Régime sinusoïdal forcé et filtrage linéaire : 399 questions de concours corrigées

Exprimer à un facteur près le signal intermédiaire v_i, puis justifier que son spectre fait apparaître les fréquences f₂+f₁ et |f₂-f₁|. Indiquer le type de filtrage qui permet d'obtenir, à la sortie…

Proposer pour F un schéma électrique de filtre passif convenable, sans préciser pour l'instant les valeurs des composants. Un filtre d'ordre 1 est acceptable mais le jury valorisera davantage un…

Sans calcul, mais au moyen de raisonnements justifiés, indiquer lequel des deux circuits proposés correspond aux filtres H₁ et H₂ respectivement, et lequel sera utilisé pour alimenter le tweeter et…

À l’aide des équivalents en haute et basse fréquences des composants, déterminer la nature du filtre réalisé avec le circuit de la figure 5. Justifier si ce circuit permet d’isoler la composante…

Nommer H₀ et en donner la valeur en justifiant.

Préciser la valeur du gain en décibel, G_db, lorsque ω ≪ ω_c.

Rappeler la définition de la fréquence de coupure à -3 dB. Donner l’expression de cette fréquence de coupure, notée f_C, en fonction de R et de C pour ce circuit.

Rappeler la définition des valeur moyenne U₀ et valeur efficace U_eff du signal u(t), puis les calculer en fonction de E, T et de τ.

Établir la fonction de transfert en régime harmonique H(jω) = v/u du filtre ainsi réalisé. Déterminer sa fréquence de coupure f_c en fonction de L et de R.

La fonction de transfert du filtre F₁ s'écrit : A) H₁ = 1/(1+jRCω) B) H₁ = 1/(1+2jRCω) C) H₁ = 1/(1+jRCω/2) D) H₁ = 2/(1+jRCω)

Le filtre F est : A) un passe-bas B) un passe-haut C) un passe-bande D) un intégrateur

Question préliminaire : On considère deux grandeurs physiques A_i=1,2 oscillant toutes deux à la pulsation ω. On note A_i les grandeurs complexes associées. Donner l'expression de la moyenne…

Quelle est la fonction du bloc F ? Exprimer sa fonction de transfert et préciser sa pulsation de coupure ω_c en fonction de r₂ et C₂.

Étudier le comportement asymptotique de ce circuit. En déduire le type de filtrage réalisé par le micro.

Écrire la fonction de transfert sous la forme H(jω) = H₀/(1 - ω²/ω₀² + jω/Qω₀) et exprimer les paramètres H₀, ω₀ et Q en fonction de R, L et C.

Expliquer comment tracer expérimentalement un diagramme de Bode.

Exprimer ω₁ : A) ω₁ = (LC)¹/² B) ω₁ = (LC)⁻¹/² C) ω₁ = R/L D) ω₁ = 1/RC

Exprimer Q₁ : A) Q₁ = R(L/C)¹/² B) Q₁ = 1/R(L/C)¹/² C) Q₁ = 1/R(C/L)¹/² D) Q₁ = R(C/L)¹/²

Déterminer l'amplitude complexe C du mouvement forcé. On écrira le champ électrique en représentation complexe sous la forme Ecos (ω t) = E Re(eiω t).

Représenter la structure élémentaire d'un système asservi à une consigne Co(p) par un schéma-bloc composé de trois blocs : (a) le système à asservir, de fonction de transfert H(p) ; (b) un bloc…

Rappeler comment on peut réaliser un filtre passe-bas du premier ordre avec un circuit RC.

Donner la forme canonique de la fonction de transfert de ce circuit en faisant apparaitre la fréquence de coupure ω_c.

En déduire l'équation différentielle liant l'entrée sₑ(t) et la sortie s_s(t) dans le cas d'un filtre passe-bas du premier ordre de temps caractéristique τ qu'on liera à ω_c.

Exprimer l'amplitude complexe U_s en fonction de l'amplitude complexe Uₑ, de R_ref et de Z.

Proposer un montage simple permettant d'éliminer la composante continue. Quel composant électronique permettrait de réaliser le bloc d'inversion du signal ?

Déterminer sans calcul la nature du filtre et préciser parmi les deux fonctions de transfert H₁(jω) et H₂(jω), laquelle correspond à ce montage : H₁(jω) = G₀/(1+2jm ω/ω₀ - (ω/ω₀)²) et H₂(jω) =…

Sachant que l'impédance équivalente à une association en série des dipôles R et L est donnée par : Z = R + jLω, déterminer l'expression de l'impédance équivalente Z_eq à l'association en série des…

Sachant que l'intensité dans le circuit s'écrit i(t) = Icos (ω t + φ) où φ désigne la phase à l'origine, donner l'écriture complexe de la tension aux bornes du générateur e(t) et de l'intensité dans…

Montrer qu'après un régime transitoire, le mouvement de l'électron atteint un régime stationnaire r(t) = r_ω e⁻iω t, où l'amplitude complexe r_ω vérifie qr_ω = α_c(ω) E₀ eₓ (7) avec α_c(ω) =…

Écrire l'équation différentielle liant à tout instant t, la tension u(t) et l'intensité du courant i(t) et la mettre sous la forme canonique : (d² i)/(d t²)+ω₀/Q (d i)/(d t)+ω₀² i=1/L (d u)/(d t)…

Déterminer littéralement puis numériquement la valeur maximale de G.

Le capteur inductif de pression est formé par la bobine à l'intérieur de laquelle on introduit un barreau ferromagnétique. Cette introduction fait varier son inductance propre. Le barreau pénètre…

Dans le cas d'une déformation et d'une contrainte harmoniques, établir l'équation algébrique, associée à l'équation différentielle de la question 44, à l'aide des notations complexes introduites au…

On considère que seulement la composante alternative u_alt(t) du signal u(t) est envoyée dans le multiplieur. On écrit alors u_alt(t) sous la forme u_alt(t) = u_alt,0 cos (ω_alt t). Exprimer ω_alt…

Définir à quelle condition cette puissance est maximale, pour une amplitude de la tension d'entrée V₁ fixée.

Justifier qu'il était possible d'utiliser une bobine (non résistive, afin de rester dans le cadre de cette étude), à la place d'un quartz. Préciser alors quel est l'intérêt du choix d'un quartz.

Effectuer une analyse qualitative du filtre à basse et haute fréquence. En déduire la nature du filtre. Justifier de son intérêt dans le cas présent.

Exprimer la fonction de transfert du filtre H(jω) sous la forme H(jω) = H₀/(1 + j(ω/ω₀)) en identifiant les expressions de H₀ et ω₀.

Exprimer le gain du filtre G(x) et la phase φ(x) = (H).

Déterminer la pulsation réduite de coupure x_c à -3 dB.

Exprimer le gain en décibels G_dB(x) puis déterminer les équivalents à basse et haute fréquence.

Construire le diagramme de Bode, réponses en gain G_dB = f(log x) et en phase φ = f(log x).

