_3 > T_2). Le transfert thermique reçu par le fluide est positif (Q_{23} > 0) : cette chaleur est reçue de la source chaude, soit Q_c = Q_{23} ;

• E_3 \to E_4 : détente isentropique, donc adiabatique réversible (Q_{34} = 0) ;
• E_4 \to E_1 : détente isochore, le fluide se refroidit et cède de la chaleur à la source froide (Q_f = Q_{41} < 0).

Par conséquent :

• La proposition A est fausse car Q_{41} est la chaleur échangée avec la source froide ;
• La proposition B est correcte : Q_c = Q_{23} ;
• La proposition C est fausse car la transformation étant isochore, l'expression fait intervenir C_{vm} et non C_{pm} ;
• La proposition D est fausse car elle correspond à Q_{41} = Q_f.

Le cycle décrit est le cycle de Beau de Rochas (ou cycle d'Otto) :

• Les transformations E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 sont isentropiques, donc adiabatiques réversibles : Q_{12} = 0 et Q_{34} = 0.
• Lors de l'échauffement isochore E_2 \to E_3, le gaz reçoit de la chaleur de la source chaude : Q_c = Q_{23} > 0.

• Lors du refroidissement isochore E_4 \to E_1, le système cède de la chaleur à la source froide. Le transfert thermique reçu de la source froide s'écrit donc :

  Q_f = Q_{41}

  L'affirmation A est donc vraie (et l'affirmation B est fausse).

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au gaz parfait lors de la transformation isochore E_4 \to E_1 :

Le volume étant constant (V_4 = V_1 = V_M), le travail des forces de pression est nul :

D'après la première loi de Joule pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la température et s'exprime avec la capacité thermique molaire à volume constant C_{vm} :

On en déduit :

L'affirmation D est donc vraie. L'affirmation C est quant à elle fausse, car elle ferait intervenir C_{pm} (réservée à une transformation isobare) et les températures de la source chaude.

La machine étudiée étant un moteur thermique, son transfert d'énergie utile est le travail mécanique cédé au milieu extérieur, soit -W. Le transfert d'énergie nécessaire à son fonctionnement est la chaleur reçue de la source chaude, soit Q_c = Q_{23}.

Par définition, l'efficacité (ou rendement moteur) s'écrit :

L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur un cycle fermé est nulle d'après le premier principe de la thermodynamique :

Les évolutions E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 étant isentropiques, elles sont adiabatiques (Q_{12} = 0 et Q_{34} = 0). Le transfert thermique global sur le cycle est donc :

On en déduit l'expression de l'efficacité :

Les transformations E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 sont des évolutions isentropiques (adiabatiques réversibles) d'un gaz parfait à capacités thermiques constantes. Elles vérifient la loi de Laplace :

• Pour la compression isentropique E_1 \to E_2 :

  \begin{aligned} T_1 V_1^{\gamma-1} &= T_2 V_2^{\gamma-1} \end{aligned}

  Or V_1 = V_M et V_2 = V_m, avec le taux de compression volumique a = \frac{V_M}{V_m}. On en déduit :

  \begin{aligned} T_1 &= T_2 \left(\frac{V_m}{V_M}\right)^{\gamma-1} = T_2 \left(\frac{1}{a}\right)^{\gamma-1} = T_2 a^{1-\gamma} \end{aligned}

  La proposition A est donc exacte (et la proposition B est fausse car a > 1 et \gamma > 1).

• Pour la détente isentropique E_3 \to E_4 :

  \begin{aligned} T_3 V_3^{\gamma-1} &= T_4 V_4^{\gamma-1} \end{aligned}

  Or V_3 = V_m et V_4 = V_M, d'où :

  \begin{aligned} T_3 &= T_4 \left(\frac{V_M}{V_m}\right)^{\gamma-1} = T_4 a^{\gamma-1} \end{aligned}

  La proposition C est donc exacte (et la proposition D est fausse).

Les affirmations correctes sont A et C.

D'après la question Q27, le rendement (ou efficacité) du cycle s'écrit :

Les transformations E_2 \to E_3 et E_4 \to E_1 étant isochores, les transferts thermiques reçus par le gaz parfait s'expriment respectivement (d'après les questions Q25 et Q26) par :

En reportant ces expressions dans celle de \eta, les termes n C_{vm} se simplifient :

La réponse correcte est la proposition B.

D'après la question précédente, l'efficacité s'écrit :

D'après les relations isentropiques obtenues à la question Q28 :

En factorisant par a^{1-\gamma} au numérateur :

En injectant ce résultat dans l'expression de \eta, il vient :

L'efficacité ne dépend donc effectivement que du taux de compression a et du coefficient isentropique \gamma.

Le repère (\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z) est orthonormé direct : \mathbf{e}_x est vertical descendant, \mathbf{e}_y est horizontal vers la droite et \mathbf{e}_z = \mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y pointe vers l'observateur (vecteur orthogonal au plan du mouvement).

