Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2020

D'après l'énoncé, la constante radioactive \lambda représente la probabilité de désintégration d'un noyau par unité de temps.

Une probabilité étant une grandeur sans dimension, le rapport d'une probabilité par une durée a pour dimension l'inverse d'un temps :

Dans le Système international d'unités (SI), \lambda s'exprime ainsi en \mathrm{s}^{-1}.

D'après le préambule, la probabilité pour qu'un noyau donné se désintègre entre les instants t et t+\mathrm{d}t vaut :

Les désintégrations des différents noyaux étant des processus mutuellement indépendants, le nombre moyen de noyaux qui disparaissent pendant la durée \mathrm{d}t au sein d'une population de N(t) noyaux est :

Le nombre de noyaux présents à l'instant t + \mathrm{d}t est donc relié à N(t) par :

La variation élémentaire de la population s'écrit \mathrm{d}N = N(t+\mathrm{d}t) - N(t) = -\lambda N(t)\,\mathrm{d}t. Pour une population macroscopique (N \gg 1), on peut assimiler N(t) à une fonction continue et dérivable du temps :

On obtient bien l'équation différentielle régissant l'évolution de la population :

L'intégration de la loi de décroissance radioactive établie à la question Q2 donne :

Par définition de la demi-vie (ou période radioactive) T_{1/2}, le nombre de noyaux restants à l'instant t = T_{1/2} est égal à la moitié du nombre initial de noyaux :

En substituant dans la loi horaire :

On obtient ainsi la relation entre \lambda et T_{1/2} :

D'après la question Q3, la constante radioactive est reliée à la période radioactive par :

En prenant pour durée d'une année julienne 1\text{ an} = 365{,}25\text{ jours} = 365{,}25 \times 86\,400\text{ s} \approx 3{,}156 \times 10^7\text{ s} :

• Pour l'uranium 238 (T_{1/2} = 4{,}468 \times 10^9\text{ années}) :

  \begin{aligned} T_{1/2}(^{238}\mathrm{U}) &= 4{,}468 \times 10^9 \times 3{,}156 \times 10^7 \approx 1{,}410 \times 10^{17}\text{ s} \\ \lambda_{238} &= \frac{\ln 2}{1{,}410 \times 10^{17}} \approx 4{,}92 \times 10^{-18}\text{ s}^{-1} \end{aligned}

• Pour l'uranium 235 (T_{1/2} = 703{,}8 \times 10^6\text{ années}) :

  \begin{aligned} T_{1/2}(^{235}\mathrm{U}) &= 703{,}8 \times 10^6 \times 3{,}156 \times 10^7 \approx 2{,}221 \times 10^{16}\text{ s} \\ \lambda_{235} &= \frac{\ln 2}{2{,}221 \times 10^{16}} \approx 3{,}12 \times 10^{-17}\text{ s}^{-1} \end{aligned}

Commentaires :

• Comparaison avec le thorium : On constate que :

  \frac{\lambda_{238}}{\lambda_{\mathrm{Th}}} = \frac{4{,}92 \times 10^{-18}}{1{,}6 \times 10^{-18}} \approx 3{,}1

  Le thorium est bien environ trois fois moins radioactif que l'uranium 238, ce qui concorde parfaitement avec les indications du texte de la partie I.A.

• Comparaison entre isotopes de l'uranium :

  \frac{\lambda_{235}}{\lambda_{238}} = \frac{T_{1/2}(^{238}\mathrm{U})}{T_{1/2}(^{235}\mathrm{U})} \approx 6{,}35

  L'uranium 235 se désintègre plus de six fois plus vite que l'uranium 238.

• Ordre de grandeur : Ces constantes sont extrêmement faibles, ce qui correspond à des durées de demi-vie du même ordre de grandeur que l'âge de la Terre (\approx 4{,}5\text{ Ga}). C'est ce qui explique que ces éléments soient encore naturellement présents dans la croûte terrestre aujourd'hui.

D'après les précisions de l'énoncé, en négligeant l'uranium 234, la proportion d'uranium 235 au sein de l'uranium naturel à l'instant t s'écrit :

La loi de décroissance radioactive établie à la question Q2 donne pour chaque isotope :

Le rapport des populations s'exprime donc sous la forme :

Or, d'après les résultats de la question Q4 :

Comme \lambda_{235} - \lambda_{238} > 0, le rapport \dfrac{N_{238}(t)}{N_{235}(t)} est une fonction strictement croissante du temps.

Par conséquent :

Soit \tau le temps compté positivement vers le passé depuis notre époque (\tau = 0). Les populations de noyaux étaient alors :

Le rapport isotopique r(\tau) = \frac{N_{235}(\tau)}{N_{238}(\tau)} s'écrit :

Une proportion minimale p_c = 3{,}0\,\% correspond à un rapport isotopique seuil :

La proportion d'uranium 235 était supérieure ou égale à 3\,\% pour toutes les dates \tau \ge \tau_c telles que r(\tau_c) = r_c, soit :

Effectuons l'application numérique avec les demi-vies fournies :

• \frac{1}{T_{1/2,235}} - \frac{1}{T_{1/2,238}} = \frac{1}{703{,}8 \times 10^6} - \frac{1}{4{,}468 \times 10^9} \approx 1{,}197 \times 10^{-9}\text{ an}^{-1}
• \lambda_{235} - \lambda_{238} = \ln 2 \times 1{,}197 \times 10^{-9} \approx 8{,}30 \times 10^{-10}\text{ an}^{-1}
• \frac{r_c}{r(0)} = \frac{0{,}030 \times 0{,}9928}{0{,}97 \times 0{,}0072} \approx 4{,}265 \implies \ln(4{,}265) \approx 1{,}450

On trouve ainsi :

La Terre s'étant formée il y a environ T_{\text{Terre}} \approx 4{,}5\text{ milliards d'années} (valeur cohérente avec la demi-vie de ^{238}\mathrm{U} donnée à \approx 4{,}47\text{ Ga}), les minerais naturels contenaient plus de 3\,\% d'uranium 235 entre la formation de la Terre et il y a 1{,}75\text{ milliard d'années}.

Oui, une telle période a existé ; elle a duré depuis la formation de la Terre jusqu'à \tau_c, soit une durée :

La masse totale d'uranium naturel présente sur la parcelle est m = 24\text{ kg}.

D'après les données, les proportions isotopiques en masse sont p_{238} = 99{,}28\,\% et p_{235} = 0{,}72\,\%. Le nombre de noyaux de chaque isotope s'écrit :

Les activités associées valent, avec les constantes radioactives issues de la question Q4 (\lambda_{238} \approx 4{,}92 \times 10^{-18}\text{ s}^{-1} et \lambda_{235} \approx 3{,}12 \times 10^{-17}\text{ s}^{-1}) :

Chaque désintégration libère une énergie E_{\alpha} :

La puissance dégagée par les désintégrations directes de l'uranium est donc :

Rapportée à la masse d'uranium, cette puissance correspond à une puissance massique :

Si l'on utilise directement la valeur fournie par l'extrait (0{,}082\text{ W}\cdot\text{t}^{-1}), la puissance totale dégagée sur la parcelle est :

Comparaison et commentaire : La puissance issue de la désintégration de l'uranium seul est environ 9{,}2 fois plus faible que la valeur globale indiquée dans le texte :

Cet écart s'explique parfaitement par la précision apportée dans le texte : la valeur de 0{,}082\text{ W}\cdot\text{t}^{-1} inclut l'uranium ainsi que ses descendants à l'équilibre séculaire. Par exemple, la chaîne radioactive complète de l'uranium 238 jusqu'au plomb 206 stable comporte 8 désintégrations \alpha et 6 désintégrations \beta^-, libérant une énergie totale cumulée de l'ordre de 48\text{ à }50\text{ MeV}, soit environ 8 à 10 fois l'énergie de la seule désintégration initiale de ^{238}\mathrm{U}.