Vérifier que cette fonction de transfert est compatible avec le schéma aux basses et hautes fréquences. De quel type de filtre s'agit-il ?

Donner l'expression reliant le facteur de qualité, la fréquence propre et la bande passante à - 3 dB.

Montrer que la condition d'oscillation conduit à la relation Arg[H_F(ω)] = 0.

Écrire la forme algébrique que prend ce système en régime sinusoïdal forcé à la pulsation ω. On notera x_i l'amplitude complexe du déplacement de l'oscillateur i.

Exprimer puis calculer la fréquence de coupure f_cp de ce photodétecteur dans son circuit de polarisation. On adoptera les valeurs suivantes : R = 25 kΩ et C = 40 pF.

La résistance R intervient dans l'expression du facteur de conversion courant-tension du photodétecteur (se reporter à la question (40)), ainsi que dans celle de sa fréquence de coupure. Commenter…

Expliquer brièvement pourquoi, un choix judicieux de l'origine des temps a permis de simplifier le developpement en série de Fourier u(t). Pour quelle raison peut-on savoir sans calcul que tous les…

Montrer que la tension u_r(t) est le résultat d'une opération de filtrage dont on précisera la nature et la pulsation de coupure ω_c.

Indiquer quelle est la nature de ce filtre.

Montrer que le gain passe par un maximum pour une pulsation ω que l'on exprimera en fonction de ω₁ et ω₂.

Représenter l'allure du gain |K(jω)| de ce filtre en fonction de ω.

Donner l'expression de la pulsation de résonance en fonction de R et de C. Que vaut |K(jω)| à la résonance ?

Déterminer, en fonction de R₃ et C, la fonction de transfert H(jω) = V_A/V_B du montage lié à l'amplificateur linéaire A.Li.1. Quelle est la fonction réalisée par cette partie du montage ?

Montrer que Re Z présente un maximum pour une pulsation ωₘₐₓ . Préciser les expressions de ωₘₐₓ et de (Re Z)ₘₐₓ = Re Z(ωₘₐₓ ). Que vaut Im Z(ωₘₐₓ ) ?

Exprimer le rapport U₂/U₁ en fonction de R et de Z.

Mettre en place un schéma-bloc qui traduit l'équation linéarisée et le principe de la boucle de vitesse interne à la boucle de position pour représenter ce modèle de commande en boucle fermée de…

En utilisant la méthode de réglage du correcteur proportionnel-intégral par compensation de pôle, indiquer quelle expression prendre pour τ_i en fonction de J et ν. En déduire alors que BF_ω(p) est…

Justifier que la réponse est précise pour une entrée en échelon. Donner l'erreur pour une entrée en rampe unitaire puis pour une entrée en parabole. Que peut-on conclure vis-à-vis du cahier des…

Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir la marge de phase indiquée dans le cahier des charges. Faire l'application numérique.

Exprimer la fonction de transfert du montage de la question précédente. Pour f₁ ≈ f₂ ≈ 40 kHz, proposer des valeurs réalistes pour les composants du filtre F.

Montrer que les grandeurs u_gc, u_ac et iₐ sont liées à l'ordre 1 par la relation suivante, où les coefficients gₘ et rₐ sont à exprimer en fonction de β', µ et Iₐ⁰ : iₐ = gₘ u_gc + 1/rₐ u_ac (1)

Montrer que v_s = A_V vₑ et préciser l'expression de l'amplification en tension A_V en fonction de gₘ, rₐ et Rₐ. Commenter le signe et calculer cette amplification en décimal et en décibels.

Établir l'expression complexe de r(t) en fonction de ω, ω₀, e, m et τ₀ notamment. En déduire l'expression complexe du moment dipolaire induit p.

Montrer que la tension u_r3 peut s'écrire sous la forme u_r3 = U₃ₘ cos ²(ω_p t + α_p) cos (ωₐ t) ; exprimer l'amplitude U₃ₘ en fonction des données du problème, puis représenter le spectre du signal…

On souhaite que la tension u_r4 soit proportionnelle au signal informatif. Proposer un montage pour le bloc inconnu, noté « ? » sur la figure 10.

Déterminer l'expression de l'intensité du courant qui circule dans la spire en régime sinusoïdal forcé.

Donner l'expression de la fonction de transfert du micro en régime sinusoïdal forcé H(jω) = s/e.

Montrer que, si Q > 1/√(2), il y a résonance à une pulsation ω_r à déterminer.

Tracer l'allure du diagramme de Bode en amplitude dans le cas Q > 1/√(2).

K₁ est fermé et K₂ ouvert. En notant ω₁ et Q₁ deux constantes positives indépendantes de ω, et si w₁ = ω / ω₁, comment peut s'écrire la nouvelle expression H de la fonction de transfert? A) H = 1/(1…

À quelle condition sur le coefficient de frottement α peut-on dire que l'amortissement est faible ? Dans cette limite d'un amortissement faible, tracer le spectre d'absorption, c'est-à-dire la…

Quand on régule la fréquence d'un laser monomode sur une fréquence de référence ν₀ très stable, on souhaite d'abord que le système asservi ait une excellente précision. Le second critère est…

Déterminer, grâce aux questions précédentes, l'expression de l'amplitude de l'intensité I en fonction de E, R, L, C et de ω.

En déduire l'expression de la fréquence d'oscillation pour laquelle l'amplitude de l'intensité I qui alimente l'antenne sera maximale. Donner alors l'expression de cette intensité maximale Iₘₐₓ en…

Établir en utilisant les grandeurs complexes l'expression de l'amplitude complexe Aₘ de Z(t) = L(t) - L_eq = Aₘ exp (iω t) en fonction de zₘ, r = ω₀/ω et Q = ω₀/2λ. Que devient cette expression pour…

Établir les comportements à haute fréquence et à basse fréquence du filtre H(iω) = Aₘ/zₘ. Justifier que le diagramme de Bode a l'allure représentée en figure 10.

Comme à la question 4, on imprime au récipient un mouvement vertical d’amplitude A et de pulsation ω. On modélise le déplacement vertical du liquide z(t) par rapport au récipient comme un…

Établir l'expression de la fonction de transfert du sismomètre en déplacement H_dm = Z/X sous forme canonique en fonction de ω/ω₀ et Q. Tracer qualitativement le diagramme de BODE en amplitude de la…

Exprimer θₘ en fonction de a₀, ℓ_eff, ω, ω₀ et Q.

Préciser la dimension de H(jω), puis l'exprimer en fonction de R, ω, ω₀ et de Q. Déterminer le comportement de son module G(ω)=|H(jω)| pour les grandes et les petites pulsations.

Le rapport des amplitudes complexes u_C,m/u_e,m se met sous la forme suivante : u_C,m/u_e,m = H₀/(1 + jx/Q - x²) avec x = ω/ω₀ où H₀, Q et ω₀ sont des constantes indépendantes de ω, j est l'unité…

Expliquer le fonctionnement de la détection synchrone et en particulier les fonctions des deux circuits (1 et 2) dans le schéma ci dessus.

