Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2023 (page 4/4 : Partie II (questions 40 à 44) et partie III)

D'après la loi d'Ohm locale :

Les grandeurs physiques mises en jeu ont pour unités du Système International :

• la norme de la densité volumique de courant \|\vec{j}\| s'exprime en \text{A}\cdot\text{m}^{-2} ;
• la norme du champ électrique \|\vec{E}\| s'exprime en \text{V}\cdot\text{m}^{-1}.

On en déduit l'unité de la conductivité électrique \gamma :

L'unité SI de la conductivité électrique est donc le siemens par mètre (\text{S}\cdot\text{m}^{-1}), également équivalent à l'\mathbf{\Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1}}.

En termes de dimensions fondamentales :

• [j] = \mathrm{I\cdot L^{-2}} ;
• [E] = \dfrac{[U]}{\mathrm{L}} = \dfrac{\mathrm{M\cdot L^2\cdot T^{-3}\cdot I^{-1}}}{\mathrm{L}} = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-3}\cdot I^{-1}}.

La dimension de \gamma est par conséquent :

Ce qui correspond, en unités fondamentales du SI, au \text{kg}^{-1}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{s}^3\cdot\text{A}^2.

D'après l'énoncé, la relation entre le champ électrique et les grandeurs électrostatiques reste identique à celle établie en régime statique (question Q24).

Entre les armatures (0 < z < d), les lignes de champ sont dirigées de la plaque supérieure chargée positivement (\sigma_{\text{air}}(t) > 0) vers le sol (\sigma_{\text{sol}}(t) = -\sigma_{\text{air}}(t) < 0), c'est-à-dire dans le sens opposé au vecteur unitaire vertical ascendant \vec{u}_z :

L'air ionisé se comportant comme un conducteur ohmique de conductivité \gamma, la loi d'Ohm locale s'écrit :

On en déduit l'expression du vecteur densité volumique de courant :

Considérons la couche d'air chargée située à la cote z = d, de surface S et portant la charge électrique totale :

D'après la question Q41, la densité volumique de courant dans le plasma s'écrit :

Le courant électrique i(t) quittant l'armature supérieure en direction du sol (le long de -\vec{u}_z) à travers la section droite S est donné par le flux de \vec{j} sortant de l'armature :

D'après la loi de conservation de la charge électrique appliquée à l'armature supérieure :

En remplaçant q_{\text{air}}(t) et i(t) par leurs expressions, on obtient :

En simplifiant par S > 0, on aboutit à :

Cette équation s'écrit bien sous la forme demandée :

avec :

L'équation différentielle établie à la question Q42,

avec la condition initiale \sigma_{\text{air}}(0) = \sigma_o, admet pour solution pour tout t \ge 0 :

Cette décroissance exponentielle présente les caractéristiques graphiques remarquables suivantes :

• la valeur initiale à t = 0 est \sigma_{\text{air}}(0) = \sigma_o ;
• la tangente à l'origine, d'équation y(t) = \sigma_o\left(1 - \frac{t}{\tau}\right), coupe l'axe des abscisses en t = \tau ;
• à l'instant t = \tau, la densité résiduelle vaut \sigma_{\text{air}}(\tau) = \frac{\sigma_o}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37\,\sigma_o ;
• l'axe des temps est asymptote horizontale quand t \to +\infty (la décharge est quasi-complète pour t \ge 5\tau, où il ne reste que moins de 1\,\% de la charge initiale).

D'après la question Q42, le temps caractéristique de décharge s'écrit :

Avec \varepsilon_o = 8,85 \cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} et \gamma = 1,0 \cdot 10^{20}\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

D'après la question Q41, le vecteur densité volumique de courant à l'instant initial t = 0 s'écrit :

Le signe négatif indique que le courant circule vers le bas (-\vec{u}_z), c'est-à-dire qu'il arrive effectivement au sol. La densité volumique de courant arrivant au sol (selon le vecteur unitaire descendant -\vec{u}_z, ou en norme) vaut :

Avec \sigma_o = 1,0 \cdot 10^8\text{ C}\cdot\text{m}^{-2} :