D'après l'énoncé et la structure type fluorine (\mathrm{CaF}_2) représentée sur la figure A du document réponse :

• Ions uranium \mathrm{U}^{4+} : ils forment un réseau cubique à faces centrées (cfc). Ils occupent donc les 8 sommets et les 6 centres des faces de la maille conventionnelle cubique (sphères grises sur la figure A).
• Ions oxygène \mathrm{O}^{2-} : ils sont situés au centre de chacun des 8 sous-cubes d'arête a/2 (les 8 octants) formant un réseau cubique simple d'arête a/2 entièrement inclus dans la maille (sphères vertes au cœur de la maille).

Chaque ion \mathrm{O}^{2-} est équidistant d'un sommet et des trois centres de faces adjacents à ce sommet, formant ainsi un tétraèdre régulier de cations \mathrm{U}^{4+}. Les sites du réseau cfc occupés par les ions oxygène sont donc les :

Dénombrons les ions appartenant en propre à la maille élémentaire conventionnelle :

• Ions uranium \mathrm{U}^{4+} (réseau cubique à faces centrées) :

  • 8 ions situés aux sommets du cube, partagés chacun entre 8 mailles adjacentes : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ;
  • 6 ions situés aux centres des faces, partagés chacun entre 2 mailles : 6 \times \dfrac{1}{2} = 3.

  Le nombre d'ions \mathrm{U}^{4+} par maille est donc :

  N(\mathrm{U}^{4+}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4

• Ions oxygène \mathrm{O}^{2-} (sites tétraédriques) :

  • 8 ions situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, donc entièrement intérieurs à la maille :
  N(\mathrm{O}^{2-}) = 8 \times 1 = 8

Le rapport du nombre d'ions par maille vaut :

Ce résultat est parfaitement cohérent avec la formule stœchiométrique \mathrm{UO}_2.

La maille élémentaire contient Z = 4 motifs \mathrm{UO}_2 (question Q9). La masse volumique du cristal s'exprime selon :

D'où l'expression du paramètre de maille a :

Pour le dioxyde d'uranium enrichi à 5\,\% en {}^{235}\mathrm{U} et 95\,\% en {}^{238}\mathrm{U}, la masse molaire de l'uranium vaut :

La masse molaire du dioxyde d'uranium est donc :

Avec \rho = 11{,}0\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 11{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

Commentaire : Cette valeur est tout à fait typique des paramètres de maille de cristaux ioniques, qui sont de l'ordre de quelques centaines de picomètres (quelques angströms).

Comparaison avec les rayons ioniques : Dans la structure fluorine, chaque ion oxygène \mathrm{O}^{2-} occupe le centre d'un sous-cube d'arête a/2. La plus courte distance entre un ion uranium \mathrm{U}^{4+} (situé à un sommet d'un sous-cube) et un ion oxygène \mathrm{O}^{2-} (au centre de ce sous-cube) correspond à la demi-diagonale du sous-cube :

Numériquement, avec a = 546\text{ pm} :

Or, la somme des rayons ioniques vaut :

La condition de contact cation-anion a\frac{\sqrt{3}}{4} = r(\mathrm{U}^{4+}) + r(\mathrm{O}^{2-}) conduirait à :

L'accord entre la valeur déduite de la masse volumique macroscopique (546\text{ pm}) et celle prédite par le modèle des sphères dures tangentes (547\text{ pm}) est remarquable (écart relatif inférieur à 0{,}2\,\%).

La pastille est constituée de dioxyde d'uranium \mathrm{UO}_2 enrichi à 5{,}0\,\% en uranium 235 (en proportion isotopique au sein de l'uranium). La masse molaire de l'uranium enrichi est :

La masse molaire du dioxyde d'uranium vaut ainsi :

Une pastille de masse m = 7{,}5\text{ g} contient une quantité de matière de \mathrm{UO}_2 :

Chaque formule unité \mathrm{UO}_2 apportant un atome d'uranium, le nombre total d'atomes d'uranium est N_{\mathrm{U}} = n(\mathrm{UO}_2)\,\mathcal{N}_A. Le nombre de noyaux d'uranium 235 dans la pastille s'écrit donc :

D'après les données, chaque désintégration \alpha d'un noyau d'uranium 235 libère une énergie :

Si la totalité des noyaux de ^{235}\mathrm{U} venait à se désintégrer par radioactivité \alpha, l'énergie totale dégagée serait :

1. Énergie électrique consommée et énergie thermique nécessaire

L'énergie électrique consommée en un an s'élève à :

Les centrales thermiques à flamme et les centrales nucléaires de type REP fonctionnent selon des cycles à vapeur dont le rendement global de conversion de l'énergie thermique en énergie électrique est de l'ordre de \eta \approx 33\,\% (environ un tiers). L'énergie thermique primaire à fournir est donc :

2. Cas de la centrale au charbon

D'après le tableau des données, une tonne équivalent charbon (tec) libère :

La masse de charbon nécessaire pour produire l'énergie thermique requise est :

(Sans tenir compte du rendement de la centrale, c'est-à-dire en supposant \eta = 1, il faudrait 2{,}5\text{ t}).

3. Cas de la centrale nucléaire de type REP

La fission d'un noyau d'uranium 235 libère une énergie E_{\text{fiss}} = 2{,}0 \times 10^2\text{ MeV} = 200 \times 1{,}60 \times 10^{-13}\text{ J} = 3{,}2 \times 10^{-11}\text{ J}.

L'énergie libérée par unité de masse d'uranium 235 fissionné vaut :

La masse d'^{235}\mathrm{U} qui doit effectivement fissionner est :

Le combustible utilisé est du dioxyde d'uranium enrichi à 5{,}0\,\% en ^{235}\mathrm{U}. La masse molaire de \mathrm{UO}_2 est :

La fraction massique en ^{235}\mathrm{U} dans ce combustible est w_{235} \approx 0{,}05 \times \frac{235}{270} \approx 4{,}35\,\%. En supposant une consommation complète du ^{235}\mathrm{U}, la masse correspondante de combustible \mathrm{UO}_2 enrichi est :

ce qui représente environ 8 pastilles de combustible de 7{,}5\text{ g}. Même en tenant compte d'un taux de combustion réaliste (le combustible n'est consommé qu'à hauteur de quelques dizaines de pourcents avant retraitement), la masse de combustible engagée reste de l'ordre de 100 à 200\text{ g}.

Commentaire :

• L'écart est d'environ six ordres de grandeur : il faut près de 7{,}4\text{ tonnes} de charbon contre seulement quelques dizaines de grammes de combustible nucléaire (2{,}7\text{ g} d'uranium 235 fissionné). Cela illustre directement le propos du texte introductif : « l'énergie récupérable est plus d'un million de fois supérieure à celle des combustibles fossiles pour une masse équivalente ».
• Cette immense densité énergétique confère au nucléaire un avantage logistique majeur en termes de transport et de stockage du combustible par rapport au charbon, tout en évitant l'émission de dizaines de tonnes de \mathrm{CO}_2 associées à la combustion fossile. En contrepartie, la gestion des produits de fission et actinides mineurs formés au sein du réacteur requiert des protocoles de confinement stricts.

1. Intérêt du conditionnement sous forme de pastilles :

• Fabrication et intégrité mécanique : le dioxyde d'uranium \mathrm{UO}_2 est une céramique réfractaire, très dure mais intrinsèquement fragile (cassante). Fritter un cylindre homogène de plusieurs mètres de longueur sans fissure ni déformation serait technologiquement difficile et extrêmement coûteux. En revanche, le frittage et le contrôle qualité de petites pastilles d'environ 14\text{ mm} de hauteur sont parfaitement maîtrisés.
• Contraintes thermiques et dilatation différentielle : en fonctionnement, le crayon subit d'importants gradients thermiques (température très élevée au centre, plus modérée en périphérie). Un long cylindre continu subirait des contraintes thermomécaniques considérables, conduisant à des ruptures incontrôlées risquant de perforer la gaine en alliage de zirconium. L'empilement de pastilles indépendantes permet d'accommoder les dilatations thermiques axiales et radiales.
• Comportement sous irradiation : les pastilles s'accommodent mieux du gonflement sous irradiation et facilitent le relâchement des gaz de fission (xénon, krypton) vers le plénum situé en haut du crayon.