Pourquoi est-il plus précis d'utiliser une détection synchrone pour mesurer la fréquence de résonance (au lieu d'un simple voltmètre mesurant l'amplitude en sortie du microphone afin d'en trouver le…

À partir des équations (11) et (13), montrer que la fonction de transfert électromécanique du système H_elm(ω) peut s'écrire sous la forme : H_elm(ω) = ξ₀/U₀ = H₀/(1 - ω²/ω₀² + i ω/Q_elmω₀) , où…

Déterminer l'expression du module |H_elm(ω)| de la fonction de transfert en fonction de H₀, ω, ω₀ et Q_elm. Déterminer pour quelle valeur ωₘ > 0 de ω la réponse du système est maximale, en précisant…

Nous nous plaçons dans le cas où Fₒ = 0. À partir du modèle du transformateur représenté sur la figure (7), préciser la composition de l'impédance électrique Z_Q perçue par le générateur délivrant…

Estimer, à partir des tracés de la figure (11), la valeur de chacun des paramètres R, C₁, C et L (il est plus aisé de suivre cet ordre). On présentera chaque calcul.

Former, à partir de la relation (17), l'équation dont la variable p est alors solution. Rappeler le lien existant entre la variable complexe p et la nature des solutions d'un système linéaire en…

Déterminer l'expression de H_F(ω) et la mettre sous la forme H_F = H₀/(1 + j Q_F [x - 1/x]) avec x = ω/ω₀, ω₀ étant la pulsation propre du filtre. Expliciter littéralement Q_F, H₀ et la fréquence…

Faire une représentation graphique approchée du gain en décibel G_dB en fonction de log (x) ; préciser quelques valeurs sur ce graphe. Faire apparaitre sur ce graphe la "bande passante à - 3 dB".

Déterminer l'équation différentielle régissant l'évolution de la tension v₃(t) ; on fera apparaître dans cette équation la pulsation propre, le facteur de qualité et le gain maximal.

Montrer que la susceptibilité longitudinale χ = µ₀ mₓ/bₓ et la susceptibilité transverse χ = µ₀ m_y/bₓ sont données par χ₍ω) = (ω₀ ω_M)/(ω₀² - ω²), χ₍ω) = -i (ω ω_M)/(ω₀² - ω²), où la fréquence ω_M…

Estimer, à partir de la figure (7), le facteur de qualité Q₀ de la lame dans le cas où elle est sans interaction avec la surface.

Déterminer l'expression générale de la tension u_r(t) en fonction des b_2p+1, de ω_c et de ω.

Exprimer dans ces conditions x₀ et φ en fonction des données.

Déterminer l'expression de la fonction de transfert du filtre de la figure 2 et la mettre sous la forme H(jω) = -A/(1 + j(ω/ω₁ - ω₂/ω)) en précisant les expressions de A, ω₁ et ω₂ en fonction de R₁…

Déterminer la fonction de transfert K(jω) = u_s/uₑ de ce filtre.

Expliquer le rôle de la cellule (R, C) par rapport à l'objectif visé. Exprimer une condition littérale avec fₘ et la constante de temps τ = RC de la cellule pour que la tension u aux bornes de C…

Le générateur extérieur délivre une tension u(t) = u₀ cos ω t. À partir des équations (7) et (8), à réécrire en notations complexes, montrer que l'expression de l'impédance électrique totale du…

En combinant les relations (E1) et (E2), montrer que le haut-parleur se comporte comme un dipôle d'impédance complexe Z appelée « impédance électrique équivalente ». On écrira Z sous la forme d'une…

Exprimer Z sous la forme : Z = Rₑ + Rₘ/(1 + j Q_ms ( ω/ω_s - ω_s/ω )) où ω_s est la pulsation associée à la fréquence f_s apparaissant dans l'extrait de notice de la figure 1 et est appelée…

Établir l'expression simplifiée de l'impédance complexe Z du quartz en fonction de la pulsation ω en négligeant la résistance R_S et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme : Z(jω) = 1/jC_eqω…

En d'étaillant votre méthode, estimer la valeur du facteur de qualité Q et la comparer à son expression obtenue à la question E4.

Mettre la fonction de transfert simplifiée sous la forme canonique suivante : H = H₀/(1 + j/Q(ω/ω₀) - (ω/ω₀)²) et identifier les paramètres H₀, Q et ω₀ en fonction de k, R, L et C.

Montrer qu'il existe une valeur minimale du facteur de qualité Q à partir de laquelle l'amplitude réelle Aₘ du signal passe par un maximum pour une pulsation donnée que l'on calculera. Préciser…

Dans la décomposition de x(t) en série de Fourier, quelles sont les harmoniques compatibles avec cette condition ?

Donner une raison pour laquelle le principe de superposition ne s'applique pas dans ce circuit.

Exprimer la quantité gₘ rₐ. Commenter.

Calculer les valeurs numériques de gₘ et rₐ.

Montrer que, pour un signal vₑ sinusoïdal de la forme vₑ(t) = Usin (ω t), le signal v_s comporte plusieurs composantes spectrales. Identifier leurs caractéristiques.

Indiquer, parmi les graphes suivants, celui qui représente le spectre en amplitude de uₑ(t). Préciser pourquoi les autres graphes ne conviennent pas.

Représenter le spectre de Fourier en amplitude de u(t), jusqu'à la fréquence 5f incluse.

Représenter, sans se préoccuper de son amplitude, le mode fondamental de u(t) sur le graphe tracé à la question Q25.

Justifier l'intérêt de prélever la tension de sortie v(t) aux bornes de R, plutôt qu'aux bornes de L. Aucun calcul n'est attendu.

Comment pourrait-on faire pour atténuer encore davantage les harmoniques résiduelles ?

La fonction de transfert du filtre F₂ s'écrit : A) H₂ = jRCω/(2(1+jRCω)) B) H₂ = jRCω/(1+2jRCω) C) H₂ = 2jRCω/(1+2jRCω) D) H₂ = jRCω/(1+jRCω)

Montrer que Z = r U_Z/U_r.

Tracer le coefficient de transmission d'un filtre optique passe-bande en fonction de la longueur d'onde.

Comment peut-on déduire de ce résultat que l'onde électromagnétique perd de l'énergie en interagissant avec la particule, autrement dit, qu'elle est partiellement absorbée ?

On reprend le modèle dynamique défini par l'équation (1), dans laquelle on pose α = 0. Chercher une solution x(t) = Re(x(t)), avec x(t) fonction complexe de la forme x(t) = A eiω t + B eiω₀ t (2) où…

Représenter l'allure temporelle et spectrale du signal s(t). On se limitera à un nombre fini d'harmoniques (rang k = 3).

