Feuille d'entraînement : Premier et second principes de la thermodynamique

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 30 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2025, Q19· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Quelle est la variation d'énergie interne $Δ_{A}^{B} U$ du gaz lors de la transformation $A \to B$ ? A) $Δ_{A}^{B} U = 0$ B) $Δ_{A}^{B} U = C_{P} Δ T$ C) $Δ_{A}^{B} U = C_{V} Δ T$ D) $Δ_{A}^{B} U = (C_{P} - C_{V}) Δ T$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2025, Q20· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Quel est le travail $W_{B C}$ (algébriquement) reçu par le gaz lors de la transformation $B \to C$ ? A) $W_{B C} = - n R T_{C} ln (\frac{V _{C}}{V _{A}})$ B) $W_{B C} = n R T_{C} ln (\frac{V _{C}}{V _{A}})$ C) $W_{B C} = \frac{n R T _{C} V _{C}}{V _{A}}$ D) $W_{B C} = - p_{A} V_{C}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2025, Q22· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Que vaut le transfert thermique (ou chaleur) $Q_{B C}$ (algébriquement) reçu par le gaz lors de la transformation $B \to C$ ? Parmi les réponses ci-dessous, $Δ_{B}^{C} U$ désigne la variation d'énergie interne du gaz au cours de cette transformation. A) $Q_{B C} = 0$ B) $Q_{B C} = - W_{B C}$ C) $Q_{B C} = Δ_{B}^{C} U$ D) $Q_{B C} = \frac{Δ _{B}^{C} U}{2}$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2024, Q23· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 5 min
Que vaut $W$ ?
A) $W = 0$ B) $W = n R T_{1} \frac{( κ - 1 )}{κ}$ C) $W = n R T_{1} \frac{( κ - 1 ) ^{2}}{κ}$ D) $W = n R T_{1} κ^{2}$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2023, Q21· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
Déterminer le travail (algébrique) $W_{E_{i} E^{'}}$ reçu par le gaz au cours de la transformation T1.
A) $W_{E_{i} E^{'}} = \frac{p _{i} V _{i}}{1 - γ} [(1 + ε)^{1 - \frac{1}{γ}} - 1]$ B) $W_{E_{i} E^{'}} = \frac{p _{i} V _{i}}{γ - 1} [(1 + ε)^{\frac{1}{γ} - 1} - 1]$ C) $W_{E_{i} E^{'}} = \frac{p _{i} V _{i}}{γ - 1} [(1 + ε)^{1 - \frac{1}{γ}} - 1]$ D) $W_{E_{i} E^{'}} = p_{i} V_{i} \frac{( 1 + ε ) ^{1 - \frac{1}{γ}}}{γ - 1}$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2022, Q31· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Exprimer $V_{1}$ et $V_{2}$ :
A) $V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{0} + T _{1}} V_{0}$ B) $V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$ C) $V_{2} = \frac{T _{0}}{T _{0} + T _{1}} V_{0}$ D) $V_{2} = \frac{T _{0}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2021, Q20· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Sachant que les mouvements verticaux des masses d'air sont des transformations thermodynamiques isentropiques, quelle relation vérifient la température $T$ et la pression $p$ d'une masse d'air identifiée lorsque celle-ci évolue verticalement? A) $p^{γ} T = Cte$ B) $p^{1 - γ} T^{γ} = Cte$ C) $p T^{1 - γ} = Cte$ D) $p^{γ} T^{1 - γ} = Cte$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2024, Q19· Application directe· ≈ 3 min
Exprimer $T_{2}$ et $T_{4}$ en fonction de $κ$ et $T_{1}$ :
A) $T_{2} = κ T_{1}$ B) $T_{2} = \frac{T _{1}}{κ}$ C) $T_{4} = κ T_{1}$ D) $T_{4} = \frac{T _{1}}{κ}$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2024, Q20· Intermédiaire· ≈ 4 min
Exprimer $W_{12}$ et $Q_{12}$ :
A) $W_{12} = 0$ B) $W_{12} = - p_{1} V_{1}$ C) $Q_{12} = \frac{nγ R T _{1} ( κ - 1 )}{( γ - 1 ) κ}$ D) $Q_{12} = \frac{n R T _{1} ( 1 - κ )}{( γ - 1 ) κ}$
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2023, Q19· Intermédiaire· ≈ 3 min
Quelles sont, en fonction de $V_{i}$ , $ε$ et $γ$ , les expressions de $V^{'}$ et de $V_{f}$ ?
