Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2025 (page 2/2 : Parties 4, 5 et 6)

Le fluide étudié est un gaz parfait, il vérifie donc la première loi de Joule : son énergie interne U ne dépend que de sa température thermodynamique T. Pour une transformation quelconque entre deux états à des températures T_A et T_B, la variation d'énergie interne s'écrit :

où C_V est la capacité thermique à volume constant du gaz.

La transformation B \rightarrow C étant une isotherme à la température T_B = T_C, la température de l'état B est égale à celle de l'état C :

On en déduit immédiatement :

La réponse correcte est la proposition C.

La transformation B \rightarrow C étant réversible, la pression extérieure exercée sur le gaz est à tout instant égale à la pression interne du gaz : p_{\text{ext}} = p.

Pour un gaz parfait maintenu à la température constante T_B = T_C, l'équation d'état donne :

Le travail des forces de pression algébriquement reçu par le système entre l'état B (de volume V_B = V_A, l'étape A \rightarrow B étant isochore) et l'état C (de volume V_C) s'écrit :

La proposition correcte est donc la proposition A.

D'après les définitions de l'énoncé :

L'équation d'état des gaz parfaits appliquée au gaz dans l'état A donne :

Le facteur n R T_C intervenant dans le travail W_{BC} s'écrit donc :

En reportant cette relation ainsi que l'expression de \frac{V_C}{V_A} dans le travail W_{BC} = -n R T_C \ln\left(\frac{V_C}{V_A}\right) obtenu à la question Q20, on obtient :

La réponse correcte est la proposition B.

Le gaz parfait subit une transformation isotherme entre l'état B et l'état C à la température T_B = T_C.

D'après la première loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au gaz parfait entre les états B et C :

Comme la variation d'énergie interne est nulle, on en déduit directement :

L'item B est donc vérifié. Comme W_{BC} < 0 (détente), on a Q_{BC} > 0, ce qui exclut l'item A (Q_{BC} = 0), ainsi que les items C et D (car \Delta_B^C U = 0 \neq Q_{BC}).

La transformation C \rightarrow A est une compression isobare réversible à la pression p = p_A = p_C.

Calcul du travail W_{CA} : Par définition du travail des forces de pression pour une transformation quasistatique :

Comme l'énoncé définit l'écart de volume par \Delta V = V_C - V_A, il vient V_A - V_C = -\Delta V, d'où :

Ce travail est positif, ce qui est cohérent avec le fait qu'il s'agit d'une compression. La proposition C est donc exacte.

Calcul du transfert thermique Q_{CA} : Pour un système fermé subissant une transformation isobare sans autre travail que celui des forces de pression, le premier principe s'écrit sous forme enthalpique :

D'après la seconde loi de Joule, l'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de sa température, et sa variation s'exprime au moyen de la capacité thermique à pression constante C_P :

L'écart de température étant défini par \Delta T = T_C - T_A, on en déduit :

Ce transfert thermique est négatif, le gaz se refroidissant le long de cette isobare. La proposition B est donc exacte.

1. Expression de \Delta V / \Delta T :

La transformation C \to A est isobare à la pression p_C = p_A. L'équation d'état du gaz parfait pour les états A et C s'écrit :

En effectuant la différence membre à membre :

On en déduit :

La proposition B est donc correcte (et A est fausse).

2. Relation entre C_P et C_V :

L'énergie interne U étant une fonction d'état, sa variation sur le cycle complet A \to B \to C \to A est nulle :

Rappelons les résultats obtenus précédemment :

• Pour l'isochore A \to B (Q19) : \Delta_A^B U = C_V \Delta T ;
• Pour l'isotherme B \to C (Q22) : \Delta_B^C U = 0.

Pour la compression isobare C \to A, le premier principe donne :

D'après les résultats de la question Q23, W_{CA} = p_A \Delta V et Q_{CA} = -C_P \Delta T, d'où :

Le bilan sur le cycle s'écrit alors :

Soit, en réorganisant les termes :

La proposition C est donc correcte (et D est fausse).

