Feuille d'entraînement : Mouvement dans un champ de force centrale

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 38 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q27· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Quelle est l'expression de l'énergie mécanique $E_{m}$ de $A$ ? A) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$ B) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$ C) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} + \frac{K}{2 r}$ D) $E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} - \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q29· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
Le corpuscule $A$ est un satellite qui effectue des révolutions circulaires, de rayon $R_{A}$ , autour du centre $C$ de la Terre. Quelle est la norme $v_{A}$ de la vitesse de $A$ et quelle égalité relie son énergie cinétique et son énergie potentielle? A) $v_{A} = (\frac{K}{m R _{A}})^{1/2}$ B) $v_{A} = (\frac{K}{m R _{A}})^{2}$ C) $E_{k} = \frac{E _{p}}{2}$ D) $E_{k} = - \frac{E _{p}}{2}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2020, Q20· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
Exprimer $v_{a}$ . A) $v_{a} = (\frac{G M _{S}}{r _{a}})^{1/2}$ B) $v_{a} = (\frac{G M _{T}}{r _{a} + r _{p}})^{1/2}$ C) $v_{a} = (\frac{2 G M _{S} r _{a}}{r _{p}})^{1/2}$ D) $v_{a} = [\frac{2 G M _{S} r _{p}}{r _{a} ( r _{a} + r _{p} )}]^{1/2}$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2021, Q25· Application directe· ≈ 2 min
Quelle est la forme de $E_{p} (r)$ si son origine est prise pour $A$ et $C$ infiniment éloignés l'un de l'autre? A) $E_{p} (r) = - K r^{- 2}$ B) $E_{p} (r) = - K r^{- 1}$ C) $E_{p} (r) = K r^{- 1} /2$ D) $E_{p} (r) = K r^{- 2}$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2020, Q19· Application directe· ≈ 3 min
Que peut-on affirmer? A) $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ B) $r_{p}^{2} v_{p} = r_{a}^{2} v_{a}$ C) $E_{m} (A_{p}) \neq = E_{m} (A_{a})$ D) $E_{m} (A_{p}) = E_{m} (A_{a})$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q21· Intermédiaire· ≈ 4 min
Exprimer $L_{z}$ : A) $L_{z} = M_{T} [\frac{G M _{S} ( r _{a} + r _{p} )}{2}]^{1/2}$ B) $L_{z} = M_{T} [\frac{2 G M _{S} r _{a} r _{p}}{r _{a} + r _{p}}]^{1/2}$ C) $L_{z} = M_{T} (\frac{G M _{S} r _{a} r _{p}}{r _{a} + r _{p}})^{1/2}$ D) $L_{z} = M_{T} [2 G M_{S} (r_{a} + r_{p})]^{1/2}$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2021, Q26· Application directe· ≈ 2 min
On note $L$ le moment cinétique, dans $R$ , de $A$ au point $C$ . Que peut-on dire de l'évolution temporelle de $L$ au cours du mouvement de $A$ ? A) Le vecteur $L$ change de direction mais sa norme est constante. B) Le vecteur $L$ ne change pas de direction et sa norme varie. C) $L$ est une constante vectorielle. D) La norme et la direction de $L$ ne sont pas constantes.
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q28· Exigeant· ≈ 6 min
Parmi les assertions suivantes relatives au vecteur $Λ = p \times L - m K e_{r}$ , où $p$ est la quantité de mouvement de $A$ , dans $R$ , lesquelles sont exactes? A) $\frac{d Λ}{d t} = 0$ B) $Λ \cdot L = 0$ C) $Λ \cdot L > 0$ D) $\frac{d Λ}{d t} < 0$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q30· Exigeant· ≈ 5 min
Le satellite rentre dans l'atmosphère terrestre et est alors soumis à une force de frottement. Identifier les affirmations exactes. A) En moyenne sur une révolution, le satellite ralentit. B) Le vecteur représentant la force de frottement est de sens opposé au vecteur vitesse de $A$ . C) La norme de l'accélération du satellite augmente au cours du temps. D) Le moment cinétique de $A$ est toujours une constante vectorielle.