A) $V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{- \frac{1}{γ}}$ B) $V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{\frac{1}{γ}}$ C) $V_{f} = V_{i} (1 + ε)$ D) $V_{f} = \frac{V _{i}}{1 + ε}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2025, Q19
Le fluide étudié est un gaz parfait, il vérifie donc la première loi de Joule : son énergie interne U ne dépend que de sa température thermodynamique T. Pour une transformation quelconque entre deux états à des températures T_A et T_B, la variation d'énergie interne s'écrit :
\Delta_A^B U = C_V (T_B - T_A)
où C_V est la capacité thermique à volume constant du gaz.
La transformation B \rightarrow C étant une isotherme à la température T_B = T_C, la température de l'état B est égale à celle de l'état C :
T_B - T_A = T_C - T_A = \Delta T
On en déduit immédiatement :
\boxed{\Delta_A^B U = C_V \Delta T}
La réponse correcte est la proposition C.
Résultat
$Δ_{A}^{B} U = C_{V} Δ T$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2025, Q20
La transformation B \rightarrow C étant réversible, la pression extérieure exercée sur le gaz est à tout instant égale à la pression interne du gaz : p_{\text{ext}} = p.
Pour un gaz parfait maintenu à la température constante T_B = T_C, l'équation d'état donne :
p(V) = \frac{nRT_C}{V}
Le travail des forces de pression algébriquement reçu par le système entre l'état B (de volume V_B = V_A, l'étape A \rightarrow B étant isochore) et l'état C (de volume V_C) s'écrit :
\begin{aligned} W_{BC} &= -\int_{V_B}^{V_C} p_{\text{ext}} \, \mathrm{d}V \\ &= -\int_{V_A}^{V_C} \frac{nRT_C}{V} \, \mathrm{d}V \\ &= -nRT_C \ln\left(\frac{V_C}{V_A}\right) \end{aligned}
La proposition correcte est donc la proposition A.
\boxed{W_{BC} = -nRT_C \ln\left(\frac{V_C}{V_A}\right)}
Résultat
$W_{B C} = - n R T_{C} ln (\frac{V _{C}}{V _{A}})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2025, Q22
Le gaz parfait subit une transformation isotherme entre l'état B et l'état C à la température T_B = T_C.
D'après la première loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température :
\Delta_B^C U = C_V (T_C - T_B) = 0
D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au gaz parfait entre les états B et C :
\Delta_B^C U = W_{BC} + Q_{BC}
Comme la variation d'énergie interne est nulle, on en déduit directement :
\boxed{Q_{BC} = -W_{BC}}
L'item B est donc vérifié. Comme W_{BC} < 0 (détente), on a Q_{BC} > 0, ce qui exclut l'item A (Q_{BC} = 0), ainsi que les items C et D (car \Delta_B^C U = 0 \neq Q_{BC}).
Résultat
$Q_{B C} = - W_{B C}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2024, Q23
Les étapes E_1 \to E_2 et E_3 \to E_4 s'effectuent à volume constant (isochores), par conséquent :
W_{12} = 0 \quad \text{et} \quad W_{34} = 0
L'étape E_4 \to E_1 est une compression isobare à la pression haute p_1 :
W_{41} = - \int_{V_4}^{V_1} p_1\,\mathrm{d}V = -p_1(V_1 - V_4) = p_1(V_3 - V_1)
car V_4 = V_3.
Le travail total reçu par le gaz sur le cycle s'écrit alors :
W = W_{23} + W_{41} = -p_3(V_3 - V_1) + p_1(V_3 - V_1) = (p_1 - p_3)(V_3 - V_1)
D'après les résultats établis à la question Q19 :
- p_1 - p_3 = p_1 \left(1 - \frac{1}{\kappa}\right) = p_1\,\frac{\kappa - 1}{\kappa}
- T_3 = T_1 \implies p_3 V_3 = p_1 V_1 \implies V_3 = \kappa V_1, d'où V_3 - V_1 = V_1(\kappa - 1)
En effectuant le produit :
W = p_1 V_1\,\frac{(\kappa - 1)^2}{\kappa}
En utilisant l'équation d'état des gaz parfaits pour l'état E_1 (p_1 V_1 = nRT_1), on obtient :
\boxed{W = nRT_1\,\frac{(\kappa - 1)^2}{\kappa}}
La proposition correcte est donc la C.
