Feuille d'entraînement : Instruments d'optique

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 34 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2023, Q8· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Après avoir effectué la mise au point à l'infini, on souhaite photographier un objet $A_{o}$ , supposé ponctuel, situé sur l'axe optique à $4, 10 m$ de la lentille. Dans quel sens, et de quelle distance, faut-il déplacer l'écran afin de réaliser la mise au point ?
A) Il faut déplacer l'écran de $2, 5 mm$ en le rapprochant de l'objectif. B) Il faut déplacer l'écran de $2, 5 mm$ en l'éloignant de l'objectif. C) Il ne faut pas déplacer l'écran. D) Il faut déplacer l'écran de $4 mm$ en l'éloignant de l'objectif.
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2022, Q25· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Que peut-on affirmer ?
A) La limite de résolution angulaire d'un œil normal est d'environ $1, 5^{'}$ . B) Pour observer nettement l'image à travers l'instrument sans accommoder, le plan focal image de $L_{1}$ doit coïncider avec le plan focal image de $L_{2}$ . C) Pour observer nettement l'image à travers l'instrument sans accommoder, le plan focal image de $L_{1}$ doit coïncider avec le plan focal objet de $L_{2}$ . D) Si le plan focal image de $L_{1}$ ne coïncide pas avec le plan focal objet de $L_{2}$ , il est possible que l'œil emmétrope puisse observer nettement l'image à travers l'instrument.
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2022, Q26· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
On observe une étoile située à l'infini en dehors de l'axe optique, sous un angle d'incidence $α > 0$ . La lunette est réglée de telle sorte que l'œil voit nettement l'étoile sans accommoder. Les rayons lumineux émergent de la lunette sous un angle $β < 0$ . Exprimer $G_{a} = \frac{β}{α}$ :
A) $G_{a} = - \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}$ B) $G_{a} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$ C) $G_{a} = - \frac{f _{1}^{'}}{d _{m}}$ D) $G_{a} = - \frac{d _{m}}{f _{2}^{'}}$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2020, Q8· Application directe· Incontournable· ≈ 4 min
Dans cette question, $A B$ est placé dans le plan focal objet de $L$ et la position de l'œil, derrière la lentille, est quelconque. L'œil voit nettement l'image de $A B$ à travers $L$ . Déterminer $θ^{'}$ et $G$ . A) $θ^{'} = \frac{A B}{d _{m}}$ B) $θ^{'} = \frac{A B}{f ^{'}}$ C) $G = \frac{f ^{'}}{d _{m}}$ D) $G = \frac{d _{m}}{f ^{'}}$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2024, Q5· Intermédiaire· ≈ 5 min
L'image $A_{2} B_{2}$ de $A B$ par $S_{p}$ se forme en avant de $L_{2}$ , à une distance $\overline{A_{2} O_{2}} = d_{m}$ où $d_{m} = 25 cm$ . On envisage que l'œil puisse désormais accommoder. En outre, $\overline{A_{2} B_{2}} = 1 mm$ . On note $θ > 0$ l'angle sous lequel l'image de $A B$ par $S_{p}$ est vue par l'observateur (on rappelle que l'œil est derrière et à proximité immédiate de $L_{2}$ ). Que peut-on affirmer?
A) $θ \approx 1 0^{- 3} rad$ B) $θ \approx 4 \times 1 0^{- 3} rad$ C) L'image est ponctuelle pour l'œil. D) L'image est étendue pour l'œil.
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2023, Q7· Application directe· ≈ 2 min
À quelle distance de la lentille doit se trouver l'écran si on veut photographier des objets très éloignés ?
A) $10 cm$ B) $1 cm$ C) $1 mm$ D) On ne peut rien dire a priori
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2023, Q9· Intermédiaire· ≈ 3 min
La construction de l'appareil impose une distance maximale entre la lentille et l'écran de $10, 5 cm$ . À quelle distance minimale $d_{m}$ de la lentille doit se trouver $A_{o}$ pour que celle-ci en donne une image nette $A_{i}$ sur l'écran ?