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2020, Q22· Intermédiaire· ≈ 4 min
L'équation polaire de la trajectoire de la Terre est la suivante:
$r = \frac{p}{1 + e cos φ}$
où $e$ et $p$ sont deux constantes temporelles indépendantes de $r$ et $φ$ . Sachant que $e ≪ 1$ , que peut-on affirmer? A) $\frac{L _{z}}{M _{T}} \approx p^{2} (1 + e cos φ) \overset{φ}{˙}$ B) $\frac{L _{z}}{M _{T}} \approx p^{2} (1 - e cos φ) \overset{φ}{˙}$ C) $\frac{L _{z}}{M _{T}} \approx p^{2} (1 + 2 e cos φ) \overset{φ}{˙}$ D) $\frac{L _{z}}{M _{T}} \approx p^{2} (1 - 2 e cos φ) \overset{φ}{˙}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q27
D'après la question Q26, le moment cinétique \boldsymbol{L} de A par rapport à C est un vecteur constant. Le mouvement de A s'effectue donc dans un plan fixe perpendiculaire à \boldsymbol{L}, passant par C.
En repérant le point A par ses coordonnées polaires (r, \theta) dans ce plan, son vecteur vitesse s'écrit :
\boldsymbol{v} = \dot{r}\,\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta}\,\boldsymbol{e}_\theta
L'énergie cinétique de A s'en déduit :
\mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m r^2 \dot{\theta}^2
Le moment cinétique par rapport à C vaut :
\boldsymbol{L} = \boldsymbol{CA} \times m\boldsymbol{v} = r\boldsymbol{e}_r \times m\left(\dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta\right) = m r^2 \dot{\theta}\,\boldsymbol{e}_z
Sa norme vérifie donc L = m r^2 |\dot{\theta}|, ce qui permet de réécrire la composante orthoradiale de l'énergie cinétique sous la forme :
\frac{1}{2}m r^2 \dot{\theta}^2 = \frac{L^2}{2mr^2}
En utilisant l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question Q25, \mathcal{E}_p(r) = -\dfrac{K}{r}, l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p s'écrit :
\boxed{\mathcal{E}_m = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2} - \frac{K}{r}}
L'affirmation correcte est la proposition A.
Résultat
$E_{m} = \frac{1}{2} m \overset{r}{˙}^{2} + \frac{L ^{2}}{2 m r ^{2}} - \frac{K}{r}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q29
Dans le référentiel \mathcal{R} galiléen muni de la base polaire (C, \boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta), le corpuscule A décrit une trajectoire circulaire de centre C et de rayon R_A. Son vecteur accélération s'écrit classiquement :
\boldsymbol{a} = -\frac{v_A^2}{R_A}\boldsymbol{e}_r + \dot{v}_A \boldsymbol{e}_\theta
La seule force agissant sur le satellite est la force centrale conservative :
\boldsymbol{F} = -\frac{K}{R_A^2}\boldsymbol{e}_r
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à A s'écrit m\boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}. La projection selon le vecteur unitaire radial \boldsymbol{e}_r donne :
-m\frac{v_A^2}{R_A} = -\frac{K}{R_A^2} \implies v_A^2 = \frac{K}{m R_A}
d'où l'expression de la norme de la vitesse orbitale :
\boxed{v_A = \left(\frac{K}{m R_A}\right)^{1/2}}
L'affirmation A est donc exacte.
L'énergie cinétique du satellite sur cette orbite s'en déduit :
\mathcal{E}_k = \frac{1}{2}m v_A^2 = \frac{K}{2 R_A}
D'après la question Q25, l'énergie potentielle de gravitation avec la convention nulle à l'infini vaut :
\mathcal{E}_p = -\frac{K}{R_A}
On en déduit immédiatement la relation entre énergie cinétique et énergie potentielle :
\boxed{\mathcal{E}_k = -\frac{\mathcal{E}_p}{2}}
L'affirmation D est donc exacte.