Résultat
$W = n R T_{1} \frac{( κ - 1 ) ^{2}}{κ}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2023, Q21
La transformation T1 est adiabatique (Q_{E_i E'} = 0). Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé constitué des n moles de gaz parfait entre les états E_i et E' s'écrit :
\Delta U_{E_i E'} = W_{E_i E'} + Q_{E_i E'} = W_{E_i E'}
D'après la première loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température :
\Delta U_{E_i E'} = C_v (T' - T_i) = \frac{n R}{\gamma - 1}(T' - T_i)
En utilisant l'équation d'état du gaz parfait dans l'état initial, p_i V_i = n R T_i, il vient :
W_{E_i E'} = \frac{p_i V_i}{\gamma - 1}\left(\frac{T'}{T_i} - 1\right)
D'après le résultat de la question Q20, le rapport des températures s'exprime sous la forme :
\frac{T'}{T_i} = (1 + \varepsilon)^{1 - \frac{1}{\gamma}}
On en déduit l'expression du travail reçu par le gaz au cours de la transformation T1 :
\boxed{W_{E_i E'} = \frac{p_i V_i}{\gamma - 1}\left[(1 + \varepsilon)^{1 - \frac{1}{\gamma}} - 1\right]}
Cette expression correspond à la proposition C.
Résultat
$W_{E_{i} E^{'}} = \frac{p _{i} V _{i}}{γ - 1} [(1 + ε)^{1 - \frac{1}{γ}} - 1]$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2022, Q31
Dans l'état final d'équilibre thermodynamique :
- Le compartiment (2) est en contact thermique avec le thermostat à la température T_0 par l'intermédiaire d'une paroi diatherme, d'où :
  T_2 = T_0
- Le piston mobile athermane coulisse sans frottement, assurant l'équilibre mécanique :
  p_1 = p_2
- L'enceinte globale étant indéformable, le volume total est conservé :
  V_1 + V_2 = V_t = 2V_0
Les deux gaz étant parfaits et contenant chacun n moles, l'équation d'état s'écrit pour chaque compartiment :
\begin{aligned} p_1 V_1 &= n R T_1 \\ p_2 V_2 &= n R T_2 = n R T_0 \end{aligned}
Comme p_1 = p_2, le rapport de ces équations donne :
\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_0}
On en déduit :
\frac{V_1}{V_1 + V_2} = \frac{T_1}{T_0 + T_1} \quad \implies \quad \boxed{V_1 = \frac{T_1}{T_0 + T_1} V_t}
et :
\frac{V_2}{V_1 + V_2} = \frac{T_0}{T_0 + T_1} \quad \implies \quad \boxed{V_2 = \frac{T_0}{T_0 + T_1} V_t}
En fonction de V_0, on aurait V_1 = \frac{2T_1}{T_0 + T_1}V_0 et V_2 = \frac{2T_0}{T_0 + T_1}V_0, ce qui exclut les propositions A et C.
Les propositions correctes sont donc B et D.
Résultat
$V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$ $V_{2} = \frac{T _{0}}{T _{0} + T _{1}} V_{t}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2021, Q20
Une masse d'air identifiée est un système fermé constitué d'un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma = C_p / C_v constant. Pour une transformation isentropique (adiabatique et quasi-statique/réversible), la loi de Laplace s'écrit sous la forme classique :
p V^\gamma = \text{Cte}
L'équation d'état des gaz parfaits donne pour une masse fixée (n fixé) :
V = \frac{n R T}{p}
En injectant cette expression dans la loi de Laplace, on obtient :
\begin{aligned} p \left( \frac{n R T}{p} \right)^\gamma &= \text{Cte} \\ p^{1-\gamma} T^\gamma \, (nR)^\gamma &= \text{Cte} \end{aligned}
Comme n et R sont constants au cours du mouvement d'une masse d'air identifiée, il vient :
\boxed{p^{1-\gamma} T^\gamma = \text{Cte}}
La proposition correcte est donc l'affirmation B.
Résultat
$p^{1 - γ} T^{γ} = Cte$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2024, Q19
D'après le diagramme (p,V), les quatre sommets du rectangle correspondent aux états :
- État E_1 : (p_1, V_1) ;
- État E_2 : (p_2, V_2) = (p_3, V_1) (refroidissement isochore 1 \to 2) ;
- État E_3 : (p_3, V_3) ;
- État E_4 : (p_4, V_4) = (p_1, V_3) (échauffement isochore 3 \to 4).