A) $d_{m} = 1 m$ B) $d_{m} = 10 cm$ C) $d_{m} = 2, 1 m$ D) $d_{m} = 21 cm$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2022, Q27· Intermédiaire· ≈ 4 min
On note $D_{o}$ le diamètre de l'objectif $L_{1}$ , ce dernier constituant un objet pour l'oculaire $L_{2}$ . Quel est alors le diamètre $d_{i}$ du disque image de l'objectif par l'oculaire, et à quelle distance $p_{i}$ de $O_{2}$ cette image se forme-t-elle ?
A) $d_{i} = \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}} D_{o}$ B) $d_{i} = \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}} D_{o}$ C) $p_{i} = \frac{f _{1}^{'} ( f _{1}^{'} + f _{2}^{'} )}{f _{1}^{'} + 2 f _{2}^{'}}$ D) $p_{i} = (1 + \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}) f_{2}^{'}$
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q8· Exigeant· ≈ 4 min
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont exactes? A) On ne pourrait pas élargir le faisceau avec un système optique formé uniquement de $L_{1}$ suivie de $L_{2}$ . B) Avec le système formé uniquement de $L_{1}$ et $L_{3}$ , positionnés de sorte que le foyer objet de $L_{3}$ coïncide avec le foyer image de $L_{1}$ , le faisceau sera nécessairement élargi. C) Avec le système formé de $L_{1}$ , $L_{2}$ et $L_{3}$ , on ne peut pas faire un système afocal en plaçant le foyer objet de $L_{3}$ au foyer image de $L_{1}$ . D) On ne pourrait pas élargir le faisceau incident en utilisant uniquement les lentilles $L_{2}$ et $L_{3}$ .
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2021, Q10· Intermédiaire· ≈ 4 min
Déterminer l'expression du rapport $D_{f} / D_{i}$ A) $\frac{D _{f}}{D _{i}} = \frac{f _{3} ( f _{1} - Δ _{1} )}{f _{1} ( f _{3} - Δ _{2} )}$ B) $\frac{D _{f}}{D _{i}} = \frac{f _{1} ( f _{1} - Δ _{1} )}{f _{3} ( Δ _{2} - f _{3} )}$ C) $\frac{D _{f}}{D _{i}} = \frac{f _{1} Δ _{1}}{f _{3} Δ _{2}}$ D) $\frac{D _{f}}{D _{i}} = \frac{f _{1} Δ _{2}}{f _{3} Δ _{1}}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2023, Q8
Lors de la mise au point à l'infini (question précédente Q7), l'écran est situé dans le plan focal image, à la distance :
\overline{OF'} = f' = \frac{1}{V} = \frac{1}{10\,\delta} = 0{,}10\text{ m} = 10\text{ cm}
Pour photographier un objet ponctuel A_o situé sur l'axe optique à 4{,}10\text{ m} en amont de la lentille, on a :
\overline{OA_o} = -4{,}10\text{ m}
La position du foyer objet F étant \overline{OF} = -f' = -0{,}10\text{ m}, la position de l'objet par rapport au foyer objet s'écrit :
\overline{FA_o} = \overline{FO} + \overline{OA_o} = 0{,}10 - 4{,}10 = -4{,}00\text{ m}
D'après la relation de conjugaison de Newton :
\overline{FA_o} \cdot \overline{F'A_i} = -{f'}^2
On en déduit la position de la nouvelle image A_i par rapport au foyer image F' :
\begin{aligned} \overline{F'A_i} &= -\frac{{f'}^2}{\overline{FA_o}} \\ &= -\frac{(0{,}10\text{ m})^2}{-4{,}00\text{ m}} \\ &= +\frac{1{,}0 \times 10^{-2}}{4{,}00}\text{ m} \\ &= +2{,}5 \times 10^{-3}\text{ m} = +2{,}5\text{ mm} \end{aligned}
Comme \overline{F'A_i} > 0, l'image se forme en aval de F' : l'écran doit donc être reculé de 2{,}5\text{ mm}, c'est-à-dire éloigné de l'objectif.
La proposition correcte est la B.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2022, Q25
- Analyse de la proposition A : Le pouvoir séparateur angulaire (ou limite de résolution angulaire) d'un œil humain emmétrope normal est classiquement d'environ une minute d'arc :
  \alpha_{\min} \approx 1' = \left(\frac{1}{60}\right)^\circ \approx 3\times 10^{-4}\text{ rad}
  La valeur de 1{,}5' ne correspond pas au standard usuel. La proposition A est donc fausse.