Résultat
$v_{A} = (\frac{K}{m R _{A}})^{1/2}$ $E_{k} = - \frac{E _{p}}{2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2020, Q20
D'après la question Q19, la conservation du moment cinétique entre l'aphélie et le périhélie s'écrit :
r_a v_a = r_p v_p \implies v_p = \frac{r_a}{r_p} v_a
L'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre dans le champ créé par le Soleil, avec l'origine choisie à l'infini, est :
\mathcal{E}_p(r) = -\frac{G M_S M_T}{r}
La conservation de l'énergie mécanique \mathcal{E}_m(A_a) = \mathcal{E}_m(A_p) donne :
\begin{aligned} \frac{1}{2} M_T v_a^2 - \frac{G M_S M_T}{r_a} &= \frac{1}{2} M_T v_p^2 - \frac{G M_S M_T}{r_p} \\ \frac{1}{2} (v_p^2 - v_a^2) &= G M_S \left(\frac{1}{r_p} - \frac{1}{r_a}\right) \end{aligned}
En substituant v_p = \dfrac{r_a}{r_p} v_a, il vient :
\begin{aligned} \frac{1}{2} v_a^2 \left( \frac{r_a^2}{r_p^2} - 1 \right) &= G M_S \left( \frac{r_a - r_p}{r_a r_p} \right) \\ \frac{1}{2} v_a^2 \frac{r_a^2 - r_p^2}{r_p^2} &= G M_S \frac{r_a - r_p}{r_a r_p} \\ \frac{1}{2} v_a^2 \frac{(r_a - r_p)(r_a + r_p)}{r_p^2} &= G M_S \frac{r_a - r_p}{r_a r_p} \end{aligned}
Pour une orbite non circulaire (r_a \neq r_p), on simplifie par (r_a - r_p) :
\begin{aligned} v_a^2 \frac{r_a + r_p}{2 r_p^2} &= \frac{G M_S}{r_a r_p} \\ v_a^2 &= \frac{2 G M_S r_p}{r_a (r_a + r_p)} \end{aligned}
Comme v_a > 0, on obtient :
\boxed{v_a = \left[\frac{2GM_S r_p}{r_a(r_a + r_p)}\right]^{1/2}}
La réponse correcte est l'affirmation D.
Résultat
$v_{a} = [\frac{2 G M _{S} r _{p}}{r _{a} ( r _{a} + r _{p} )}]^{1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2021, Q25
La force centrale s'écrit :
\boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2}\,\boldsymbol{e}_r
Puisqu'elle dérive de l'énergie potentielle \mathcal{E}_p(r), on a :
\boldsymbol{F} = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_p}{\mathrm{d}r}\,\boldsymbol{e}_r
Par identification des composantes radiales :
\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_p}{\mathrm{d}r} = \frac{K}{r^2}
En intégrant par rapport à r, il vient :
\mathcal{E}_p(r) = -\frac{K}{r} + \text{Cte} = -K r^{-1} + \text{Cte}
L'origine de l'énergie potentielle étant choisie pour A et C infiniment éloignés l'un de l'autre (r \to +\infty) :
\lim_{r\to+\infty} \mathcal{E}_p(r) = 0 \implies \text{Cte} = 0
On obtient ainsi :
\boxed{\mathcal{E}_p(r) = -K r^{-1}}
L'affirmation exacte est donc la proposition B.