2. Intérêt de multiplier les petits crayons de combustible :

• Augmentation de la surface d'échange thermique : pour un volume total V de combustible fixé, divisé en N crayons cylindriques de rayon R et de hauteur H, le rapport de la surface latérale d'échange S sur le volume V vaut :

  \frac{S}{V} = \frac{N \times 2\pi R H}{N \times \pi R^2 H} = \frac{2}{R}

  Réduire le rayon R augmente fortement le rapport S/V, ce qui maximise la surface d'échange thermique avec le fluide caloporteur du circuit primaire pour un encombrement donné.

• Limitation de la température maximale à cœur : le combustible étant un modeste conducteur thermique (\lambda \approx 5{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}), la différence de température entre le centre et la surface d'un crayon en régime stationnaire varie comme \Delta T \propto p_V R^2, où p_V est la puissance volumique libérée. Un faible diamètre (R \approx 4{,}75\text{ mm}) est impératif pour éviter que la température au cœur du combustible n'atteigne sa température de fusion (2865\text{ }^\circ\text{C}).
• Efficacité neutronique : une géométrie dispersée permet une circulation optimale de l'eau, qui joue à la fois le rôle de caloporteur et de modérateur (ralentissement des neutrons pour favoriser les fissions induites).

Un réseau carré de taille 17 \times 17 comporte au total :

Puisqu'il n'accueille que 265 crayons de combustible, il reste :

Ces 24 emplacements sont occupés par des tubes-guides qui remplissent plusieurs rôles essentiels au fonctionnement et à la sûreté du réacteur :

1. Le contrôle de la réactivité et l'arrêt d'urgence : ils permettent le déplacement vertical des barres de commande (ou grappes de contrôle). Ces barres sont constituées de matériaux très absorbants pour les neutrons (cadmium, indium, argent, bore...) : leur insertion plus ou moins profonde dans le cœur permet de réguler la puissance neutronique ou d'étouffer immédiatement la réaction en chaîne en cas d'arrêt d'urgence (scram).
2. L'instrumentation du cœur : certains tubes (tubes d'instrumentation) permettent d'introduire des détecteurs mobiles ou fixes (sondes de flux neutronique, thermocouples) afin de cartographier en continu le flux de neutrons et la température au sein de l'assemblage.
3. La rigidité mécanique de l'assemblage : les tubes-guides sont solidaires des grilles de maintien (visibles sur la figure 3 de l'énoncé) et constituent le squelette structurel qui maintient les crayons de combustible espacés pour laisser circuler l'eau du circuit primaire.

Le cœur du réacteur est constitué de N_{\text{ass}} = 241 assemblages, chacun comportant N_{\text{c}} = 265 crayons de combustible (données du sujet). Le nombre total de crayons est donc :

Chaque crayon est un cylindre de diamètre extérieur d = 9{,}5\text{ mm} et de hauteur H = 4\text{ m} (indiquée explicitement sur la figure 3).

La surface latérale d'échange thermique d'un crayon avec le fluide caloporteur du circuit primaire s'écrit :

La surface totale d'échange du cœur s'en déduit :

Effectuons l'application numérique :

On peut également estimer la hauteur active de combustible H à partir de la masse d'n_{\text{past}} pastilles. Avec une masse d'\mathrm{UO}_2 de 600\text{ kg} par assemblage répartie sur 265 crayons, chaque crayon contient une masse d'\mathrm{UO}_2 d'environ 2{,}26\text{ kg}, soit \frac{2264\text{ g}}{7{,}5\text{ g}} \approx 302 pastilles de hauteur 14\text{ mm}, ce qui correspond à une colonne fissile de hauteur H \approx 302 \times 14 \times 10^{-3}\text{ m} \approx 4{,}2\text{ m}. Avec cette hauteur effective, on trouve :

La valeur annoncée de 8000\text{ m}^2 est donc parfaitement cohérente avec la géométrie du cœur.

1. Dépendance de la température :

• Invariance par rotation autour de l'axe (Oz) : La géométrie cylindrique du crayon, la puissance volumique dégagée uniforme et les conditions aux limites à l'interface avec le fluide sont invariantes par rotation d'angle \theta quelconque autour de (Oz). Ainsi, la température ne dépend pas de \theta :

  \frac{\partial T}{\partial \theta} = 0

• Invariance par translation le long de (Oz) : La longueur du crayon (H \approx 4\text{ m}) est très grande devant son rayon (R \approx 4{,}75\text{ mm}), avec un rapport d'élancement H/R \sim 10^3. En négligeant les effets de bord aux deux extrémités, le système est invariant par translation selon l'axe (Oz). Ainsi :

  \frac{\partial T}{\partial z} = 0

On en déduit que le champ de température ne dépend que de la coordonnée radiale r :

2. Densité de courant thermique :

D'après la loi de Fourier, pour un milieu isotrope de conductivité thermique \lambda_{\mathrm{th}} :

En coordonnées cylindriques, l'expression du gradient pour T = T(r) se réduit à :

Le vecteur densité de courant thermique est donc purement radial et ne dépend que de r :

Le choix du profil repose sur deux arguments physiques qualitatifs :

• Sens d'évacuation de la chaleur et température maximale au centre :
  Les réactions de fission libèrent de l'énergie thermique au sein du combustible (r < R), et cette chaleur est évacuée à la périphérie (r = R) par l'eau du circuit primaire. D'après le second principe de la thermodynamique (ou la loi de Fourier \vec{\jmath} = -\lambda_{\mathrm{th}}\,\vec{\operatorname{grad}}T), la chaleur s'écoule spontanément des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides. Le flux thermique est donc dirigé radialement vers l'extérieur (\vec{\jmath} = j_r \vec{u}_r avec j_r > 0), ce qui implique que la température doit être strictement décroissante avec r :

  T(0) > T(R)

  Pour K > 0, les profils 1 et 3 conduisent à T(0) = T(R) - KR < T(R) et T(0) = T(R) - KR^2 < T(R) : le cœur y est plus froid que la surface, ce qui est physiquement absurde. Les profils 1 et 3 sont donc exclus.

• Symétrie cylindrique et régularité sur l'axe (r = 0) :
  Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan de symétrie pour la géométrie du crayon et la distribution de puissance. Par symétrie, le vecteur densité de courant thermique sur l'axe doit appartenir à tous les plans méridiens, ce qui impose \vec{\jmath}(r=0) = \vec{0}. D'après la loi de Fourier, la pente du profil de température doit donc s'annuler sur l'axe :

  \left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right|_{r=0} = 0

  Le profil doit présenter une tangente horizontale en r = 0 (pas de point anguleux).

  • Le profil 2 est linéaire (T(r) = T(R) - K(r-R)) : sa pente vaut \mathrm{d}T/\mathrm{d}r = -K \neq 0 en tout point, conduisant à une singularité anguleuse en r = 0, physiquement inadmissible.
  • Le profil 4 est parabolique (T(r) = T(R) - K(r^2 - R^2)) : sa dérivée spatiale \mathrm{d}T/\mathrm{d}r = -2Kr s'annule bien en r = 0.

