Feuille d'entraînement : Approche énergétique et oscillateurs mécaniques

10 questions · filière MPSI · durée estimée environ 34 min

Énoncés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2026, Q10· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Déterminer l'équation du mouvement de $A$ :
A) $\ddot{θ} - ω_{0}^{2} sin θ = 0$ avec $ω_{0} = (\frac{g s i n α}{b})^{1/2}$ B) $\ddot{θ} + ω_{0}^{2} sin θ = 0$ avec $ω_{0} = (\frac{g s i n α}{b})^{1/2}$ C) $\ddot{θ} - ω_{0}^{2} sin θ = 0$ avec $ω_{0} = (\frac{g c o s α}{b})^{1/2}$ D) $\ddot{θ} + ω_{0}^{2} sin θ = 0$ avec $ω_{0} = (\frac{g c o s α}{b})^{1/2}$
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2026, Q11· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Le palet est abandonné sans vitesse initiale depuis la position $θ (0) = θ_{0}$ . Déterminer $\dot{θ} (θ)$ :
A) $\dot{θ} (θ) = \pm 2 ω_{0} (cos θ - cos θ_{0})^{1/2}$ B) $\dot{θ} (θ) = \pm 2 ω_{0} (cos θ + cos θ_{0})^{1/2}$ C) $\dot{θ} (θ) = \pm 2 ω_{0} (sin θ_{0} - sin θ)^{1/2}$ D) $\dot{θ} (θ) = \pm 2 ω_{0} (sin θ + sin θ_{0})^{1/2}$
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2023, Q28· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
Déduire de ce qui précède l'expression de la composante normale $R_{n}$ de la force de réaction.
A) $R_{n} = m [g (3 sin φ - 2) - \frac{v _{0}^{2}}{r}]$ B) $R_{n} = m [g (3 sin φ - 2) + \frac{v _{0}^{2}}{r}]$ C) $R_{n} = m [g (sin φ - 1) - \frac{v _{0}^{2}}{r}]$ D) $R_{n} = 0$
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2023, Q31· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
Quelle est la vitesse $v$ de $A$ lorsqu'il atteint l'anode ?
A) $v = \frac{e V _{a}}{m _{e}}$ B) $v = \frac{2 e V _{a}}{m _{e}}$ C) $v = \frac{2 m _{e} V _{a}}{e}$ D) $v = \frac{2 e V _{a}}{m _{e}}$
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2022, Q7· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Exprimer puis calculer numériquement la vitesse $v_{B}$ du skieur en $B$ .
A) $v_{B} = 3 g L$ B) $v_{B} = 2 g L sin α$ C) $v_{B} = 20 m \cdot s^{- 1}$ D) $v_{B} = 13 m \cdot s^{- 1}$
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2022, Q12· Application directe· Incontournable· ≈ 3 min
Un autre skieur, moins aguerri, se retrouve confiné au voisinage de $C$ et oscille, d'avant en arrière, dans un mouvement de très faible amplitude. Quelle est la période $T$ de ses oscillations ?
A) $T = \frac{b}{g}$ B) $T = 2 π \frac{b}{g}$ C) $T \approx 9 s$ D) $T = 1, 5 s$
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2021, Q3· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 3 min
On déplace $A$ , par rapport à sa position d'équilibre $O$ (prise comme origine des coordonnées cartésiennes $x$ et $y$ ), d'une quantité initiale $x (0) ≪ l_{e}$ selon la direction horizontale $O x$ (Figure 1a) et on l'abandonne sans vitesse initiale. Le mouvement est astreint à demeurer horizontal. On observe alors un mouvement harmonique de pulsation $ω_{0, l}$ . Quelles sont les expressions de $ω_{0, l}$ et de la période $T_{0}$ des oscillations correspondante? A) $ω_{0, l} = (\frac{2 K}{m})^{1/2}$ B) $ω_{0, l} = (\frac{2 m}{K})^{1/2}$ C) $T_{0} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 K}{m})^{1/2}$ D) $T_{0} = 2 π (\frac{m}{2 K})^{1/2}$
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q5· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
La masselotte précédente et ses deux ressorts sont maintenant disposés verticalement, c'est-à-dire dans la direction du vecteur champ de pesanteur $g$ (Figure 2). Quelle est la nouvelle pulsation propre $ω_{0, l}^{'}$ des oscillations si, comme précédemment, on écarte $A$ , dans la direction $O z$ , d'une très petite quantité par rapport à la position d'équilibre (le mouvement est contraint à s'effectuer selon la direction verticale)? A) $ω_{0, l}^{'} = ω_{0, l}$ B) $ω_{0, l}^{'} = 2 ω_{0, l}$ C) $ω_{0, l}^{'} = ω_{0, l} /2$ D) On ne peut rien dire $a$ priori.