Résultat
$E_{p} (r) = - K r^{- 1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2020, Q19
Le système étudié est la Terre T, assimilée à un point matériel de masse M_T, dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen. La Terre est soumise uniquement à la force gravitationnelle exercée par le Soleil situé en O :
\mathbf{F} = -\frac{G M_S M_T}{r^2}\,\mathbf{e}_r
1. Conservation du moment cinétique (étude des propositions A et B) :
Le moment en O de la force gravitationnelle est nul à tout instant :
\mathbf{M}_O(\mathbf{F}) = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{0}
D'après le théorème du moment cinétique appliqué en O dans un référentiel galiléen, le moment cinétique \mathbf{L}_O est une constante du mouvement :
\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O}{\mathrm{d}t} = \mathbf{0} \implies \mathbf{L}_O = \mathbf{r} \times (M_T \mathbf{v}) = \text{cte}
En coordonnées polaires dans le plan orbital, la vitesse s'écrit \mathbf{v} = \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi. Aux positions orbitales extrêmes (périhélie A_p et aphélie A_a), la distance au centre de force est extrémale, de sorte que \dot{r} = 0. La vitesse y est donc purement orthoradiale :
v_p = r_p \dot{\varphi}(A_p) \quad \text{et} \quad v_a = r_a \dot{\varphi}(A_a)
Le moment cinétique scalaire L_z = \mathbf{L}_O \cdot \mathbf{e}_z s'écrit donc en ces deux points :
L_z = M_T r_p v_p = M_T r_a v_a
En simplifiant par la masse M_T > 0, on en déduit :
\boxed{r_p v_p = r_a v_a}
L'affirmation A est donc vraie, et l'affirmation B est fausse.
2. Conservation de l'énergie mécanique (étude des propositions C et D) :
La force gravitationnelle dérive d'une énergie potentielle :
\mathcal{E}_p(r) = -\frac{G M_S M_T}{r}
Cette force étant la seule action mécanique prise en compte sur la Terre (forces non conservatives inexistantes dans ce modèle), l'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est une constante du mouvement :
\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_m}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \mathcal{E}_m(t) = \text{cte}
Par conséquent, l'énergie mécanique prend la même valeur au périhélie et à l'aphélie :
\boxed{\mathcal{E}_m(A_p) = \mathcal{E}_m(A_a)}
L'affirmation D est donc vraie, et l'affirmation C est fausse.
Résultat
$r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ $E_{m} (A_{p}) = E_{m} (A_{a})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q21
À l'aphélie A_a (sommet de la trajectoire elliptique), la composante radiale de la vitesse s'annule : le vecteur vitesse \mathbf{v}_a est purement orthoradial et orthogonal au rayon vecteur \vec{OA_a}. Le moment cinétique de la Terre par rapport au centre O s'écrit donc :
\mathbf{L}_O = \vec{OA_a} \wedge (M_T \mathbf{v}_a) = M_T r_a v_a \, \mathbf{e}_z
Ainsi, la composante suivant \mathbf{e}_z est :
L_z = M_T r_a v_a
D'après le résultat de la question Q20 :
v_a = \left[ \frac{2GM_S r_p}{r_a(r_a + r_p)} \right]^{1/2}
En introduisant cette expression dans celle de L_z, on obtient :
\begin{aligned} L_z &= M_T r_a \left[ \frac{2GM_S r_p}{r_a(r_a + r_p)} \right]^{1/2} \\ &= M_T \left[ \frac{2GM_S r_a^2 r_p}{r_a(r_a + r_p)} \right]^{1/2} \\ &= M_T \left[ \frac{2GM_S r_a r_p}{r_a + r_p} \right]^{1/2} \end{aligned}
La réponse correcte est la proposition B.
\boxed{L_z = M_T \left[ \frac{2GM_S r_a r_p}{r_a + r_p} \right]^{1/2}}
Résultat
$L_{z} = M_{T} [\frac{2 G M _{S} r _{a} r _{p}}{r _{a} + r _{p}}]^{1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2021, Q26
Le point C est fixe dans le référentiel galiléen \mathcal{R}. Le théorème du moment cinétique appliqué au corpuscule A en ce point s'écrit :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) = \boldsymbol{CA} \times \boldsymbol{F}
Le rayon vecteur s'exprime par \boldsymbol{CA} = r\,\boldsymbol{e}_r et la force est centrale de centre C :
\boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2}\,\boldsymbol{e}_r
Ces deux vecteurs étant colinéaires, leur produit vectoriel est nul :
\boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) = r\,\boldsymbol{e}_r \times \left(-\frac{K}{r^2}\,\boldsymbol{e}_r\right) = \boldsymbol{0}
On en déduit :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}
Le moment cinétique \boldsymbol{L} est donc une constante vectorielle du mouvement.