- Analyse des propositions B et C : Une étoile est un objet situé à l'infini. Son image intermédiaire à travers l'objectif convergent \mathcal{L}_1 se forme dans le plan focal image de \mathcal{L}_1.
  Pour un œil emmétrope, la vision est nette sans accommodation (au repos) lorsque l'image finale est rejetée à l'infini, c'est-à-dire à son punctum remotum (PR = \infty).
  Pour que l'oculaire convergent \mathcal{L}_2 rejette cette image finale à l'infini, l'image intermédiaire (qui joue le rôle d'objet pour \mathcal{L}_2) doit impérativement être située dans le plan focal objet de \mathcal{L}_2.
  Par conséquent, le plan focal image de \mathcal{L}_1 doit coïncider avec le plan focal objet de \mathcal{L}_2 (F_{i,1} \equiv F_{o,2}) : le système est alors afocal. La proposition B est fausse et la proposition C est vraie.
- Analyse de la proposition D : Si le plan focal image de \mathcal{L}_1 ne coïncide pas avec le plan focal objet de \mathcal{L}_2, l'image finale ne se forme pas à l'infini mais à distance finie.
  Or, un œil emmétrope possède une faculté d'accommodation lui permettant de voir nettement tout objet (réel ou virtuel) dont la position est comprise entre son punctum remotum (PR = \infty) et son punctum proximum (PP, situé à la distance d_m = 25\text{ cm} en avant de l'œil). Il suffit donc que l'image finale virtuelle se forme en avant de l'œil à une distance D \ge d_m pour être vue nettement en accommodant. La proposition D est donc vraie.
\boxed{\text{Propositions C et D}}
Résultat
$Propositions C et D$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2022, Q26
L'œil emmétrope observant nettement sans accommoder, l'image définitive A'B' de l'étoile doit être rejetée à l'infini. La lunette est donc réglée en système afocal : le foyer principal image F'_{i,1} de l'objectif coïncide avec le foyer principal objet F_{o,2} de l'oculaire.
L'étoile, située à l'infini, envoie un faisceau de rayons parallèles inclinés de l'angle \alpha > 0 par rapport à l'axe optique. Ce faisceau converge dans le plan focal image de l'objectif \mathcal{L}_1 en un point image intermédiaire B_1 :
y_{B_1} = \overline{F'_{i,1}B_1} = f'_1 \tan\alpha \approx f'_1 \alpha
dans le cadre de l'approximation de Gauss (\alpha \ll 1\text{ rad}).
Le point B_1 est situé dans le plan focal objet de l'oculaire \mathcal{L}_2 (F'_{i,1} = F_{o,2}). Les rayons qui en émergent forment donc un faisceau parallèle faisant un angle \beta avec l'axe optique. En considérant le rayon passant sans déviation par le centre optique O_2 :
\tan\beta = \frac{0 - y_{B_1}}{\overline{F_{o,2}O_2}} = \frac{-y_{B_1}}{f'_2} \approx -\frac{f'_1 \alpha}{f'_2}
Dans l'approximation des petits angles (\beta \ll 1\text{ rad}), il vient :
\beta = -\frac{f'_1}{f'_2}\,\alpha
On en déduit le grossissement angulaire de la lunette :
\boxed{G_a = -\frac{f'_1}{f'_2}}
La proposition correcte est la B.
Résultat
$G_{a} = - \frac{f _{1}^{'}}{f _{2}^{'}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2020, Q8
L'objet AB étant situé dans le plan focal objet de la lentille mince \mathcal{L} (A est confondu avec le foyer objet F), la lentille en donne une image A'B' rejetée à l'infini.
Les rayons issus de B émergent de la lentille parallèlement entre eux. En considérant le rayon passant par le centre optique O, qui traverse la lentille sans être dévié, l'angle \theta' que font ces rayons avec l'axe optique vérifie, dans le cadre de l'approximation de Gauss (\tan\theta' \approx \theta') :
\theta' \approx \tan\theta' = \frac{AB}{OF} = \frac{AB}{f'}
L'image étant à l'infini, ce diamètre apparent \theta' est indépendant de la position de l'observateur en arrière de la lentille.
