Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2022

La force \vec{f} = -\lambda \vec{v} modélise un phénomène de frottement fluide linéaire (résistance de l'air à faible vitesse, ou amortissement visqueux).

La puissance mécanique développée par cette force lors du mouvement de la masselotte s'écrit :

Une force de frottement est par nature dissipative : elle évacue l'énergie mécanique du système sous forme d'énergie thermique (et ici, sous forme d'ondes sonores rayonnées dans le fluide). Sa puissance doit donc être négative ou nulle pour tout mouvement non nul (\mathcal{P}(\vec{f}) \leqslant 0).

Puisque \|\vec{v}\|^2 > 0 dès que la masselotte est en mouvement, le second principe de la thermodynamique (caractère dissipatif du frottement) impose :

On étudie la masselotte de masse m, assimilée à un point matériel, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le mouvement s'effectue le long de l'axe horizontal dirigé par le vecteur unitaire \vec{u}_z.

La position de la masselotte est repérée par son écart à la longueur à vide z(t) = \ell(t) - \ell_0. Sa vitesse et son accélération s'écrivent :

Pour t > 0, la masselotte est soumise aux forces suivantes :

• son poids et la réaction normale du support, portés par la verticale, qui se compensent ;

• la force de rappel élastique du ressort :

  \vec{F}_{\text{él}} = -k(\ell(t) - \ell_0)\,\vec{u}_z = -k\,z(t)\,\vec{u}_z

• la force de frottement fluide linéaire :

  \vec{f} = -\lambda\,\vec{v} = -\lambda\,\dot{z}(t)\,\vec{u}_z

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masselotte et en projetant sur l'axe (Oz), on obtient :

D'où l'équation différentielle régissant le mouvement pour t > 0 :

D'après la question Q2, l'équation différentielle régissant l'évolution de la position z(t) pour t > 0 s'écrit :

Par identification avec la forme canonique d'un oscillateur harmonique à un degré de liberté amorti :

on obtient la pulsation propre \omega_0 :

La fréquence propre f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} vaut ainsi :

L'identification du terme d'ordre 1 en \dot{z} donne :

soit pour le facteur de qualité :

D'après la question Q2, l'équation différentielle vérifiée par z(t) pour t > 0 s'écrit :

L'équation caractéristique associée est :

Son discriminant s'exprime par :

Puisque le régime est pseudo-oscillatoire, ce discriminant est strictement négatif (\Delta < 0). L'équation caractéristique admet donc deux racines complexes conjuguées :

La solution générale de l'équation différentielle s'écrit sous la forme :

ou de manière équivalente, avec une amplitude et un déphasage :

où A et B (ou z_{\max} et \varphi) sont des constantes d'intégration réelles fixées par les conditions initiales en t=0^+.

D'après la question Q3, la pulsation propre est reliée à la raideur par \omega_0 = 2\pi f_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, soit :

Avec les valeurs de l'énoncé (m \simeq 30\text{ g} = 3\cdot 10^{-2}\text{ kg}, f_0 \simeq 500\text{ Hz}) et la donnée \pi^2 = 10 :

Pour un ressort hélicoïdal utilisé en travaux pratiques, une masse typique m_{\text{TP}} \simeq 100\text{ g} = 0{,}1\text{ kg} provoque un allongement à l'équilibre \Delta \ell \simeq 10\text{ cm} = 0{,}1\text{ m} sous l'effet du poids (g \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

(On retrouverait le même ordre de grandeur avec la période propre T_0 \simeq 1\text{ s} mentionnée à la question Q7 : k_{\text{TP}} = m_{\text{TP}}\,(2\pi/T_0)^2 \approx 4\text{ à }10\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} pour des masses de 100 à 250\text{ g}).

Commentaire : La raideur équivalente des branches du diapason est environ quatre ordres de grandeur plus élevée que celle d'un ressort de TP (k / k_{\text{TP}} \sim 10^4). Cela s'explique par le fait qu'un diapason est constitué d'acier massif travaillant en flexion : il est extrêmement rigide et ses déformations restent microscopiques, ce qui permet d'atteindre des fréquences audibles élevées (f_0 \sim 500\text{ Hz}). À l'inverse, un ressort hélicoïdal de TP est très déformable afin de rendre les oscillations d'une masse suspendue visibles à l'œil nu (f_0 \sim 1\text{ Hz}).

D'après la question Q4, l'amplitude des oscillations décroît selon l'enveloppe exponentielle \exp(-t/\tau) avec le temps caractéristique d'amortissement :

d'où l'expression du facteur de qualité :

Le son émis par le diapason sans caisse reste audible pendant \Delta t \simeq 30\text{ s}. L'oreille humaine étant sensible sur une large dynamique d'intensité sonore, l'extinction du son correspond à une atténuation notable de l'amplitude, soit typiquement un temps d'audibilité \Delta t compris entre 3\tau et 6\tau. On peut ainsi estimer :

Avec f_0 \simeq 500\text{ Hz}, on obtient :

Soit un ordre de grandeur de :

Pour un oscillateur masse-ressort de travaux pratiques oscillant dans l'air, le mouvement s'amortit typiquement après une dizaine ou quelques dizaines d'oscillations (la durée d'oscillation visible est d'une dizaine de secondes pour une période propre T_0 \sim 1\text{ s}). Le facteur de qualité associé est de l'ordre de :

Le facteur de qualité du diapason est donc environ deux à trois ordres de grandeur supérieur à celui d'un oscillateur masse-ressort de TP (Q_{\text{diapason}} \gg Q_{\text{TP}}).