Le cadre rectangulaire \mathrm{OADC} est homogène, de longueur L selon l'axe de rotation \Delta et de largeur \ell selon le vecteur \mathbf{OA}. Par symétrie, son centre d'inertie \mathrm{G} est situé au centre géométrique du rectangle :

L'angle \theta repère le vecteur \mathbf{OA} par rapport à la verticale descendante -\boldsymbol{e}_y, orienté positivement vers \boldsymbol{e}_x autour de \boldsymbol{e}_z. Les coordonnées de \mathbf{OA} s'écrivent :

Le vecteur position du centre d'inertie est donc :

Le champ de pesanteur étant \boldsymbol{g} = -g\boldsymbol{e}_y, le poids total du cadre s'écrit \boldsymbol{P} = -mg\boldsymbol{e}_y. Le moment scalaire du poids par rapport à l'axe \Delta orienté par \boldsymbol{e}_z vaut :

Comme \boldsymbol{e}_x \times \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z, \boldsymbol{e}_y \times \boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{0} et \boldsymbol{e}_z \times \boldsymbol{e}_y = -\boldsymbol{e}_x, on obtient :

D'où le moment scalaire par rapport à \Delta :

La proposition B est correcte.

Le champ magnétique \boldsymbol{B} = B\,\boldsymbol{e}_x est uniforme et stationnaire.

Analysons la contribution de chaque côté du cadre au moment scalaire par rapport à l'axe \Delta = (O, \boldsymbol{e}_z) :

• Le côté CO est confondu avec l'axe \Delta : la distance de ses points à l'axe est nulle, son moment est donc nul.

• Pour les côtés OA et DC, un élément de courant I\mathrm{d}\boldsymbol{r} est colinéaire au vecteur unitaire radial \boldsymbol{u}_r = \sin\theta\,\boldsymbol{e}_x - \cos\theta\,\boldsymbol{e}_y. La force de Laplace élémentaire s'écrit :

  \mathrm{d}\boldsymbol{F} = I\mathrm{d}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{B} \propto (\sin\theta\,\boldsymbol{e}_x - \cos\theta\,\boldsymbol{e}_y) \times \boldsymbol{e}_x = \cos\theta\,\boldsymbol{e}_z

  Cette force étant colinéaire à l'axe \Delta, son moment par rapport à tout point de l'axe est orthogonal à \boldsymbol{e}_z, de sorte que sa projection sur l'axe \Delta est strictement nulle.

• Seul le côté AD contribue au moment scalaire par rapport à \Delta.

Sur le côté AD, le vecteur déplacement élémentaire est orienté dans le sens du courant, soit \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\mathrm{d}z\,\boldsymbol{e}_z. La résultante des forces de Laplace sur ce segment s'écrit :

Le moment scalaire de cette force par rapport à l'axe \Delta s'obtient en choisissant le point A comme point d'application :

En projetant sur le vecteur unitaire \boldsymbol{e}_z qui oriente l'axe \Delta, on obtient le moment scalaire \Gamma_L :

La réponse correcte est la proposition C.

Le cadre métallique OADC est en liaison pivot parfaite autour de l'axe fixe horizontal \Delta. Dans le référentiel du laboratoire galiléen, la condition d'équilibre de rotation s'écrit :

En utilisant les expressions des moments scalaires du poids et des forces de Laplace établies aux questions Q25 et Q26 :

Le moment scalaire total par rapport à l'axe \Delta s'écrit :

À l'équilibre, on a donc :

Les grandeurs m, g, \ell, I, L et B étant strictement positives, le facteur entre parenthèses est strictement positif. L'équation se réduit ainsi à :

Sur une révolution angulaire complète (modulo 2\pi), cette équation admet deux positions d'équilibre :

Les réponses A et B sont donc exactes.