Sans la loupe, lorsque l'objet AB est observé à l'œil nu au punctum proximum (à la distance d_m), son diamètre apparent est :
\theta \approx \tan\theta = \frac{AB}{d_m}
Par définition du grossissement :
G = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{\dfrac{AB}{f'}}{\dfrac{AB}{d_m}} = \frac{d_m}{f'}
Par conséquent, les propositions B et D sont correctes.
\boxed{\theta' = \frac{AB}{f'} \quad \text{et} \quad G = \frac{d_m}{f'}}
Résultat
$θ^{'} = \frac{A B}{f ^{'}} et G = \frac{d _{m}}{f ^{'}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2024, Q5
L'œil étant situé immédiatement après le centre optique O_2 de la lentille \mathcal{L}_2, la distance entre l'œil et l'image A_2B_2 est :
d = \overline{A_2 O_2} = d_m = 25\text{ cm} = 0{,}25\text{ m}
Dans le cadre de l'approximation paraxiale (conditions de Gauss), le diamètre apparent \theta sous lequel est vue l'image s'écrit :
\theta \approx \frac{A_2B_2}{d_m}
L'application numérique donne :
\theta \approx \frac{10^{-3}\text{ m}}{0{,}25\text{ m}} = 4 \times 10^{-3}\text{ rad}
La proposition B est donc exacte (et A fausse).
Le pouvoir séparateur (résolution angulaire minimale) de l'œil humain normal est de l'ordre d'une minute d'arc :
\varepsilon \approx 1' = \frac{\pi}{60 \times 180}\text{ rad} \approx 3 \times 10^{-4}\text{ rad}
L'angle de vue \theta \approx 4 \times 10^{-3}\text{ rad} étant nettement supérieur à ce seuil (\theta > \varepsilon), l'œil est capable de discerner la dimension spatiale de l'image : celle-ci est donc perçue comme une image étendue. La proposition D est donc exacte (et C fausse).
\boxed{\text{Réponses B et D}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponses B et D$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2023, Q7
Un objet très éloigné peut être modélisé comme un objet situé à l'infini sur l'axe optique (A_o \to -\infty).
D'après les lois de l'optique géométrique paraxiale (conditions de Gauss), les rayons lumineux issus d'un point objet situé à l'infini émergent de la lentille mince convergente en convergeant dans son plan focal image. L'image nette se forme donc en son foyer principal image F'.
Pour obtenir une image nette, l'élément photosensible (l'écran) doit être positionné dans ce plan focal image, soit à une distance du centre optique O égale à la distance focale image f' = \overline{OF'} :
f' = \frac{1}{V}
Avec la vergence fournie V = 10\text{ }\delta = 10\text{ m}^{-1} :
f' = \frac{1}{10}\text{ m} = 0{,}10\text{ m} = 10\text{ cm}
L'écran doit donc être placé à une distance de 10\text{ cm} de la lentille (proposition A).
\boxed{\text{A}}
Résultat
$A$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2023, Q9
D'après la formule de conjugaison de Descartes avec origine au centre optique O d'une lentille mince de vergence V :
\frac{1}{\overline{OA_i}} - \frac{1}{\overline{OA_o}} = V
Lorsque l'écran est à sa distance maximale de la lentille, l'abscisse de l'image sur l'axe optique est :
\overline{OA_i} = 10{,}5\text{ cm} = 0{,}105\text{ m}
On en déduit la position de l'objet correspondant :
\begin{aligned} \frac{1}{\overline{OA_o}} &= \frac{1}{\overline{OA_i}} - V \\ \frac{1}{\overline{OA_o}} &= \frac{1}{0{,}105} - 10 = \frac{1 - 1{,}05}{0{,}105} = -\frac{0{,}05}{0{,}105} = -\frac{10}{21}\text{ m}^{-1} \end{aligned}
Soit :
\overline{OA_o} = -\frac{21}{10}\text{ m} = -2{,}1\text{ m}
La distance minimale entre l'objet et la lentille est donc :
\boxed{d_m = 2{,}1\text{ m}}
La proposition exacte est la C.