On utilise le condensateur en tant que capteur d'humidité dont on donne ci-dessous la courbe d'étalonnage (figure 6). Déterminer le degré hygrométrique de la pièce dans laquelle il est plongé…

Nous nous plaçons à nouveau loin au-delà de la pulsation de coupure basse (pour cette question et la suivante). Calculer la valeur du gain G lorsque l'amplificateur est chargée par une résistance…

Donner l'expression de H. À quel type de filtre une telle fonction de transfert est-elle associée ?

On cherche à tracer la courbe de la fonction g(ω) ≈ 1/(1+((ω₀²-ω²)/τω₀³)²), définie en Q16, au voisinage de la résonance, de telle sorte qu’on puisse visualiser la largeur à mi-hauteur. On écrit en…

Caractériser le filtrage réalisé (nature, ordre). Justifier l'intérêt d'ajuster la période du signal de commande afin d'avoir ω = ω₀. Calculer numériquement la fréquence f associée.

En déduire les expressions de R₁ et L₁ en fonction de R₂, R₃, R₄ et C₂.

On fixe R₃ = 100 Ω et R₄ = 10 Ω, et on mesure R₂ = 100 Ω et C₂ = 32,5 . Calculer R₁ et L₁, puis vérifier que cette dernière valeur est compatible avec la valeur de la pression P attendue.

Exprimer Q : A) Q = 1/(R+r_i)√(L/C) B) Q = 1/(R+r_L)√(L/C) C) Q = 1/(R+r_L+r_i)√(L/C) D) Q = 1/R√(L/C)

Déterminer l'expression de G pour un solide de Hooke d'une part, puis pour un fluide newtonien d'autre part. En déduire G', G'', G₀ et le déphasage φ pour un solide de Hooke puis pour un fluide…

Déterminer δ w dans le cas où ε(t) = ε₀ cos (ω t) et σ(t) = σ₀ cos (ω t + φ). On mettra l'expression de δ w sous la forme suivante : δ w = δ w₁ + δ w₂, avec δ w₁ = -ωσ₀ε₀ cos φ cos ω t sin ω t dt et…

Interpréter la courbe de réponse, représentée figure 2, comme celle d'un filtre, dont on précisera la nature, et dont on évaluera par lecture graphique les grandeurs caractéristiques suivantes…

Comparer la courbe de la fonction de transfert électromécanique obtenue avec la courbe de la figure 2 obtenue expérimentalement. À partir de l'évaluation des paramètres expérimentaux réalisée à la…

Expliquer la valeur choisie pour ω_ref.

Le filtre réalise une fonction passe-bas du premier ordre. Réaliser un schéma d'un montage permettant de réaliser le filtrage passe-bas, utilisant deux composants passifs usuels. Proposer des…

Indiquer à quelle condition, portant sur les composants du système, l'hypothèse H(Rₑ) est justifiable.

Exprimer le signal de fluorescence détecté S_f provenant d'un seul fluorophore en fonction de l'efficacité de détection, du taux de fluorescence R_f et de la durée d'acquisition τₐ.

Déterminer l'expression de la représentation complexe du déplacement r en régime sinusoïdal forcé en fonction, entre autres, de E₁, représentation complexe du champ électrique de l'onde incidente.

Représenter la décomposition spectrale du signal de la figure 4.

Comment est modifié ce spectre lorsque R₀ = R₁ = R₂ = 2R₃ ?

Déduire de ce qui précède le schéma électrique équivalent du haut-parleur.

En déduire alors l'expression de la fonction de transfert globale du montage associant les deux blocs fonctionnels filtre puis amplificateur en la mettant sous la forme H_FA = H₁/(1 + j Q [x - 1/x])…

Conclure sur la façon d'améliorer la qualité de l'oscillateur.

Sachant que τ₀ < 10 ns, la condition f ≪ f_c est-elle en général vérifiée en TP ? On supposera cette condition vérifiée par la suite.

La situation illustrée par la figure (7) correspondrait à une expérience réalisée à la pression atmosphérique. Indiquer comment, en pratique, il serait possible d'augmenter |s_i|.

Notamment à cause de la dérive thermique de la cavité du LASER, l'intensité lumineuse de ce dernier est susceptible de fluctuer (même sur de grandes échelles de temps). Expliquer alors pourquoi le…

Déterminer la fréquence f₁ du fondamental (pic 1) de cette note ainsi que l'amplitude a₂ du pic 2. On donne 10⁰,⁵ ≈ 3,16.

Exprimer, uniquement en fonction de R, l'impédance complexe de la branche où R et C sont en série.

Même question pour R et C en parallèle.

Que vaut le rapport |v/v_s| ? Commenter par rapport à l'étude faite en IV.B.

Étudier le comportement asymptotique du modèle : il s'agit, qualitativement, de trouver une représentation simplifiée du quartz pour les cas ω → 0 et ω → ∞.

En déduire le schéma électrique équivalent au haut-parleur en régime sinusoïdal forcé. On explicitera dans le schéma l'agencement des dipôles décrits par les grandeurs Rₑ, Lₑ, Cₘ*, Rₘ et Lₘ.

En déduire les expressions des parties réelle Re Z et imaginaire Im Z de l'impédance complexe Z en fonction de Rₑ, Rₘ, ω_s, Q_ms et de ω.

En considérant que |I| est constante et égale à I₀, exprimer l'amplitude |X| de x.

Les valeurs numériques du modèle d'un quartz horloger prévu pour osciller à une fréquence f₀ = 2¹⁵ Hz ont été mesurées avec précision et sont les suivantes : L = 11 395 H ; C_S = 2,071 × 10⁻¹⁵ F…

Définir et exprimer la puissance instantanée reçue par la bobine émettrice de la part du générateur, notée P_reçue, en fonction de L₁, R₁, de l'intensité i(t) et de sa dérivée di/dt. En déduire la…

Estimer le rendement expérimental maximal ηₘₐₓ, ainsi que la fréquence fₘₐₓ à laquelle celui-ci est atteint.

Dans la limite où les bobines primaire et secondaire sont infiniment éloignées, quelle valeur attend-on pour le coefficient k ? Qu'en déduire concernant la tension v₂ aux bornes du circuit…

Comparer la fréquence de résonance expérimentale à la prédiction théorique de la question E5.

Donner le schéma équivalent du circuit aux basses fréquences, et en déduire la valeur asymptotique de v₂. Est-ce cohérent avec l'expression de H ?

En supposant que le rendement soit maximal pour la pulsation ω₀, en déduire la valeur de C_p.

Nous définissons la fréquence instantanée f(t) du signal s par la relation 2π f(t) = dφ/dt. Exprimer cette fréquence. Représenter son allure graphique sur l'intervalle temporel [0, τ]. Représenter…

La figure (9) présente l'aspect, après traitement, du signal d'écho du chirp renvoyé par une cible. La largeur du pic central est égale à 1/Δ f. Exprimer la nouvelle résolution (Δ Y)_min ,c en…

À la lumière de cette réponse monochromatique, expliquer pourquoi l'expérience utilisant un miroir à retournement temporel composé d'un unique capteur dans cette configuration ne peut pas recréer le…

Après un temps suffisamment long devant τ, montrer que la mesure de l'amplitude de la variation de T(t) à différentes pulsations ωₘ de la modulation du laser permet d'accéder à la valeur de la…

Déterminer la valeur de K permettant d'obtenir une réponse en boucle fermée la plus rapide possible (il peut y avoir un dépassement).