Soit :

Une machine frigorifique (\mathscr{S}) prélève de la chaleur à la source froide pour la transférer à la source chaude, ce qui nécessite un apport de travail de la part de l'extérieur :

• La machine reçoit du travail du milieu extérieur : \delta W > 0 (sens réel de l'extérieur vers (\mathscr{S})) ;
• La machine reçoit un transfert thermique de la source froide (eau de mer à la température instantanée T') : \delta Q_f > 0 (sens réel de l'eau vers (\mathscr{S})) ;
• La machine cède un transfert thermique à la source chaude (atmosphère à la température \theta_c) : \delta Q_c < 0, soit un transfert réel -\delta Q_c = |\delta Q_c| > 0 de la machine vers l'atmosphère.

Le schéma de principe avec les sens réels des transferts est représenté ci-dessous :

On applique le second principe de la thermodynamique au système constitué par le fluide de la machine (\mathscr{S}) entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

La durée d'un cycle étant très inférieure au temps caractéristique de refroidissement de l'eau, l'intervalle \mathrm{d}t correspond à la description d'un nombre entier de cycles au cours duquel la température T' de la mer peut être considérée comme constante.

L'entropie S étant une fonction d'état, sa variation sur un nombre entier de cycles est nulle :

Le bilan d'entropie s'écrit alors sous forme infinitésimale :

où :

• l'entropie échangée s'exprime à partir des températures des sources en contact :

  \delta S_e = \frac{\delta Q_f}{T'} + \frac{\delta Q_c}{\theta_c}

• la machine fonctionnant de manière réversible, l'entropie créée est nulle :

  \delta S_c = 0

On en déduit la relation de Clausius sous forme infinitésimale :

ou de manière équivalente :

Considérons le système constitué par la machine (\mathscr{S}). Sur une durée élémentaire \mathrm{d}t, la machine effectue un nombre entier de cycles. L'énergie interne étant une fonction d'état, sa variation est nulle sur un cycle complet :

D'après la relation de réversibilité obtenue à la question Q46, on a \delta Q_c = -\dfrac{\theta_c}{T'}\,\delta Q_f. Il vient ainsi :

La machine fonctionnant à une puissance constante \mathscr{P}, le travail élémentaire s'écrit \delta W = \mathscr{P}\,\mathrm{d}t.

Appliquons le premier principe à la masse m d'eau liquide, à pression atmosphérique constante P^0. L'eau ne subit qu'un transfert thermique avec la machine frigorifique :

En injectant cette relation dans l'expression de \delta W, on obtient l'équation différentielle :

Intégrons entre l'instant t = 0 (où T' = \theta_c) et l'instant \Delta t (où T' = T_f) :

On en déduit l'expression du temps nécessaire \Delta t :

D'après la question Q47, la durée nécessaire pour refroidir la masse m d'eau de \theta_c à T_f avec une puissance mécanique constante \mathscr{P} s'écrit :

La condition \Delta t \le \Delta t_{\max} impose donc une puissance :

Application numérique :

• m = 1,0 \cdot 10^3\text{ kg}
• c_{\text{eau}} = 4,18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} = 4,18 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}
• \theta_c = 293\text{ K}
• T_f = 273,15\text{ K}
• \Delta t_{\max} = 10\text{ min} = 600\text{ s}

Le terme entre crochets vaut :

Le travail mécanique total à fournir est donc :

D'où la puissance minimale requise :

La solidification de la masse m d'eau liquide s'effectue à la pression atmosphérique P^0 et à la température de fusion constante T_f = 273{,}15\text{ K}.
Le transfert thermique cédé par l'eau lors de sa congélation totale s'écrit :

Par conservation de l'énergie à l'interface, le transfert thermique reçu par la machine (\mathscr{S}) en provenance de la source froide est :

Pendant cette étape, la source froide est à la température constante T_f et l'atmosphère à la température constante \theta_c. La machine (\mathscr{S}) décrit un ensemble de cycles dithermes réversibles (cycles de Carnot) entre ces deux thermostats.