La position z(t) s'écrit sous la forme z(t) = A_0 \exp\left(-\frac{\omega_0}{2Q}t\right) \cos(\Omega t + \varphi). La dérivée première s'annule lorsque \tan(\Omega t + \varphi) = -\frac{1}{2Q\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}}, équation dont les solutions correspondant à des maxima sont séparées d'une durée rigoureusement égale à la pseudo-période T = \frac{2\pi}{\Omega}.

D'après la question Q4, la pseudo-pulsation est reliée à la pulsation propre \omega_0 par :

La pseudo-période T = \frac{2\pi}{\Omega} s'exprime donc en fonction de la période propre T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} selon :

Pour un système faiblement amorti (Q \gg 1), on effectue un développement limité à l'ordre 1 en 1/Q^2 à l'aide de (1 - u)^{-1/2} \simeq 1 + \frac{1}{2}u :

L'écart relatif entre la pseudo-période et la période propre s'écrit :

D'après l'estimation de la question Q6, un oscillateur masse-ressort de travaux pratiques possède un facteur de qualité typique Q \sim 10 à 50. Dans le cas le plus défavorable (Q \simeq 10) :

Pour T_0 = 1,0\text{ s}, l'écart absolu vaut :

Cet écart est très inférieur à l'incertitude expérimentale de mesure usuelle en travaux pratiques (qui est de l'ordre de 0,1\text{ s} pour un chronométrage manuel).

Avec les deux chiffres significatifs fournis par l'énoncé (1,0\text{ s}), on a bien T = 1,0\text{ s}. Il est donc tout à fait correct d'affirmer que cette durée vaut effectivement 1,0\text{ s}.

Après percussion, les branches du diapason oscillent librement en régime pseudo-périodique à la pseudo-pulsation \Omega, et donc à la pseudo-fréquence f :

Un développement limité à l'ordre 1 en 1/Q^2 conduit à :

• D'un point de vue théorique strict, les branches oscillent à la pseudo-fréquence f, qui est strictement inférieure à la fréquence propre f_0. L'affirmation est donc rigoureusement fausse.

• D'un point de vue physique et pratique, pour un diapason musical, le facteur de qualité estimé à la question Q6 est de l'ordre de Q \sim 10^4. L'écart relatif entre la pseudo-fréquence et la fréquence propre vaut alors :

  \frac{f_0 - f}{f_0} \simeq \frac{1}{8Q^2} \sim \frac{1}{8 \times 10^8} \sim 10^{-9}

  Pour f_0 \simeq 500\text{ Hz}, le décalage en fréquence est de l'ordre de :

  f_0 - f \sim 5 \cdot 10^{-7}\text{ Hz}

Cet écart est totalement indétectable pour l'oreille humaine (dont le seuil de discrimination fréquentielle est de l'ordre de 0{,}3\,\%, soit \Delta f / f \sim 3\cdot 10^{-3}) et bien inférieur à l'incertitude de tout appareil de mesure acoustique usuel.

1. Détermination de la fréquence propre f_0

D'après la question Q8, l'écart relatif entre la pseudo-fréquence f et la fréquence propre f_0 est de l'ordre de 10^{-9} ; on a donc avec une excellente approximation f_0 = f = 1/T.

Sur le second enregistrement du document 1, on repère des maxima successifs de tension :

• un premier maximum est situé à t_1 \simeq 2{,}3\text{ ms} = 2{,}3\cdot 10^{-3}\text{ s} ;
• le 22^{\text{e}} maximum suivant (soit N = 21 périodes) est situé à t_2 \simeq 50{,}0\text{ ms} = 50{,}0\cdot 10^{-3}\text{ s}.

La pseudo-période vaut donc :

On en déduit la fréquence propre :

(Le diapason A est accordé sur le La 3 de référence à 440 Hz).

2. Détermination du facteur de qualité Q

L'amplitude du signal est de la forme u_{\max}(t) = U_0 \exp(-t/\tau) avec \tau = \frac{2Q}{\omega_0} = \frac{Q}{\pi f_0} (d'après les questions Q3 et Q4). Sur le premier enregistrement du document 1 :

• à t = 0, l'amplitude initiale vaut U_0 \simeq 0{,}33\text{ V} ;
• à t = \tau, l'amplitude a chuté d'un facteur e, soit u_{\max}(\tau) = \frac{U_0}{e} \simeq \frac{0{,}33}{2{,}72} \simeq 0{,}12\text{ V}.

Sur le graphique, l'enveloppe atteint l'ordonnée 0{,}12\text{ V} pour un instant :

(On vérifie également que l'amplitude est divisée par deux pour t_{1/2} \simeq 1{,}45\text{ s}, ce qui donne \tau = \frac{t_{1/2}}{\ln 2} \simeq \frac{1{,}45}{0{,}69} \simeq 2{,}1\text{ s}).

Le facteur de qualité s'exprime donc par :

3. Comparaison et commentaire

• Comparaison : en présence de la caisse de résonance, Q \simeq 3\cdot 10^3, alors qu'en l'absence de caisse, on a estimé à la question Q6 un facteur de qualité Q_{\text{sans caisse}} \sim 10^4 (durée de détection d'une trentaine de secondes). Le facteur de qualité est donc significativement plus faible (divisé par un facteur 3 à 5).
• Commentaire : la caisse de résonance en bois joue un rôle d'adaptateur d'impédance acoustique entre les branches métalliques (haute impédance) et l'air ambiant (faible impédance). Elle rayonne beaucoup plus efficacement la puissance acoustique dans l'air, ce qui augmente le volume sonore perçu mais accélère la dissipation de l'énergie mécanique initiale : l'amortissement est donc plus rapide et le facteur de qualité diminue.