Exprimer Δ au premier ordre en v/c et proposer une application numérique raisonnable ; commenter. Montrer que la fréquence f₁ est pratiquement proportionnelle à la vitesse v à mesurer, sous réserve…

Établir l'équation différentielle reliant les tensions z(t) et s(t) et donner la forme générale (sans préciser toutes les constantes) de z(t) en régime établi pour s(t) = S₀ sin (ω t). En déduire…

Montrer que dans cette chaîne d'oscillateurs harmoniques les pulsations Ω dépendent des vecteurs d'onde k selon la relation de dispersion : Ω² = Ωₐ² (1 - β cos (kH)) avec Ωₐ² = 1/(Γ L) et β = 2Γ/C_c…

Ajouter sur ce graphique les trois points correspondant aux trois modes propres étudiés à la question précédente. La relation de dispersion donnée par l'équation Q20 est-elle validée ? Si oui, que…

Dans l'hypothèse d'un filtrage idéal, exprimer le signal v_dQ et expliquer comment son observation conjointe à celle de v_d permet d'obtenir le signe de f₂-f₁.

Exprimer Zₘ(ω) en fonction de ω, R_b, L_b, ω₀, Qₘ, β et γ. Préciser le comportement limite de Zₘ(ω) à très basse fréquence.

Proposer une estimation des valeurs de R_b, L et C.

Exprimer |B₂|² et en déduire la condition pour laquelle un tel filtre vérifie la condition (1) qui en fait un filtre de Butterworth d'ordre 2.

Déterminer de même les coefficients qui font du filtre B₃ un filtre de Butterworth d'ordre 3.

Justifier quantitativement que Δ t₀ est toujours négligeable.

Expliquer le rôle de la fonction CalcH. Justifier au moyen d'un raisonnement électronique.

Proposer un commentaire de la figure tracée et conclure.

Donner un argument numérique justifiant cette démarche. Préciser de quelle(s) source(s) dépendent respectivement les grandeurs V_s⁰ et v_s(t).

Donner un argument numérique autorisant à utiliser la caractéristique statique Iₐ(U_gc, U_ac) de la triode en régime variable.

En réalité, la source vₑ n'est pas idéale et possède une résistance de sortie notée rₑ = 50 Ω. Préciser, avec justification, comment doit être choisie la valeur de R_g pour ne pas altérer la valeur…

Déterminer alors l'expression de v_s(t) en fonction de vₑ(t), vₑ(t)² et des autres grandeurs utiles.

Calculer les valeurs de DH₂ pour U = 0,1 V, U = 0,3 V et U = 0,5 V. Commenter.

Quelle valeur de t₀ permet d'éliminer l'harmonique de rang 3 (p = 1). Exprimer alors V et V_f en fonction de E et γ₀ puis calculer numériquement le taux de distorsion.

Exprimer v_ch(t) comme une combinaison linéaire des v_ch,γ_i(t), i allant de 1 à 6.

Écrire, en notation complexe, l’expression de u₃ en fonction de L₃, M, ω₀, iₑ et i₄.

En déduire la relation iₑ = Y · u₃ en donnant l’expression de Y en fonction de L₃, N₄, Rₘ, M et ω₀.

En utilisant les résultats établis dans le II, montrer qu’on peut réécrire Y = 1/jL₃ω₀ + N₄²/Rₘ.

Déterminer la relation entre u₂, u₃, Rₑ et Y.

Montrer à l’aide des résultats précédents que u₁ = -N₁/N₄(1 + Rₑ Y) Rₘ i₄.

Dans la limite où Rₘ tend vers 0, montrer que l’intensité i₄(t) tend vers i_4,lim(t) = -1/(N₁ N₄ Rₑ) u₁(t). Commenter.

Montrer que, pour le signal u(t), la grandeur complexe s(t) associée à la sortie du filtre adapté peut se mettre sous la forme : s(t) = α e²iπ f₀ ⁽t⁻t_R⁾ ∫_-∞⁺∞ A(ξ - t) A(ξ - t_R) dξ

Tracer les diagrammes asymptotiques représentant d'une part log |r| et d'autre part log |t| en fonction de log (ω/ω₀).

La charge est-elle de nature inductive ou capacitive ? Évaluer le déphasage φ.

Déterminer l’expression numérique de u_s(t) en prenant f_c = 0,5 Hz. Conclure.

Déterminer, littéralement puis numériquement, la plus petite valeur de τ permettant d'éliminer la première harmonique non nulle de la série de Fourier.

À résistance R fixée, justifier qualitativement que le choix de l'inductance de lissage L résulte d'un compromis : que risque-t-il de se passer si L est trop petite ? trop grande ?

Si l'on choisit la fréquence de coupure égale à la fréquence de la composante fondamentale, vérifier que le cahier des charges est respecté. Calculer numériquement la valeur de L si l'on prend R =…

La fonction de transfert du filtre F s'écrit : A) H = jRCω B) H = (1-jRCω)/(1+jRCω) C) H = (1-2jRCω)/(1+2jRCω) D) H = (1-2jRCω)/(1+jRCω)

On note φ(ω) le déphasage de la tension u_AB(t) par rapport à la tension e(t). Lorsque la pulsation ω varie de 0 à +∞, φ(ω) décroît : A) de π/2 à -π/2 B) de π à 0 C) de 0 à -π D) de 0 à -π/2

Dans le cas précis du micro de guitare, expliquer pourquoi il n'est pas possible de tracer expérimentalement le diagramme de Bode.

Un potentiomètre de résistance r est traditionnellement ajouté en parallèle de la capacité C. Donner l'expression littérale du nouveau gain statique du circuit en présence de ce potentiomètre. Ce…

Exprimer Z, l'impédance du micro orienté en convention récepteur, en fonction de R, L, C et ω.

Le graphe de la figure 8 représente (|U_Z|)/(|U_r|) en fonction de la pulsation ω pour les deux micros étudiés : trait plein pour le micro Fender et pointillés pour micro Dynasonic. Montrer qu'en…

Les relevés expérimentaux mettent en évidence que pour des fréquences de l'ordre de 1 kHz, Z est dominée par R et L. Montrer que pour ces fréquences L ≃ 1/ω(r (|U_Z|)/(|U_R|))² - R². En déduire la…

Justifier, à partir des mesures expérimentales, l'affirmation suivante : « Le micro Fender sonne plus aigu que le micro Dynasonic ».