Sur la durée totale \Delta t', les bilans énergétique et entropique pour la machine cyclique s'écrivent :

• Premier principe : W + Q_f + Q_c = 0 \iff W = - Q_f - Q_c
• Second principe (réversibilité) : \Delta S_{\text{cycle}} = \dfrac{Q_f}{T_f} + \dfrac{Q_c}{\theta_c} = 0 \iff Q_c = - \dfrac{\theta_c}{T_f} Q_f

On en déduit l'expression du travail total reçu par la machine :

La puissance mécanique étant supposée constante et égale à \mathscr{P}_{\min}, on a W = \mathscr{P}_{\min} \Delta t', d'où :

En remplaçant \mathscr{P}_{\min} par son expression établie à la question Q48, \Delta t' s'exprime également sous la forme :

Application numérique :

L'efficacité globale (ou coefficient de performance) \eta de la machine frigorifique est définie par le rapport entre le transfert thermique total Q_{f,\text{tot}} retiré à la source froide (l'eau) et le travail total W_{\text{tot}} fourni à la machine :

1. Transfert thermique extrait de l'eau : L'eau subit deux transformations successives :

• un refroidissement sous pression constante à l'état liquide de la température \theta_c à la température T_f :

  Q_{f,1} = m \, c_{\text{eau}} (\theta_c - T_f)

• une solidification totale à la température d'équilibre T_f sous 1 bar :

  Q_{f,2} = m \, L_{\text{fus}}

Le transfert thermique total extrait de la source froide s'écrit donc :

2. Travail total fourni à la machine : La machine frigorifique opère à puissance constante \mathscr{P} pendant la durée totale \Delta t + \Delta t' :

3. Expression et calcul de l'efficacité totale : On en déduit l'expression de l'efficacité :

Application numérique : Avec les données du document et les résultats obtenus aux questions Q48 et Q49 :

• m = 1{,}0 \cdot 10^3\text{ kg},
• c_{\text{eau}} = 4{,}18 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1},
• \theta_c - T_f = 293 - 273{,}15 = 19{,}85\text{ K},
• L_{\text{fus}} = 333{,}3 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1},
• \mathscr{P} = \mathscr{P}_{\min} \approx 4{,}88 \cdot 10^3\text{ W},
• \Delta t = 10\text{ min} = 600\text{ s},
• \Delta t' \approx 4{,}96 \cdot 10^3\text{ s} (soit environ 82{,}7\text{ min}).

On calcule séparément :

Ce qui donne :

Considérons comme système la tranche de glace indéformable comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite constante S et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

Appliquons le premier principe de la thermodynamique à ce système fermé entre les instants t et t + \mathrm{d}t :

Le milieu étant condensé et indéformable, le travail des forces de pression est nul : \delta W = 0. De plus, le régime est stationnaire, donc l'énergie interne du système est constante au cours du temps : \mathrm{d}U = 0.

Le transfert thermique élémentaire \delta Q reçu par la tranche de glace pendant \mathrm{d}t se décompose en :

• le flux thermique entrant par la face en x : \delta Q_{\mathrm{ent}} = j_Q(x)\,S\,\mathrm{d}t ;
• le flux thermique sortant par la face en x+\mathrm{d}x : \delta Q_{\mathrm{sort}} = - j_Q(x+\mathrm{d}x)\,S\,\mathrm{d}t ;
• l'énergie thermique produite en volume par d'éventuelles sources internes : \delta Q_{\mathrm{source}} = \sigma\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = \sigma\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t ;
• les échanges avec l'atmosphère à travers la surface latérale étant négligés à ce stade, aucun flux latéral n'intervient.

Le bilan s'écrit donc :

En effectuant un développement limité au premier ordre, j_Q(x + \mathrm{d}x) - j_Q(x) = \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x, on obtient après division par le volume S\,\mathrm{d}x et par \mathrm{d}t :

Puisque le vecteur densité de courant thermique est unidimensionnel, \vec{j}_Q = j_Q(x)\,\vec{u}_x, on a \operatorname{div}\vec{j}_Q = \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}. L'équation différentielle s'écrit sous forme scalaire ou vectorielle :

Un champ de vecteurs est à flux conservatif si et seulement si sa divergence est nulle en tout point du domaine considéré, ce qui équivaut à un flux nul à travers toute surface fermée.