On se place en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) de base associée (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), l'axe Oz coïncidant avec l'axe du solénoïde. La distribution de courant est modélisée par un courant surfacique orthoradial \vec{j}_s = n I \vec{u}_\theta sur le cylindre de rayon R.

Étude des invariances :

• Dans l'approximation du solénoïde infini, la distribution de courant est invariante par toute translation selon l'axe Oz : les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de z.
• La distribution présente une invariance par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe Oz : les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de \theta.

Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

Étude des symétries : Le champ magnétique \vec{B} étant un pseudovecteur (vecteur axial) :

• Le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) passant par le point M et perpendiculaire à l'axe Oz est un plan de symétrie (\Pi) pour la distribution de courant (les spires y sont parallèles et la géométrie est symétrique de part et d'autre pour un solénoïde infini). Le champ magnétique en M est donc orthogonal à ce plan :

  \vec{B}(M) \perp (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \implies B_r(M) = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta(M) = 0
• On peut également remarquer que tout plan contenant l'axe Oz, en particulier le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z), est un plan d'antisymétrie (\Pi^*) pour la distribution de courant (le courant orthoradial le traverse orthogonalement). Le champ magnétique est donc contenu dans ce plan, ce qui confirme B_\theta(M) = 0.

En combinant invariances et symétries, on en déduit que le champ magnétostatique à l'intérieur du solénoïde s'écrit :

1. Uniformité du champ à l'intérieur :

À l'intérieur du solénoïde, il n'y a pas de courant volumique (\vec{j} = \vec{0}). L'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire s'écrit :

D'après la question Q10, le champ s'écrit \vec{B}(M) = B(r)\,\vec{u}_z. En utilisant l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques donnée dans les données du sujet :

Le champ ne dépend donc pas de r. Comme les symétries garantissaient déjà son indépendance vis-à-vis de \theta et z, le champ magnétostatique est rigoureusement uniforme à l'intérieur du solénoïde infini :

2. Expression du champ à l'intérieur :

Considérons un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 tracé dans un plan méridien (\theta = \text{cste}) :

• un segment intérieur [M_1 M_2] parallèle à l'axe Oz, de longueur h, orienté selon +\vec{u}_z (r_1 < R) ;
• un segment radial [M_2 M_3] allant de r_1 à r_2 > R ;
• un segment extérieur [M_3 M_4] parallèle à l'axe Oz, de longueur h, orienté selon -\vec{u}_z (r_2 > R) ;
• un segment radial [M_4 M_1] allant de r_2 à r_1.

Calculons la circulation de \vec{B} le long de ce contour orienté :

• Sur [M_1 M_2] : \int_{M_1}^{M_2} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{\text{int}}\,h.
• Sur les segments radiaux [M_2 M_3] et [M_4 M_1] : \mathrm{d}\vec{\ell} = \pm\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r, or \vec{B} = B\,\vec{u}_z, donc \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0.
• Sur le segment extérieur [M_3 M_4] : \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} selon l'énoncé, donc la circulation est nulle.

La circulation totale s'élève ainsi à :

La surface orientée s'appuyant sur \mathcal{C} intercepte les spires de la paroi du solénoïde sur une hauteur h. Le nombre de spires traversées est N = n\,h, chacune transportant le courant I. D'après la règle de la main droite appliquée à l'orientation choisie (normale selon +\vec{u}_\theta), le courant enlacé algébrique vaut :

D'après le théorème d'Ampère :

D'où B_{\text{int}} = \mu_0\,n\,I. En tenant compte de l'orientation axiale :

D'après le résultat établi à la question Q11, la norme du champ magnétostatique uniforme au sein du solénoïde s'écrit :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• n = 1 \cdot 10^3\text{ m}^{-1} ;
• I = 0{,}1\text{ A}.

Le calcul donne :

Le champ magnétique terrestre a pour ordre de grandeur :

Le champ B_0 créé à l'intérieur du solénoïde est donc du même ordre de grandeur que le champ magnétique terrestre (environ deux à trois fois plus intense).

1. Intérêt de l'hypothèse du solénoïde infini :

• Invariance par translation : elle confère au système une invariance selon l'axe Oz, ce qui implique que le champ magnétique ne dépend pas de la coordonnée z (\vec{B} indépendant de z).
• Absence d'effets de bord : elle permet de négliger les lignes de champ qui s'évasent aux extrémités, garantissant que le champ est rigoureusement nul à l'extérieur et uniforme à l'intérieur.

• Simplicité analytique : elle autorise une détermination directe et exacte du champ par le théorème d'Ampère sur un contour rectangulaire simple :

  \vec{B} = \mu_0 n I\,\vec{u}_z \quad \text{à l'intérieur.}

2. Conditions de validité de l'approximation : Pour qu'un solénoïde réel de longueur finie L et de rayon R puisse être modélisé par un solénoïde infini, deux conditions doivent être satisfaites :

• Condition géométrique sur le solénoïde : il doit être très élancé, c'est-à-dire :

  \boxed{L \gg R}

  (avec également un bobinage suffisamment serré pour que le pas des spires soit négligeable devant R).

• Condition de localisation du point de mesure : le point M d'observation doit être situé à l'intérieur et suffisamment éloigné des deux ouvertures du solénoïde, à une distance d des bords telle que :

  \boxed{d \gg R}

  soit typiquement dans la région centrale (|z| \ll L/2 en plaçant l'origine au milieu du solénoïde).