Le seul profil susceptible de correspondre au crayon radioactif est donc :

Le combustible est le siège d'un dégagement de puissance thermique volumique uniforme p_v. En régime stationnaire, le premier principe de la thermodynamique appliqué à un volume élémentaire de combustible s'écrit sous forme locale :

Avec la loi de Fourier \vec{\jmath} = -\lambda_{\mathrm{th}} \vec{\operatorname{grad}} T = -\lambda_{\mathrm{th}} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\,\vec{u}_r, l'équation de la chaleur en coordonnées cylindriques (compte tenu des invariances établies en question Q16) s'écrit :

D'après la question Q17, le profil de température est donné par :

Calculons les dérivées successives :

En réinjectant dans l'équation de la chaleur, il vient :

Par ailleurs, la densité de courant thermique en périphérie du crayon (r = R) est donnée par la loi de Fourier :

La puissance thermique dégagée par unité de longueur du crayon (puissance linéique P_L) vaut :

Les grandeurs dont les valeurs numériques figurent directement dans le document réponse étant la densité de courant thermique en périphérie j(R) (ou la puissance linéique P_L), le rayon R et la conductivité thermique moyenne \lambda_{\mathrm{th}}, on peut exprimer K sous les formes équivalentes :

Dans un tronçon de crayon de longueur L et de rayon R, la puissance thermique totale dégagée par les fissions s'écrit, pour une puissance volumique p_v uniforme :

La puissance linéique P_L = \frac{P_{\text{th}}}{L} s'en déduit directement :

Notons que le flux thermique traversant la surface latérale cylindrique en régime stationnaire assure également l'égalité :

Avec les données du document réponse pour le fonctionnement nominal :

On vérifie la parfaite cohérence :

Deux estimations de la puissance volumique p_v peuvent être proposées selon le volume attribué au dégagement de chaleur :

1. Puissance volumique au sein du dioxyde d'uranium seul (en considérant le rayon de la pastille R_{\text{pastille}} = \frac{d_{\text{pastille}}}{2} = \frac{8{,}19\text{ mm}}{2} = 4{,}095 \times 10^{-3}\text{ m}) :

   \begin{aligned} p_v &= \frac{P_L}{\pi R_{\text{pastille}}^2} \\ p_v &= \frac{470 \times 10^2\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}}{\pi \times (4{,}095 \times 10^{-3}\text{ m})^2} \approx 8{,}92 \times 10^8\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}
   \boxed{p_v \approx 8{,}9 \times 10^8\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} = 890\text{ W}\cdot\text{cm}^{-3}}

2. Puissance volumique moyenne rapportée au volume total du crayon (en assimilant le crayon à un cylindre plein homogène de rayon R_{\text{crayon}} = \frac{9{,}5\text{ mm}}{2} = 4{,}75 \times 10^{-3}\text{ m}, comme posé dans la modélisation du II.B.1) :

   \begin{aligned} p_v &= \frac{P_L}{\pi R_{\text{crayon}}^2} = \frac{2\,j(R_{\text{crayon}})}{R_{\text{crayon}}} \\ p_v &= \frac{2 \times 1{,}57 \times 10^6\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}}{4{,}75 \times 10^{-3}\text{ m}} \approx 6{,}61 \times 10^8\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}
   \boxed{p_v \approx 6{,}6 \times 10^8\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} = 660\text{ W}\cdot\text{cm}^{-3}}

1. Définition plausible de la puissance linéique

La puissance linéique, notée P_L, est la puissance thermique produite par unité de longueur d'un crayon de combustible :

Pour une section circulaire de rayon R présentant un dégagement de chaleur volumique uniforme p_v, on a :

En régime stationnaire, la puissance dégagée dans une tranche de cylindre de hauteur \Delta z est intégralement évacuée par sa surface latérale S_{\text{lat}} = 2\pi R\,\Delta z. La conservation de l'énergie impose :

où D = 2R est le diamètre externe du crayon.

2. Confirmation numérique par ordre de grandeur

D'après le tableau du document réponse :

• Diamètre d'un crayon : D = 9{,}5\text{ mm} = 0{,}95\text{ cm} ;
• Densité de courant thermique nominale : j(R) = 157\text{ W}\cdot\text{cm}^{-2}.

Calculons la puissance linéique correspondante :

Cette valeur coïncide parfaitement avec la valeur nominale fournie : P_L = 470\text{ W}\cdot\text{cm}^{-1}. La définition est donc pleinement confirmée.

3. Justification d'une puissance linéique maximale

D'après le profil de température établi en Q17 et Q18 :

On remarque que l'écart de température entre le cœur et la périphérie du combustible ne dépend pas du rayon R du crayon, mais uniquement de la puissance linéique P_L et de la conductivité thermique \lambda_{\mathrm{th}}.

Cette propriété implique une puissance linéique maximale pour plusieurs raisons :

• Non-fusion du combustible au cœur : la température à l'axe ne doit jamais atteindre la température de fusion du dioxyde d'uranium (T_{\text{fus}} = 2865\text{ }^\circ\text{C}). Pour T(R) \approx 350\text{ }^\circ\text{C} et une conductivité effective à haute température \lambda_{\mathrm{th}} \approx 2{,}5\text{ à }3\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, l'écart maximal admissible \Delta T \approx 2500\text{ K} impose :

  P_{L,\max} \sim 4\pi\lambda_{\mathrm{th}}\,\Delta T \approx 4\pi \times 2{,}5 \times 2500 \approx 78\,000\text{ W}\cdot\text{m}^{-1} \sim 600\text{ à }800\text{ W}\cdot\text{cm}^{-1}

  ce qui correspond bien à l'ordre de grandeur de la valeur seuil du tableau (590\text{ W}\cdot\text{cm}^{-1}). La fusion de l'\mathrm{UO}_2 entraînerait une perte de géométrie du cœur et une libération massive de produits de fission volatils.

• Intégrité de la gaine et risque de caléfaction (crise d'ébullition) : un flux thermique j(R) excessif entraîne la formation d'un film continu de vapeur isolant autour de la gaine (phénomène de caléfaction). Le coefficient d'échange thermique chute alors brutalement, provoquant une surchauffe immédiate de la gaine en alliage de zirconium et sa destruction.

D'après l'expression du profil de température retenu (Profil 4) :

Au centre du crayon (r = 0), la température s'écrit :

D'après les résultats des questions Q18 et Q20, le terme K R^2 s'exprime directement à l'aide de la puissance linéique P_L :

Il vient ainsi :

Application numérique : D'après le tableau des données :

• Température au voisinage des crayons : T(R) = 332\text{ }^\circ\text{C} (soit 605\text{ K}) ;
• Puissance linéique en fonctionnement nominal : P_L = 470\text{ W}\cdot\text{cm}^{-1} = 4{,}70 \times 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1} ;
• Conductivité thermique moyenne : \lambda_{\mathrm{th}} = 5{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

L'écart de température entre le cœur et la périphérie vaut :

On en déduit la température au cœur du crayon :

Commentaires :

• Marge de sécurité thermique : La température de fusion de l'\mathrm{UO}_2 est donnée à T_{\text{f}} = 2865\text{ }^\circ\text{C}. La température calculée au cœur (1080\text{ }^\circ\text{C}) reste très nettement inférieure à cette limite, assurant l'intégrité physique du combustible en fonctionnement nominal.
• Gradient thermique colossal : Une élévation de près de 750\text{ }^\circ\text{C} sur un rayon d'à peine 4\text{ mm} représente un gradient thermique moyen de l'ordre de 2 \times 10^5\text{ K}\cdot\text{m}^{-1}, source de très fortes contraintes thermo-mécaniques dans le matériau céramique.
• Limites du modèle : L'hypothèse T(R) = T_{\text{eau}} sous-estime la température réelle à la surface de l'\mathrm{UO}_2, car elle néglige la résistance thermique de convection eau/gaine, la conduction à travers la gaine en alliage de zirconium et le jeu gazéifié pastille-gaine (point abordé dans la sous-partie II.B.2).

La température en r = R ne peut pas être rigoureusement égale à la température moyenne de l'eau du circuit primaire (T_{\text{eau}} = 332\text{ }^\circ\text{C}) pour deux raisons physiques majeures :

1. Résistance thermique de convection à l'interface crayon/fluide :
   L'évacuation de la puissance thermique vers l'eau s'effectue par convection forcée. D'après la loi de Newton, la densité de flux thermique surfacique s'écrit :

   j = h\,(T_{\text{paroi}} - T_{\text{eau}})

   où h est le coefficient de transfert convectif. Comme la densité de courant thermique en périphérie est particulièrement intense (j(R) = 157\text{ W}\cdot\text{cm}^{-2} = 1{,}57 \times 10^6\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}), le maintien de ce flux requiert un gradient de température non nul au sein de la couche limite thermique, soit :

   T_{\text{paroi}} > T_{\text{eau}}

2. Présence de la gaine et du jeu pastille-gaine :
   Le combustible nucléaire n'est pas directement au contact de l'eau du circuit primaire :

   • il est confiné dans une gaine métallique étanche d'épaisseur e = 0{,}57\text{ mm} (généralement en zircaloy) présentant une résistance thermique conductive ;
   • il existe un interstice résiduel (jeu pastille-gaine, initialement rempli d'hélium) entre la pastille d'oxyde (D_{\text{pastille}} = 8{,}19\text{ mm}) et la gaine (D_{\text{crayon}} - 2e = 8{,}36\text{ mm}), qui oppose une résistance thermique de contact notable.

