Corrigé détaillé ENAC Physique QCM MPSI 2022

Le mouvement du mobile M_a est uniforme le long de la piste à la vitesse :

La longueur totale L_{\text{tot}} de la piste parcourue de A à E est la somme des longueurs des quatre portions successives :

Le mouvement étant uniforme, la durée \tau nécessaire pour parcourir cette distance vérifie :

Application numérique :

La portion BC est un quart de cercle de rayon R_1 et de longueur \ell_{BC} = 50\text{ cm} = 0{,}50\text{ m}. La relation entre la longueur d'arc et l'angle au centre (ici \frac{\pi}{2}\text{ rad}) donne :

Dans la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n), le vecteur accélération s'écrit :

Le mouvement étant uniforme (v = \text{cste} = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la composante tangentielle est nulle : \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0. L'accélération est purement normale et sa norme a_1 vaut :

Application numérique avec v = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \ell_{BC} = 0{,}50\text{ m} :

Le mouvement de M_a sur la portion CD est circulaire uniforme de vitesse v = 25\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1}. L'accélération tangentielle est donc nulle et l'accélération est purement normale :

où R_2 est le rayon du quart de cercle CD. Sa longueur \ell_{CD} = 75\text{ cm} vérifie :

On en déduit :

D'après la question 2, on a de même a_1 = \dfrac{\pi v^2}{2\ell_{BC}}. Le rapport des accélérations s'écrit alors :

soit :

La réponse correcte est la proposition C.

On repère les positions des deux points matériels sur un axe unidimensionnel (Dx) colinéaire au segment DE, orienté de D vers E, avec pour origine le point D.

À la date t = 0, le mobile M_a est en D (x_a(0) = 0) et se dirige vers E à la vitesse v_a = 25\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Son abscisse pour t \ge 0 s'écrit :

Au même instant t = 0, le mobile M_b part de E (x_b(0) = L_{DE} = 2\text{ m}) et se dirige en sens inverse vers D à la vitesse v_b = 50\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Son équation horaire est :

Les deux mobiles se rencontrent à la date t_r telle que x_a(t_r) = x_b(t_r) :

On en déduit l'expression de la date de rencontre :

Application numérique avec L_{DE} = 2\text{ m}, v_a = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et v_b = 0{,}50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Le mobile M_a est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v_a = 0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} sur le segment DE. Ayant franchi le point D à l'origine des dates (t = 0), la distance d_a parcourue par M_a sur la piste DE jusqu'à la rencontre à l'instant t_r s'écrit :

En injectant l'expression de la date de rencontre obtenue à la question Q4, t_r = \frac{L_{DE}}{v_a + v_b} :

Application numérique :

La bonne réponse est l'item B.

À l'instant t_r - \Delta t, avec \Delta t = \frac{1}{5}\text{ s} = 0{,}20\text{ s}, les deux mobiles se trouvent tous deux sur le segment DE puisque t_r \approx 2{,}7\text{ s} > \Delta t.

Leur vitesse de rapprochement relative est :

Puisque la distance les séparant à l'instant de la rencontre t_r est nulle, la distance d les séparant une durée \Delta t auparavant vaut :

Application numérique :

La réponse correcte est la proposition C.

On étudie le skieur, modélisé par un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre du laboratoire supposé galiléen.

Sur la portion rectiligne AB de longueur L, inclinée d'un angle \alpha = 30^\circ par rapport à l'horizontale, le skieur est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g} ;
• la réaction normale de la piste \vec{R}_N, orthogonale au déplacement (puisqu'on néglige tout frottement), de sorte que son travail est nul : W_{A\to B}(\vec{R}_N) = 0.

Le système étant conservatif, appliquons le théorème de l'énergie mécanique (ou le théorème de l'énergie cinétique) entre le point A (où le skieur part du repos, v_A = 0) et le point B :

La dénivellation entre A et B vaut :

On en déduit l'expression littérale de la vitesse v_B :

Application numérique :

• g \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
• L = 40\text{ m}
• \alpha = 30^\circ, d'où \sin\alpha = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0{,}5

Les propositions B et C sont donc correctes.