Dans le vide en présence d'une distribution de charges de densité volumique \rho et d'une distribution de courants de vecteur densité volumique \vec{\jmath}, les équations fondamentales de l'électromagnétisme s'écrivent :

1. Équation de Maxwell-Gauss :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}}

2. Équation de Maxwell-Thomson (ou du flux magnétique) :

   \boxed{\mathrm{div}\,\vec{B} = 0}

3. Équation de Maxwell-Faraday :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}}

4. Équation de Maxwell-Ampère :

   \boxed{\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}}

où \varepsilon_0 est la permittivité diélectrique du vide et \mu_0 la perméabilité magnétique du vide.

1. Invariances : Le solénoïde est modélisé par un cylindre infini d'axe Oz, parcouru par un courant surfacique uniforme. La distribution de courants présente les invariances suivantes :

• Invariance par translation le long de l'axe Oz : les grandeurs physiques sont indépendantes de z ;
• Invariance par rotation autour de l'axe Oz : les grandeurs physiques sont indépendantes de \theta.

Par conséquent, dans la base cylindrique (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), les composantes du champ électrique ne dépendent que de la coordonnée radiale r et du temps t :

2. Symétries : En l'absence de charges électriques (\rho = 0), le champ électrique est purement induit par la variation temporelle du champ magnétique (ou du courant).

Considérons le plan méridien passant par M :

Par réflexion par rapport à ce plan, le vecteur unitaire orthoradial change de signe (\vec{u}_\theta \to -\vec{u}_\theta) tandis que \vec{u}_r et \vec{u}_z sont inchangés. La densité de courant volumique ou surfacique, colinéaire à \vec{u}_\theta, est donc inversée : \Pi_m est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant.

Le champ électrique étant un vecteur vrai (polaire) directement issu des courants induits (via \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{A}}{\partial t} en jauge de Coulomb), il adopte la même symétrie que la source vectorielle. En tout point M \in \Pi_m, le champ électrique \vec{E}(M, t) est donc orthogonal au plan d'antisymétrie \Pi_m :

En notant simplement E(r, t) = E_\theta(r, t), on en déduit la forme recherchée :

D'après les résultats de la question Q11 et l'hypothèse de l'énoncé, le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde (r < R) en régime lentement variable s'écrit :

avec B_0 = \mu_0 n I.

D'après la question Q15, le champ électrique est de la forme \vec{E}(M, t) = E(r, t)\,\vec{u}_\theta.

Considérons un cercle \mathcal{C} d'axe Oz, de rayon r < R, orienté par \vec{u}_\theta. Il s'appuie sur le disque \mathcal{D} orienté selon sa normale \vec{u}_z.

• La circulation du champ électrique le long de \mathcal{C} s'écrit :

  \oint_{\mathcal{C}} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} E(r, t)\,\vec{u}_\theta \cdot (r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta) = 2\pi r \, E(r, t)

• Le flux magnétique à travers la surface du disque \mathcal{D} s'écrit :

  \Phi(t) = \iint_{\mathcal{D}} \vec{B}(M, t)\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \pi r^2 B_0 \cos(\omega t)

D'après la loi de Faraday issue de l'équation de Maxwell-Faraday :

d'où :

On en déduit :

Le champ électrique est bien de la forme E(r, t) = E_0(r)\sin(\omega t), avec :

Un conducteur parfait est un milieu conducteur idéalisé dont la conductivité électrique est infinie :

Ce modèle entraîne des conséquences fondamentales sur les champs et les sources à l'intérieur du matériau :

• Champ électrique intérieur nul : d'après la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma \vec{E}, pour que la densité volumique de courant \vec{\jmath} reste finie au sein du conducteur, le champ électrique doit être strictement nul en tout point intérieur :

  \vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}

• Champ magnétique intérieur nul en régime variable : d'après l'équation de Maxwell-Faraday, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\text{int}} = -\frac{\partial \vec{B}_{\text{int}}}{\partial t} = \vec{0}, ce qui impose que le champ magnétique intérieur soit constant dans le temps. Pour des champs oscillants de pulsation \omega \neq 0 (ou en l'absence de champ initial permanent), le champ magnétique est donc nul à l'intérieur :

  \vec{B}_{\text{int}} = \vec{0}

  (ceci correspond également à une épaisseur de peau nulle : \delta = \sqrt{2/(\mu_0 \gamma \omega)} \to 0).

• Localisation surfacique des sources : la charge volumique \rho et le courant volumique \vec{\jmath} sont nuls à l'intérieur du conducteur. Les charges et les courants induits sont entièrement confinés sur sa surface sous forme d'une densité surfacique de charge \sigma et d'une densité surfacique de courant \vec{\jmath}_{\mathrm{s}}.

Le métal recouvrant les branches du diapason est assimilé à un conducteur parfait ; d'après la question Q17, le champ électromagnétique est donc strictement nul en son sein :

À l'interface air/métal (située dans un plan d'équation z = \text{cste}), la relation de passage du champ électrique donnée en fin d'énoncé :

montre que le saut du champ électrique est purement normal (porté par le vecteur normal \vec{u}_z). La composante tangentielle du champ électrique est donc continue à l'interface :

Or, le champ électrique incident créé par le solénoïde, \vec{E}_{\mathrm{i}} = \frac{E_0(r)}{2}\sin(\omega t)\,\vec{u}_\theta, est orthoradial : il est entièrement contenu dans le plan z = \text{cste} de l'interface et constitue donc une composante tangentielle non nulle.

