Feuille d'entraînement : Induction électromagnétique

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 43 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q13· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
On oriente le cadre dans le sens trigonométrique (voir Figure 3). On note $t_{1}$ l'instant à partir duquel le cadre se trouve entièrement immergé dans la région $z > 0$ . Quelle est l'expression de la tension électromotrice (ou force électromotrice) $e (t)$ induite au cours de la chute du cadre? A) $e (t) = 0$ si $t < 0$ , $e (t) = - a B_{a} \overset{z}{˙}_{A}$ si $0 < t < t_{1}$ et $e (t) = 0$ si $t \geq t_{1}$ B) $e (t) = 0$ si $t < 0$ , $e (t) = a B_{a} \overset{z}{˙}_{A}$ si $0 < t < t_{1}$ et $e (t) = 0$ si $t \geq t_{1}$ C) $e (t) = 0$ si $t < 0$ , $e (t) = - a B_{a} \overset{z}{˙}_{A}$ si $t > 0$ D) $e (t) = 0$ si $t < 0$ , $e (t) = a B_{a} \overset{z}{˙}_{A}$ si $t > 0$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q15· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Établir, par rapport à $R$ , l'équation différentielle du mouvement de $A$ , le cadre étant supposé être en translation rectiligne, au cours de sa chute pour les instants compris entre l'instant initial et $t_{1}$ . A) $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = - g$ avec $τ = \frac{m R _{c}}{B _{a} a ^{2}}$ B) $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g$ avec $τ = \frac{m R _{c}}{B _{a}^{2} a ^{2}}$ C) $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = - g$ avec $τ = \frac{B _{a}^{2} a ^{2}}{m R _{c}}$ D) $\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g$ avec $τ = \frac{B _{a}^{2} a ^{2}}{m R _{c}}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2020, Q31· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
On note $Φ$ le flux du champ magnétique à travers le circuit et $Φ_{0}$ sa valeur particulière lorsque $θ = 0$ . En exprimant $Φ$ en fonction notamment de $Φ_{0}$ , déterminer à l'aide de la loi de Faraday la force électromotrice $e$ induite dans le circuit lors du mouvement du pendule. A) $e = - \frac{ℓ ^{2} B _{0}}{2} \dot{θ}$ B) $e = \frac{ℓ ^{2} B _{0}}{2} \dot{θ}$ C) $e = ℓ^{2} B_{0} \dot{θ}$ D) $e = \frac{ℓ ^{2} B _{0}}{4} \dot{θ}$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2025, Q26· Intermédiaire· ≈ 4 min
Déterminer $Γ_{L}$ le moment scalaire des forces de Laplace qui s'exercent sur le cadre par rapport à $Δ$ (orienté) : A) $Γ_{L} = 0$ B) $Γ_{L} = I L ℓ B cos (θ /2)$ C) $Γ_{L} = - I L ℓ B sin θ$ D) $Γ_{L} = m g ℓ$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2021, Q14· Intermédiaire· ≈ 4 min
