Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2023

Soit un axe (Ox) orienté de gauche à droite selon la ligne des centres des atomes. Notons \ell_0 la longueur à vide des ressorts, égale à la distance d'équilibre entre l'atome de carbone central (2) et chacun des atomes d'oxygène (1 à gauche, 3 à droite).

Les positions absolues des trois atomes s'écrivent :

avec X_{2,\text{eq}} - X_{1,\text{eq}} = \ell_0 et X_{3,\text{eq}} - X_{2,\text{eq}} = \ell_0.

Les allongements algébriques des deux ressorts sont donc :

En appliquant la deuxième loi de Newton à chaque atome projetée sur l'axe (Ox) :

• Pour l'atome d'oxygène 1 (masse m_{\mathrm{O}}), soumis à la seule tension du ressort 1-2 :

  m_{\mathrm{O}} \ddot{x}_1 = k \Delta \ell_{12} = k(x_2 - x_1).

• Pour l'atome de carbone 2 (masse m_{\mathrm{C}}), soumis à la tension du ressort 1-2 (vers la gauche) et du ressort 2-3 (vers la droite) :

  m_{\mathrm{C}} \ddot{x}_2 = - k \Delta \ell_{12} + k \Delta \ell_{23} = k(x_1 - 2x_2 + x_3).

• Pour l'atome d'oxygène 3 (masse m_{\mathrm{O}}), soumis à la seule tension du ressort 2-3 (vers la gauche) :

  m_{\mathrm{O}} \ddot{x}_3 = - k \Delta \ell_{23} = k(x_2 - x_3).

Le système des équations du mouvement s'écrit donc :

La molécule est un système isolé, non soumis à des forces extérieures le long de son axe.

En sommant membre à membre les trois équations du mouvement obtenues à la question 1, la somme des forces intérieures s'annule conformément au principe des actions réciproques :

En introduisant la masse totale M = 2m_{\mathrm{O}} + m_{\mathrm{C}} et le déplacement du centre de masse par rapport à sa position d'équilibre :

l'équation précédente se réécrit :

Dans un référentiel galiléen, le centre de masse des trois atomes est donc en mouvement rectiligne et uniforme (et reste fixe si la molécule est initialement au repos dans ce référentiel).

D'après les équations du mouvement obtenues à la question 1, en posant x_2(t) = 0 pour tout t :

L'équation (2) impose à tout instant :

Sous cette condition, les équations (1) et (3) sont identiques et s'écrivent :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti. Elle admet des solutions sinusoïdales non nulles oscillant à la pulsation \omega_s :

Une telle solution existe donc bien, et la pulsation associée vaut :

D'après la question 1, les équations du mouvement des trois atomes sont :

En posant la condition x_1(t) = x_3(t), la troisième équation devient identique à la première. Le système se réduit à deux équations :

Cherchons une solution où les deux masses oscillent à la même pulsation \omega_a sous la forme x_1(t) = X_1 \cos(\omega_a t + \phi) et x_2(t) = X_2 \cos(\omega_a t + \phi), avec (X_1, X_2) \neq (0,0). En reportant dans le système, on obtient :

En combinant ces deux relations, on retrouve la condition de centre de masse fixe établie à la question 2 :

En reportant cette relation dans la première équation pour X_1 \neq 0 :

On en déduit l'existence d'une telle solution harmonique pour :

Une onde électromagnétique monochromatique plane de pulsation \omega a pour période temporelle :

Sa longueur d'onde \lambda, qui représente la période spatiale de l'onde se propageant à la vitesse c dans le vide, est donnée par la relation fondamentale :

soit :

D'après la question 5, la longueur d'onde associée à une pulsation \omega est \lambda = \frac{2\pi c}{\omega}, d'où l'expression du nombre d'onde spectroscopique :

Le rapport des nombres d'onde spectroscopiques s'identifie donc au rapport des pulsations propres déterminées aux questions 3 et 4 :

où M_{\mathrm{O}} \simeq 16{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} et M_{\mathrm{C}} \simeq 12{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} sont les masses molaires respectives de l'oxygène et du carbone.