Le flux thermique étant orienté du centre vers l'extérieur, la somme de ces résistances thermiques en série impose :

1. Modélisation du transfert thermique radial

En régime stationnaire, la puissance thermique linéique P_L = 470\text{ W}\cdot\text{cm}^{-1} = 4{,}7 \times 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1} produite dans la pastille traverse successivement en direction radiale :

• la pastille de combustible de rayon R_p = \frac{8{,}19\text{ mm}}{2} \approx 4{,}10\text{ mm} ;
• un jeu annulaire pastille-gaine rempli de gaz sous pression (hélium) d'épaisseur e_{\mathrm{jeu}} = R_{g,\mathrm{int}} - R_p \approx 80\ \mu\text{m} ;
• la gaine métallique (alliage de zirconium, Zircaloy) de rayon intérieur R_{g,\mathrm{int}} \approx 4{,}18\text{ mm} et extérieur R_{\mathrm{ext}} = \frac{9{,}5\text{ mm}}{2} = 4{,}75\text{ mm} (épaisseur e_g = 0{,}57\text{ mm}) ;
• la couche limite convective entre la surface externe du crayon et l'eau sous pression du circuit primaire (T_{\mathrm{eau}} = 332\text{ }^\circ\text{C}).

Le flux thermique linéique P_L se conserve à travers toutes les couches situées au-delà de la pastille combustible.

2. Évaluation des différents écarts de température

1. Convection dans l'eau du circuit primaire :
   D'après la loi de Newton, la densité de flux en périphérie vaut j(R_{\mathrm{ext}}) = h\,(T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{eau}}). L'eau pressurisée à 155\text{ bar} circule à grande vitesse (v \sim 5\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) en régime turbulent hautement efficace, pour lequel l'ordre de grandeur usuel du coefficient d'échange est h \sim 2 \text{ à } 4 \times 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}. En retenant h \approx 3 \times 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} avec j(R_{\mathrm{ext}}) = 157\text{ W}\cdot\text{cm}^{-2} = 1{,}57 \times 10^6\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

   \Delta T_{\mathrm{conv}} = T_{\mathrm{ext}} - T_{\mathrm{eau}} = \frac{j(R_{\mathrm{ext}})}{h} \approx \frac{1{,}57 \times 10^6}{3 \times 10^4} \approx 50\text{ K}.

2. Conduction à travers la gaine :
   Comme e_g \ll R_{\mathrm{ext}}, la conduction dans la gaine d'épaisseur e_g = 0{,}57\text{ mm} et de conductivité thermique \lambda_g \approx 15 \text{ à } 20\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} (alliage métallique de zirconium) induit un écart :

   \Delta T_{\mathrm{gaine}} \approx j(R_{\mathrm{ext}}) \frac{e_g}{\lambda_g} \approx 1{,}57 \times 10^6 \times \frac{0{,}57 \times 10^{-3}}{18} \approx 50\text{ K}.

3. Transfert à travers le jeu pastille-gaine :
   Le jeu d'hélium introduit une résistance thermique de contact caractérisée par une conductance d'interface h_{\mathrm{jeu}} \approx \frac{\lambda_{\mathrm{He}}}{e_{\mathrm{jeu}}} \approx 5 \text{ à } 10 \times 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1} (compte tenu du contact partiel par dilatation thermique). Le saut de température associé est de l'ordre de :

   \Delta T_{\mathrm{jeu}} \approx \frac{j(R_p)}{h_{\mathrm{jeu}}} \approx 100 \text{ à } 200\text{ K} \quad (\text{on prendra } \approx 150\text{ K}).

4. Conduction interne au combustible :
   D'après le résultat de la question Q20, l'échauffement interne de la pastille s'écrit :

   \Delta T_{\mathrm{comb}} = T(0) - T(R_p) = \frac{P_L}{4\pi \lambda_{\mathrm{th}}} \approx \frac{4{,}7 \times 10^4}{4\pi \times 5{,}0} \approx 748\text{ K}.

3. Température résultante au centre

En sommant l'ensemble de ces contributions :

Si l'on néglige le jeu (cas d'un contact intime pastille-gaine sous forte irradiation), on trouve une borne inférieure d'environ 1180\text{ }^\circ\text{C} (1450\text{ K}).

D'après les questions précédentes (Q21 et Q23), la température dans le crayon varie typiquement entre :

1. Évolution de la conductivité thermique sur cette plage La figure 6 montre que dans cet intervalle de température, la conductivité thermique du dioxyde d'uranium est une fonction strictement décroissante de la température :

• à la périphérie (T \approx 600\text{ K}), \lambda_{\mathrm{th}} \approx 7\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} ;
• au cœur (T \approx 1500\text{ K}), \lambda_{\mathrm{th}} \approx 2{,}5\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

La conductivité moyenne réelle sur cette plage est de l'ordre de 3{,}5 à 4\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, valeur nettement inférieure à la valeur moyenne forfaitaire de 5{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} retenue jusqu'ici.

2. Conséquence sur le gradient thermique et le profil En régime stationnaire, la conservation de l'énergie impose la densité de flux thermique à travers le cylindre de rayon r :

D'après la loi de Fourier, le gradient radial de température s'écrit :

• Au voisinage du centre (r \to 0) : la température est maximale, donc la conductivité \lambda_{\mathrm{th}}(T) est minimale (\approx 2{,}5\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}). Pour évacuer le même flux thermique, le gradient de température doit être plus abrupt que dans le modèle à conductivité constante.
• Au voisinage de la périphérie (r \to R) : la température est plus basse, donc \lambda_{\mathrm{th}}(T) \approx 7\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > 5\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}. Le gradient thermique y est donc plus faible que dans le modèle parabolique.

Le profil de température n'est plus une parabole simple : il est plus « pointu » (plus resserré vers le haut) au centre et s'adoucit vers le bord.

3. Conséquence sur la température au cœur En intégrant la relation de conduction entre r=0 et r=R :

La puissance linéique P_L étant imposée par le fonctionnement du réacteur, l'intégrale \int_{T(R)}^{T(0)} \lambda_{\mathrm{th}}(T)\,\mathrm{d}T est fixée. Comme \lambda_{\mathrm{th}}(T) est plus faible que la constante 5{,}0\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} sur la majeure partie de la zone centrale, l'intervalle d'intégration T(0) - T(R) doit être plus grand pour que l'intégrale atteigne la valeur requise.

Considérons le système fermé \Sigma défini de la façon suivante :

• à l'instant t, \Sigma(t) = \Sigma_0 \cup \delta m_{\text{e}}, où \Sigma_0 est le volume fixe de l'élément et \delta m_{\text{e}} la masse de fluide qui va y pénétrer pendant la durée \mathrm{d}t ;
• à l'instant t + \mathrm{d}t, \Sigma(t + \mathrm{d}t) = \Sigma_0 \cup \delta m_{\text{s}}, où \delta m_{\text{s}} est la masse de fluide sortie pendant \mathrm{d}t.

Le régime étant stationnaire, la masse totale contenue dans \Sigma_0 est constante, d'où la conservation de la masse :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au système fermé \Sigma entre t et t+\mathrm{d}t. En négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle de pesanteur macroscopiques devant les variations d'énergie interne, le bilan s'écrit :

1. Variation d'énergie interne :

En régime stationnaire, l'état thermodynamique de \Sigma_0 ne dépend pas du temps, donc U_{\Sigma_0}(t+\mathrm{d}t) = U_{\Sigma_0}(t). Il reste :

où u_{\text{e}} et u_{\text{s}} désignent respectivement l'énergie interne massique du fluide en entrée et en sortie.