Le cadre métallique présente une résistance $R_{c}$ . Déterminer l'expression de la force de Laplace $F_{L}$ à laquelle est soumis le cadre. A) $F_{L} (t) = 0$ si $t < 0$ et $F_{L} (t) = \frac{a ^{2} B _{a}^{2} z ˙ _{A}}{R _{c}} e_{z}$ si $t > 0$ et $F_{L} (t) = 0$ si $t \geq t_{1}$ B) $F_{L} (t) = 0$ si $t < 0$ et $F_{L} (t) = - \frac{4 a ^{2} B _{a}^{2} z ˙ _{A}}{R _{c}} e_{z}$ si $t > 0$ et $F_{L} (t) = 0$ si $t \geq t_{1}$ C) $F_{L} (t) = 0$ si $t < 0$ , $F_{L} (t) = - \frac{a ^{2} B _{a}^{2} z ˙ _{A}}{R _{c}} e_{z}$ si $0 < t < t_{1}$ et $F_{L} (t) = 0$ si $t \geq t_{1}$ D) $F_{L} (t) = 0$ si $t < 0$ , $F_{L} (t) = - \frac{a B _{a}^{2} z ˙ _{A}}{R _{c}} e_{z}$ si $0 < t < t_{1}$ et $F_{L} (t) = 0$ si $t \geq t_{1}$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q32· Intermédiaire· ≈ 4 min
Établir l'expression de l'intensité du courant électrique. A) $i = \frac{ℓ ^{2} C B _{0}}{2} \dot{θ}$ B) $i = \frac{ℓ ^{2} C B _{0}}{2} \ddot{θ}$ C) $i = ℓ^{2} C B_{0} \dot{θ}$ D) $i = - ℓ^{2} C B_{0} \ddot{θ}$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2020, Q33· Intermédiaire· ≈ 5 min
Exprimer le moment $M_{L, O}$ en $O$ des forces de Laplace qui s'exercent sur la tige. A) $M_{L, O} = - i B_{0} ℓ^{2} e_{z}$ B) $M_{L, O} = - \frac{i B _{0} ℓ ^{2}}{4} e_{z}$ C) $M_{L, O} = \frac{i B _{0} ℓ ^{2}}{2} e_{z}$ D) $M_{L, O} = - \frac{i B _{0} ℓ ^{2}}{2} e_{z}$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q16· Application directe· ≈ 2 min
Calculer $τ$ si $B_{a} = 1 T$ , $a = 5 cm$ , $m = 0, 1 kg$ et $R_{c} = 10 Ω$ . A) $τ = 4 s$ B) $τ = 400 s$ C) $τ = 4 min$ D) $τ = 1 min$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q18· Intermédiaire· ≈ 3 min
On considère désormais le dispositif de la figure 4. Le cadre $A B C D$ présente un interrupteur $K$ qui permet de modifier le circuit fermé dans lequel pourrait circuler un éventuel courant induit: si $K$ est en position 1 (point $K_{1}$ ), le circuit fermé est la spire rectangulaire $A M K_{1} D$ ; si $K$ est en position 2 (point $K_{2}$ ), le circuit fermé est la spire rectangulaire $A B C D$ . Que peut-on dire sur $e (t)$ si on maintient le cadre immobile et on commute soudainement $K$ de la position 1 à la position 2 ? Ici encore, le cadre est orienté dans le sens trigonométrique. A) $e (t) < 0$ B) $e (t) = 0$ C) $e (t) > 0$ D) On ne peut rien dire $a$ priori
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2020, Q34· Exigeant· ≈ 8 min
L'équation du mouvement se met sous la forme suivante:
$\ddot{θ} + ω_{1}^{2} sin θ = 0$
où $ω_{1}$ est une constante temporelle. Déterminer $ω_{1}$ . A) $ω_{1} = (\frac{g}{ℓ})^{1/2} (1 + \frac{ℓ ^{2} B _{0}^{2} C}{2 m})^{- 1/2}$ B) $ω_{1} = (\frac{g}{ℓ})^{1/2} (1 - \frac{ℓ ^{2} B _{0}^{2} C}{4 m})^{- 1/2}$ C) $ω_{1} = (\frac{g}{ℓ})^{1/2} (1 + \frac{ℓ ^{2} B _{0}^{2} C}{4 m})^{- 1/2}$ D) $ω_{1} = (\frac{g}{ℓ})^{1/2} (1 + \frac{2 ℓ ^{2} B _{0}^{2} C}{m})^{- 1/2}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2021, Q13
Le trièdre cartésien \{O, \boldsymbol{e}_x, \boldsymbol{e}_y, \boldsymbol{e}_z\} est orthonormé direct. Avec \boldsymbol{e}_x horizontal vers la droite et \boldsymbol{e}_z vertical descendant, l'axe Oy est orienté vers l'avant (vers l'observateur), comme l'indique le symbole \odot y sur la figure 3.
