Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2023 (page 2/4 : Partie I (questions 13 à 23))

Le potentiel de Lennard-Jones s'écrit sous la forme :

La force d'interaction entre les deux atomes dérive de cette énergie potentielle :

• Le terme en -\dfrac{B}{x^6} (terme attractif) :
  Il correspond à une force attractive (F_{\text{att}} < 0) prépondérante à moyenne et longue distances. Il modélise les interactions attractives interatomiques de type van der Waals, plus particulièrement les forces de dispersion de London (interactions dipôle induit – dipôle induit).
• Le terme en +\dfrac{A}{x^{12}} (terme répulsif) :
  Il correspond à une force répulsive (F_{\text{rép}} > 0) fortement divergente à courte distance (x \to 0). Il modélise la répulsion stérique due à l'interpénétration des nuages électroniques et au principe d'exclusion de Pauli (deux électrons ne peuvent occuper le même état quantique), à laquelle s'ajoute la répulsion électrostatique entre les noyaux atomiques.

L'énergie potentielle d'interaction de Lennard-Jones s'écrit :

La position d'équilibre x = a correspond à l'annulation de la force conservative associée, soit à un extremum de l'énergie potentielle :

Calculons la dérivée première de V(x) :

En x = a, cette condition impose :

En réinjectant cette expression de A dans V(x), on obtient :

On identifie alors la forme demandée en posant :

et l'expression de V(x) s'écrit bien :

Posons la variable adimensionnée u = \frac{x}{a}. Les trois fonctions à identifier s'écrivent :

• f_1(u) = \frac{V(x)}{\Theta_o} = \left(\frac{a}{x}\right)^{12} - 2\left(\frac{a}{x}\right)^6 = u^{-12} - 2u^{-6} ;
• f_2(u) = \left(\frac{a}{x}\right)^{12} = u^{-12} ;
• f_3(u) = 2\left(\frac{a}{x}\right)^6 = 2u^{-6}.

Évaluons ces grandeurs pour la position d'équilibre u = 1 (soit x = a) :

En observant le graphique et en suivant les lignes de rappel :

• La flèche de la Courbe 1 pointe vers le fond du puits de potentiel, où la fonction atteint son minimum négatif d'ordonnée -1 en \frac{x}{a} = 1. Il s'agit donc du potentiel de Lennard-Jones réduit.
• La flèche de la Courbe 2 pointe vers la courbe passant par l'ordonnée 1 en \frac{x}{a} = 1, qui décroît très rapidement vers zéro pour x > a : c'est le terme répulsif.
• La flèche de la Courbe 3 pointe vers la courbe passant par l'ordonnée 2 en \frac{x}{a} = 1 : c'est le terme attractif (en valeur absolue).

On en déduit l'identification :

Soit \varepsilon = x - a l'écart à la position d'équilibre, avec |\varepsilon| \ll a. Posons la variable sans dimension \eta = \frac{\varepsilon}{a} \ll 1.

L'énergie potentielle issue de la question Q14 s'écrit :

En utilisant le développement limité (1 + \eta)^\alpha = 1 + \alpha\eta + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\eta^2 + o(\eta^2) au second ordre :

En combinant ces deux termes :

Sous la forme canonique d'une énergie potentielle harmonique V(x) = V(a) + \frac{1}{2}k\varepsilon^2, on identifie :

soit :

La force d'interaction entre les deux atomes s'en déduit selon :

Il s'agit bien de la force exercée par un ressort linéaire de raideur k et de longueur à vide a.

D'après la question Q16, la constante de raideur équivalente est donnée par :

En convertissant la profondeur du puits de potentiel en joules à l'aide de la charge élémentaire e \approx 1,60 \cdot 10^{-19}\text{ C} :

L'application numérique donne :

Avec deux chiffres significatifs, on obtient :

D'après la question Q3, la pulsation propre associée à la particule de masse m est :

Avec m = 1,0 \cdot 10^{-25}\text{ kg} et la valeur non arrondie de k :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

D'après l'expression complexe donnée entre les questions Q6 et Q7, le déplacement réel de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

La vitesse de cet atome à l'instant t est obtenue par dérivation temporelle :

L'énergie cinétique instantanée de l'atome indicé par n est donc :

En prenant la valeur moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}, et sachant que la moyenne temporelle d'un sinus au carré vaut \frac{1}{2} :

On obtient ainsi :

Cette valeur moyenne temporelle est strictement indépendante de l'indice n de l'atome (invariance par translation dans le milieu infini). Par linéarité de la moyenne, l'énergie cinétique moyenne pour un ensemble de N atomes est la somme des énergies cinétiques moyennes de chacun d'eux :

L'atome n est relié à ses deux plus proches voisins :

• à l'atome n+1 par un ressort de raideur k, dont l'allongement par rapport à l'équilibre est \Delta \ell_{n,n+1} = u_{n+1}(t) - u_n(t) ;
• à l'atome n-1 par un ressort de raideur k, dont l'allongement est \Delta \ell_{n-1,n} = u_n(t) - u_{n-1}(t).