Le point C est situé à la verticale descendante du centre O' de la piste circulaire de rayon b. En ce point :

• la tangente à la trajectoire est horizontale et orientée dans le sens du mouvement, soit \vec{u}_t = \vec{e}_x ;
• la normale unitaire centripète est orientée vers le centre de courbure O', c'est-à-dire verticale ascendante, soit \vec{u}_n = \vec{e}_z.

Dans la base de Frenet, l'accélération du skieur s'écrit de manière générale :

Puisque les frottements sont négligés, les seules forces appliquées au skieur sont :

• le poids \vec{P} = -mg\,\vec{e}_z ;
• la réaction normale du support \vec{R} = R\,\vec{u}_n = R\,\vec{e}_z.

En appliquant le principe fondamental de la dynamique au skieur en C :

En projetant sur la direction tangentielle \vec{u}_t = \vec{e}_x :

L'accélération tangentielle est donc nulle au point le plus bas de la trajectoire.

L'accélération en C est par conséquent purement normale et dirigée selon \vec{e}_z :

On en déduit :

Les propositions B et D sont donc vraies.

Le repère cartésien associé au référentiel du laboratoire a pour axe vertical ascendant l'axe (Oz), le vecteur champ de pesanteur étant \vec{g} = -g\vec{e}_z. L'énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel de masse m à l'altitude z s'écrit de manière générale :

L'origine de l'énergie potentielle étant choisie en O (\mathcal{E}_p(O) = 0), on a pour tout point M d'altitude z_M :

Déterminons les altitudes des points B et O :

• Le point C est situé à la verticale descendante du centre O', soit \vec{O'C} = -b\vec{e}_z.

• Au point B, la piste circulaire se raccorde tangentiellement à la droite AB inclinée de \alpha par rapport à l'horizontale. Le rayon \vec{O'B}, orthogonal à la tangente en B, fait donc un angle \alpha avec la verticale descendante -\vec{e}_z. L'altitude de B par rapport à O' est donc :

  z_B - z_{O'} = -b\cos\alpha

• Au point O, la tangente forme un angle \beta avec l'horizontale, si bien que le rayon \vec{O'O} fait un angle \beta avec la verticale descendante -\vec{e}_z. L'altitude de O par rapport à O' est donc :

  z_O - z_{O'} = -b\cos\beta

On en déduit la différence d'altitude entre B et O :

L'énergie potentielle de pesanteur du skieur au point B s'écrit alors :

La proposition correcte est la D.

Le skieur est modélisé par un point matériel de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à deux forces :

• son poids \vec{P} = -mg\vec{e}_z, force conservative dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur \mathcal{E}_p ;
• la réaction du support \vec{R}_N, orthogonale à chaque instant à la vitesse du skieur puisque les frottements sont négligés, de puissance nulle : \mathcal{P}(\vec{R}_N) = \vec{R}_N \cdot \vec{v} = 0.

L'énergie mécanique \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c + \mathcal{E}_p est donc rigoureusement conservée tout au long du mouvement sur la piste :

En exprimant l'énergie mécanique en B et en O :

D'après le choix de l'origine fixé à la question précédente, \mathcal{E}_p(O) = 0. On a donc :

soit, en multipliant par \frac{2}{m} :

Puisque la vitesse v_O est positive, on en déduit :

La proposition correcte est la C.

Après avoir quitté le tremplin en O, le skieur de masse m est uniquement soumis à son poids \vec{P} = -mg\vec{e}_z (chute libre).

Dans le repère (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z), les conditions initiales en t = 0 au point O s'écrivent :

Puisque la composante horizontale de l'accélération est nulle, la composante horizontale de la vitesse est conservée tout au long du vol :

Au sommet F de la trajectoire, la composante verticale de la vitesse s'annule : v_{z,F} = 0. Le vecteur vitesse en F est donc purement horizontal, de norme :

Le système étant conservatif en l'absence de frottement, l'énergie mécanique est conservée entre O et F :

Avec z_O = 0, il vient :

Soit :

Avec \beta = 45^\circ, on a \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, d'où \sin^2(45^\circ) = \frac{1}{2} :

La proposition correcte est la C.

Le skieur se déplace sans frottement sur la piste circulaire concave de rayon b et de centre O'. Le point C étant situé à la verticale descendante de O', il constitue une position d'équilibre stable pour le skieur.