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2026, Q12· Intermédiaire· ≈ 4 min
En déduire $R_{r}$ (on rappelle que $R = - R_{r} e_{r} + R_{Z} e_{Z}$ ) :
A) $R_{r} = m g sin α (3 cos θ + 2 cos θ_{0})$ B) $R_{r} = m g sin α (cos θ - cos θ_{0})$ C) $R_{r} = m g sin α (2 cos θ - 3 cos θ_{0})$ D) $R_{r} = m g sin α (3 cos θ - 2 cos θ_{0})$
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2025, Q28· Intermédiaire· ≈ 5 min
Que vaut la période $T_{0}$ du mouvement du cadre au voisinage de sa position d'équilibre stable ? A) $T_{0} = (\frac{π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + I L ℓ B})^{1/2}$ B) $T_{0} = (\frac{4 π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + I L ℓ B})^{1/2}$ C) $T_{0} = (\frac{8 π ^{2} J _{z}}{m g ℓ + 2 I L ℓ B})^{1/2}$ D) $T_{0} = (\frac{2 J _{z}}{m g ℓ + 2 I L ℓ B})^{1/2}$

Corrigés

Exercice 1ENAC Physique MPSI 2026, Q10
Le référentiel \mathcal{R} du laboratoire étant supposé galiléen, le moment cinétique du palet A par rapport au point fixe O s'écrit :
\mathbf{L}_O(A) = \mathbf{OA} \times m\mathbf{v}(A)
Le mouvement étant circulaire de rayon b dans le plan (O, \mathbf{e}_X, \mathbf{e}_Y), la vitesse s'exprime en coordonnées polaires par \mathbf{v}(A) = b\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta. Il vient ainsi :
\mathbf{L}_O(A) = b\,\mathbf{e}_r \times m(b\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta) = mb^2\dot{\theta}\,\mathbf{e}_Z
D'après le théorème du moment cinétique au point O :
\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O(A)}{\mathrm{d}t} = \mathbf{M}_O(\mathbf{P}) + \mathbf{M}_O(\mathbf{R})
En projetant cette relation sur l'axe fixe (O, \mathbf{e}_Z), et en utilisant les résultats des questions Q8 et Q9 :
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_O(A)}{\mathrm{d}t} \cdot \mathbf{e}_Z &= mb^2\ddot{\theta} \\ \mathbf{M}_O(\mathbf{P}) \cdot \mathbf{e}_Z &= -mgb\sin\alpha\sin\theta \\ \mathbf{M}_O(\mathbf{R}) \cdot \mathbf{e}_Z &= 0 \end{aligned}
On en déduit :
mb^2\ddot{\theta} = -mgb\sin\alpha\sin\theta
soit, en simplifiant par mb^2 > 0 :
\ddot{\theta} + \frac{g\sin\alpha}{b}\sin\theta = 0
En posant \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g\sin\alpha}{b}}, l'équation du mouvement s'écrit :
\boxed{\ddot{\theta} + \omega_0^2\sin\theta = 0 \quad \text{avec} \quad \omega_0 = \left(\frac{g\sin\alpha}{b}\right)^{1/2}}
La réponse correcte est la proposition B.
Résultat
$\ddot{θ} + ω_{0}^{2} sin θ = 0 avec ω_{0} = (\frac{g sin α}{b})^{1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENAC Physique MPSI 2026, Q11
D'après la question Q10, l'équation différentielle régissant le mouvement du palet s'écrit :
\ddot{\theta} + \omega_{0}^2 \sin\theta = 0 \quad \text{avec} \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{g\sin\alpha}{b}}
Multiplions cette relation par \dot{\theta} :
\dot{\theta}\ddot{\theta} + \omega_{0}^2 \dot{\theta}\sin\theta = 0
ce qui équivaut à la dérivée temporelle suivante :
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{1}{2}\dot{\theta}^2 - \omega_{0}^2 \cos\theta \right) = 0
La quantité entre parenthèses est donc constante au cours du mouvement :
\frac{1}{2}\dot{\theta}^2 - \omega_{0}^2 \cos\theta = \text{cte}
En utilisant la condition initiale d'un lâcher sans vitesse initiale depuis \theta = \theta_0, soit \dot{\theta}(\theta_0) = 0 :
\text{cte} = -\omega_{0}^2 \cos\theta_{0}
On en déduit :
\begin{aligned} \frac{1}{2}\dot{\theta}^2 &= \omega_{0}^2 \left(\cos\theta - \cos\theta_{0}\right) \\ \dot{\theta}^2 &= 2\omega_{0}^2 \left(\cos\theta - \cos\theta_{0}\right) \end{aligned}
En prenant la racine carrée, on obtient l'expression de la vitesse angulaire :
\boxed{\dot{\theta}(\theta) = \pm\sqrt{2}\omega_{0}\left(\cos\theta - \cos\theta_{0}\right)^{1/2}}
Le double signe \pm traduit le fait que le mobile effectue des allers-retours dans la cuvette.
