Feuille d'entraînement : Cristallographie

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q33

   Dans une maille conventionnelle cubique à faces centrées (CFC), les atomes de plomb occupent :

   • les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes ;
   • les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes.

   Le nombre d'atomes appartenant en propre à la maille (multiplicité) vaut :

   Z = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

   La masse volumique moyenne \rho du plomb s'exprime par le quotient de la masse des atomes de la maille par le volume V = a^3 de celle-ci :

   \rho = \frac{Z\,M(\text{Pb})}{N_A\,a^3}

   Application numérique :

   • Z = 4
   • M(\text{Pb}) = 207{,}2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 0{,}2072\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • N_A = 6{,}0\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}
   • a = 5{,}0\cdot 10^2\text{ pm} = 5{,}0\cdot 10^{-10}\text{ m}

   \begin{aligned} a^3 &= (5{,}0\cdot 10^{-10})^3 = 1{,}25\cdot 10^{-28}\text{ m}^3 \\ \rho &= \frac{4 \times 0{,}2072}{6{,}0\cdot 10^{23} \times 1{,}25\cdot 10^{-28}} = \frac{0{,}8288}{7{,}5\cdot 10^{-5}} \approx 1{,}1\cdot 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}

   Conformément à la consigne demandant un seul chiffre significatif :

   \boxed{\rho = 1\cdot 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 1\cdot 10^1\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$\rho =1\cdot 10^4\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=1\cdot 10^1\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie MP 2024, Q36

   Dénombrons les ions appartenant en propre à la maille :

   • Ions titane \mathrm{Ti}^{4+} (gris clair) :

     • 8 ions situés aux sommets de la maille, partagés chacun par 8 mailles adjacentes :

       8 \times \frac{1}{8} = 1

     • 1 ion situé au centre de la maille, entièrement à l'intérieur :

       1 \times 1 = 1

       Soit au total :

       N(\mathrm{Ti}^{4+}) = 1 + 1 = 2

   • Ions oxyde \mathrm{O}^{2-} (noir) :

     • 4 ions situés sur les faces verticales, partagés chacun par 2 mailles :

       4 \times \frac{1}{2} = 2

     • 2 ions situés à l'intérieur de la maille :

       2 \times 1 = 2

       Soit au total :

       N(\mathrm{O}^{2-}) = 2 + 2 = 4

   On vérifie bien l'électroneutralité globale du cristal :

   2 \times (+4) + 4 \times (-2) = 0

   La maille contient donc 2 ions \mathrm{Ti}^{4+} et 4 ions \mathrm{O}^{2-}, ce qui correspond à :

   \boxed{Z = 2\text{ motifs } \mathrm{TiO}_2}

   Résultat

   $$Z=2\text{ motifs }{\mathrm{TiO}}_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2024, Q15

   1. Représentation de la maille de \mathrm{FeTi}

   D'après le texte, la maille est cubique de paramètre a, avec un atome de titane à chaque sommet et un atome de fer au centre du cube (structure de type \mathrm{CsCl}, réseau cubique centré à deux espèces).

   2. Détermination du paramètre de maille a

   Déterminons la composition d'une maille :

   • Les atomes de titane sont situés aux 8 sommets du cube et sont partagés chacun par 8 mailles :

     N(\mathrm{Ti}) = 8 \times \frac{1}{8} = 1

   • L'atome de fer est situé au centre du cube et appartient en propre à la maille :

     N(\mathrm{Fe}) = 1 \times 1 = 1

   Chaque maille contient donc en propre Z = 1 groupement formulaire \mathrm{FeTi}.

   La masse d'une maille s'écrit :

   m_{\text{maille}} = \frac{M(\mathrm{FeTi})}{N_A} = \frac{M(\mathrm{Fe}) + M(\mathrm{Ti})}{N_A}

   Le volume d'une maille cubique étant V_{\text{maille}} = a^3, la masse volumique théorique \rho_{\mathrm{FeTi}} de l'alliage s'exprime par :

   \rho_{\mathrm{FeTi}} = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{M(\mathrm{Fe}) + M(\mathrm{Ti})}{N_A \, a^3}

   On en déduit l'expression littérale du paramètre de maille :

   a = \left( \frac{M(\mathrm{Fe}) + M(\mathrm{Ti})}{\rho_{\mathrm{FeTi}} \, N_A} \right)^{1/3}

   Application numérique :