En repérant la position du point matériel par l'angle \theta = (\overrightarrow{O'C}, \overrightarrow{O'S}), la deuxième loi de Newton projetée sur le vecteur tangentiel \vec{u}_\theta du repère de Frenet (ou la conservation de l'énergie mécanique) conduit à l'équation différentielle :

Pour un mouvement confiné au voisinage immédiat de C, de très faible amplitude, on se place dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (\sin\theta \approx \theta) :

Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{b}}. La période propre T des oscillations s'écrit alors :

Application numérique : Avec b = 20\text{ m} et g \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on obtient :

Les propositions B et C sont donc correctes.

Pour t < 0, l'interrupteur K est ouvert, aucun courant ne circule dans le circuit :

Par continuité de l'énergie magnétique stockée dans la bobine, l'intensité i_L(t) traversant la bobine est une fonction continue du temps :

L'interrupteur K' étant maintenu ouvert, la branche contenant le condensateur est un circuit ouvert (i_C = 0). D'après la loi des nœuds, on a immédiatement :

D'après la loi d'Ohm en convention récepteur pour le résistor :

La proposition A est donc vraie (et la B est fausse).

La loi des mailles appliquée à la maille formée par le générateur, la bobine et le résistor s'écrit à tout instant t \ge 0^+ :

En évaluant cette relation en t = 0^+, il vient :

La proposition D est donc également vraie (et la C est fausse).

Pendant cette première phase, K' est ouvert, donc i_R(t) = i_L(t).

D'après la loi des mailles orientée dans le sens du courant i_L :

En utilisant les relations constitutives des composants en convention récepteur, u_R(t) = R \, i_L(t) et u_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}, on obtient :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant s'écrit :

où A est une constante déterminée par la continuité de l'intensité traversant la bobine en t = 0 :

L'expression de l'intensité est donc :

La proposition A est exacte.

On en déduit l'expression de la tension u_L(t) aux bornes de la bobine :

soit :

La proposition D est exacte.

Juste avant la fermeture de l'interrupteur K' (t = 0^-), le circuit constitué de la branche principale avec le générateur, la bobine et le conducteur ohmique a atteint son régime permanent continu. D'après la question précédente :

L'interrupteur K' étant resté ouvert pendant toute cette phase, le condensateur n'a pas été connecté au reste du circuit et a conservé sa charge initiale, soit :

Par continuité de l'énergie emmagasinée dans les dipôles réactifs :

• L'intensité du courant traversant la bobine est une fonction continue du temps :

  i_L(0^+) = i_L(0^-) = \frac{E}{R}

• La tension aux bornes du condensateur est une fonction continue du temps :

  u_C(0^+) = u_C(0^-) = \frac{E}{3}

Dès la fermeture de l'interrupteur K', le conducteur ohmique et le condensateur se trouvent connectés en dérivation. La loi des mailles sur la boucle formée par ces deux dipôles donne, avec les orientations de la figure :

En t = 0^+, il vient :

D'après la loi d'Ohm appliquée au résistor :

Les propositions B et D sont donc vérifiées.

À l'instant t = 0^-, immédiatement avant la fermeture de K', le système était en régime permanent avec l'interrupteur K fermé et K' ouvert. D'après les résultats précédents :

• L'intensité traversant la bobine vaut i_L(0^-) = \dfrac{E}{R} ;
• La tension aux bornes du condensateur vaut u_C(0^-) = \dfrac{E}{3}.

Par continuité de l'intensité dans une bobine et de la tension aux bornes d'un condensateur :

Dès la fermeture de l'interrupteur K', le condensateur et le résistor se retrouvent branchés en parallèle, d'où :

Par la loi d'Ohm aux bornes du résistor, on a :

La loi des nœuds au niveau du nœud reliant la bobine, le résistor et le condensateur s'écrit :

En l'évaluant à t = 0^+ :

La proposition B est donc exacte.

Appliquons maintenant la loi des mailles sur la maille d'entrée comprenant le générateur, la bobine et le résistor :

À l'instant t = 0^+ :

La proposition C est donc également exacte.