La bonne réponse est l'affirmation A.
Résultat
$\dot{θ} (θ) = \pm 2 ω_{0} (cos θ - cos θ_{0})^{1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENAC Physique MPSI 2023, Q28
D'après la projection selon le vecteur radial \vec{e}_\rho du principe fondamental de la dynamique établie à la question Q25 :
-m r \dot{\varphi}^2 = -m g \sin\varphi + R_n
soit :
R_n = m g \sin\varphi - m r \dot{\varphi}^2
La trajectoire étant circulaire de rayon r, la norme de la vitesse scalaire vaut v = r |\dot{\varphi}|, d'où :
m r \dot{\varphi}^2 = \frac{m v^2}{r}
En injectant l'expression de v^2 issue de la question Q27, à savoir v^2 = 2 g r (1 - \sin\varphi) + v_0^2, il vient :
\begin{aligned} R_n &= m g \sin\varphi - \frac{m}{r}\left[ 2 g r (1 - \sin\varphi) + v_0^2 \right] \\ &= m g \sin\varphi - 2 m g (1 - \sin\varphi) - \frac{m v_0^2}{r} \\ &= m\left[ g(3\sin\varphi - 2) - \frac{v_0^2}{r} \right] \end{aligned}
Ce résultat correspond à la proposition A.
\boxed{R_n = m\left[g(3\sin\varphi - 2) - \frac{v_0^2}{r}\right]}
Résultat
$R_{n} = m [g (3 sin φ - 2) - \frac{v _{0}^{2}}{r}]$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENAC Physique MPSI 2023, Q31
Le système étudié est l'électron A, de masse m_e et de charge électrique q = -e, dans le référentiel galiléen du laboratoire.
L'électron est émis depuis la cathode \mathcal{P}_1, portée au potentiel V_1 = 0, avec une vitesse initiale négligeable (v_0 \approx 0). Il est accéléré sous vide jusqu'à l'anode \mathcal{P}_2, portée au potentiel V_2 = V_a.
Le poids étant tout à fait négligeable devant la force électrostatique subie par l'électron, la seule force qui travaille est la force électrostatique conservative \vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}.
D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre \mathcal{P}_1 et \mathcal{P}_2 :
\begin{aligned} \Delta \mathcal{E}_c &= W_{\mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_2}(\vec{F}) \\ \frac{1}{2}m_e v^2 - 0 &= q(V_1 - V_2) = (-e)(0 - V_a) = e V_a \end{aligned}
On en déduit immédiatement :
\boxed{v = \sqrt{\frac{2e V_a}{m_e}}}
La proposition correcte est la B.
Résultat
$v = \frac{2 e V _{a}}{m _{e}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENAC Physique MPSI 2022, Q7
On étudie le skieur, modélisé par un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre du laboratoire supposé galiléen.
Sur la portion rectiligne AB de longueur L, inclinée d'un angle \alpha = 30^\circ par rapport à l'horizontale, le skieur est soumis à :
- son poids \vec{P} = m\vec{g} ;
- la réaction normale de la piste \vec{R}_N, orthogonale au déplacement (puisqu'on néglige tout frottement), de sorte que son travail est nul : W_{A\to B}(\vec{R}_N) = 0.
Le système étant conservatif, appliquons le théorème de l'énergie mécanique (ou le théorème de l'énergie cinétique) entre le point A (où le skieur part du repos, v_A = 0) et le point B :
\begin{aligned} \Delta E_c &= W_{A\to B}(\vec{P}) \\ \frac{1}{2}m v_B^2 - 0 &= mg (z_A - z_B) \end{aligned}
La dénivellation entre A et B vaut :
z_A - z_B = L\sin\alpha
On en déduit l'expression littérale de la vitesse v_B :
\boxed{v_B = \sqrt{2gL\sin\alpha}}
Application numérique :
- g \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}
- L = 40\text{ m}
- \alpha = 30^\circ, d'où \sin\alpha = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = 0{,}5
\begin{aligned} v_B &= \sqrt{2 \times 10 \times 40 \times 0{,}5} \\ &= \sqrt{400} \\ \Aboxed{v_B &= 20\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}} \end{aligned}
Les propositions B et C sont donc correctes.