Le gaz étant assimilé à un gaz parfait, on applique l'équation d'état p V = n R T aux états E_1 et E_3. Comme l'énoncé indique que T_1 = T_3 :
p_1 V_1 = n R T_1 = n R T_3 = p_3 V_3
On en déduit le rapport des volumes en fonction de \kappa = \dfrac{p_1}{p_3} :
\frac{V_3}{V_1} = \frac{p_1}{p_3} = \kappa \implies V_3 = \kappa V_1
Température T_2 : Pour l'état E_2, la pression vaut p_2 = p_3 = \dfrac{p_1}{\kappa} et le volume vaut V_2 = V_1 :
T_2 = \frac{p_2 V_2}{n R} = \frac{p_3 V_1}{n R} = \frac{p_1 V_1}{\kappa\, n R} = \frac{T_1}{\kappa}
La proposition B est donc exacte (la proposition A est fausse).
Température T_4 : Pour l'état E_4, la pression vaut p_4 = p_1 et le volume vaut V_4 = V_3 = \kappa V_1 :
T_4 = \frac{p_4 V_4}{n R} = \frac{p_1 (\kappa V_1)}{n R} = \kappa \frac{p_1 V_1}{n R} = \kappa T_1
La proposition C est donc exacte (la proposition D est fausse).
\boxed{\text{Réponses B et C}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponses B et C$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2024, Q20
D'après le diagramme (p, V) fourni, la transformation E_1 \to E_2 s'effectue selon un segment vertical, donc à volume constant :
V_1 = V_2
Le travail des forces de pression reçues par le fluide au cours de cette transformation réversible est donc nul :
W_{12} = -\int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V = 0
L'assertion A est donc vraie (et l'assertion B est fausse).
Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule). Le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé entre les états E_1 et E_2 s'écrit :
\Delta U_{12} = W_{12} + Q_{12} = Q_{12}
Or, la variation d'énergie interne pour n moles de gaz parfait s'exprime par :
\Delta U_{12} = C_V (T_2 - T_1) = \frac{nR}{\gamma - 1}(T_2 - T_1)
D'après la question Q19, la température T_2 s'écrit en fonction de T_1 et \kappa sous la forme :
T_2 = \frac{T_1}{\kappa}
On en déduit l'expression du transfert thermique Q_{12} :
\begin{aligned} Q_{12} &= \frac{nR}{\gamma - 1}\left(\frac{T_1}{\kappa} - T_1\right) \\ &= \frac{nRT_1(1 - \kappa)}{(\gamma - 1)\kappa} \end{aligned}
L'assertion D est donc vraie (et l'assertion C est fausse).
\boxed{\text{Réponses A et D}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponses A et D$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2023, Q19
Le diazote est modélisé par un gaz parfait de coefficient adiabatique \gamma constant.
Expression du volume V' : La transformation T1 étant adiabatique et réversible (isentropique), la loi de Laplace s'applique entre l'état initial E_i(p_i, V_i, T_i) et l'état intermédiaire E'(p', V', T') :
p_i V_i^\gamma = p' V'^\gamma
Sachant que la pression dans l'état E' vaut p' = p_i(1 + \varepsilon), il vient :
V'^\gamma = \frac{p_i}{p'} V_i^\gamma = \frac{V_i^\gamma}{1 + \varepsilon} = V_i^\gamma (1 + \varepsilon)^{-1}
D'où l'expression du volume V' :
\boxed{V' = V_i (1 + \varepsilon)^{-\frac{1}{\gamma}}}
La proposition A est donc exacte.
Expression du volume V_f : La transformation T2 étant isobare, la pression dans l'état final E_f est égale à la pression dans l'état E' :
p_f = p' = p_i(1 + \varepsilon)
De plus, la température finale est T_f = T_i. En appliquant l'équation d'état du gaz parfait aux états E_i et E_f :
\begin{aligned} p_i V_i &= n R T_i \\ p_f V_f &= n R T_f = n R T_i \end{aligned}
On en déduit que p_f V_f = p_i V_i, d'où :
\boxed{V_f = \frac{p_i V_i}{p_f} = \frac{V_i}{1 + \varepsilon}}
La proposition D est donc exacte.
Résultat
$V^{'} = V_{i} (1 + ε)^{- \frac{1}{γ}}$ $V_{f} = \frac{p _{i} V _{i}}{p _{f}} = \frac{V _{i}}{1 + ε}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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