Dans la couche de glace déjà formée comprise entre le contact avec Aokiji (x=0) et le front de solidification :

• il n'y a aucun terme source ni puits interne d'énergie thermique (pas d'effet Joule, pas de réaction chimique dans la glace) : la puissance volumique créée est donc nulle,

  \sigma = 0
• de plus, l'énoncé précise qu'à ce stade, on néglige tout échange thermique avec l'atmosphère ainsi qu'avec le reste de l'eau sur les parois latérales (parois adiabatiques).

D'après l'équation différentielle établie à la question Q51 :

La divergence de \vec{j}_Q étant identiquement nulle, on en déduit que :

Considérons le front de solidification situé en x_f(t) à la date t, avançant d'une distance \mathrm{d}x_f pendant la durée \mathrm{d}t, à la vitesse v_o = \frac{\mathrm{d}x_f}{\mathrm{d}t}.

Pendant l'intervalle \mathrm{d}t, le volume d'eau qui se solidifie en glace sous la forme d'un barreau de section S est :

L'eau étant déjà à la température de congélation T_f, la masse de glace ainsi formée est \mathrm{d}m = \rho_{\text{glace}}\,S\,v_o\,\mathrm{d}t.

La solidification étant une transition de phase exothermique, le transfert thermique libéré lors du gel de cette masse à température et pression constantes vaut :

Ce transfert thermique doit être entièrement évacué à travers la glace vers l'origine x = 0 où opère la machine frigorifique. D'après le résultat de la question Q52, en l'absence d'échanges avec l'atmosphère et en régime stationnaire, le vecteur densité de courant thermique est à flux conservatif :

La puissance thermique totale extraite par la machine frigorifique à la source froide en x = 0 s'identifie donc au débit de chaleur évacué au niveau du front :

La puissance \mathscr{P}' développée par Aokiji étant constante, et les caractéristiques physiques \rho_{\text{glace}}, S et L_{\text{fus}} étant invariantes, la vitesse de formation du front de glace v_o est constante :

Puisque la vitesse v_o est constante, la longueur totale D du pont de glace formé en une durée \delta t s'écrit simplement D = v_o\,\delta t, d'où :

On en déduit l'expression de la puissance \mathscr{P}' en fonction des données :

Applications numériques :

• Pour la vitesse de formation du pont de glace :

  v_o = \frac{50 \cdot 10^3\text{ m}}{10 \times 60\text{ s}} = \frac{50\,000}{600} \approx 83{,}3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 300\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}
  \boxed{v_o \approx 83\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

• Pour la puissance frigorifique développée : avec S = 10\text{ cm}^2 = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\text{ m}^2, \rho_{\text{glace}} = 990\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et L_{\text{fus}} = 333{,}3 \cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1} :

  \mathscr{P}' = \frac{990 \times 1{,}0 \cdot 10^{-3} \times 50 \cdot 10^3 \times 333{,}3 \cdot 10^3}{600} \approx 2{,}7 \cdot 10^7\text{ W} = 27\text{ MW}

D'après la loi de Newton fournie par l'énoncé, le transfert thermique élémentaire reçu par la surface \mathrm{d}S pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

En analysant les dimensions de chaque terme :

• le transfert thermique \delta Q est une énergie, homogène à des joules (\mathrm{J}) ;
• l'écart de température T(x,t) - \theta_c s'exprime en kelvins (\mathrm{K}) ;
• l'élément de surface \mathrm{d}S s'exprime en mètres carrés (\mathrm{m}^2) ;
• la durée \mathrm{d}t s'exprime en secondes (\mathrm{s}).