Après la fermeture de l'interrupteur K', le dipôle constitué de la résistance R et celui du condensateur C sont montés en dérivation. On a donc l'égalité des tensions :

D'après la loi des nœuds :

En utilisant la loi d'Ohm pour le conducteur ohmique et la relation caractéristique du condensateur :

ce qui donne :

Par ailleurs, la loi des mailles s'écrit, en convention récepteur pour la bobine :

En injectant cette expression de u_C(t) dans l'expression de i_L(t), sachant que E est stationnaire (\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = 0), on obtient :

En regroupant tous les termes dépendant de i_L dans le membre de gauche :

En divisant l'ensemble de l'équation par LC, on aboutit à la forme canonique :

Par identification terme à terme avec la relation imposée :

on identifie :

(et i_\infty = \frac{E}{R}).

Les propositions A et C sont correctes.

Lorsque le régime permanent (stationnaire) est atteint, toutes les grandeurs électriques deviennent constantes au cours du temps (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = 0).

• La bobine se comporte comme un court-circuit :

  u_L(\infty) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}\,(t \to \infty) = 0

• Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert :

  i_C(\infty) = C \frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}\,(t \to \infty) = 0

D'après la loi des mailles dans la branche principale, on a :

À l'état stationnaire, puisque u_L(\infty) = 0, la tension aux bornes du résistor est :

L'intensité du courant traversant le résistor vaut alors :

D'après la loi des nœuds, i_L = i_R + i_C, ce qui donne pour le courant dans la bobine :

Par ailleurs, le condensateur est connecté en parallèle avec le résistor, d'où :

L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur s'écrit alors :

Les propositions B et D sont donc correctes.

Le dipôle externe branché aux bornes de sortie du générateur (de tension instantanée u_e(t)) est constitué de la mise en série :

• de la bobine réelle d'impédance complexe \underline{Z}_L = r_L + jL\omega ;
• du résistor d'impédance \underline{Z}_R = R ;
• du condensateur d'impédance \underline{Z}_C = \dfrac{1}{jC\omega}.

L'impédance équivalente de ce circuit série vu par la tension u_e vaut :

En appliquant la relation du pont diviseur de tension pour exprimer la tension \underline{u}_{C,m} aux bornes du condensateur :

Par identification avec la forme canonique proposée :

On obtient immédiatement :

• Pour le terme d'ordre 0 au numérateur :

  \boxed{H_0 = 1}

• Pour le terme d'ordre 2 au dénominateur :

  x^2 = LC\omega^2 = \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \implies \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

Les propositions A et D sont donc exactes.

D'après le schéma du circuit, la tension u_e est la tension délivrée par le générateur réel à l'ensemble constitué de la bobine (L, r_L), du condensateur C et du résistor R, tous trois connectés en série.

Par la relation du pont diviseur de tension en régime sinusoïdal forcé, l'amplitude complexe aux bornes du condensateur s'écrit :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par jC\omega :

En introduisant la pulsation propre \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} et la variable réduite x = \frac{\omega}{\omega_0} établies à la question précédente :

Le terme d'ordre 1 en j s'identifie à la forme canonique de l'énoncé :

On en déduit l'expression du facteur de qualité Q :

Ce résultat correspond à la proposition B.

La tension u_e(t) est la tension délivrée aux bornes de l'association en série de la bobine (L, r_L), du résistor R et du condensateur C. L'impédance complexe de cette charge s'écrit :

À la pulsation \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, les réactances inductive et capacitive se compensent exactement :

Le générateur étant modélisé par une source idéale de fem e(t) en série avec sa résistance interne r_i, le circuit complet forme une boucle fermée comprenant r_i en série avec \underline{Z}_{\text{charge}}.

Par application directe de la formule du pont diviseur de tension, on obtient à \omega = \omega_0 :

Ce résultat correspond à la proposition C.

L'impédance complexe totale de la maille série fermée sur la source idéale de force électromotrice e(t) vaut :

À la pulsation propre \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, les réactances de la bobine et du condensateur s'annulent exactement :

L'amplitude complexe de l'intensité s'obtient directement par la loi des mailles :

Par ailleurs, d'après la relation établie à la question 18, le rapport des amplitudes complexes vérifie :

À la résonance, la pulsation réduite vaut x = 1, d'où :

Le rapport devient ainsi :

On en déduit l'expression de la tension aux bornes du condensateur :

Les propositions B et C sont donc correctes.