La réponse exacte est C.
\boxed{\text{C}}
Résultat
$C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q28
Le vecteur \boldsymbol{\Lambda} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} - m K \boldsymbol{e}_r est le vecteur de Laplace-Runge-Lenz.
1. Dérivée temporelle de \boldsymbol{\Lambda} :
Dérivons \boldsymbol{\Lambda} par rapport au temps dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Lambda}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{L} + \boldsymbol{p} \times \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} - m K \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t}
D'après le principe fondamental de la dynamique, \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{F} = -\frac{K}{r^2} \boldsymbol{e}_r.
D'après la question Q26, la force étant centrale, le moment cinétique est conservé :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{0}
En coordonnées polaires (r, \theta) dans le plan du mouvement, le moment cinétique s'écrit :
\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = (r\boldsymbol{e}_r) \times m(\dot{r}\boldsymbol{e}_r + r\dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta) = m r^2 \dot{\theta} \boldsymbol{e}_z
Par conséquent :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{L} = \left(-\frac{K}{r^2}\boldsymbol{e}_r\right) \times \left(m r^2 \dot{\theta} \boldsymbol{e}_z\right) = -m K \dot{\theta} (\boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_z)
Comme la base (\boldsymbol{e}_r, \boldsymbol{e}_\theta, \boldsymbol{e}_z) est orthonormée directe, \boldsymbol{e}_r \times \boldsymbol{e}_z = -\boldsymbol{e}_\theta, d'où :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} \times \boldsymbol{L} = m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta
Par ailleurs, la dérivée du vecteur unitaire radial est \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}\boldsymbol{e}_\theta, ce qui donne :
m K \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{e}_r}{\mathrm{d}t} = m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta
On en déduit :
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\Lambda}}{\mathrm{d}t} = m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta - m K \dot{\theta} \boldsymbol{e}_\theta = \mathbf{0}
L'assertion A est donc exacte (et l'assertion D n'a de surcroît aucun sens physique ni mathématique pour des vecteurs).
2. Produit scalaire \boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} :
Calculons le produit scalaire :
\boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} = (\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) \cdot \boldsymbol{L} - m K (\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{L})
- Par propriété du produit mixte, (\boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L}) \cdot \boldsymbol{L} = 0 car le vecteur \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{L} est orthogonal à \boldsymbol{L}.
- De plus, par définition du moment cinétique, \boldsymbol{L} = (r\boldsymbol{e}_r) \times \boldsymbol{p}, donc \boldsymbol{L} est orthogonal à \boldsymbol{e}_r, d'où \boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{L} = 0.
On a donc rigoureusement :
\boldsymbol{\Lambda} \cdot \boldsymbol{L} = 0
L'assertion B est donc exacte, et l'assertion C est fausse.
\boxed{\text{Les affirmations exactes sont A et B.}}
Résultat
$Les affirmations exactes sont A et B.$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q30
Examinons successivement chacune des affirmations :
- Affirmation B : Par définition de la traînée aérodynamique s'exerçant sur un corps en mouvement dans un fluide, la force de frottement s'oppose à la vitesse relative par rapport au milieu :
  \boldsymbol{F}_f = -\alpha(v)\,\boldsymbol{v} \quad (\text{avec } \alpha(v) > 0)
  Le vecteur force de frottement est donc bien colinéaire et de sens opposé au vecteur vitesse. L'affirmation B est exacte.