L'énergie potentielle élastique associée aux interactions de l'atome n avec ses voisins s'écrit de manière instantanée :

Le mouvement étant harmonique, les grandeurs réelles s'expriment à partir des amplitudes complexes associées : u_n(t) = \mathrm{Re}(\underline{u}_n(t)). Pour tout signal sinusoïdal s(t) = \mathrm{Re}(\underline{s}_0 e^{i\omega t}) = S_0 \cos(\omega t + \varphi), la valeur moyenne temporelle du carré vaut :

En appliquant ce résultat aux deux termes d'allongement :

En injectant ces moyennes temporelles dans l'expression de \langle E_p \rangle, il vient :

L'onde se propageant dans la chaîne s'écrit sous forme complexe :

Calculons les écarts relatifs entre atomes voisins :

En utilisant la factorisation par l'arc moitié :

Le carré du module de ces deux termes vaut donc :

D'après la formule de l'énergie potentielle moyenne établie à la question Q19 :

D'après la relation de dispersion établie à la question Q9, on a :

En reportant cette relation dans l'expression de \langle E_p \rangle, il vient :

Remarque sur la modélisation : Si l'on tient compte du fait que l'énergie potentielle de chaque ressort reliant deux atomes doit être partagée pour moitié entre chacun d'eux (ou si l'on applique strictement le théorème du viriel à une onde progressive harmonique), l'énergie potentielle moyenne par atome vaut :

D'après les questions Q18 et Q20, l'énergie mécanique totale moyenne d'un atome vibrant selon la direction (Ox) s'écrit :

D'après le théorème de l'équipartition de l'énergie, pour un système classique à l'équilibre thermodynamique à la température T, chaque terme quadratique indépendant dans l'hamiltonien apporte en moyenne une contribution égale à \frac{1}{2}k_B T :

• le degré de liberté de translation selon (Ox) (terme cinétique \frac{1}{2}m\dot{u}^2) apporte \langle E_c \rangle = \frac{1}{2}k_B T ;
• l'interaction harmonique (terme d'énergie potentielle élastique) apporte \langle E_p \rangle = \frac{1}{2}k_B T.

L'énergie moyenne d'un oscillateur selon un axe est donc :

Selon les hypothèses de l'énoncé, « les trois dimensions de l'espace sont découplées et l'étude sera faite sur l'une d'elles selon le modèle d'un cristal à une dimension ». Chaque atome du cristal 3D effectue ainsi des vibrations indépendantes selon les trois directions de l'espace (Ox, Oy, Oz), portant son énergie moyenne de vibration à :

Pour un cristal constitué de N atomes (soit n = \frac{N}{N_A} moles), en prenant l'énergie du cristal au repos à T=0\text{ K} comme référence (U(0) = 0), l'énergie interne thermique s'écrit :

Remarque : si l'on ne considère strictement que le modèle unidimensionnel à N atomes, l'énergie interne s'écrirait \boxed{U(T) = N k_B T = n R T}.

D'après la question Q9, la pulsation \omega et le nombre d'onde q sont reliés sur la première zone de Brillouin (q \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right]) par :

En utilisant la relation entre le nombre d'onde et la longueur d'onde issue de la question Q8, q = \frac{2\pi}{\lambda}, il vient :

Pour q \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right], on a \frac{\pi a}{\lambda} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], d'où par inversion de la fonction sinus :

L'expression exacte de la longueur d'onde est donc :

Pour f = 500\text{ kHz}, la pulsation vaut \omega = 2\pi f \approx 3,14 \cdot 10^6\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. Avec la valeur \omega_0 \approx 1,7 \cdot 10^{13}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} calculée en Q17, on a :

On peut donc effectuer un développement limité au premier ordre \arcsin(x) \approx x :

Application numérique :

Commentaire : On constate que la longueur d'onde calculée est macroscopique et immensément grande devant la distance interatomique :

À cette échelle, l'onde ultrasonore ne « voit » pas la structure discrète du réseau cristallin : les variations spatiales du déplacement u_n(t) d'une masselotte à la suivante sont infimes. Cela justifie pleinement le passage à la limite continue a \to 0 (approximation acoustique), dans laquelle le cristal se comporte comme un milieu élastique continu régi par l'équation de d'Alembert.

L'équation de propagation établie dans l'approximation des milieux continus s'écrit sous la forme canonique de l'équation d'onde de d'Alembert :

Par identification directe avec l'équation fournie par l'énoncé :

on en déduit l'expression de la célérité c de l'onde dans le cristal :

Cette célérité est indépendante de la fréquence tant que \lambda \gg a (domaine acoustique non dispersif, où la vitesse de phase coïncide avec la vitesse de groupe déterminée à la question Q12).

Application numérique : Avec a = 2,0 \cdot 10^{-10}\text{ m} et \omega_o \approx 1,70 \cdot 10^{13}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} (calculé à la question Q17) :