   • M(\mathrm{Fe}) = 55{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • M(\mathrm{Ti}) = 47{,}9 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • M(\mathrm{FeTi}) = 103{,}7 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • \rho_{\mathrm{FeTi}} = 6{,}35 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
   • N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}

   \begin{aligned} a^3 &= \frac{103{,}7 \times 10^{-3}}{6{,}35 \times 10^3 \times 6{,}02 \times 10^{23}} = 2{,}713 \times 10^{-29}\text{ m}^3 \\ a &= \left(27{,}13 \times 10^{-30}\right)^{1/3}\text{ m} \approx 3{,}005 \times 10^{-10}\text{ m} \end{aligned}

   \boxed{a \approx 3{,}01 \times 10^{-10}\text{ m} = 301\text{ pm} = 0{,}301\text{ nm}}

   Résultat

   $$a\approx 3,01\times 10^{-10}\text{ m}=301\text{ pm}=0,301\text{ nm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2023, Q18

   D'après la figure 5 et les données du texte, la maille conventionnelle du rutile est un prisme droit à base carrée (réseau quadratique de paramètres de maille a = b = 459{,}4\text{ pm} et c = 295{,}9\text{ pm}).

   • Population en atomes de titane \text{Ti} (sphères claires) :

     • 8 atomes situés aux sommets de la maille, partagés chacun entre 8 mailles : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ;
     • 1 atome situé au centre de la maille, n'appartenant qu'à cette maille : 1 \times 1 = 1.

     Le nombre d'atomes de titane par maille est donc :

     N(\text{Ti}) = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2

   • Population en atomes d'oxygène \text{O} (sphères foncées) :

     • 2 atomes situés entièrement à l'intérieur de la maille (dans le plan z = c/2) : 2 \times 1 = 2 ;
     • 4 atomes situés sur les faces de la maille, partagés chacun entre 2 mailles : 4 \times \dfrac{1}{2} = 2.

     Le nombre d'atomes d'oxygène par maille est donc :

     N(\text{O}) = 2 \times 1 + 4 \times \frac{1}{2} = 4

   La population globale de la maille est donc de :

   \boxed{N(\text{Ti}) = 2 \quad \text{et} \quad N(\text{O}) = 4}

   Cohérence avec la formule statistique : Le rapport des populations vérifie :

   \frac{N(\text{O})}{N(\text{Ti})} = \frac{4}{2} = 2

   La maille contient donc Z = 2 groupements formulaires \text{TiO}_2, ce qui est parfaitement cohérent avec la stœchiométrie du dioxyde de titane.

   Résultat

   $$N(\text{Ti})=2\text{et}N(\text{O})=4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2023, Q19

   La masse volumique \rho du dioxyde de titane s'exprime par le rapport de la masse contenue dans la maille conventionnelle sur le volume de celle-ci :

   \rho = \frac{m_{\text{maille}}}{V}

   1. Volume de la maille : D'après la figure 5, la maille est un pavé droit à base carrée d'arêtes a = b = 459{,}4\text{ pm} et c = 295{,}9\text{ pm}, son volume vaut donc :

      V = a^2 c

   2. Masse de la maille : D'après la question Q18, la maille contient Z = 2 motifs formulaires \mathrm{TiO}_2. La masse molaire du dioxyde de titane est :

      M(\mathrm{TiO}_2) = M(\mathrm{Ti}) + 2 M(\mathrm{O}) = 47{,}9 + 2 \times 16{,}0 = 79{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

      La masse contenue dans la maille s'écrit alors :

      m_{\text{maille}} = \frac{Z \, M(\mathrm{TiO}_2)}{\mathcal{N}_A}

   On en déduit l'expression littérale de la masse volumique :

   \rho = \frac{Z \, M(\mathrm{TiO}_2)}{\mathcal{N}_A \, a^2 c}

   Application numérique :

   • Z = 2
   • M(\mathrm{TiO}_2) = 79{,}9 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}
   • a = 459{,}4 \times 10^{-12}\text{ m}
   • c = 295{,}9 \times 10^{-12}\text{ m}

   Le volume de la maille est :

   V = (459{,}4 \times 10^{-12})^2 \times (295{,}9 \times 10^{-12}) \approx 6{,}245 \times 10^{-29}\text{ m}^3

   d'où :

   \rho = \frac{2 \times 79{,}9 \times 10^{-3}}{6{,}02 \times 10^{23} \times 6{,}245 \times 10^{-29}} \approx 4{,}25 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

   \boxed{\rho = 4{,}25 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 4{,}25\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$\rho =4,25\times 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=4,25\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2023, Q26

   1. Représentation de la maille CFC

   Dans le réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes de nickel occupent :

   • les 8 sommets du cube ;
   • les centres des 6 faces du cube.