La bobine réelle, d'inductance L et de résistance interne r_L, présente une impédance complexe :

En appliquant la loi d'Ohm en régime sinusoïdal établi, l'amplitude complexe de la tension \underline{u}_{L,m} aux bornes de la bobine réelle s'écrit :

À la pulsation \omega = \omega_0, l'intensité complexe dans le circuit série a été déterminée à la question précédente :

En reportant cette expression dans celle de \underline{u}_{L,m}, il vient :

Par identification avec l'expression imposée \underline{u}_{L,m} = (a + jb)e_m, on déduit directement :

La réponse correcte est donc l'item A.

La bobine réelle est modélisée par une inductance L en série avec sa résistance interne r_L. En convention récepteur, son impédance complexe s'écrit :

À la pulsation propre \omega = \omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}, l'amplitude complexe de la tension aux bornes de la bobine est :

D'après le résultat de la question 21, l'amplitude complexe du courant dans le circuit à cette pulsation vaut :

On en déduit l'expression de \underline{u}_{L,m} :

En utilisant la relation L \omega_0 = L \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \sqrt{\dfrac{L}{C}}, le terme imaginaire b s'écrit directement :

La proposition correcte est la C.

• Analyse de la proposition A : Le pouvoir séparateur angulaire (ou limite de résolution angulaire) d'un œil humain emmétrope normal est classiquement d'environ une minute d'arc :

  \alpha_{\min} \approx 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ \approx 3\times 10^{-4}\text{ rad}

  La valeur de 1{,}5' ne correspond pas au standard usuel. La proposition A est donc fausse.

• Analyse des propositions B et C : Une étoile est un objet situé à l'infini. Son image intermédiaire à travers l'objectif convergent \mathcal{L}_1 se forme dans le plan focal image de \mathcal{L}_1.

  Pour un œil emmétrope, la vision est nette sans accommodation (au repos) lorsque l'image finale est rejetée à l'infini, c'est-à-dire à son punctum remotum (PR = \infty).

  Pour que l'oculaire convergent \mathcal{L}_2 rejette cette image finale à l'infini, l'image intermédiaire (qui joue le rôle d'objet pour \mathcal{L}_2) doit impérativement être située dans le plan focal objet de \mathcal{L}_2.

  Par conséquent, le plan focal image de \mathcal{L}_1 doit coïncider avec le plan focal objet de \mathcal{L}_2 (F_{i,1} \equiv F_{o,2}) : le système est alors afocal. La proposition B est fausse et la proposition C est vraie.

• Analyse de la proposition D : Si le plan focal image de \mathcal{L}_1 ne coïncide pas avec le plan focal objet de \mathcal{L}_2, l'image finale ne se forme pas à l'infini mais à distance finie.

  Or, un œil emmétrope possède une faculté d'accommodation lui permettant de voir nettement tout objet (réel ou virtuel) dont la position est comprise entre son punctum remotum (PR = \infty) et son punctum proximum (PP, situé à la distance d_m = 25\text{ cm} en avant de l'œil). Il suffit donc que l'image finale virtuelle se forme en avant de l'œil à une distance D \ge d_m pour être vue nettement en accommodant. La proposition D est donc vraie.

L'œil emmétrope observant nettement sans accommoder, l'image définitive A'B' de l'étoile doit être rejetée à l'infini. La lunette est donc réglée en système afocal : le foyer principal image F'_{i,1} de l'objectif coïncide avec le foyer principal objet F_{o,2} de l'oculaire.

L'étoile, située à l'infini, envoie un faisceau de rayons parallèles inclinés de l'angle \alpha > 0 par rapport à l'axe optique. Ce faisceau converge dans le plan focal image de l'objectif \mathcal{L}_1 en un point image intermédiaire B_1 :

dans le cadre de l'approximation de Gauss (\alpha \ll 1\text{ rad}).

Le point B_1 est situé dans le plan focal objet de l'oculaire \mathcal{L}_2 (F'_{i,1} = F_{o,2}). Les rayons qui en émergent forment donc un faisceau parallèle faisant un angle \beta avec l'axe optique. En considérant le rayon passant sans déviation par le centre optique O_2 :

Dans l'approximation des petits angles (\beta \ll 1\text{ rad}), il vient :

On en déduit le grossissement angulaire de la lunette :

La proposition correcte est la B.