Le champ incident seul ne peut satisfaire la condition aux limites. Il existe donc nécessairement dans l'air un champ électromagnétique additionnel, appelé champ réfléchi (\vec{E}_{\mathrm{r}}, \vec{B}_{\mathrm{r}}), tel que le champ total vérifie à la surface du métal :

L'interface air/métal est modélisée par un plan d'équation z = \mathrm{cste}, de vecteur normal unitaire \vec{n} = \pm \vec{u}_z. Le plan tangent à cette interface est donc engendré par les vecteurs de base (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta).

D'après les données utiles, la relation de passage pour le champ électrique s'écrit :

Le métal étant modélisé par un conducteur parfait (question Q17), le champ électrique y est nul : \vec{E}_{\text{métal}} = \vec{0}. En projetant la relation de passage sur le plan tangentiel, la discontinuité ne portant que sur la composante normale, la composante tangentielle du champ électrique est continue :

Le champ électrique dans l'air au voisinage de l'interface est la superposition du champ incident et du champ réfléchi : \vec{E} = \vec{E}_{\mathrm{i}} + \vec{E}_{\mathrm{r}}. Le champ incident donné par l'énoncé étant purement orthoradial :

il est purement tangentiel à l'interface. La composante tangentielle totale devant s'annuler, le champ réfléchi doit compenser exactement le champ incident à l'interface :

Pour déterminer \vec{B}_{\mathrm{r}}(M, t), on utilise l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ \vec{E}_{\mathrm{r}} ne possédant qu'une composante selon \vec{u}_\theta, dépendant uniquement de r et de t, le formulaire en coordonnées cylindriques donne :

En rappelant d'après la question Q16 que E_0(r) = \frac{1}{2}B_0\omega r, la composante s'écrit E_{\mathrm{r},\theta} = -\frac{1}{4}B_0\omega r\sin(\omega t), d'où :

L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

En intégrant par rapport au temps et en écartant toute composante statique indépendante de l'excitation :

Dans le cadre de ce modèle simplifié, le champ électromagnétique total dans l'air s'obtient par superposition :

D'après les données numériques :

On constate la hiérarchie des longueurs :

Étudions séparément les deux termes de la fonction b(z) définie par :

1. Premier terme : Puisque z \ll L, on a z + L \simeq L. On factorise par (z+L) au dénominateur :

Comme \left(\frac{R}{L}\right)^2 \simeq 10^{-2} et \frac{R^2 z}{L^3} \simeq 10^{-3}, ces corrections sont négligeables devant le terme d'ordre 1 en \frac{z}{R} \simeq 0{,}1. À l'ordre 1 en z/R, ce premier terme vaut simplement :

2. Second terme : On factorise par R au dénominateur :

En combinant ces deux développements au premier ordre en z/R, on obtient :

Par identification avec la forme b(z) \simeq B_0\left(1 + a \frac{z}{R}\right), on en déduit la valeur du coefficient numérique a :

3. Limite retrouvant le résultat de la question Q19 : D'après la question Q19, le modèle simplifié prévoyait une annulation complète du champ magnétique dans l'air (\vec{B} = \vec{0}) en raison de la présence du conducteur parfait. Dans l'expression approchée b(z) \simeq B_0\left(1 - \frac{z}{R}\right), le champ s'annule lorsque 1 - \frac{z}{R} = 0, c'est-à-dire dans la limite où :

Remarque : Si l'on s'intéressait à la limite où le champ incident créé par le solénoïde seul est uniforme et maximal près de l'embouchure sans effet d'atténuation spatiale, la limite z \to 0 redonnerait b(0) \simeq B_0.

D'après l'énoncé, l'élément de volume \mathrm{d}V acquiert sous l'effet du champ un moment magnétique induit :

L'opérateur gradient en coordonnées cylindriques appliqué le long de \mathrm{d}\vec{\mu} = \mathrm{d}\mu_z \vec{u}_z se réduit à :

La force élémentaire subie par l'élément de volume s'écrit alors :

D'après la question Q20, le profil approché du champ est donné par :

À l'ordre le plus bas en z/R (c'est-à-dire à l'ordre 0), on a b(z) \simeq B_0, ce qui conduit à :

Avec la valeur a = -1 obtenue à la question Q20, il vient :

avec :

Comme \chi > 0, B_0 > 0 et R > 0, la constante \alpha est bien strictement positive.

Sens du déplacement : Pour z > 0, la norme du champ b(z) \simeq B_0(1 - z/R) est une fonction décroissante de z : le champ magnétique est d'autant plus intense que l'on se rapproche de l'embouchure du solénoïde (z \to 0). Puisque \alpha > 0 et \cos^2(\omega t) \ge 0, la force \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{m}} est dirigée selon -\vec{u}_z, c'est-à-dire vers les valeurs décroissantes de z.

D'après la question Q21, la force subie par un élément de volume des branches du diapason s'écrit :

En linéarisant le terme dépendant du temps, on obtient :

La force mécanique appliquée au diapason se décompose ainsi en :

• une composante statique (continue), qui induit une simple déformation moyenne constante ;

• une composante variable sinusoïdale de pulsation 2\omega, soit une fréquence mécanique d'excitation :

  f_{\mathrm{exc}} = \frac{2\omega}{2\pi} = 2 f

  où f = \frac{\omega}{2\pi} désigne la fréquence de la source de courant i(t).

Le diapason étant un oscillateur mécanique très faiblement amorti (Q \gg 1), la résonance d'amplitude a lieu à une fréquence pratiquement confondue avec sa fréquence propre f_0. Pour exciter le diapason à résonance, la fréquence de la force motrice doit donc vérifier :

Avec f_0 = 256\text{ Hz}, on trouve :

À la fermeture de l'interrupteur K à t = 0, le condensateur est initialement déchargé (u(0) = 0). Le tube est éteint et se comporte comme un circuit ouvert.