Résultat
$d_{m} = 2, 1 m$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2022, Q27
Dans la lunette afocale, les lentilles \mathcal{L}_1 et \mathcal{L}_2 sont distantes de :
\overline{O_1 O_2} = f'_1 + f'_2
L'objectif \mathcal{L}_1, situé en O_1, joue le rôle d'objet pour l'oculaire \mathcal{L}_2. La position de cet objet par rapport à O_2 est donc :
p_o = \overline{O_2 O_1} = -(f'_1 + f'_2)
D'après la relation de conjugaison de Descartes donnée pour l'oculaire de distance focale f'_2 :
-\frac{1}{p_o} + \frac{1}{p_i} = \frac{1}{f'_2}
ce qui conduit à :
\begin{aligned} \frac{1}{p_i} &= \frac{1}{f'_2} + \frac{1}{p_o} \\ &= \frac{1}{f'_2} - \frac{1}{f'_1 + f'_2} \\ &= \frac{(f'_1 + f'_2) - f'_2}{f'_2(f'_1 + f'_2)} \\ &= \frac{f'_1}{f'_2(f'_1 + f'_2)} \end{aligned}
L'image de l'objectif par l'oculaire se forme donc à la distance algébrique p_i de O_2 :
\boxed{p_i = \frac{f'_2(f'_1 + f'_2)}{f'_1} = \left(1 + \frac{f'_2}{f'_1}\right)f'_2}
ce qui valide la proposition D.
Le grandissement transversal associé à cette conjugaison s'écrit :
\begin{aligned} G_t &= \frac{p_i}{p_o} \\ &= \frac{\frac{f'_2(f'_1 + f'_2)}{f'_1}}{-(f'_1 + f'_2)} \\ &= -\frac{f'_2}{f'_1} \end{aligned}
Le diamètre d_i de l'image (qui est une grandeur strictement positive) vaut donc :
\boxed{d_i = |G_t| \, D_o = \frac{f'_2}{f'_1} D_o}
ce qui valide la proposition A.
Résultat
$p_{i} = \frac{f _{2}^{'} ( f _{1}^{'} + f _{2}^{'} )}{f _{1}^{'}} = (1 + \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}}) f_{2}^{'}$ $d_{i} = ∣ G_{t} ∣ D_{o} = \frac{f _{2}^{'}}{f _{1}^{'}} D_{o}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2021, Q8
Analysons successivement les quatre propositions :
Affirmation A :
Pour un doublet constitué de \mathcal{L}_1 (f_1 > 0) suivie de \mathcal{L}_2 (f_2 < 0), la condition d'afocalité s'écrit F'_1 = F_2. La distance entre les centres optiques vérifie :
\overline{O_1 O_2} = \overline{O_1 F'_1} + \overline{F_2 O_2} = f_1 - (-f_2) = f_1 + f_2 = f_1 - |f_2|
Puisque la lumière se propage de \mathcal{L}_1 vers \mathcal{L}_2, la distance est positive : \overline{O_1 O_2} > 0, ce qui implique :
f_1 > |f_2|
Le rapport des diamètres du faisceau s'exprime par :
\frac{D_f}{D_i} = \frac{|f_2|}{f_1} < 1
Le faisceau est donc nécessairement rétréci. On ne peut pas l'élargir. L'affirmation A est exacte.
Affirmation B :
Pour le doublet (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_3) afocal (F'_1 = F_3), le rapport des diamètres vaut :
\frac{D_f}{D_i} = \frac{f_3}{f_1}
Le faisceau n'est élargi que si f_3 > f_1. Si f_3 \leqslant f_1, le faisceau n'est pas élargi. L'affirmation B est fausse.
Affirmation C :
Pour le système des trois lentilles (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2, \mathcal{L}_3), le faisceau incident parallèle à l'axe émerge de \mathcal{L}_1 en convergeant vers F'_1, qui joue le rôle d'objet pour \mathcal{L}_2. Notons F'_{12} son image par \mathcal{L}_2. Pour que le faisceau ressorte de \mathcal{L}_3 parallèle à l'axe, il faut que ce point coïncide avec le foyer objet F_3 de \mathcal{L}_3 (F'_{12} = F_3).