Dans la lunette afocale, les lentilles \mathcal{L}_1 et \mathcal{L}_2 sont distantes de :

L'objectif \mathcal{L}_1, situé en O_1, joue le rôle d'objet pour l'oculaire \mathcal{L}_2. La position de cet objet par rapport à O_2 est donc :

D'après la relation de conjugaison de Descartes donnée pour l'oculaire de distance focale f'_2 :

ce qui conduit à :

L'image de l'objectif par l'oculaire se forme donc à la distance algébrique p_i de O_2 :

ce qui valide la proposition D.

Le grandissement transversal associé à cette conjugaison s'écrit :

Le diamètre d_i de l'image (qui est une grandeur strictement positive) vaut donc :

ce qui valide la proposition A.

L'étoile étant située à l'infini, son image intermédiaire par l'objectif \mathcal{L}_1 se forme dans le plan focal image de celui-ci, en F_{i,1}. La position de cette image intermédiaire est fixe par rapport à \mathcal{L}_1.

Dans le réglage afocal initial, le foyer principal objet F_{o,2} de l'oculaire coïncide avec F_{i,1}. Lorsqu'on rapproche l'oculaire d'une distance x > 0 de l'objectif, la lentille \mathcal{L}_2 et son foyer F_{o,2} se déplacent vers la gauche d'une distance x. La distance algébrique entre le foyer objet de l'oculaire et l'image intermédiaire (qui sert d'objet pour \mathcal{L}_2) devient :

L'œil emmétrope, placé juste derrière l'oculaire en O_2, peut observer nettement une image tant que celle-ci se forme entre son punctum remotum (à l'infini, accommodation nulle) et son punctum proximum (à la distance minimale de vision nette d_m devant lui, accommodation maximale).

La distance maximale de rapprochement x correspond à la situation où l'image finale A' se forme au punctum proximum, soit :

La position de cette image par rapport au foyer principal image F_{i,2} de \mathcal{L}_2 est :

D'après la relation de conjugaison de Newton fournie par l'énoncé pour la lentille \mathcal{L}_2 :

En remplaçant \sigma_o et \sigma_i par leurs expressions :

On en déduit immédiatement :

Ce résultat correspond à la proposition A.

La relation de conjugaison de Newton avec origine aux foyers, rappelée dans le préambule, s'écrit pour une lentille mince de distance focale image f' :

1. Pour la première lentille \mathcal{L}_1 (objectif) :

• Le foyer objet est F_{o,1}, le foyer image est F_{i,1}, et la distance focale image est f'_1.
• Le point A joue le rôle d'objet et B celui d'image par \mathcal{L}_1.

La relation de Newton s'écrit immédiatement :

La proposition A est donc exacte (la proposition B inverse indûment objet et image).

2. Pour la seconde lentille \mathcal{L}_2 (oculaire) :

• Le foyer objet est F_{o,2}, le foyer image est F_{i,2}, et la distance focale image est f'_2.
• Le point B est l'objet (réel ou virtuel) pour \mathcal{L}_2 et C en est l'image.

La formule de Newton donne :

Puisque la lunette est réglée en configuration afocale, le foyer image de l'objectif coïncide avec le foyer objet de l'oculaire :

En injectant cette égalité dans la relation de Newton pour \mathcal{L}_2, on obtient :

La proposition D est donc également exacte.

D'après la question précédente, les relations de Newton appliquées successivement à l'objectif \mathcal{L}_1 et à l'oculaire \mathcal{L}_2, en tenant compte du caractère afocal du système (F_{i,1} \equiv F_{o,2}), s'écrivent :

En éliminant la position intermédiaire \overline{F_{i,1}B}, on relie directement la position de l'image finale C à celle de l'objet A :

L'œil, sans défaut et placé immédiatement derrière l'oculaire en O_2, ne peut accommoder que si l'image C se forme en avant de lui, entre l'infini et son punctum proximum situé à la distance d_m. L'abscisse algébrique de l'image finale par rapport au centre O_2 doit donc vérifier :

En décomposant par la relation de Chasles avec le foyer image F_{i,2} :

La position limite d'accommodation maximale est ainsi atteinte pour :

En injectant cette relation dans le lien de conjugaison global :

La distance minimale cherchée étant définie par D_{\min} = \overline{AF_{o,1}} = -\overline{F_{o,1}A}, on obtient :

La réponse correcte est la proposition C.