Pour t \in [0, t_a[, le circuit se réduit à l'association série du générateur idéal de tension continue de f.é.m. E, du conducteur ohmique de résistance R et du condensateur de capacité C. La loi des mailles s'écrit :

soit, en posant \tau = RC :

Compte tenu de la condition initiale u(0) = 0, la tension aux bornes du condensateur est :

Cette fonction est strictement croissante et tend asymptotiquement vers E quand t \to +\infty. Pour que la tension atteigne le seuil d'allumage U_a en un temps fini, il est nécessaire et suffisant que la tension asymptotique soit strictement supérieure à U_a :

L'instant d'allumage t_a est défini par u(t_a) = U_a :

En prenant le logarithme népérien, on obtient :

Pour t > t_a, le tube fluorescent est allumé et se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r. Le condensateur C et la résistance r sont branchés en parallèle, sous la tension commune u(t).

D'après la loi des nœuds au pôle supérieur du condensateur :

En explicitant les courants à l'aide des relations constitutives :

En regroupant les termes en u(t) :

En divisant par \left(1 + \frac{R}{r}\right) et en introduisant les notations définies par l'énoncé, \tau = RC, \tau' = \frac{\tau}{1 + R/r} et E' = \frac{E}{1 + R/r}, l'équation différentielle s'écrit :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est :

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur à l'instant de basculement t = t_a, on a u(t_a^+) = u(t_a^-) = U_a. On en déduit :

L'expression de la tension pour t > t_a (tant que le tube reste allumé) est donc :

D'après l'énoncé, le tube s'éteint dès que la tension u(t) décroît jusqu'à atteindre la tension d'extinction U_e.

Pour t > t_a, le tube étant allumé, la tension évolue selon l'expression obtenue à la question Q24 :

La fonction u(t) décroît de manière monotone depuis la valeur initiale u(t_a^+) = U_a vers la valeur asymptotique u(+\infty) = E'. Pour que la tension puisse atteindre la valeur seuil U_e à un instant fini, il est indispensable que l'asymptote soit strictement inférieure à U_e :

Remarque : Sachant que U_e < U_a, cette condition implique directement E' < U_a, ce qui garantit bien la stricte décroissance de u(t) pour t > t_a.

L'instant d'extinction t_e > t_a est défini par la condition :

Soit, en explicitant :

On en déduit :

D'où l'expression de l'instant d'extinction t_e :

En injectant l'expression de t_a = \tau \ln\left(\frac{E}{E - U_a}\right) obtenue à la question Q23, on peut également écrire :

Une fois le régime périodique de relaxation établi, la tension u(t) oscille indéfiniment entre la tension d'extinction U_e et la tension d'allumage U_a. La période T est la somme des durées des deux étapes successives :

1. Phase où le tube est allumé :
D'après les questions Q24 et Q25, le tube s'allume lorsque u = U_a et s'éteint dès que u = U_e. La tension évolue selon :

La durée pendant laquelle le tube reste allumé, notée \Delta t_{\text{allumé}}, correspond à :

2. Phase où le tube est éteint :
À l'extinction, le dipôle T équivaut à un interrupteur ouvert. Le circuit se résume à la charge du condensateur à travers le conducteur ohmique de résistance R sous la tension constante E, avec pour constante de temps \tau = RC. L'équation d'évolution de la tension s'écrit :

En prenant pour origine des temps l'instant d'extinction où u = U_e, la solution s'écrit :

Le tube se rallume dès que la tension u(t) réatteint la tension de seuil U_a. La durée de cette phase de charge, \Delta t_{\text{éteint}}, vérifie donc :

3. Expression de la période T :
La période du signal périodique vaut la somme des deux durées de charge et de décharge :

L'évolution temporelle de la tension u(t) se décompose en une phase transitoire initiale suivie d'un régime périodique d'oscillations de relaxation :

1. Phase de charge initiale (0 \le t \le t_a) : le condensateur, initialement déchargé (u(0)=0), se charge à travers la résistance R vers la tension asymptotique E avec la constante de temps \tau = RC. La concavité est tournée vers le bas (\ddot{u} < 0). À l'instant t_a, la tension atteint le seuil d'allumage u(t_a) = U_a, provoquant l'allumage du tube.
2. Première phase de décharge (t_a \le t \le t_e) : le tube étant allumé, le condensateur se décharge vers la tension asymptotique E' = \frac{E}{1 + R/r} < U_e avec la constante de temps \tau' = \frac{\tau}{1 + R/r}. La concavité est tournée vers le haut (\ddot{u} > 0). À l'instant t_e, la tension atteint le seuil d'extinction u(t_e) = U_e, le tube s'éteint.

3. Régime périodique (t \ge t_e) : le tube étant éteint, le condensateur se recharge vers E à partir de U_e avec la constante de temps \tau. Dès que u(t) réatteint U_a, le tube se rallume et le condensateur se décharge à nouveau vers E' jusqu'à U_e avec la constante de temps \tau'. La tension oscille ainsi périodiquement entre U_e et U_a avec la période :

   T = \Delta t_{\text{charge}} + \Delta t_{\text{décharge}}

1. Fréquence propre du diapason

D'après la question Q21, la force magnétique exercée sur les branches du diapason est proportionnelle à \cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}. La fréquence d'excitation mécanique vaut donc :

Puisque le facteur de qualité est très grand (Q \gg 1), la fréquence de résonance est confondue avec la fréquence propre f_0.