Le contour du cadre ABCD est orienté dans le sens trigonométrique (sens anti-horaire dans le plan (x, -z)). Par la règle de la main droite, le vecteur normal à la surface délimitée par le contour est :
\boldsymbol{n} = \boldsymbol{e}_y
Distinguons les trois phases temporelles :
- Pour t < 0 : le cadre est entièrement dans la région z < 0 où le champ magnétique est nul (\boldsymbol{B} = \mathbf{0}). Le flux est donc nul :
  \Phi(t) = 0 \implies e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = 0
- Pour 0 < t < t_1 : le cadre pénètre progressivement dans la région z > 0. La longueur de la partie immergée selon l'axe vertical est z_A(t) (la cote du segment inférieur AB), tandis que sa largeur est a. La surface immergée est donc \mathcal{S}_{\text{imm}} = a z_A. Le flux magnétique à travers le contour orienté s'écrit :
  \Phi(t) = \iint \boldsymbol{B}_a \cdot \boldsymbol{n}\,\mathrm{d}S = (-B_a \boldsymbol{e}_y) \cdot \boldsymbol{e}_y \, (a z_A) = - a B_a z_A(t)
  D'après la loi de Faraday :
  e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(- a B_a z_A(t)\right) = a B_a \dot{z}_A
- Pour t \ge t_1 : le cadre est entièrement immergé dans la région z > 0. Le champ \boldsymbol{B}_a y étant uniforme et le cadre indéformable d'aire a^2, le flux est constant :
  \Phi(t) = - a^2 B_a = \text{Cte} \implies e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = 0
On en déduit que l'affirmation B est la seule exacte.
\boxed{\text{B}}
Résultat
$B$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2021, Q15
On étudie le cadre métallique de masse m dans le référentiel \mathcal{R} du laboratoire, supposé galiléen. Le cadre étant en translation rectiligne selon l'axe vertical (Oz), tous ses points ont la même accélération \ddot{z}_A \boldsymbol{e}_z.
Pour 0 < t < t_1, le système est soumis à deux forces extérieures :
- son poids : \boldsymbol{P} = m \boldsymbol{g} = m g \boldsymbol{e}_z (l'axe (Oz) étant orienté vers le bas) ;
- la force de Laplace, obtenue à la question 14 : \boldsymbol{F}_L = -\dfrac{a^2 B_a^2 \dot{z}_A}{R_c} \boldsymbol{e}_z.
D'après le principe fondamental de la dynamique :
m \ddot{z}_A \boldsymbol{e}_z = \boldsymbol{P} + \boldsymbol{F}_L
En projetant sur le vecteur unitaire \boldsymbol{e}_z, on obtient :
\begin{aligned} m \ddot{z}_A &= m g - \frac{a^2 B_a^2}{R_c} \dot{z}_A \\ \ddot{z}_A + \frac{a^2 B_a^2}{m R_c} \dot{z}_A &= g \end{aligned}
En introduisant le temps caractéristique \tau = \dfrac{m R_c}{B_a^2 a^2}, l'équation différentielle s'écrit :
\boxed{\ddot{z}_A + \frac{\dot{z}_A}{\tau} = g \quad \text{avec} \quad \tau = \frac{m R_c}{B_a^2 a^2}}
L'affirmation correcte est donc la B.
Résultat
$\overset{z}{¨}_{A} + \frac{z ˙ _{A}}{τ} = g avec τ = \frac{m R _{c}}{B _{a}^{2} a ^{2}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2020, Q31
Le repère (\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z) est orthonormé direct : \mathbf{e}_x est vertical descendant, \mathbf{e}_y est horizontal vers la droite et \mathbf{e}_z = \mathbf{e}_x \wedge \mathbf{e}_y pointe vers l'observateur (vecteur orthogonal au plan du mouvement).