Le référentiel du laboratoire \mathcal{R} étant galiléen et l'axe \Delta fixe, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au cadre s'écrit :

En utilisant les expressions des moments établies aux questions Q25 et Q26 :

Pour \theta_e = 0, en effectuant un développement limité au premier ordre pour les petites oscillations (\sin\theta \approx \theta) :

Le coefficient devant \theta étant strictement positif, il s'agit bien d'un oscillateur harmonique stable. L'équation se met sous la forme canonique \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 avec :

La période des petites oscillations est reliée à la pulsation propre par T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, ce qui donne :

La proposition correcte est donc la proposition C.

D'après la question Q28, l'équation différentielle du mouvement du cadre en rotation autour de l'axe fixe \Delta s'écrit :

En multipliant cette équation par la vitesse angulaire \dot{\theta}, on obtient par intégration par rapport au temps la conservation de l'énergie mécanique E_m :

L'énergie potentielle totale associée au poids et aux forces de Laplace s'exprime donc, à une constante additive près choisie nulle, par :

L'énergie mécanique s'écrit alors :

À l'instant initial t = 0, le cadre est lancé depuis \theta(0) = 0 avec la vitesse angulaire \dot{\theta}(0) > 0 :

À la position \theta = \frac{\pi}{2}, la vitesse angulaire s'annule (\dot{\theta} = 0) :

La conservation de l'énergie mécanique E_m(0) = E_m\left(\frac{\pi}{2}\right) conduit à :

Comme \dot{\theta}(0) > 0, on en déduit :

La réponse correcte est la proposition D.

En l'absence de champ magnétique (B = 0) et de frottements, l'énergie mécanique du cadre dans le référentiel galiléen du laboratoire est conservée :

À l'instant initial t = 0, avec \theta(0) = 0 et \dot{\theta}(0) = \left(\dfrac{3mg\ell}{J_z}\right)^{1/2}, l'énergie mécanique vaut :

Au cours du mouvement, l'énergie cinétique s'exprime par :

La vitesse angulaire en valeur absolue |\dot{\theta}| atteint son minimum lorsque \cos\theta est minimal, soit pour \cos\theta = -1, c'est-à-dire en position haute \theta = \pi \pmod{2\pi} :

L'énergie cinétique étant strictement positive au sommet, le cadre franchit la position la plus haute : le mouvement est révolutif (rotations complètes dans le même sens). La vitesse angulaire minimale en valeur absolue est donc :

La proposition B est correcte.

Le générateur de tension idéal impose entre les points P et M la tension :

D'après le schéma de la figure 2, la branche médiane est constituée de l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C et d'impédance \underline{Z}_C = \frac{1}{jC\omega}, reliée entre les potentiels V_P et V_M.

La tension de sortie du filtre \mathrm{F}_1 est la tension aux bornes du condensateur :

Aucun courant n'étant prélevé en sortie (filtre en régime à vide), la formule du diviseur de tension donne directement :

La fonction de transfert complexe \underline{H}_1 s'écrit donc :

La proposition A est exacte.

La branche droite est connectée directement aux bornes du générateur de tension idéal, de sorte que la tension totale à ses bornes est \underline{u}_{PM} = \underline{e}.

Cette branche est constituée de l'association en série d'un condensateur de capacité C' = C/2 et d'un résistor de résistance R' = 2R. Les impédances complexes associées s'écrivent :

La sortie du filtre \mathrm{F}_2 n'étant connectée à aucune charge (sortie à vide), le courant circulant dans la branche traverse successivement C' puis R'. D'après la formule du diviseur de tension, la tension complexe \underline{u}_{BM} aux bornes du résistor R' vaut :

En simplifiant par 2 puis en multipliant le numérateur et le dénominateur par jC\omega, on obtient :

La réponse correcte est la proposition D.