Exprimer I_Rmax en fonction de R_R, L_R, M_SR, I_Smax, ω_S et de Ω. Que peut-on dire de I_Rmax pour ω_S = Ω ? Justifier alors le qualificatif de machine asynchrone.

K₁ et K₂ étant ouverts, la fonction de transfert se met sous la forme: H = (a + jbw)/(1 + jw) avec w = ω/ω₀ où a, b et ω₀ sont des constantes indépendantes de ω. Que peut-on affirmer? A) a = 0 et b…

K₁ et K₂ sont tous les deux fermés. Si Q₂ et ω₂ sont deux constantes indépendantes de ω, et si w₂ = ω / ω₂, que devient H ? A) H = 1/(1 + jw₂/Q₂ - w₂²) B) H = (jw₂/Q₂)/(1 + jw₂/Q₂ - w₂²) C) H =…

Exprimer Q₂ : A) Q₂ = Q₁/√(2) B) Q₂ = Q₁ C) Q₂ = √(2) Q₁ D) Q₂ = 2 Q₁

Supposons que la particule effectue des oscillations forcées sous l'effet du champ. Le déplacement par rapport à sa position d'équilibre s'écrit alors x(t) = C eiω t, où nous introduisons la…

En utilisant le résultat de la question 14, déterminer l'expression de la puissance moyenne exercée par le champ sur la particule.

Moyenner le résultat de la question 21 sur θ avec cette loi de probabilité.

En utilisant le résultat de la question 14, calculer la puissance moyenne exercée par le champ sur la particule. Quel est son signe ?

On admet que le raisonnement ci-dessus, fait pour une particule chargée ponctuelle, s'applique aussi à la molécule entière, où ω₀ est la pulsation d'un de ses modes de vibration. Expliquer…

En comparant à la situation où les tensions v₁ et v₂ ne sont pas sinusoïdales, préciser les avantages et/ou les inconvénients de la méthode où les tensions sont sinusoïdales.

Modélisez le laser en anneau par schéma-blocs. Justifiez votre représentation et précisez la nature physique du signal de sortie et celle d'un éventuel signal d'entrée. Faire de même pour le laser…

Nous n'avons pas effectué une étude dynamique du comportement du laser, mais nous avons identifié un certain nombre de temps caractéristiques de son fonctionnement, qui sont soit des périodes…

La figure (5) d'étaille le montage d'un miroir M' de la cavité laser sur une cale piézoélectrique. 24-a) Quelle est la valeur de l'amplitude de déplacement du miroir mobile M' nécessaire pour…

Dans ce contexte, le signal d'entrée du système devient maintenant Q(jΩ), et le signal de sortie reste S(jΩ). Déterminer les fonctions de transfert en boucle ouverte F_O(jΩ) et en boucle fermée…

Déterminer, en régime harmonique forcé et à altitude z fixée, l'expression du courant induit sous la forme I₂(z,t) = I[β(z) sin (ω t) - α(z) cos (ω t)]. On exprimera les fonctions β(z) et α(z) en…

Identifier la zone de fréquences à filtrer et proposer une valeur de fréquence de coupure pour le filtre passe-bas d'ordre 1.

Calculer Z_r et Z_i. En déduire la valeur L de l'inductance propre de l'enroulement ainsi que la valeur de Rₑ.

L'amplitude de la tension d'entrée est portée à la valeur U₀ = 30 mV. Préciser l'intérêt d'une telle augmentation d'amplitude. Proposer, en la justifiant, la forme prévisible pour le signal de…

On choisit une résistance de référence plus faible, R'_ref = 100,00 Ω. Les courbes obtenues sont représentées figure 3b. Interpréter quantitativement le phénomène observé.

En déduire l'expression de l'impédance Z = u/i. Y a-t-il dissipation d'énergie dans le matériau ?

Exprimer en fonction de e et des différentes impédances les tensions u_AN et u_BN. En déduire que u = (R₂ Z₀ - R₁ Z)/((R₁ + R₂)(Z₀ + Z)) e.

Le pont de Sauty est dit équilibré lorsque u = 0, quelle que soit la tension e. Montrer que l'équilibre du pont permet de déterminer R et C, dont on donnera l'expression en fonction de R₀, R₁, R₂ et…

Établir l'expression de x(t). En déduire que la vitesse de la tranche d'air dans le col s'écrit en représentation complexe : v(t) = vₘ ejω t où vₘ = (jω pₘ)/(ρ₀ ℓ (ω₀² - ω²)). Que dire de |vₘ| dans…

Identifier à l'aide des courbes de la figure 11 la nature du filtre acoustique que constitue le résonateur de Helmholtz relié à la conduite. Pour une valeur du coefficient β donnée, expliquer à…

Déterminer le gain G₀ de ce filtre en fonction de R₁ et R₂.

Préciser le sens concret de la pulsation ω₀. Exprimer, sous la forme de deux inégalités fortes faisant intervenir les grandeurs v, c₀ et f_E, les deux contraintes que doivent vérifier la pulsation…

Qu'est ce qui permet de qualifier cet essai d'essai en basse fréquence ? Déterminer, à l'aide de l'oscillogramme 1, la valeur numérique de la résistance R₂.

Deux autres essais ont été réalisés en envoyant les tensions sinusoïdales suivantes en entrée du filtre : - e₁(t) = E₀₁cos (ω₀ t) ; - e₂(t) = E₀₂cos (100ω₀ t). Déterminer les expressions analytiques…

Donner les expressions des amplitudes complexes V_C_1 et V_C_2 en fonction des amplitudes complexes V_A et V_B et des éléments passifs R₁, R₂, R₃, R₄, C₁ et C₂.

On pose R₁ = R₃ et R₂ = R₄. Poser une condition ou des conditions sur R₁, R₃, C₁, C₂, R₅, R₆, R₇ et R₈ pour que l'expression de V_S se mette sous la forme : V_S(ω) = g_i/(1+τ_iω)i(ω) où i(t) = [i(ω)].

Donner les expressions de g_i et τ_i en fonction des éléments passifs. Expliquer comment répondre à l'objectif posé.

On ferme le circuit secondaire sur une impédance Z_c. Quelle est l'impédance d'entrée vue du primaire ?

Vue depuis le transformateur d'élévation de la tension, la ligne à haute tension est modélisable par un montage en parallèle d'une résistance R et d'une capacité C proportionnelles à la longueur de…

L'alternateur de la centrale a un comportement inductif. Quel phénomène pourrait-il se produire quand on fait varier la vitesse ω de rotation si la résistance R devenait négligeable ?

On veut que le sismographe suive au plus près les mouvements sismiques verticaux du lieu (proche du forage donc de l'épicentre) où on l'a placé. On sait par des expériences antérieures que le…

On suppose qu'à chaque instant qr(t) = α_c(ω)E₀(R)e⁻iω teₓ, où α_c(ω) a été introduit à la question 11. Sous quelle(s) condition(s) peut-on faire cette hypothèse ?