Résultat
$v_{B} = 2 g L sin α$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6ENAC Physique MPSI 2022, Q12
Le skieur se déplace sans frottement sur la piste circulaire concave de rayon b et de centre O'. Le point C étant situé à la verticale descendante de O', il constitue une position d'équilibre stable pour le skieur.
En repérant la position du point matériel par l'angle \theta = (\overrightarrow{O'C}, \overrightarrow{O'S}), la deuxième loi de Newton projetée sur le vecteur tangentiel \vec{u}_\theta du repère de Frenet (ou la conservation de l'énergie mécanique) conduit à l'équation différentielle :
b\,\ddot{\theta} + g\sin\theta = 0
Pour un mouvement confiné au voisinage immédiat de C, de très faible amplitude, on se place dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (\sin\theta \approx \theta) :
\ddot{\theta} + \frac{g}{b}\,\theta = 0
Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{b}}. La période propre T des oscillations s'écrit alors :
\boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac{b}{g}}}
Application numérique : Avec b = 20\text{ m} et g \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on obtient :
\begin{aligned} T &= 2\pi\sqrt{\frac{20}{10}} = 2\pi\sqrt{2} \\ T &\approx 2 \times 3{,}14 \times 1{,}414 \approx 8{,}9\text{ s} \approx 9\text{ s} \end{aligned}
\boxed{T \approx 9\text{ s}}
Les propositions B et C sont donc correctes.
Résultat
$T = 2 π \frac{b}{g}$ $T \approx 9 s$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7ENAC Physique MPSI 2021, Q3
Le système étudié est la masselotte A de masse m, assimilée à un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
À l'équilibre, le point A est en O et les deux ressorts ont pour longueur l_e. Les bâtis sont donc situés en x = -l_e (ressort 1 à gauche) et en x = +l_e (ressort 2 à droite).
Lorsque la masselotte est déplacée d'une quantité x le long de Ox :
- le ressort 1 a pour longueur l_1 = l_e + x, d'où une force de rappel :
  \boldsymbol{F}_1 = -K(l_1 - l_0)\,\boldsymbol{e}_x = -K(l_e + x - l_0)\,\boldsymbol{e}_x
- le ressort 2 a pour longueur l_2 = l_e - x, d'où une force de rappel :
  \boldsymbol{F}_2 = +K(l_2 - l_0)\,\boldsymbol{e}_x = +K(l_e - x - l_0)\,\boldsymbol{e}_x
La résultante des forces horizontales s'écrit :
\begin{aligned} \boldsymbol{F} &= \boldsymbol{F}_1 + \boldsymbol{F}_2 \\ &= \left[-K(l_e + x - l_0) + K(l_e - x - l_0)\right] \boldsymbol{e}_x \\ &= -2Kx\,\boldsymbol{e}_x \end{aligned}
D'après le principe fondamental de la dynamique projeté selon l'axe horizontal Ox :
m\ddot{x} = -2Kx \iff \ddot{x} + \frac{2K}{m}x = 0
Il s'agit de l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre :
\boxed{\omega_{0, l} = \left(\frac{2K}{m}\right)^{1/2}}
La période des oscillations est reliée à la pulsation propre par T_0 = \frac{2\pi}{\omega_{0, l}}, soit :
\boxed{T_0 = 2\pi\left(\frac{m}{2K}\right)^{1/2}}
Les affirmations A et D sont donc exactes.
Résultat
$ω_{0, l} = (\frac{2 K}{m})^{1/2}$ $T_{0} = 2 π (\frac{m}{2 K})^{1/2}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8ENAC Physique MPSI 2021, Q5
On choisit l'axe vertical ascendant Oz, la position d'équilibre de la masselotte A étant prise comme origine z = 0.
Le système \{A\} de masse m est soumis à :
- son poids \boldsymbol{P} = -m g \boldsymbol{e}_z ;
- la force de rappel du ressort supérieur ;
- la force de rappel du ressort inférieur.