- Affirmation D : Appliquons le théorème du moment cinétique en C dans le référentiel galiléen \mathcal{R} :
  \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}) + \boldsymbol{\mathcal{M}}_C(\boldsymbol{F}_f) = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}_f = -\alpha(v)\,(\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}) \neq \boldsymbol{0}
  La force de frottement n'étant pas centrale, son moment par rapport à C n'est pas nul : le moment cinétique n'est plus conservé. L'affirmation D est fausse.
- Affirmation A : La force de frottement dissipe de l'énergie, de sorte que l'énergie mécanique \mathcal{E}_m diminue au cours du temps (\mathrm{d}\mathcal{E}_m/\mathrm{d}t = \boldsymbol{F}_f \cdot \boldsymbol{v} < 0). Or, pour une trajectoire quasi-circulaire de rayon r(t), l'énergie mécanique vaut d'après la question 29 :
  \mathcal{E}_m = -\frac{K}{2r}
  Une diminution de \mathcal{E}_m impose une diminution continue du rayon orbital r(t) (le satellite spiralise vers la Terre). La vitesse orbitale s'écrit alors :
  v_A = \sqrt{\frac{K}{m\,r}}
  Lorsque le rayon orbital r décroît, la vitesse v_A augmente : c'est le paradoxe du satellite freiné. En moyenne sur une révolution, le satellite accélère. L'affirmation A est fausse.
- Affirmation C : L'accélération du satellite sur son orbite quasi-circulaire est dominée par l'attraction gravitationnelle :
  a \approx \frac{v_A^2}{r} = \frac{K}{m\,r^2}
  Comme le rayon r diminue au cours du temps, la norme de l'accélération gravitationnelle augmente. De plus, la masse volumique de l'air augmentant fortement lorsque l'altitude diminue, la décélération tangentielle due à la traînée croît également. La norme de l'accélération totale augmente donc au cours du temps. L'affirmation C est exacte.
\boxed{\text{Les affirmations exactes sont B et C.}}
Résultat
$Les affirmations exactes sont B et C.$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2020, Q22
Dans la base polaire orthonormée (\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\varphi, \mathbf{e}_z), le vecteur position et le vecteur vitesse du point matériel T s'écrivent :
\begin{aligned} \mathbf{r} &= r\,\mathbf{e}_r \\ \mathbf{v} &= \dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi \end{aligned}
Le moment cinétique par rapport au centre O s'en déduit par produit vectoriel :
\begin{aligned} \mathbf{L}_O &= \mathbf{r} \times (M_T \mathbf{v}) \\ &= r\,\mathbf{e}_r \times M_T \left(\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi\right) \\ &= M_T r^2 \dot{\varphi}\,\mathbf{e}_z \end{aligned}
La projection sur l'axe orthogonal au plan orbital fournit donc la constante des aires sous la forme :
\frac{L_z}{M_T} = r^2 \dot{\varphi}
En introduisant l'expression polaire r = \dfrac{p}{1 + e\cos\varphi}, il vient :
r^2 = p^2 (1 + e\cos\varphi)^{-2}
Comme e \ll 1, le terme u = e\cos\varphi vérifie |u| \le e \ll 1. On effectue un développement limité d'ordre 1 au voisinage de zéro via la formule usuelle (1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u avec \alpha = -2 :
(1 + e\cos\varphi)^{-2} \approx 1 - 2e\cos\varphi
On en déduit l'approximation au premier ordre en e :
\boxed{\frac{L_z}{M_T} \approx p^2(1 - 2e\cos\varphi)\dot{\varphi}}
L'affirmation correcte est donc la proposition D.
Résultat
$\frac{L _{z}}{M _{T}} \approx p^{2} (1 - 2 e cos φ) \overset{φ}{˙}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

Corrigés rédigés et vérifiés par WikiPrépa. Notre méthode

WikiPrépa · wikiprepa.fr/concours · Corrigés WikiPrépa · Questions : discord.gg/HjBymsrYuR