D'après les conventions de fléchage des tensions (Fig. 3), la tension de sortie du filtre \mathrm{F} s'écrit en termes de potentiels :

En passant aux grandeurs complexes associées :

La fonction de transfert complexe \underline{\mathrm{H}} du filtre \mathrm{F} s'obtient en divisant par la tension d'entrée \underline{e} :

En utilisant les expressions établies aux questions Q31 et Q32 :

La réponse correcte est la proposition B.

D'après le résultat de la question Q33, la fonction de transfert du filtre \mathrm{F} s'écrit :

Calculons le gain de ce filtre en déterminant le module de \underline{\mathrm{H}}(\omega) :

Le gain en tension est strictement constant et égal à 1 (soit 0\text{ dB}) pour toute valeur de la pulsation \omega \in [0, +\infty[. Toutes les composantes spectrales sont transmises sans aucune atténuation d'amplitude : il s'agit d'un filtre tout-passe (ou déphaseur pur).

Par conséquent, le filtre \mathrm{F} n'est ni un passe-bas, ni un passe-haut, ni un passe-bande, ni un intégrateur (dont la fonction de transfert varierait en 1/(j\omega)).

Conformément à la consigne générale du concours :

D'après la question Q33, la fonction de transfert du filtre \mathrm{F} s'écrit :

Le déphasage \varphi(\omega) de la tension u_{AB}(t) par rapport à la tension d'entrée e(t) correspond à l'argument de \underline{\mathrm{H}}(\omega) :

Pour tout \omega \geqslant 0, la partie réelle des deux nombres complexes est strictement positive (1 > 0). Par conséquent :

On en déduit l'expression du déphasage :

Examinons l'évolution de \varphi(\omega) sur l'intervalle [0, +\infty[ :

• En basse fréquence (\omega \to 0) : \arctan(0) = 0, donc \varphi(0) = 0 ;
• En haute fréquence (\omega \to +\infty) : \lim_{\omega \to +\infty}\arctan(RC\omega) = \frac{\pi}{2}, donc \lim_{\omega \to +\infty}\varphi(\omega) = -2 \times \frac{\pi}{2} = -\pi.

La fonction \arctan étant strictement croissante sur \mathbb{R}^+, \varphi(\omega) est une fonction strictement décroissante qui varie continûment de 0 à -\pi.

La réponse C est donc correcte.

Le générateur de tension alimentant le circuit est supposé idéal : la tension à ses bornes est donc strictement imposée par la fem e(t), indépendamment des dipôles connectés en parallèle entre les points \mathrm{P} et \mathrm{M}.

L'ajout de la troisième branche entre \mathrm{P} et \mathrm{M} ne modifie donc en rien les tensions aux bornes des branches préexistantes. En particulier :

Par conséquent, la tension différentielle reste inchangée :

Déterminons à présent la fonction de transfert \underline{\mathrm{H}}_3' = \frac{\underline{u}_{\mathrm{DM}}}{\underline{e}} du filtre \mathrm{F}_3 formé par cette nouvelle branche :

• Entre \mathrm{P} et \mathrm{D}, l'association en série de trois conducteurs ohmiques identiques de résistance R présente une résistance équivalente :

  R_{\mathrm{eq}} = R + R + R = 3R

• Entre \mathrm{D} et \mathrm{M}, l'association en série de trois condensateurs identiques de capacité C présente une capacité équivalente C_{\mathrm{eq}} telle que :

  \frac{1}{C_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} \implies C_{\mathrm{eq}} = \frac{C}{3}

  L'impédance équivalente de cette partie capacitive vaut ainsi :

  \underline{Z}_{\mathrm{DM}} = \frac{1}{j C_{\mathrm{eq}} \omega} = \frac{3}{j C \omega}

La sortie étant ouverte (non chargée), la formule du pont diviseur de tension donne directement :

On constate que le produit R_{\mathrm{eq}} C_{\mathrm{eq}} = (3R)\left(\frac{C}{3}\right) = RC, de sorte que :

On en déduit que seule la proposition A est vérifiée.

La réponse correcte est la proposition A.