Le contour du circuit est orienté dans le sens trigonométrique dans le plan (\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y), comme l'indique la flèche courbe munie d'un signe + sur la figure. D'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), le vecteur surface élémentaire est orienté selon +\mathbf{e}_z :

Lorsque le pendule s'écarte d'un angle \theta à partir de la verticale descendante (\theta = 0), la tige OA balaye un secteur circulaire d'aire :

L'aire totale délimitée par le circuit s'écrit donc :

où S_0 est l'aire du circuit lorsque \theta = 0.

Le champ magnétique \mathbf{B} = B_0\,\mathbf{e}_z étant uniforme et stationnaire, le flux magnétique à travers le circuit vaut :

où \Phi_0 = B_0 S_0 désigne le flux à \theta = 0.

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e est donnée par :

D'où :

Ce résultat correspond à la proposition A.

Le circuit ne comportant aucune résistance, la loi des mailles (en orientant le circuit selon le sens de parcours défini par le sujet) relie directement la tension aux bornes du condensateur u_C à la force électromotrice induite e :

D'après la relation caractéristique d'un condensateur de capacité C parcouru par le courant i(t) :

En utilisant l'expression de la f.e.m. établie à la question précédente (au signe près selon les conventions d'armature choisies) :

Parmi les propositions fournies, seule la proposition B présente le préfacteur \frac{\ell^2 C B_0}{2} associé à l'accélération angulaire \ddot{\theta}.

L'affirmation correcte est la B.

Dans le repère polaire lié au pendule, le vecteur unitaire radial dirigé le long de la tige de O vers A est :

Le vecteur orthoradial \mathbf{u}_\theta est tel que la base (\mathbf{u}_r, \mathbf{u}_\theta, \mathbf{e}_z) soit orthonormée directe (\mathbf{u}_r \wedge \mathbf{u}_\theta = \mathbf{e}_z).

D'après le sens de circulation choisi pour l'intensité i(t), le courant traverse la tige de O vers A. Un élément de tige centré en un point M repéré par \mathbf{OM} = r\,\mathbf{u}_r (avec r \in [0, \ell]) et de longueur \mathrm{d}r est orienté par le vecteur déplacement :

Cet élément subit la force de Laplace élémentaire :

puisque \mathbf{u}_r \wedge \mathbf{e}_z = -\mathbf{u}_\theta.

Le moment élémentaire en O de cette force est :

Le moment résultant en O s'obtient par intégration sur la tige, de r = 0 à r = \ell :

La réponse correcte est la proposition D.

On étudie le système constitué de la tige et de la masselotte dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. La tige étant de masse négligeable et la masselotte ponctuelle de masse m située à la distance \ell de O, le moment d'inertie du système par rapport à l'axe (O, \mathbf{e}_z) est :

Les actions mécaniques exerçant un moment non nul par rapport à l'axe de rotation en O sont :

• Le poids de la masselotte : \mathbf{P} = mg\,\mathbf{e}_x. Le point A a pour vecteur position \mathbf{OA} = \ell\cos\theta\,\mathbf{e}_x + \ell\sin\theta\,\mathbf{e}_y, d'où :

  \mathbf{M}_{P,O} = \mathbf{OA} \wedge \mathbf{P} = -mg\ell\sin\theta\,\mathbf{e}_z

• Les forces de Laplace dont le moment a été établi à la question Q33 :

  \mathbf{M}_{L,O} = -\frac{i B_0 \ell^2}{2}\,\mathbf{e}_z

D'après le théorème du moment cinétique appliqué en projection sur l'axe (O, \mathbf{e}_z) :

D'après le résultat de la question Q32, le courant induit s'écrit i = \dfrac{\ell^2 C B_0}{2}\ddot{\theta}. En remplaçant i dans le terme de Laplace :

En divisant l'ensemble par m\ell^2 :

Soit sous la forme \ddot{\theta} + \omega_1^2 \sin\theta = 0 :

La proposition correcte est la C.

D'après la question Q34, l'équation différentielle du mouvement du pendule s'écrit :

Comme le pendule est lâché sans vitesse initiale avec une amplitude \theta_0 \ll 1, le mouvement reste confiné aux petits angles (\theta(t) \ll 1 pour tout t). L'approximation des petites oscillations permet d'écrire \sin\theta \approx \theta, d'où :

D'après la question Q32, l'intensité du courant s'exprime en fonction de l'accélération angulaire selon :

En injectant \ddot{\theta} = -\omega_1^2 \theta, il vient :

L'intensité i(t) est donc directement proportionnelle à \theta(t). En dérivant deux fois cette relation par rapport au temps :

On en déduit l'équation différentielle vérifiée par i(t) :

Par identification avec l'équation \dfrac{\mathrm{d}^2 i}{\mathrm{d}t^2} + \omega_2^2 i = 0, on obtient :

L'affirmation correcte est l'affirmation B.

D'après le résultat de la question Q34, la pulsation propre \omega_1 s'exprime par :

Les valeurs numériques fournies par l'énoncé sont :

• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \ell = 40\text{ cm} = 0{,}40\text{ m} ;
• m = 10\text{ g} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ kg} ;
• B_0 = 1\text{ T} ;
• C = 1\text{ F}.

Calculons les deux termes intervenant dans l'expression :

On en déduit :

Ce qui correspond à la valeur approchée proposée par la proposition B (\omega_1 \approx 2{,}3\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}).