On choisit les paramètres de la cavité de sorte que l'un de ses modes, noté p₀, ait une fréquence très proche de la fréquence de résonance de l'atome (ω_p_0 ≈ ω₀). Justifier qualitativement que l'on…

À partir de la figure 3, évaluer numériquement la pulsation propre et le facteur de qualité.

En utilisant la figure 3, quelle valeur de ω a-t-on intérêt à choisir pour stabiliser l’interface ?

À très basses fréquences, donner l'expression approchée de l'équation du mouvement. En supposant que la résolution d'un appareil de mesure lié au sismomètre est Δ z, en déduire quelle est…

Sachant qu'on mesure la tension aux bornes de la résistance et qu'on se place en régime sinusoïdal forcé, déterminer la nouvelle fonction de transfert liée au déplacement du bâti H_de = E/X. On…

Compléter en utilisant σ, H(jω) et jω le système bouclé ci-dessous (figure 17). [Les candidats reproduiront le schéma ci-dessous sur leurs copies.]

Établir l'expression de la fonction de transfert H_d = Z/X, reliant X et Z.

Dans le cas où H(jω) est un gain pur, noté H(jω) = g₁, avec g₁ positif, en déduire quelle(s) est(sont) la(les) modification(s) éventuelle(s) sur le comportement du système.

Au regard des questions précédentes, donner l'expression de H(jω) permettant d'avoir un contrôle à la fois sur la pulsation propre et sur le facteur de qualité du système. Comment choisir g₁ et g₂…

Le gain en tension est défini par le rapport suivant : G(iω) = s/e En se plaçant loin au-delà de la pulsation de coupure basse introduite par le condensateur C_B, exprimer le gain à vide G₀…

Exprimer le gain G₀ dans le cas général, c'est-à-dire non restreint au domaine des hautes fréquences. Définir une fréquence de coupure basse f_cBF de cette structure amplificatrice. Calculer sa…

Nous supposons que le système délivrant le signal e est assimilable à un générateur de tension de résistance interne R_G et de force électromotrice e_G (signal source variable que l'on souhaite…

Sur l'exemple de la question précédente montrer que, lorsque le critère de Shannon-Nyquist est vérifié, un filtrage approprié permet de retrouver le signal analogique de départ. On donnera les…

On néglige désormais l'élasticité de la cloison. Dans quel cas est-ce légitime ? Donner alors l'expression approchée de H(jω) et commenter le comportement de la cloison. Déterminer l'épaisseur e de…

Quelle expression H₁ (en fonction de ω, g et ℓ) la fonction de transfert prendrait-elle si le pendule oscillait dans l'air, le liquide étant absent ? On néglige dans ce cas les effets de viscosité…

Commenter ces courbes. Quelle inclinaison maximale (en degrés) atteint-on si a₀ = 1 m⁻² ?

Parmi les trois types de filtres A, B et C représentés sur la figure 7, lequel convient ? Justifier la réponse.

Les deux résistors présentent la même résistance R et les deux condensateurs la même capacité C. Donner, en la justifiant, l'expression non simplifiée de la fonction de transfert H_F(jω) du filtre…

Quelles valeurs proposez-vous pour R et C ?

Montrer qu'au bout d'un temps suffisant, ε(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation Ω que l'on cherchera sous la forme ε(t) = a cos (Ω t-φ). Exprimera a et φ en fonction de γ, J, Ω et α en…

On peut montrer que cette fonction g(ω) peut s’écrire au voisinage de ω = ω₀ sous la forme approchée g(ω) ≈ 1/(1+((ω₀²-ω²)/τω₀³)²). a) En admettant que les pulsations de coupure haute et basse sont…

On cherche également à déterminer les pulsations de coupure ω₁ et ω₂. On les définit comme les deux seules valeurs qui annulent une fonction supposée continue h(ω). On écrit en Python le programme…

On peut chercher les racines d’une fonction en utilisant la méthode de Newton. On écrit le programme Python suivant : a) Dans la fonction nommée " méthode_newton() ", que représente le paramètre…

À partir des mesures présentées sur le document 3, réaliser une estimation de la fréquence propre et du facteur de qualité du diapason A. Commenter.

A posteriori, le fait que l'oscillateur ne soit pas sinusoïdal vous semble-t-il problématique pour réaliser l'étude en régime sinusoïdal forcé ?

En régime permanent, la solution de cette équation s'écrit z'_G(t) = Zₘ cos (ω t + φ') avec Zₘ > 0. Quelle est l'expression de Zₘ ?

La mesure consiste à régler R₂ et C₂ de façon à ce que la tension u entre les points A et B soit nulle. Montrer qu'on a alors la relation : Z₁ · Z₂ = R₃ · R₄.

On suppose désormais, jusqu'à la fin de l'exercice, que ω = ω₀. Quelle relation existe-t-il alors entre u_e,m et eₘ ? A) u_e,m = R/(R+r_L+r_i)eₘ B) u_e,m = R/(R+r_L)eₘ C) u_e,m =…

Déterminer iₘ et u_C,m : A) iₘ = eₘ/(R+r_L) B) iₘ = eₘ/(R+r_L+r_i) C) u_C,m = -j Q H₀ u_e,m D) u_C,m = j Q H₀ eₘ

L'amplitude complexe u_L,m s'écrit alors u_L,m = (a + jb)eₘ où a et b sont des constantes qui ne dépendent que des caractéristiques du circuit. Déterminer a : A) a = r_L/(R+r_L+r_i) B) a =…

Déterminer b : A) b = 0 B) b = 1 C) b = 1/(R+r_L+r_i)√(L/C) D) b = 1/Q

Vérifier que le gain donné par la question [50] est correct pour la gamme de fréquence utilisée.

Dessiner le schéma de branchement complet des appareils du système de mesure à partir des schémas de la figure 4.

On suppose que φ est petit (proche de la résonance) et que η est proche de 1. On note ε = 1 - η. En développant le terme eiφ à l'ordre en 1 en φ dans l'équation (16), calculer X et Y.

Représenter graphiquement les signaux X et Y en fonction de la pulsation ω lorsque l'on est proche de la résonance.

Quelle est la signification physique de cette rotation ? En donner une explication plausible.

Déterminer graphiquement la fréquence de résonance et décrire la méthode utilisée.

De même, déterminer approximativement la largeur de la résonance et décrire la méthode utilisée.