2. Travail et transferts thermiques reçus :

• Le transfert thermique reçu par le fluide pendant \mathrm{d}t est : \delta Q = P_{\text{th}}\,\mathrm{d}t.
• Le travail des forces autres que pressantes (arbres en rotation, parties mobiles) est : \delta W_{\text{u}} = P_{\text{u}}\,\mathrm{d}t.

• Le travail des forces de pression extérieures exercées sur les frontières mobiles du système fermé (travail de transvasement) comprend :

  • à l'entrée, le fluide amont pousse la masse \delta m de volume \delta V_{\text{e}} = v_{\text{e}}\,\delta m : \delta W_{P,\text{e}} = + P_{\text{e}}\,\delta V_{\text{e}} = P_{\text{e}} v_{\text{e}}\,\delta m ;
  • à la sortie, le fluide aval résiste à l'évacuation de la masse \delta m de volume \delta V_{\text{s}} = v_{\text{s}}\,\delta m : \delta W_{P,\text{s}} = - P_{\text{s}}\,\delta V_{\text{s}} = - P_{\text{s}} v_{\text{s}}\,\delta m.

Les parois de l'élément étant indéformables, les forces de pression sur ces parois ne travaillent pas. On a donc :

3. Bilan d'enthalpie : En réinjectant ces expressions dans le premier principe :

En introduisant l'enthalpie massique h = u + Pv et le débit massique R = \frac{\delta m}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Les caractéristiques thermodynamiques de chaque état se déduisent des données du sujet :

• État A : sortie du générateur de vapeur, vapeur saturante sèche à P_A = 70\text{ bar} (x_A = 1).
  D'après les données de saturation, T_A = 286\text{ }^\circ\text{C} et s_A = s_{\text{v}}(70\text{ bar}) = 5{,}81\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point A est sur la courbe de rosée (x=1).

• État B : sortie de la turbine haute pression (HP), mélange diphasique à P_B = 11\text{ bar} de titre x_B = 0{,}90.
  La température est la température de saturation T_B = 184\text{ }^\circ\text{C}, et l'entropie vaut :

  s_B = (1 - x_B)s_{\ell}(11\text{ bar}) + x_B s_{\text{v}}(11\text{ bar}) = 0{,}10 \times 2{,}18 + 0{,}90 \times 6{,}55 = 6{,}11\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

  Le point B est sous la cloche, sur le palier à 184\text{ }^\circ\text{C} à l'intersection avec la courbe x = 0{,}90.

• État C : sortie liquide du séparateur gravitaire, liquide saturant à P_C = 11\text{ bar} (x_C = 0).
  T_C = 184\text{ }^\circ\text{C} et s_C = s_{\ell}(11\text{ bar}) = 2{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point C est sur la courbe d'ébullition (x=0).
• État D : entrée du générateur de vapeur, liquide comprimé sous P_D = 70\text{ bar} à T_D = 76\text{ }^\circ\text{C}.
  L'eau liquide étant très peu compressible, l'état se situe quasiment sur la courbe limite liquide (x=0) à l'ordonnée T = 76\text{ }^\circ\text{C} (s_D \approx 1{,}0\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• État E : sortie vapeur du séparateur, vapeur saturante sèche à P_E = 11\text{ bar} (x_E = 1).
  T_E = 184\text{ }^\circ\text{C} et s_E = s_{\text{v}}(11\text{ bar}) = 6{,}55\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point E est sur la courbe de rosée (x=1).
• État F : sortie du surchauffeur, vapeur surchauffée à P_F = 11\text{ bar} et T_F = 250\text{ }^\circ\text{C} (ou 281\text{ }^\circ\text{C} selon le schéma de la figure 7).
  Comme T_F > T_{\text{sat}}(11\text{ bar}) = 184\text{ }^\circ\text{C}, le point F est situé hors de la cloche, à droite, à l'intersection de l'isobare 11\text{ bar} et de l'isotherme T_F.

• État G : sortie de la turbine basse pression (BP), mélange diphasique à P_G = 0{,}05\text{ bar} de titre x_G = 0{,}88.
  La température est T_G = 33{,}0\text{ }^\circ\text{C}, et l'entropie vaut :

  s_G = (1 - x_G)s_{\ell}(0{,}05\text{ bar}) + x_G s_{\text{v}}(0{,}05\text{ bar}) = 0{,}12 \times 0{,}476 + 0{,}88 \times 8{,}39 = 7{,}44\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

  Le point G est sous la cloche, sur le palier à 33\text{ }^\circ\text{C} à l'intersection avec la courbe x = 0{,}88.

• État H : sortie du condenseur, liquide saturant à P_H = 0{,}05\text{ bar} (x_H = 0).
  T_H = 33{,}0\text{ }^\circ\text{C} et s_H = s_{\ell}(0{,}05\text{ bar}) = 0{,}476\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point H est sur la courbe d'ébullition (x=0).
• État I : sortie de condensation du surchauffeur, liquide saturant à P_I = 70\text{ bar} (x_I = 0).
  T_I = 286\text{ }^\circ\text{C} et s_I = s_{\ell}(70\text{ bar}) = 3{,}12\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point I est sur la courbe d'ébullition (x=0).

L'état (F) est une vapeur surchauffée (vapeur sèche) sous une pression P = 11\text{ bar}.

Cas T_F = 281\ ^\circ\text{C} (texte p. 6 et figure 7) : Sur le diagramme (T, s), on se place à l'ordonnée T_F = 281\ ^\circ\text{C} et sur l'isobare P \approx 11\text{ bar} (légèrement au-dessus de l'isobare 10\text{ bar}). Le point représentatif se situe pratiquement sur la courbe isenthalpique h = 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. On lit :

Cas T_F = 250\ ^\circ\text{C} (données du tableau p. 11) : Si l'on utilise la valeur T_F = 250\ ^\circ\text{C} issue du tableau des caractéristiques du circuit secondaire, l'intersection de l'isotherme 250\ ^\circ\text{C} et de l'isobare 11\text{ bar} se situe entre les isenthalpes 2900\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, aux alentours du tiers supérieur de l'intervalle :

La valeur h_F \approx 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (correspondant à T_F = 281\ ^\circ\text{C}) est généralement privilégiée car elle tombe directement sur une ligne repère graduée du diagramme.

Les états B et G sont des mélanges diphasiques liquide-vapeur situés sous la courbe de saturation, caractérisés chacun par leur pression et leur titre massique en vapeur x.

L'enthalpie massique d'un mélange liquide-vapeur de titre en vapeur x s'exprime sous la forme :

où h_{\ell} et h_v sont respectivement les enthalpies massiques du liquide saturant et de la vapeur saturante sèche à la pression considérée.

1. Enthalpie massique à l'état B :

L'état B est à la pression P_B = 11\text{ bar} avec un titre x_B = 0{,}90. D'après les données fournies pour l'eau à 11\text{ bar} :

• h_{\ell}(11\text{ bar}) = 781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_v(11\text{ bar}) = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On en déduit :

2. Enthalpie massique à l'état G :

L'état G est à la pression P_G = 0{,}05\text{ bar} avec un titre x_G = 0{,}88. D'après les données fournies pour l'eau à 0{,}05\text{ bar} :

• h_{\ell}(0{,}05\text{ bar}) = 137{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_v(0{,}05\text{ bar}) = 2561\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On en déduit :

À l'état D, l'eau se trouve à l'état liquide sous la pression P_D = 70\text{ bar} et à la température T_D = 76\text{ }^\circ\text{C} = 349\text{ K}.
Or, à cette pression de 70\text{ bar}, la température d'ébullition vaut T_{\text{sat}}(70\text{ bar}) = 286\text{ }^\circ\text{C} (donnée du tableau « Sur l'eau »). L'état D correspond donc à un liquide comprimé (ou sous-refroidi), très éloigné des conditions critiques.