Sur le document 3, le maximum de la courbe de résonance est atteint pour :

On en déduit la fréquence propre du diapason A :

2. Facteur de qualité

L'amplitude maximale de la tension délivrée par le microphone est :

S'agissant d'une amplitude (et non d'une puissance), la bande passante à -3\text{ dB} est délimitée par la condition :

Graphiquement, la courbe coupe le niveau 485\text{ mV} aux fréquences :

La largeur de la bande passante en fréquence d'excitation vaut donc :

Comme les fréquences mécaniques sont doublées (f_{\text{force}} = 2 f_{\text{tube}}), la bande passante mécanique est \Delta f_0 = 2\Delta f_{\text{tube}} \simeq 0{,}24\text{ Hz}. Le facteur de qualité Q s'exprime alors par :

3. Commentaires

• La fréquence propre mesurée f_0 \simeq 440\text{ Hz} correspond exactement au \text{La}_3 de référence et est parfaitement cohérente avec la valeur obtenue en réponse libre à la question Q9 (f_0 \simeq 440\text{ Hz}).
• Le facteur de qualité Q \simeq 2\cdot 10^3 est en très bon accord avec l'estimation issue de l'amortissement libre en présence de la caisse de résonance à la question Q9 (Q \simeq 3\cdot 10^3).
• Cette valeur très élevée (Q \sim 10^3) traduit une résonance extrêmement aiguë (bande passante mécanique de seulement 0{,}2\text{ Hz}) : le diapason est un filtre mécanique très sélectif, garantissant la pureté et la stabilité de la note émise.

L'oscillateur à tube délivre un signal périodique de fréquence fondamentale f. D'après le théorème de Fourier, ce courant se décompose en une somme d'harmoniques de fréquences k f (avec k \in \mathbb{N}^*) et d'une éventuelle composante continue.

Comme établi aux questions Q21 et Q22, la force magnétique de couplage dépend quadratiquement du champ excitateur, générant des composantes d'excitation mécanique de fréquences discrètes, notamment à la fréquence 2f issue du fondamental, mais aussi à d'autres fréquences multiples de f.

Or, le diapason est un oscillateur linéaire possédant :

• une fréquence de résonance propre très aiguë f_0 \simeq 440\text{ Hz} ;

• un facteur de qualité très grand (Q \sim 10^3 à 10^4), d'où une bande passante mécanique extrêmement étroite :

  \Delta f = \frac{f_0}{Q} \sim 0{,}1 \text{ à } 0{,}4\text{ Hz}.

Le diapason agit donc comme un filtre passe-bande mécanique ultra-sélectif :

• lorsque la fréquence de l'oscillateur est réglée au voisinage de f \simeq 220\text{ Hz}, la composante d'excitation à 2f \simeq 440\text{ Hz} excite le système en pleine résonance ;
• les autres composantes spectrales de la force d'excitation se trouvent à des fréquences éloignées de f_0 de plusieurs centaines de hertz, soit à des dizaines ou centaines de fois la largeur de la bande passante \Delta f. Elles sont donc totalement atténuées par la fonction de transfert du résonateur.

L'atome d'azote \mathrm{N} (Z=7, configuration 1s^2\,2s^2\,2p^3) apporte 5 électrons de valence.
Chacun des trois atomes d'hydrogène \mathrm{H} (Z=1, configuration 1s^1) apporte 1 électron de valence.

Le nombre total d'électrons de valence de la molécule d'ammoniac \mathrm{NH}_3 est :

L'atome d'azote forme trois liaisons simples covalentes (doublets liants) avec les trois atomes d'hydrogène, ce qui permet à chaque hydrogène de respecter la règle du duet. Il reste un doublet non liant localisé sur l'atome central d'azote, qui satisfait ainsi la règle de l'octet :

Le numéro atomique du fer est fourni dans les données du sujet : Z = 26.

À l'état fondamental, les 26 électrons de l'atome de fer se répartissent sur les sous-couches atomiques selon la règle de Klechkowski, par ordre croissant de la valeur de n + \ell (puis de n à valeur de n + \ell identique) :

En tenant compte du principe d'exclusion de Pauli limitant le nombre maximal d'électrons par sous-couche (2 pour s, 6 pour p, 10 pour d), on obtient :

Ce que l'on peut également écrire sous forme condensée à l'aide du cœur de gaz noble de l'argon (Z = 18) :

D'après la question Q31, la structure électronique de l'atome de fer dans son état fondamental est :

Lors de l'ionisation d'un élément de transition, les électrons de la sous-couche 4s (nombre quantique principal n=4 le plus grand) sont arrachés en premier :

• Pour l'ion fer(II) \mathrm{Fe}^{2+}, l'atome perd deux électrons issus de l'orbitale 4s :

  \boxed{\mathrm{Fe}^{2+} : 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,3d^6 = [\mathrm{Ar}]\,3d^6}

• Pour l'ion fer(III) \mathrm{Fe}^{3+}, un troisième électron est retiré de la sous-couche 3d :

  \boxed{\mathrm{Fe}^{3+} : 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,3d^5 = [\mathrm{Ar}]\,3d^5}

Stabilité relative :

L'ion le plus stable est l'ion \mathbf{Fe^{3+}}.

En effet, la configuration de l'ion \mathrm{Fe}^{3+} présente une sous-couche 3d exactement à demi-remplie (3d^5). D'après la règle de Hund, les 5 électrons occupent chacun une orbitale d avec des spins parallèles, ce qui maximise l'énergie d'échange et confère à l'édifice une stabilité électronique accrue par rapport à la configuration 3d^6 de l'ion \mathrm{Fe}^{2+}.