   2. Nombre d'atomes par maille

   Chaque atome contribue à la maille selon sa multiplicité :

   • un atome situé sur un sommet est partagé par 8 mailles cubiques adjacentes, sa contribution est donc de \frac{1}{8} ;
   • un atome situé au centre d'une face est partagé par 2 mailles adjacentes, sa contribution est donc de \frac{1}{2}.

   Le nombre d'atomes appartenant en propre à une maille, noté N, vaut :

   N = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

   \boxed{N = 4\text{ atomes par maille}}

   3. Coordinence

   La coordinence désigne le nombre de plus proches voisins au contact d'un atome donné dans le réseau cristallin.

   Considérons un atome situé au centre d'une face :

   • ses plus proches voisins sont situés à la demi-diagonale d'une face, soit à la distance d = \frac{a\sqrt{2}}{2} ;
   • dans le plan de sa propre face, il est entouré de 4 sommets ;
   • dans sa propre maille, il est à égale distance des 4 centres des faces qui lui sont perpendiculaires ;
   • dans la maille adjacente partageant cette même face, il est également à égale distance des 4 centres de faces correspondants.

   Le nombre total de plus proches voisins est donc :

   4 + 4 + 4 = 12

   \boxed{\text{Coordinence} = 12}

   Résultat

   $$N=4\text{ atomes par maille}$$

   $$\text{Coordinence}=12$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MP 2023, Q27

   Dans le modèle des sphères dures, les atomes modélisés par des sphères indéformables de rayon R_{\mathrm{Ni}} sont au contact le long de la direction joignant les premiers voisins. Pour une maille cubique à faces centrées, cette condition de tangence s'établit le long des diagonales de chaque face carrée.

   Considérons une face du cube d'arête a :

   • d'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'une face mesure :

     d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}

   • le long de cette diagonale, l'atome situé au centre de la face est en contact direct avec les atomes situés aux sommets opposés. La longueur de la diagonale correspond donc à la somme d'un rayon atomique (sommet), d'un diamètre atomique (centre de la face) et d'un rayon atomique (sommet opposé) :

     d = R_{\mathrm{Ni}} + 2R_{\mathrm{Ni}} + R_{\mathrm{Ni}} = 4R_{\mathrm{Ni}}

   En égalant les deux expressions de la longueur d, on obtient la condition de tangence :

   a\sqrt{2} = 4R_{\mathrm{Ni}}

   d'où la relation liant a et R_{\mathrm{Ni}} :

   \boxed{a = 2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Ni}} \quad \Longleftrightarrow \quad R_{\mathrm{Ni}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}}

   Résultat

   $$a=2\sqrt{2}{R}_{\mathrm{Ni}}⟺R_{\mathrm{Ni}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie MP 2023, Q37

   La masse volumique \rho du nickel cristallisé s'exprime comme le rapport de la masse du contenu d'une maille élémentaire sur le volume de celle-ci :

   \rho = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{N \, m_{\text{atome}}}{a^3} = \frac{N \, M_{\mathrm{Ni}}}{\mathcal{N}_A \, a^3}

   avec N = 4 atomes par maille pour le réseau CFC (établi à la question Q26).

   On en déduit l'expression du paramètre de maille :

   a = \left( \frac{N \, M_{\mathrm{Ni}}}{\rho \, \mathcal{N}_A} \right)^{1/3}

   Application numérique :

   • N = 4
   • M_{\mathrm{Ni}} = 58{,}7\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 58{,}7\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • \rho = 8{,}90\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 8{,}90\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}
   • \mathcal{N}_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}

   \begin{aligned} a^3 &= \frac{4 \times 58{,}7\cdot 10^{-3}}{8{,}90\cdot 10^3 \times 6{,}02\cdot 10^{23}} \approx 4{,}382\cdot 10^{-29}\text{ m}^3 = 43{,}82\cdot 10^{-30}\text{ m}^3 \\ a &\approx 3{,}526\cdot 10^{-10}\text{ m} \end{aligned}

   \boxed{a = 0{,}353\text{ nm} = 3{,}53\cdot 10^{-10}\text{ m}}

   Comparaison avec la mesure optique : La valeur déduite de la diffraction des rayons X à la question Q35 était également :

   a_{\text{opt}} \approx 0{,}353\text{ nm}

   L'écart relatif entre les deux déterminations est inférieur à 0{,}3\,\%, ce qui témoigne d'un excellent accord entre la mesure macroscopique de masse volumique et la sonde structurale microscopique par rayons X.