Le contour du circuit est orienté dans le sens trigonométrique dans le plan (\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y), comme l'indique la flèche courbe munie d'un signe + sur la figure. D'après la règle du tire-bouchon de Maxwell (ou de la main droite), le vecteur surface élémentaire est orienté selon +\mathbf{e}_z :
\mathrm{d}\mathbf{S} = \mathrm{d}S\,\mathbf{e}_z
Lorsque le pendule s'écarte d'un angle \theta à partir de la verticale descendante (\theta = 0), la tige OA balaye un secteur circulaire d'aire :
\Delta S = \frac{1}{2}\,\ell^2\,\theta
L'aire totale délimitée par le circuit s'écrit donc :
S(\theta) = S_0 + \frac{1}{2}\,\ell^2\,\theta
où S_0 est l'aire du circuit lorsque \theta = 0.
Le champ magnétique \mathbf{B} = B_0\,\mathbf{e}_z étant uniforme et stationnaire, le flux magnétique à travers le circuit vaut :
\Phi(\theta) = \iint_{\text{circuit}} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = B_0\,S(\theta) = \Phi_0 + \frac{1}{2}\,B_0\,\ell^2\,\theta
où \Phi_0 = B_0 S_0 désigne le flux à \theta = 0.
D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite e est donnée par :
e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\Phi_0 + \frac{1}{2}\,B_0\,\ell^2\,\theta\right)
D'où :
\boxed{e = -\frac{\ell^2 B_0}{2}\,\dot{\theta}}
Ce résultat correspond à la proposition A.
Résultat
$e = - \frac{ℓ ^{2} B _{0}}{2} \dot{θ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2025, Q26
Le champ magnétique \boldsymbol{B} = B\,\boldsymbol{e}_x est uniforme et stationnaire.
Analysons la contribution de chaque côté du cadre au moment scalaire par rapport à l'axe \Delta = (O, \boldsymbol{e}_z) :
- Le côté CO est confondu avec l'axe \Delta : la distance de ses points à l'axe est nulle, son moment est donc nul.
- Pour les côtés OA et DC, un élément de courant I\mathrm{d}\boldsymbol{r} est colinéaire au vecteur unitaire radial \boldsymbol{u}_r = \sin\theta\,\boldsymbol{e}_x - \cos\theta\,\boldsymbol{e}_y. La force de Laplace élémentaire s'écrit :
  \mathrm{d}\boldsymbol{F} = I\mathrm{d}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{B} \propto (\sin\theta\,\boldsymbol{e}_x - \cos\theta\,\boldsymbol{e}_y) \times \boldsymbol{e}_x = \cos\theta\,\boldsymbol{e}_z
  Cette force étant colinéaire à l'axe \Delta, son moment par rapport à tout point de l'axe est orthogonal à \boldsymbol{e}_z, de sorte que sa projection sur l'axe \Delta est strictement nulle.
- Seul le côté AD contribue au moment scalaire par rapport à \Delta.
Sur le côté AD, le vecteur déplacement élémentaire est orienté dans le sens du courant, soit \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\mathrm{d}z\,\boldsymbol{e}_z. La résultante des forces de Laplace sur ce segment s'écrit :
\begin{aligned} \boldsymbol{F}_{AD} &= \int_A^D I\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \times \boldsymbol{B} \\ &= I(-L\,\boldsymbol{e}_z) \times (B\,\boldsymbol{e}_x) \\ &= -ILB\,(\boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{e}_x) \\ &= -ILB\,\boldsymbol{e}_y \end{aligned}
Le moment scalaire de cette force par rapport à l'axe \Delta s'obtient en choisissant le point A comme point d'application :
\begin{aligned} \boldsymbol{\Gamma}_O(\boldsymbol{F}_{AD}) &= \mathbf{OA} \times \boldsymbol{F}_{AD} \\ &= (\ell\sin\theta\,\boldsymbol{e}_x - \ell\cos\theta\,\boldsymbol{e}_y) \times (-ILB\,\boldsymbol{e}_y) \\ &= -\ell ILB\sin\theta\,(\boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{e}_y) \\ &= -IL\ell B\sin\theta\,\boldsymbol{e}_z \end{aligned}
En projetant sur le vecteur unitaire \boldsymbol{e}_z qui oriente l'axe \Delta, on obtient le moment scalaire \Gamma_L :
\boxed{\Gamma_L = -IL\ell B\sin\theta}
La réponse correcte est la proposition C.