Afin de changer la longueur d'onde de travail un cristal de triborate de lithium LiB₃O₅ peut être utilisé. En effet, si E₁(t) = E₁ sin (ω₁t) et E₂(t) = E₂ sin (ω₂t) sont les champs électriques…

En interprétant l'expression F(ω) = ( Re(Z(ω)) + iω Im((Z(ω))/ω) ) δ(ω) comme une relation entre la force F, l'indentation δ et la dérivée de δ par rapport au temps, proposer une interprétation…

La figure 11 représente les résultats expérimentaux d'une expérience d'oscillations d'une pointe AFM pour une amplitude d'oscillation de 50 nm à différentes fréquences. Interpréter le tracé de la…

Exprimer l'énergie volumique de déformation w_T fournie à l'unité de volume sur une période T = 2π/ω en fonction de ε₀, σ₀ et φ. En déduire w_T pour un solide de Hooke, puis pour un fluide…

Donner l'allure graphique de G'_KV et G''_KV. On fera apparaître une pulsation caractéristique ω_c et on analysera les régimes asymptotiques. Discuter le comportement aux temps longs (basses…

Dans l'approximation d'une résonance aigüe, c'est-à-dire pour Q_elm ≫ 1, exprimer ωₘ en fonction de ω₀. Étudier le comportement asymptotique de |H_elm| pour ω ≫ ωₘ et ω ≪ ωₘ. Représenter…

En ignorant le préfacteur 1/C₀ω, déterminer successivement les minima du numérateur et du dénominateur de |Z_AB| en fonction de ω. En déduire si |Z_AB(ω_r)| et |Z_AB(ωₐ)| sont des minima ou des…

L'amplitude de la tension étant fixée par la source, justifier qu'on observe une résonance concernant l'émission d'une onde sonore pour ω = ω_r et une anti-résonance pour ω = ωₐ.

La photodiode est sensible à l'intensité lumineuse I_l(t) = |sₜₒₜ|²(t) et a un temps de réponse de 10 ps. Expliquer pourquoi le signal observé u(t) en sortie de la photodiode est proportionnel à 1 +…

Le spectre du signal u_f(t) observé sur l'oscilloscope (figure 14) est présenté figure 15. Déterminer les valeurs des fréquences des modes acoustiques dans le cristal.

Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse M. En déduire la relation liant l'amplitude complexe Fₒ de la force extérieure aux amplitudes complexes jωΔ et ψ de la vitesse et…

Les résultats établis en réponse aux question (26) et (27) permettent d'établir que ce système électromécanique peut être symboliquement représenté selon le schéma de la figure (7). L'opérateur (T)…

En s'appuyant sur les relations de transformation des tension et courant U₂ = mU₁ et J₂ = J₁/m, exprimer Z'₂ en fonction de Z₂. Caractériser les éléments R'_L et C'₂ constituant le dipôle (D) si…

En ne prenant pas en compte la dépendance de la résistance R_s avec la pulsation, exprimer la pulsation de résonance en courant, notée ω_r, de la branche constituée des éléments R, L, C, R_s et C_s…

Nous nous plaçons dans le cas où m ≥ 1 et nous considérons que C₂ ≫ C. Discuter qualitativement la condition précédente vis-à-vis de la résistance R_L.

Le dispositif électronique réduit alors progressivement la fréquence pour atteindre le point P₁ correspondant à l'amorçage. Placer ce point (approximativement) sur la figure précédente en justifiant…

Il s'agit enfin d'atteindre le point de fonctionnement P₂ correspondant au régime nominal. Placer ce point (approximativement) sur la figure précédente en justifiant sa position. Préciser comment…

Établir la relation liant les grandeurs d'entrée V₁ et de sortie V₃. Nous l'écrirons sous la forme : G₀/R V₁ = Y V₃ L'admittance Y est à exprimer en fonction des impédances Z_i et de la résistance…

Établir que le système d'équations (18) conduit aux deux égalités : K₂ = G₀ - 1 K₃ = -G₀

Identifier et caractériser le dipôle d'impédance Z₃.

Indiquer comment déterminer, à partir de la figure (17), la pulsation d'oscillation du système bouclé. Estimer numériquement l'écart relatif Δω/ω_p dans lequel cette pulsation se situe.

Le photorécepteur utilisé possède un temps de réponse de τ = 4,4 × 10⁻⁹ s et l'angle θ entre les faisceaux vaut 3,6°. Pour le laser à argon, déterminer littéralement puis numériquement la plage…

Tracer l'allure de la courbe s(t) en fonction du temps, sur une durée de 4 × 10⁻⁴ s. On précisera les coordonnées des points remarquables.

Reprendre la question précédente : en quoi l'allure de s(t) est-elle modifiée. L'objectif d'un générateur de salves semble-t-il atteint ?

Dans quel intervalle fréquentiel faut-il travailler ? À la fréquence f de l'émetteur, quelle erreur relative est commise sur la mesure de l'amplitude de v_f ? Quelle fréquence maximale faut-il…

Exprimer le rapport signal sur bruit S_f/B en fonction des grandeurs du problème.

Exprimer les constantes A₁, A₂, ω₂ et ψ₂. Calculer pour E = 0,20 mV les valeurs de A₁, A₂ et ψ₂. Commenter l'effet de l'action du filtre sur le signal u₁(t).

Déterminer, en notation complexe, les expressions des amplitudes complexes des intensités I₁ et I₂.

a) Montrer qu'il existe un domaine de fréquences pour lesquelles la réponse X(t) est proportionnelle à l'accélération a(t). b) Établir la relation entre X(t) et a(t) en fonction de k et m dans ce…

Le document 8 est une synthèse de l'analyse spectrale du tremblement de la main (pour un être humain) ainsi que de ses origines. Il représente la répartition fréquentielle de l'amplitude des…

Déterminer l'expression de la fonction de transfert du sismographe en fonction de m, k, λ, ω et j, nombre complexe tel que j² = -1. De quel type de filtre s'agit-il ?

Préciser l'expression de l'amplitude maximale U de la réponse verticale u(t) du régime forcé de la masse m en fonction de Z₀, m, k, λ et ω.

Écrire deux conditions portant sur la fréquence et les rapports k/m et λ/m pour que l'amplitude U du mouvement de la masse m soit égale à l'amplitude Z₀ du sol. La suspension est-elle qualifiée de…

Le cahier des charges du sismographe impose d'éviter tout phénomène de résonance, ce qui impose une condition supplémentaire sur la grandeur sans dimension λ/(√(k · m)). Préciser cette condition…

On suppose ici que R₀ = R₁ = R₂ = R₃. Tracer l'allure du spectre théorique de la tension de sortie V_s.

Le générateur délivre une tension sinusoïdale E(t) de pulsation ω. On utilisera les notations complexes, pour lesquelles E(t) = E₀ ejω t, E(t) s'identifiant alors avec la partie réelle de E(t)…

Montrer que l'admittance motionnelle Yₘ = 1/Zₘ peut s'écrire sous la forme : Yₘ = 1/Rₘ + jCₘω + 1/jLₘω. Donner l'expression des termes Rₘ, Cₘ et Lₘ en fonction de B, ℓ, α, m_T et k.

Montrer que la relation établie à la question Q4. devient, en raisonnant sur les moyennes temporelles, en régime périodique établi : Ei = Ri² + α v² . Commenter ce résultat.

Commenter la forme obtenue. On pourra par exemple effectuer l'étude asymptotique du comportement en basses et hautes pulsations, ainsi que pour une pulsation proche de ω₀.