La vérification numérique consiste ainsi à comparer :

• le rapport théorique sans paramètre ajustable :

  \left(\frac{n_a}{n_s}\right)_{\text{th}} = \sqrt{1 + \frac{2 \times 16{,}0}{12{,}0}} = \sqrt{\frac{11}{3}} \simeq 1{,}91

• le rapport expérimental mesuré :

  \left(\frac{n_a}{n_s}\right)_{\text{exp}} = \frac{2349}{1388} \simeq 1{,}69

L'énergie mécanique E_m du système à trois atomes est la somme de son énergie cinétique E_c et de son énergie potentielle E_p :

L'énergie cinétique est la somme des énergies cinétiques de translation longitudinale des trois atomes :

L'énergie potentielle comprend trois contributions élastiques, en choisissant l'origine des énergies potentielles à la configuration d'équilibre (x_1 = x_2 = x_3 = 0) :

• la liaison \mathrm{O}_1-\mathrm{C}_2, de raideur k, dont l'allongement algébrique par rapport à l'équilibre vaut x_2 - x_1 ;
• la liaison \mathrm{C}_2-\mathrm{O}_3, de raideur k, dont l'allongement algébrique vaut x_3 - x_2 ;
• l'interaction directe \mathrm{O}_1-\mathrm{O}_3, modélisée par un ressort de raideur k', dont l'allongement algébrique vaut x_3 - x_1.

L'énergie potentielle s'écrit donc :

On en déduit l'expression de l'énergie mécanique :

Pour des oscillations de faible amplitude autour de la position d'équilibre (x_1, x_2, x_3) = (0, 0, 0) :

• L'énergie potentielle E_p(x_1, x_2, x_3) se développe en série de Taylor. En prenant E_p(0, 0, 0) = 0, les termes d'ordre 1 s'annulent car la position d'équilibre correspond à un extremum de potentiel. Au premier ordre non nul (approximation harmonique), E_p est une forme quadratique des déplacements.

• Invariance par translation : une translation globale de la molécule (x_i \to x_i + \delta) ne modifie pas son énergie interne. Par conséquent, E_p ne peut dépendre que des déplacements relatifs x_i - x_j. Toute forme quadratique invariante par translation s'écrit de manière unique sous la forme :

  E_p = \frac{1}{2} k_{12}(x_2 - x_1)^2 + \frac{1}{2} k_{23}(x_3 - x_2)^2 + \frac{1}{2} k_{13}(x_3 - x_1)^2

  ce qui correspond précisément à un réseau de trois ressorts reliant chaque paire d'atomes.

• Symétrie de la molécule : la molécule \mathrm{O}=\mathrm{C}=\mathrm{O} est centrosymétrique, donc invariante par échange des deux atomes d'oxygène 1 et 3 (associé à une inversion de l'axe : x_1 \leftrightarrow -x_3 et x_2 \leftrightarrow -x_2). Cette symétrie impose :

  k_{12} = k_{23} = k \quad \text{et} \quad k_{13} = k'

Il n'existe ainsi que deux paramètres indépendants (k et k') pour caractériser le potentiel harmonique d'une molécule linéaire triatomique symétrique.

La modélisation par ces trois ressorts est donc la plus générale pour décrire les oscillations longitudinales de faible amplitude.

D'après l'expression de l'énergie potentielle obtenue à la question 7 :

les forces s'exerçant sur chaque atome dérivent de cette énergie potentielle :

Les équations du mouvement s'écrivent donc :

1. Mode symétrique : comme à la question 3, x_2(t) = 0. L'équation (2) impose x_1(t) + x_3(t) = 0, soit x_3(t) = -x_1(t) (le centre de masse reste fixe). L'équation (1) devient :

d'où l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation :

2. Mode asymétrique : comme à la question 4, x_1(t) = x_3(t). La déformation du ressort reliant directement les deux atomes d'oxygène est alors nulle à tout instant :

Le ressort de raideur k' n'exerce donc aucune force sur les atomes dans ce mode. Les équations du mouvement sont strictement identiques à celles de la question 4, et l'on retrouve :

Effet qualitatif du terme supplémentaire :

• Pour le mode symétrique, les atomes d'oxygène oscillent en opposition de phase ; le ressort supplémentaire k' travaille et augmente la raideur effective du mode (k \to k + 2k'), ce qui augmente la pulsation \omega_s (en supposant k' > 0).
• Pour le mode asymétrique, la distance entre les atomes d'oxygène est invariante au cours du temps ; le ressort k' n'est pas sollicité et la pulsation \omega_a reste inchangée.
• Le rapport \omega_a/\omega_s est donc diminué par la présence de ce couplage direct.