Résultat
$Γ_{L} = - I L ℓ B sin θ$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2021, Q14
L'auto-inductance du cadre étant négligée, le courant induit i(t) vérifie la loi d'Ohm en régime quasi-stationnaire :
i(t) = \frac{e(t)}{R_c}
D'après la question 13, e(t) = 0 pour t < 0 et pour t \ge t_1, d'où \boldsymbol{F}_L = \mathbf{0} en dehors de l'intervalle ]0, t_1[.
Pour 0 < t < t_1, la force électromotrice vaut e(t) = a B_a \dot{z}_A, ce qui donne une intensité :
i(t) = \frac{a B_a \dot{z}_A}{R_c}
Le cadre étant orienté dans le sens trigonométrique (A \to B \to C \to D \to A) :
- Le côté supérieur CD est encore hors du champ magnétique (z < 0), donc il ne subit aucune force de Laplace.
- Les brins verticaux DA et BC sont partiellement immergés sur la même longueur z_A. Les courants qui y circulent étant de sens opposés (+i\boldsymbol{e}_z le long de DA et -i\boldsymbol{e}_z le long de BC), les forces de Laplace associées :
  \boldsymbol{F}_{DA} = i z_A \boldsymbol{e}_z \times (-B_a \boldsymbol{e}_y) = i z_A B_a \boldsymbol{e}_x \quad \text{et} \quad \boldsymbol{F}_{BC} = -i z_A B_a \boldsymbol{e}_x
  sont opposées et se compensent exactement : \boldsymbol{F}_{DA} + \boldsymbol{F}_{BC} = \mathbf{0}.
- Le côté inférieur AB, de longueur a, est totalement immergé dans la région z > 0. Le vecteur déplacement élémentaire orienté est \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathrm{d}x\,\boldsymbol{e}_x. La force de Laplace sur ce segment s'écrit donc :
  \boldsymbol{F}_{AB} = \int_A^B i\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \times \boldsymbol{B}_a = i a \boldsymbol{e}_x \times (-B_a \boldsymbol{e}_y) = -i a B_a \boldsymbol{e}_z
En remplaçant l'expression de i(t), la force de Laplace totale subie par le cadre pour 0 < t < t_1 est :
\boldsymbol{F}_L(t) = -\frac{a^2 B_a^2 \dot{z}_A}{R_c}\boldsymbol{e}_z
Elle est nulle pour t < 0 et pour t \ge t_1 (car le flux est alors constant et i = 0).
L'affirmation exacte est l'affirmation C.
\boxed{\boldsymbol{F}_L(t) = \mathbf{0} \text{ si } t < 0, \quad \boldsymbol{F}_L(t) = -\frac{a^2B_a^2\dot{z}_A}{R_c}\boldsymbol{e}_z \text{ si } 0 < t < t_1 \quad \text{et} \quad \boldsymbol{F}_L(t) = \mathbf{0} \text{ si } t \ge t_1}
Résultat
$F_{L} (t) = 0 si t < 0, F_{L} (t) = - \frac{a ^{2} B _{a}^{2} z ˙ _{A}}{R _{c}} e_{z} si 0 < t < t_{1} et F_{L} (t) = 0 si t \geq t_{1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2020, Q32
Le circuit ne comportant aucune résistance, la loi des mailles (en orientant le circuit selon le sens de parcours défini par le sujet) relie directement la tension aux bornes du condensateur u_C à la force électromotrice induite e :
u_C(t) = e(t)
D'après la relation caractéristique d'un condensateur de capacité C parcouru par le courant i(t) :
i(t) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\,\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}
En utilisant l'expression de la f.e.m. établie à la question précédente (au signe près selon les conventions d'armature choisies) :
i(t) = C\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\ell^2 B_0}{2}\dot{\theta}\right) = \frac{\ell^2 C B_0}{2}\ddot{\theta}
Parmi les propositions fournies, seule la proposition B présente le préfacteur \frac{\ell^2 C B_0}{2} associé à l'accélération angulaire \ddot{\theta}.