Pour une phase condensée (liquide) considérée comme incompressible et indilatable de capacité thermique massique c_{\text{liq}} et de volume massique v_{\text{liq}} \approx 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}, la différentielle de l'enthalpie massique s'écrit :

Plusieurs démarches concordantes permettent d'estimer h_D :

Méthode 1 : Utilisation de la capacité thermique massique usuelle de l'eau liquide Avec la convention usuelle h(0\text{ }^\circ\text{C}, P_{\text{sat}}) \approx 0 et la valeur usuelle c_{\text{liq}} \approx 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

Méthode 2 : Interpolation à partir des tables fournies À l'état liquide saturant sous P_H = 0{,}05\text{ bar}, pour lequel T_{\text{sat}} = 33{,}0\text{ }^\circ\text{C}, les données indiquent h_{\text{liq}} = 137{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. En intégrant entre cet état de référence liquide et l'état D :

Méthode 3 : Lecture sur le diagramme (T,s) Sur le diagramme (T,s) fourni (page 9), en suivant la courbe d'ébullition (x = 0) jusqu'à l'ordonnée T = 76\text{ }^\circ\text{C}, on relève une valeur d'enthalpie située nettement entre 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, voisine de 320\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On retient donc :

1. Relation entre R_0, R_1 et R_3 :

   En régime stationnaire, la conservation du débit massique au nœud de dérivation situé à la sortie du générateur de vapeur (état A) impose que le débit incident R_0 se sépare entre le débit R_1 alimentant la turbine haute pression (HP) et le débit R_3 alimentant le surchauffeur :

   \boxed{R_0 = R_1 + R_3}

2. Relation entre R_2, R_1 et x_B :

   Le mélange diphasique issu de la turbine HP entre dans le séparateur avec un débit total R_1 et un titre massique en vapeur x_B. Ce séparateur sépare physiquement la phase gazeuse (débit R_2 de vapeur saturante en haut, état E) de la phase liquide (débit R_4 de liquide saturant en bas, état C).

   Par définition du titre en vapeur comme rapport du débit massique de vapeur au débit massique total :

   x_B = \frac{R_{\text{vap}}}{R_{\text{tot}}} = \frac{R_2}{R_1}

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{R_2 = x_B R_1}

3. Relation entre R_4, R_1 et x_B :

   Le débit de liquide R_4 correspond à la fraction liquide du fluide entrant :

   1 - x_B = \frac{R_{\text{liq}}}{R_{\text{tot}}} = \frac{R_4}{R_1}

   Ce qui donne directement :

   \boxed{R_4 = (1 - x_B) R_1}

   On vérifie bien la conservation globale de la masse dans le séparateur : R_2 + R_4 = x_B R_1 + (1 - x_B) R_1 = R_1.

Considérons le surchauffeur comme un système ouvert fonctionnant en régime stationnaire. Il comporte deux courants de fluide indépendants qui n'entrent pas en contact direct :

• le fluide chaud (débit R_3) qui entre à l'état A (vapeur saturante à 70\text{ bar}) et ressort entièrement liquéfié à l'état I (liquide saturant à 70\text{ bar}) ;
• le fluide froid (débit R_2) qui entre à l'état E (vapeur saturante à 11\text{ bar}) et ressort à l'état surchauffé F (vapeur à 11\text{ bar} et T_F).

D'après le premier principe généralisé pour un système ouvert à plusieurs entrées et sorties donné dans le préambule de la partie III.A :

Puisque le surchauffeur est dépourvu de pièces mobiles, il ne fournit ni ne reçoit de puissance utile : P_{\mathrm{u}} = 0. De plus, l'échangeur étant supposé parfaitement calorifugé vis-à-vis du milieu extérieur, la puissance thermique échangée avec l'extérieur est nulle : P_{\mathrm{th}} = 0.

Le bilan d'enthalpie s'écrit donc :

ce qui conduit immédiatement à la relation :

ou de manière équivalente :

Les enthalpies massiques mises en jeu sont :

• h_A : enthalpie massique de la vapeur saturante sous 70\text{ bar} (h_A = 2772\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• h_I : enthalpie massique du liquide saturant sous 70\text{ bar} (h_I = 1268\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}), de sorte que h_A - h_I = \Delta h_{\mathrm{vap}}(70\text{ bar}) = 1504\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} représente la chaleur latente de condensation de la vapeur HP ;
• h_E : enthalpie massique de la vapeur saturante sous 11\text{ bar} (h_E = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• h_F : enthalpie massique de la vapeur surchauffée sous 11\text{ bar} déterminée à la question Q27.

D'après les questions Q30 et Q31, le système régissant les débits massiques s'écrit :

En injectant la relation (2) dans le bilan thermique (4), on obtient :

En reportant cette expression dans le bilan global (1), il vient :

d'où l'expression littérale de R_1 :

Les débits restants s'en déduisent immédiatement par :

Application numérique : D'après les tableaux de données :

• R_0 = 640\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• x_B = 0{,}90 ;
• À P = 70\text{ bar} : h_A = 2772\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_I = 1268\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, d'où h_A - h_I = 1504\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• À P = 11\text{ bar} : h_E = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

En adoptant la valeur h_F \approx 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} déterminée à la question Q27 (température T_F = 281\text{ }^\circ\text{C} indiquée sur le schéma et le texte) :

On calcule alors :

Remarque : si l'on prend la température T_F = 250\text{ }^\circ\text{C} du tableau (h_F \approx 2930\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}), on trouve x_B\frac{h_F - h_E}{h_A - h_I} \approx 0{,}089, ce qui conduit à : R_1 \approx 588\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_2 \approx 529\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_3 \approx 52\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et R_4 \approx 59\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

Le second principe de la thermodynamique appliqué à un fluide en écoulement stationnaire à travers un système ouvert à une entrée et une sortie s'écrit :

En raison de la compacité de la machine et des vitesses d'écoulement très élevées (temps de transit très court), les échanges thermiques avec l'extérieur sont négligeables : les détentes dans les turbines sont considérées comme adiabatiques (P_{\mathrm{th}} \approx 0).

Une transformation adiabatique réversible se ferait donc à entropie massique constante (s_{\mathrm{s}} = s_{\mathrm{e}}). Or, d'après les valeurs obtenues à la question Q26 :

• Pour la turbine haute pression (HP) :

  \begin{aligned} s_A &= 5{,}81\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \\ s_B &= 6{,}11\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > s_A \implies s_{\mathrm{cr},\mathrm{HP}} = s_B - s_A = +0{,}30\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > 0 \end{aligned}

• Pour la turbine basse pression (BP) :

  \begin{aligned} s_F &\approx 6{,}95 \text{ à } 7{,}02\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \\ s_G &= 7{,}44\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > s_F \implies s_{\mathrm{cr},\mathrm{BP}} = s_G - s_F > 0 \end{aligned}

Les causes de cette irréversibilité sont :

1. La dissipation visqueuse et les turbulences : les vitesses d'écoulement de la vapeur et les vitesses de rotation des aubages (plusieurs milliers de tours par minute) sont très élevées, engendrant de forts gradients de vitesse, des décollements de couche limite, des tourbillons et des frottements fluides importants.
2. Le caractère diphasique de la vapeur : en fin de détente, le fluide devient une vapeur humide (x_B = 0{,}90 et x_G = 0{,}88). L'apparition de gouttelettes liquides en suspension entraîne des frottements interphasiques supplémentaires et des chocs inélastiques avec les aubes en rotation.

1. Expression du débit du circuit tertiaire

Le condenseur est un échangeur de chaleur diphasique/monophasique parfaitement calorifugé vis-à-vis de l'extérieur, sans parties mobiles (P_{\mathrm{u}} = 0 et P_{\text{th, ext}} = 0).

D'après le schéma de la figure 7, le fluide secondaire traversant le condenseur provient de la turbine basse pression (état G) et en ressort à l'état de liquide saturant (état H). Le débit massique correspondant est donc celui qui traverse la turbine BP, soit :

Le bilan enthalpique global pour les deux fluides traversant le condenseur en régime stationnaire (question Q25) s'écrit :

L'eau du circuit tertiaire (eau de fleuve ou de mer) reste entièrement liquide à une pression voisine de 1\text{ bar} ; la variation d'enthalpie massique s'exprime au moyen de la capacité thermique massique de l'eau liquide c \approx 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

La puissance thermique cédée par la vapeur en condensation est :

Pour que l'élévation de température ne dépasse pas la valeur limite \Delta T_{\max} = 5\,^\circ\text{C} = 5\text{ K}, le débit massique de liquide de refroidissement doit satisfaire à :

2. Estimation numérique et commentaire

À la pression P = 0{,}05\text{ bar}, l'état H est du liquide saturant (h_H = h_{l}(0{,}05\text{ bar}) = 137{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) et l'état G possède un titre en vapeur x_G = 0{,}88 (d'après Q28) :

Avec le débit R_2 \approx 509\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} calculé à la question Q32, la puissance thermique évacuée par un condenseur vaut :

Le débit minimal d'eau tertiaire pour cette boucle s'élève à :

Puisque la masse volumique de l'eau liquide est \rho \approx 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, cela correspond à un débit volumique d'environ 52\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} pour une boucle.