La formule de conjugaison de Descartes appliquée à \mathcal{L}_2 s'écrit :
\frac{1}{\overline{O_2 F_3}} - \frac{1}{\overline{O_2 F'_1}} = \frac{1}{f_2}
Si F_3 et F'_1 étaient confondus, le membre de gauche s'annulerait, ce qui imposerait \frac{1}{f_2} = 0, soit une lentille de puissance nulle (ou une distance focale infinie). Comme f_2 est finie et non nulle, il est impossible de réaliser un système afocal en plaçant F_3 en F'_1. L'affirmation C est exacte.
Affirmation D :
En utilisant uniquement \mathcal{L}_2 (f_2 < 0) suivie de \mathcal{L}_3 (f_3 > 0), la condition d'afocalité F'_2 = F_3 donne :
\overline{O_2 O_3} = \overline{O_2 F'_2} + \overline{F_3 O_3} = f_2 + f_3 = f_3 - |f_2|
Cette disposition est physiquement réalisable dès lors que f_3 > |f_2|. Le rapport des diamètres est alors :
\frac{D_f}{D_i} = \frac{f_3}{|f_2|} > 1
Le faisceau est donc élargi (principe de l'expanseur de faisceau galiléen). L'affirmation D est fausse.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2021, Q10
Considérons un rayon incident parallèle à l'axe optique situé à une distance y_i = D_i/2 de celui-ci.
- Traversée de \mathcal{L}_1 : Le rayon émerge en passant par le foyer image F'_1, situé à l'abscisse \overline{O_1 F'_1} = f_1. Sur le plan de la lentille \mathcal{L}_2 (située à l'abscisse \overline{O_1 O_2} = \Delta_1), la hauteur algébrique y_2 du rayon s'obtient par le théorème de Thalès dans le triangle formé par l'axe optique, le plan de \mathcal{L}_1 et le plan de \mathcal{L}_2 :
  \frac{y_2}{y_i} = \frac{\overline{F'_1 O_2}}{\overline{F'_1 O_1}} = \frac{\Delta_1 - f_1}{-f_1} = \frac{f_1 - \Delta_1}{f_1}
- Traversée de \mathcal{L}_2 et arrivée sur \mathcal{L}_3 : Le système \mathcal{S} étant afocal, le faisceau sortant de \mathcal{L}_3 est cylindrique et parallèle à l'axe optique. Les rayons émergent de \mathcal{L}_3 parallèlement à l'axe à une distance y_3 = D_f/2. Pour cela, le rayon intermédiaire entre \mathcal{L}_2 et \mathcal{L}_3 doit nécessairement passer par le foyer objet F_3 de la troisième lentille, situé à l'abscisse \overline{O_3 F_3} = -f_3, soit par rapport à O_2 :
  \overline{O_2 F_3} = \overline{O_2 O_3} + \overline{O_3 F_3} = \Delta_2 - f_3
- Liaison entre y_3 et y_2 : Le rayon se propage en ligne droite entre \mathcal{L}_2 (hauteur y_2 en O_2) et \mathcal{L}_3 (hauteur y_3 en O_3), en passant par F_3 sur l'axe optique. Par le théorème de Thalès :
  \frac{y_3}{y_2} = \frac{\overline{F_3 O_3}}{\overline{F_3 O_2}} = \frac{f_3}{-(\Delta_2 - f_3)} = \frac{f_3}{f_3 - \Delta_2}
En combinant ces deux relations, le rapport des diamètres s'écrit :
\frac{D_f}{D_i} = \frac{y_3}{y_i} = \frac{y_3}{y_2} \times \frac{y_2}{y_i} = \frac{f_3}{f_3 - \Delta_2} \times \frac{f_1 - \Delta_1}{f_1}
\boxed{\frac{D_f}{D_i} = \frac{f_3(f_1 - \Delta_1)}{f_1(f_3 - \Delta_2)}}
L'affirmation correcte est donc l'affirmation A.
Résultat
$\frac{D _{f}}{D _{i}} = \frac{f _{3} ( f _{1} - Δ _{1} )}{f _{1} ( f _{3} - Δ _{2} )}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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