\boxed{i = \frac{\ell^2 C B_0}{2}\ddot{\theta}}
L'affirmation correcte est la B.
Résultat
$i = \frac{ℓ ^{2} C B _{0}}{2} \ddot{θ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2020, Q33
Dans le repère polaire lié au pendule, le vecteur unitaire radial dirigé le long de la tige de O vers A est :
\mathbf{u}_r = \cos\theta\,\mathbf{e}_x + \sin\theta\,\mathbf{e}_y
Le vecteur orthoradial \mathbf{u}_\theta est tel que la base (\mathbf{u}_r, \mathbf{u}_\theta, \mathbf{e}_z) soit orthonormée directe (\mathbf{u}_r \wedge \mathbf{u}_\theta = \mathbf{e}_z).
D'après le sens de circulation choisi pour l'intensité i(t), le courant traverse la tige de O vers A. Un élément de tige centré en un point M repéré par \mathbf{OM} = r\,\mathbf{u}_r (avec r \in [0, \ell]) et de longueur \mathrm{d}r est orienté par le vecteur déplacement :
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mathrm{d}r\,\mathbf{u}_r
Cet élément subit la force de Laplace élémentaire :
\begin{aligned} \mathrm{d}\mathbf{F}_L &= i\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \wedge \mathbf{B} \\ &= i\,\mathrm{d}r\,\mathbf{u}_r \wedge (B_0\,\mathbf{e}_z) \\ &= - i B_0\,\mathrm{d}r\,\mathbf{u}_\theta \end{aligned}
puisque \mathbf{u}_r \wedge \mathbf{e}_z = -\mathbf{u}_\theta.
Le moment élémentaire en O de cette force est :
\begin{aligned} \mathrm{d}\mathbf{M}_{L,O} &= \mathbf{OM} \wedge \mathrm{d}\mathbf{F}_L \\ &= (r\,\mathbf{u}_r) \wedge (-i B_0\,\mathrm{d}r\,\mathbf{u}_\theta) \\ &= -i B_0\,r\,\mathrm{d}r\,(\mathbf{u}_r \wedge \mathbf{u}_\theta) \\ &= -i B_0\,r\,\mathrm{d}r\,\mathbf{e}_z \end{aligned}
Le moment résultant en O s'obtient par intégration sur la tige, de r = 0 à r = \ell :
\begin{aligned} \mathbf{M}_{L,O} &= \int_{r=0}^{\ell} -i B_0\,r\,\mathrm{d}r\,\mathbf{e}_z \\ &= -i B_0 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^\ell \mathbf{e}_z \end{aligned}
\boxed{\mathbf{M}_{L,O} = -\frac{i B_0 \ell^2}{2}\,\mathbf{e}_z}
La réponse correcte est la proposition D.
Résultat
$M_{L, O} = - \frac{i B _{0} ℓ ^{2}}{2} e_{z}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q16
D'après la question Q15, le temps caractéristique de freinage s'exprime par :
\tau = \frac{m R_c}{B_a^2 a^2}
On effectue l'application numérique en convertissant la longueur a en mètres :
- m = 0{,}1\text{ kg}
- R_c = 10\ \Omega
- B_a = 1\text{ T}
- a = 5\text{ cm} = 5 \times 10^{-2}\text{ m}
Il vient :
\begin{aligned} \tau &= \frac{0{,}1 \times 10}{1^2 \times (5 \times 10^{-2})^2} \\ &= \frac{1}{25 \times 10^{-4}} \\ &= \frac{10\,000}{25} = 400\text{ s} \end{aligned}
\boxed{\tau = 400\text{ s}}
L'affirmation correcte est donc l'affirmation B.