À l'équilibre (z=0), la résultante des forces est nulle :
\boldsymbol{F}_{\text{ressorts}}(0) + \boldsymbol{P} = \boldsymbol{0}
Lorsque la masselotte est repérée par son écart z par rapport à l'équilibre, le ressort supérieur voit sa longueur varier de \Delta l_h = -z et le ressort inférieur de \Delta l_b = +z. La force élastique exercée par l'ensemble des deux ressorts s'écrit alors :
\boldsymbol{F}_{\text{ressorts}}(z) = \boldsymbol{F}_{\text{ressorts}}(0) - 2K z \boldsymbol{e}_z
D'après le PFD projeté sur l'axe Oz :
\begin{aligned} m \ddot{z} &= -2K z + \underbrace{\left(F_{\text{ressorts}, z}(0) - mg\right)}_{=\, 0} \\ \ddot{z} + \frac{2K}{m} z &= 0 \end{aligned}
On en déduit immédiatement la pulsation propre :
\omega_{0, l}' = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \omega_{0, l}
\boxed{\text{A}}
Résultat
$A$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9ENAC Physique MPSI 2026, Q12
Le palet A de masse m est soumis à son poids \mathbf{P} et à la réaction \mathbf{R} = -R_r \mathbf{e}_r + R_Z \mathbf{e}_Z.
Le vecteur position s'écrit \mathbf{OA} = b\mathbf{e}_r, avec le rayon constant b. L'accélération en coordonnées polaires dans le plan \mathcal{P} comporte une composante radiale :
a_r = -b\dot{\theta}^2
D'après le principe fondamental de la dynamique projeté selon la direction radiale \mathbf{e}_r :
m a_r = (\mathbf{P} + \mathbf{R}) \cdot \mathbf{e}_r
Or, d'après les résultats de la question Q7 :
\begin{aligned} \mathbf{P} &= -mg\sin\alpha\,\mathbf{e}_Y - mg\cos\alpha\,\mathbf{e}_Z \\ \mathbf{e}_r &= \sin\theta\,\mathbf{e}_X - \cos\theta\,\mathbf{e}_Y \end{aligned}
On en déduit :
\mathbf{P} \cdot \mathbf{e}_r = (-mg\sin\alpha)(-\cos\theta) = mg\sin\alpha\cos\theta
Sachant que \mathbf{R} \cdot \mathbf{e}_r = -R_r, la projection du PFD devient :
-mb\dot{\theta}^2 = mg\sin\alpha\cos\theta - R_r \implies R_r = mg\sin\alpha\cos\theta + mb\dot{\theta}^2
D'après la question Q11, on a \dot{\theta}^2 = 2\omega_0^2(\cos\theta - \cos\theta_0) avec \omega_0^2 = \frac{g\sin\alpha}{b} (question Q10). On a donc :
mb\dot{\theta}^2 = 2mg\sin\alpha(\cos\theta - \cos\theta_0)
En reportant cette expression dans celle de R_r :
R_r = mg\sin\alpha\cos\theta + 2mg\sin\alpha(\cos\theta - \cos\theta_0)
\boxed{R_r = mg\sin\alpha\left(3\cos\theta - 2\cos\theta_0\right)}
La réponse correcte est la proposition D.
Résultat
$R_{r} = m g sin α (3 cos θ - 2 cos θ_{0})$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10ENAC Physique MPSI 2025, Q28
Le référentiel du laboratoire \mathcal{R} étant galiléen et l'axe \Delta fixe, le théorème du moment cinétique scalaire appliqué au cadre s'écrit :
J_z \ddot{\theta} = \Gamma_{\Delta}(\theta) = \Gamma_P + \Gamma_L
En utilisant les expressions des moments établies aux questions Q25 et Q26 :
J_z \ddot{\theta} = -\left(\frac{mg\ell}{2} + IL\ell B\right)\sin\theta
Pour \theta_e = 0, en effectuant un développement limité au premier ordre pour les petites oscillations (\sin\theta \approx \theta) :
J_z \ddot{\theta} + \left(\frac{mg\ell + 2IL\ell B}{2}\right)\theta = 0
Le coefficient devant \theta étant strictement positif, il s'agit bien d'un oscillateur harmonique stable. L'équation se met sous la forme canonique \ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0 avec :
\omega_0^2 = \frac{mg\ell + 2IL\ell B}{2J_z}
La période des petites oscillations est reliée à la pulsation propre par T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, ce qui donne :
\begin{aligned} T_0 &= 2\pi \sqrt{\frac{2J_z}{mg\ell + 2IL\ell B}} \\ &= \left(\frac{8\pi^2 J_z}{mg\ell + 2IL\ell B}\right)^{1/2} \end{aligned}
La proposition correcte est donc la proposition C.
\boxed{\text{Réponse C}}
Résultat
$R \overset{e}{ˊ} ponse C$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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