On en déduit la dimension du coefficient de transfert thermique conducto-convectif h :

Sachant qu'un flux thermique \frac{\delta Q}{\mathrm{d}t} s'exprime en watts (\mathrm{W} = \mathrm{J}\cdot\mathrm{s}^{-1}), l'unité usuelle dans le Système International est :

En unités de base du Système International, avec 1\text{ W} = 1\text{ kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-3}, cette unité s'écrit également :

Considérons le système infinitésimal constitué par la tranche de glace comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite S et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

D'après la figure 4, seule la face supérieure horizontale de ce barreau de section carrée est en contact direct avec l'atmosphère de température \theta_c. Sa surface d'échange vaut donc :

Pendant une durée élémentaire \mathrm{d}t, les transferts thermiques reçus par le système sont :

• par conduction à travers les sections en x et x+\mathrm{d}x :

  \delta Q_{\text{cond}} = j_Q(x)\,S\,\mathrm{d}t - j_Q(x+\mathrm{d}x)\,S\,\mathrm{d}t = - S \frac{\mathrm{d}j_Q}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

• par échange avec l'air à travers la face supérieure (loi de Newton) :

  \delta Q_{\text{air}} = - h\left(T(x) - \theta_c\right)\mathrm{d}S_{\text{lat}}\,\mathrm{d}t = h\left(\theta_c - T(x)\right)\sqrt{S}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

En régime stationnaire, la variation d'énergie interne est nulle (\mathrm{d}U = 0), et en l'absence de terme source volumique interne (\sigma = 0) :

On obtient ainsi la nouvelle équation différentielle reliant le courant thermique à la température locale :

Intégrons cette relation sur toute la longueur D du pont de glace :

Multiplions par la section S :

Précisons les flux thermiques aux deux extrémités :

• En x = 0, la puissance extraite par la machine frigorifique vaut \mathscr{P}' = - j_Q(0) S.
• En x = D, le front de glace avance à la vitesse v'. Pendant \mathrm{d}t, une masse \mathrm{d}m = \rho_{\text{glace}} S v' \mathrm{d}t d'eau se solidifie à la température T_f en libérant le transfert thermique \delta Q_f = - L_{\text{fus}}\,\mathrm{d}m. Ce flux entre dans la glace vers les x décroissants, soit - j_Q(D) S = \rho_{\text{glace}} S L_{\text{fus}} v'.

L'égalité devient :

D'où l'expression de la vitesse effective v' du front :

En identifiant v_o = \dfrac{\mathscr{P}'}{\rho_{\text{glace}} S L_{\text{fus}}} (vitesse sans pertes établie en Q53), on obtient bien :

Si l'on suppose que la situation thermique est peu modifiée par rapport au cas idéal sans échange avec l'air, la température de la glace reste partout voisine de la température de changement d'état : T(x) \approx T_f. L'intégrale se simplifie en :

On en déduit l'expression de la vitesse corrective v_a :

Pour maintenir la vitesse de formation du pont de glace à la valeur initiale v_o (et ainsi former le pont de longueur D en la même durée \delta t = 10\text{ min}), la machine frigorifique doit compenser le flux thermique reçu de l'atmosphère.

La puissance frigorifique totale à développer s'écrit :

D'après l'analyse cinétique de la question Q55, la vitesse réelle s'écrivait v' = v_o - v_a où v_o = \frac{\mathscr{P}'}{\rho_{\text{glace}} S L_{\text{fus}}} et v_a = \frac{\mathscr{P}_{\text{pertes}}}{\rho_{\text{glace}} S L_{\text{fus}}}. Pour imposer v' = v_o, l'augmentation relative de puissance requise est donc égale au rapport :

En reprenant l'expression de v_a obtenue à la question Q55 (avec v_o = \frac{D}{\delta t}) :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs de l'énoncé :

• h = 42\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}
• \theta_c - T_f = 293 - 273,15 = 19,85\text{ K}
• \delta t = 10\text{ min} = 600\text{ s}
• \rho_{\text{glace}} = 990\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
• \sqrt{S} = \sqrt{10\cdot 10^{-4}\text{ m}^2} = \sqrt{10^{-3}}\text{ m} \approx 3,162\cdot 10^{-2}\text{ m}
• L_{\text{fus}} = 333,3\cdot 10^3\text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}