Résultat
$τ = 400 s$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q18
Le champ électromoteur total responsable de l'apparition d'une force électromotrice dans un circuit s'écrit :
\boldsymbol{E}_m = \boldsymbol{E}_{\text{ind}} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}
où \boldsymbol{E}_{\text{ind}} est le champ électrique induit associé à la variation temporelle du champ magnétique (induction de Neumann) et \boldsymbol{v} est la vitesse des éléments de conducteur dans le référentiel d'étude \mathcal{R} (induction de Lorentz).
Or, ici :
- le champ magnétique appliqué \boldsymbol{B}_a est stationnaire : \dfrac{\partial \boldsymbol{B}_a}{\partial t} = \mathbf{0}, donc le champ d'induction de Neumann est nul (\boldsymbol{E}_{\text{ind}} = \mathbf{0}) ;
- le cadre est maintenu immobile dans \mathcal{R} : la vitesse de chaque élément conducteur est nulle (\boldsymbol{v} = \mathbf{0}), donc le terme de Lorentz est nul.
Ainsi, le champ électromoteur est strictement nul en tout point du circuit :
\boldsymbol{E}_m = \mathbf{0}
La force électromotrice induite, définie par la circulation de \boldsymbol{E}_m le long du circuit, est par conséquent rigoureusement nulle :
e(t) = \oint \boldsymbol{E}_m \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = 0
La réponse correcte est la proposition B.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2020, Q34
On étudie le système constitué de la tige et de la masselotte dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. La tige étant de masse négligeable et la masselotte ponctuelle de masse m située à la distance \ell de O, le moment d'inertie du système par rapport à l'axe (O, \mathbf{e}_z) est :
J_{\Delta} = m\ell^2
Les actions mécaniques exerçant un moment non nul par rapport à l'axe de rotation en O sont :
- Le poids de la masselotte : \mathbf{P} = mg\,\mathbf{e}_x. Le point A a pour vecteur position \mathbf{OA} = \ell\cos\theta\,\mathbf{e}_x + \ell\sin\theta\,\mathbf{e}_y, d'où :
  \mathbf{M}_{P,O} = \mathbf{OA} \wedge \mathbf{P} = -mg\ell\sin\theta\,\mathbf{e}_z
- Les forces de Laplace dont le moment a été établi à la question Q33 :
  \mathbf{M}_{L,O} = -\frac{i B_0 \ell^2}{2}\,\mathbf{e}_z
D'après le théorème du moment cinétique appliqué en projection sur l'axe (O, \mathbf{e}_z) :
\begin{aligned} J_{\Delta}\ddot{\theta} &= M_{P,z} + M_{L,z} \\ m\ell^2 \ddot{\theta} &= -mg\ell\sin\theta - \frac{i B_0 \ell^2}{2} \end{aligned}
D'après le résultat de la question Q32, le courant induit s'écrit i = \dfrac{\ell^2 C B_0}{2}\ddot{\theta}. En remplaçant i dans le terme de Laplace :
\begin{aligned} m\ell^2 \ddot{\theta} &= -mg\ell\sin\theta - \frac{B_0 \ell^2}{2} \left(\frac{\ell^2 C B_0}{2}\ddot{\theta}\right) \\ \left(m\ell^2 + \frac{\ell^4 B_0^2 C}{4}\right)\ddot{\theta} + mg\ell\sin\theta &= 0 \end{aligned}
En divisant l'ensemble par m\ell^2 :
\left(1 + \frac{\ell^2 B_0^2 C}{4m}\right)\ddot{\theta} + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0
Soit sous la forme \ddot{\theta} + \omega_1^2 \sin\theta = 0 :
\omega_1^2 = \frac{\dfrac{g}{\ell}}{1 + \dfrac{\ell^2 B_0^2 C}{4m}}
\boxed{\omega_1 = \left(\frac{g}{\ell}\right)^{1/2}\left(1 + \frac{\ell^2 B_0^2 C}{4m}\right)^{-1/2}}
La proposition correcte est la C.
Résultat
$ω_{1} = (\frac{g}{ℓ})^{1/2} (1 + \frac{ℓ ^{2} B _{0}^{2} C}{4 m})^{- 1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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