   Résultat

   $$a=0,353\text{ nm}=3,53\cdot 10^{-10}\text{ m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie MP 2022, Q33

   Dans une maille conventionnelle cubique centrée (CC), les atomes de fer sont situés :

   • aux 8 sommets de la maille, chacun étant partagé par 8 mailles élémentaires : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 atome ;
   • au centre de la maille, appartenant entièrement à celle-ci : 1 \times 1 = 1 atome.

   Le nombre d'atomes de fer appartenant en propre à la maille (population de la maille) est donc :

   N = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2

   La masse contenue dans une maille s'écrit :

   m_{\text{maille}} = \frac{N\,M(\text{Fe})}{N_{\text{A}}}

   Le volume de la maille cubique de paramètre a est :

   V_{\text{maille}} = a^3

   La masse volumique \rho du fer s'exprime donc par le rapport :

   \boxed{\rho = \frac{N\,M(\text{Fe})}{N_{\text{A}}\,a^3}}

   Application numérique : Avec les données fournies :

   • N = 2 ;
   • M(\text{Fe}) = 55{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 55{,}8 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
   • N_{\text{A}} = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
   • a = 3 \cdot 10^2\text{ pm} = 3 \cdot 10^{-10}\text{ m}, d'où a^3 = 27 \cdot 10^{-30}\text{ m}^3.

   On évalue le calcul sans calculatrice :

   \begin{aligned} \rho &= \frac{2 \times 55{,}8 \cdot 10^{-3}}{6{,}02 \cdot 10^{23} \times 27 \cdot 10^{-30}} \\ &= \frac{111{,}6 \cdot 10^{-3}}{162{,}5 \cdot 10^{-7}} \\ &\simeq \frac{112}{163} \cdot 10^4 \simeq 0{,}69 \cdot 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}

   \boxed{\rho \simeq 6{,}9 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 6{,}9\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$\rho =\frac{NM(\text{Fe})}{N_{\text{A}}{a}^3}$$

   $$\rho \simeq 6,9\cdot 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=6,9\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q3

    Dénombrons les entités en propre dans la maille cubique pour chacune des deux structures :

    Structure A :

    • Sphères bleues : situées aux 8 sommets (comptant pour 1/8) et aux centres des 6 faces (comptant pour 1/2) :

      N_{\text{bleu}} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

    • Sphères rouges : situées au centre des 8 sous-cubes (les 8 sites tétraédriques), elles sont entièrement intérieures à la maille :

      N_{\text{rouge}} = 8 \times 1 = 8

    Structure B :

    • Sphères bleues : de même, réseau cubique à faces centrées :

      N_{\text{bleu}} = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4

    • Sphères rouges : occupant la moitié des sites tétraédriques (4 sous-cubes sur 8) :

      N_{\text{rouge}} = 4 \times 1 = 4

    L'électroneutralité du cristal \mathrm{Pu}_x\mathrm{O}_y impose :

    x \times (+4) + y \times (-2) = 0 \implies y = 2x

    Le rapport stœchiométrique doit être \dfrac{n(\mathrm{O}^{2-})}{n(\mathrm{Pu}^{4+})} = 2.

    • Dans la structure A, le rapport \dfrac{N_{\text{rouge}}}{N_{\text{bleu}}} = \dfrac{8}{4} = 2 correspond parfaitement au solide ionique en identifiant les sphères bleues aux cations \mathrm{Pu}^{4+} et les sphères rouges aux anions \mathrm{O}^{2-}.
    • Dans la structure B, le rapport \dfrac{N_{\text{rouge}}}{N_{\text{bleu}}} = \dfrac{4}{4} = 1 conduirait à la formule \mathrm{PuO}, incompatible avec le degré d'oxydation +\text{IV} du plutonium.

    Seule la structure A est donc possible.

    La formule de cet oxyde est \mathrm{PuO}_2 (dioxyde de plutonium), et le nombre de motifs par maille est :

    \boxed{Z = 4}

    Résultat

    $$Z=4$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question