Pour la tranche nucléaire complète (comportant 4 circuits secondaires identiques, soit une puissance thermique totale évacuée au condenseur d'environ 4{,}3\text{ GW}) :

Commentaire sur l'ordre de grandeur : Un tel débit (> 200\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}) est gigantesque : il est du même ordre de grandeur que le débit moyen de la Seine à Paris (\sim 300\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}) ou représente une fraction notable de celui du Rhône (\sim 1700\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}). Cela explique impérativement l'implantation des centrales nucléaires en bord de mer ou le long de fleuves à très grand débit. Pour les centrales installées sur des cours d'eau plus modestes, un circuit ouvert direct est impossible : l'évacuation de la chaleur s'effectue alors vers l'atmosphère au moyen de tours aéroréfrigérantes par évaporation partielle d'eau.

3. Justification d'une limite supérieure d'échauffement

L'élévation de température de l'eau rejetée est strictement encadrée par la réglementation environnementale pour plusieurs raisons écologiques majeures :

• Solubilité du dioxygène : la solubilité des gaz dans l'eau diminue lorsque la température augmente. Un échauffement excessif abaisse la teneur en O_2 dissous, menaçant d'asphyxie la faune piscicole.
• Perturbation de la faune et de la flore : de nombreuses espèces aquatiques (poissons, invertébrés) sont sténothermes ; un choc thermique perturbe leur métabolisme, leur reproduction et leurs routes migratoires.
• Prolifération microbienne et algale : le réchauffement des eaux favorise l'eutrophisation et la prolifération de micro-algues ou de bactéries pathogènes (amibes, légionelles).

1. Définition du rendement

Le fluide du circuit secondaire reçoit de la chaleur au niveau du générateur de vapeur (GV) et fournit du travail mécanique utile au niveau des deux turbines (HP et BP). Le travail nécessaire à la recompression du liquide dans le récupérateur-compresseur étant très faible devant le travail fourni par la vapeur lors des détentes, le rendement thermique du cycle s'écrit :

2. Puissances mises en jeu pour un circuit secondaire

D'après le premier principe pour un écoulement stationnaire sans pertes thermiques au niveau des turbines :

• Puissance thermique reçue par l'eau dans le générateur de vapeur (D \to A) :

  P_{\mathrm{th, GV}} = R_0 \left( h_A - h_D \right)

• Puissance mécanique fournie par la turbine HP (A \to B) :

  P_{\mathrm{HP}} = R_1 \left( h_A - h_B \right)

• Puissance mécanique fournie par la turbine BP (F \to G) :

  P_{\mathrm{BP}} = R_2 \left( h_F - h_G \right)

3. Application numérique

En utilisant les valeurs établies précédemment (R_0 = 640\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_1 \approx 566\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_2 \approx 509\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, h_A = 2772\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_B = 2581\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_D \approx 325\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_F \approx 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_G \approx 2270\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) :

La puissance mécanique totale produite par un circuit vaut donc :

On en déduit le rendement :

(Une valeur de h_F \approx 2930\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} conduirait de même à P_{\mathrm{BP}} \approx 336\text{ MW} et \eta \approx 28\text{ à } 29\%.)

4. Comparaison et cohérence

• Puissance totale du réacteur : avec 4 circuits secondaires identiques, la puissance mécanique totale développée vaut 4 \times 480\text{ MW} \approx 1920\text{ MW}. En tenant compte du rendement des alternateurs (\eta_{\mathrm{alt}} \approx 97\%) et de la consommation des auxiliaires, on retrouve bien une puissance électrique nette délivrée de l'ordre de 1600\text{ MWe}, valeur annoncée pour l'EPR.

• Rendement de Carnot : la source chaude se trouve à la température de changement d'état à 70 bar (T_{\mathrm{c}} = 286\,^\circ\text{C} = 559\text{ K}) et la source froide au condenseur à 0,05 bar (T_{\mathrm{f}} = 33\,^\circ\text{C} = 306\text{ K}). Le rendement maximal théorique associé vaut :

  \eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}} = 1 - \frac{306}{559} \approx 45\%

  Le rendement réel représente environ 70\% de cette borne théorique, ce qui est caractéristique d'une installation industrielle affectée par les irréversibilités de détente et d'échange thermique.

• Comparaison avec d'autres filières :

  • Centrales thermiques au charbon ou fioul supercritiques : \eta \approx 38\text{ à } 42\%, car la vapeur peut y être surchauffée à plus de 550\,^\circ\text{C}.
  • Centrales à cycle combiné gaz (turbine à combustion + cycle à vapeur) : \eta \approx 55\text{ à } 62\%.
  • En centrale nucléaire REP, la température de la vapeur est bornée par la tenue mécanique et la pression admissible de la cuve et des gaines, ce qui limite structurellement le rendement autour de 30\text{ à } 35\%.

1. Démarche et modification des débits

En l'absence de surchauffeur :

• aucun débit de vapeur n'est dérivé à la sortie du générateur de vapeur, d'où R_3 = 0 et le débit traversant la turbine HP devient le débit total :

  R_1' = R_0 = 640\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

• la turbine HP détend ce débit de l'état A à l'état B, fournissant un travail massique inchangé :

  w_{\mathrm{HP}} = h_A - h_B = 2772 - 2581 = 191\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• le séparateur extrait la phase vapeur avec le titre x_B = 0{,}90, soit un débit envoyé à la turbine BP de :

  R_2' = x_B R_0 = 0{,}90 \times 640 = 576\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}
• la vapeur entre alors directement dans la turbine BP à l'état E (vapeur saturante sèche à 11\text{ bar}, T_E = 184^\circ\text{C}, h_E = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, s_E = 6{,}55\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).

2. Estimation du travail de la turbine BP

Considérons une détente isentropique depuis l'état E jusqu'à la pression du condenseur P = 0{,}05\text{ bar} :

Le titre isentropique en fin de détente vaut :

L'enthalpie isentropique correspondante est :

Dans le cycle réel étudié en Q28, la turbine BP possède un rendement isentropique de détente :

En retenant un rendement isentropique similaire (\eta_{\mathrm{is, BP}} \approx 0{,}84) pour la détente depuis E, la variation d'enthalpie réelle est :

3. Bilan de puissance et estimation du rendement

La puissance totale fournie par les turbines sans surchauffeur s'écrit :

La puissance thermique fournie au niveau du générateur de vapeur reste :

Le rendement thermique obtenu sans surchauffeur est donc :

4. Commentaires

• Sur le rendement énergétique : le rendement thermodynamique n'est que très peu affecté (il reste voisin de 31\%). La surchauffe intermédiaire n'a pas pour objectif premier d'augmenter le rendement global de l'installation.

• Sur l'intérêt réel du surchauffeur : en l'absence de surchauffeur, le titre de vapeur en sortie de BP s'effondre :

  h_{G'} = 2781 - 659 = 2122\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \implies x_{G'} = \frac{2122 - 137{,}8}{2561 - 137{,}8} \approx 0{,}82

  Un titre de 82\% correspond à 18\% de liquide sous forme de microgouttelettes. Projetées à des vitesses de plusieurs centaines de mètres par seconde sur les ailettes des derniers étages de la turbine BP, ces gouttelettes provoqueraient une érosion mécanique et une corrosion destructrices. Le rôle indispensable du surchauffeur est d'assécher la vapeur lors de la détente pour maintenir x_G \gtrsim 0{,}88, garantissant ainsi la longévité de la turbine.