Dans une maille conventionnelle cubique centrée (CC), les atomes de fer sont situés :

• aux 8 sommets de la maille, chacun étant partagé par 8 mailles élémentaires : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 atome ;
• au centre de la maille, appartenant entièrement à celle-ci : 1 \times 1 = 1 atome.

Le nombre d'atomes de fer appartenant en propre à la maille (population de la maille) est donc :

La masse contenue dans une maille s'écrit :

Le volume de la maille cubique de paramètre a est :

La masse volumique \rho du fer s'exprime donc par le rapport :

Application numérique : Avec les données fournies :

• N = 2 ;
• M(\text{Fe}) = 55{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 55{,}8 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• N_{\text{A}} = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1} ;
• a = 3 \cdot 10^2\text{ pm} = 3 \cdot 10^{-10}\text{ m}, d'où a^3 = 27 \cdot 10^{-30}\text{ m}^3.

On évalue le calcul sans calculatrice :

1. Commentaire sur l'enthalpie standard de réaction :

• La réaction (1) est exothermique : elle libère de l'énergie sous forme thermique vers le milieu extérieur.
• D'un point de vue microscopique, la rupture de 3 liaisons simples \mathrm{H}-\mathrm{H} et d'une liaison triple \mathrm{N}\equiv\mathrm{N} nécessite moins d'énergie que celle libérée par la formation des 6 liaisons simples \mathrm{N}-\mathrm{H} de l'ammoniac, conduisant à un bilan énergétique globalement favorable en enthalpie.

2. Commentaire sur l'entropie standard de réaction :

• La variation stœchiométrique du nombre de moles de gaz est :

  \Delta \nu_{\mathrm{g}} = 2 - (3 + 1) = -2\text{ mol}

  Il y a diminution du nombre de molécules à l'état gazeux (4 moles de réactifs gazeux donnent 2 moles de produit gazeux).

• Cette diminution entraîne une diminution importante du désordre translationnel du système, ce qui justifie le signe négatif :

  \Delta_{\mathrm{r}}S_1^\circ < 0
• La valeur numérique est de l'ordre de grandeur attendu : la disparition d'une mole de gaz s'accompagne usuellement d'une variation d'entropie d'environ -100 à -130\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}, ce qui est parfaitement cohérent avec \Delta \nu_{\mathrm{g}} = -2.

L'enthalpie libre standard de la réaction (1) à la température T s'exprime à partir de l'enthalpie standard et de l'entropie standard de réaction à cette même température selon :

Par définition de la constante d'équilibre thermodynamique K_1(T), on a également la relation :

où R désigne la constante molaire des gaz parfaits.

On en déduit :

d'où l'expression de la constante d'équilibre :

D'après la règle des phases de Gibbs, la variance v d'un système à l'équilibre s'exprime par :

où :

• N = 3 est le nombre d'espèces chimiques présentes (\mathrm{H_2}, \mathrm{N_2}, \mathrm{NH_3}) ;
• r = 1 est le nombre d'équilibres chimiques indépendants liant ces espèces ;
• \varphi = 1 est le nombre de phases (un seul mélange gazeux homogène) ;
• les variables intensives d'état sont la température T, la pression P (d'où le terme +2) et les fractions molaires des espèces ;
• k est le nombre de relations supplémentaires entre grandeurs intensives imposées par les conditions de préparation.

1. Variance intrinsèque de l'équilibre (sans condition particulière) :

En l'absence de contrainte de composition (k = 0) :

2. Variance sous la contrainte de stœchiométrie de l'énoncé :

Les réactifs \mathrm{N_2} et \mathrm{H_2} sont introduits seuls et en proportions stœchiométriques (n_0(\mathrm{H_2}) = 3\,n_0(\mathrm{N_2})). D'après la stœchiométrie de la réaction (1), les quantités consommées respectent également ce rapport 3:1, de sorte qu'à chaque instant et à l'équilibre :

Cette condition constitue une relation intensive liant la composition de la phase gazeuse, soit k = 1. On obtient alors :

Considérons un mélange initial stœchiométrique contenant n_0 moles de \mathrm{N}_2(\mathrm{g}) et 3n_0 moles de \mathrm{H}_2(\mathrm{g}).

Si la réaction était totale, l'avancement maximal vaudrait \xi_{\max} = n_0, conduisant à la formation de n_{\max}(\mathrm{NH}_3) = 2\xi_{\max} = 2n_0.

Par définition du rendement r :

Les quantités de matière des différentes espèces à l'équilibre s'écrivent donc :

La quantité de matière totale de gaz à l'équilibre vaut :

Les fractions molaires à l'équilibre sont ainsi :

En assimilant les gaz à des gaz parfaits, les pressions partielles s'écrivent p_i = x_i P. La constante d'équilibre K_1 associée à la réaction (1) s'exprime par la loi d'action de masse :

Calculons le rapport des fractions molaires :

On en déduit l'expression de la constante d'équilibre :

Commentaire : La constante K_1 ne dépend que de la température T. La relation obtenue relie donc explicitement trois grandeurs intensives : la température T, la pression totale P et le rendement r (qui caractérise entièrement la composition chimique du mélange).

À proportions initiales fixées (ici stœchiométriques), la variance réduite du système vaut v = 2 (question Q36). Ainsi, la fixation de deux paramètres intensifs indépendants, par exemple la température T et la pression P, détermine entièrement l'état d'équilibre, c'est-à-dire une unique valeur physique du rendement r \in [0, 1[.

1. Effet d'une augmentation de la pression totale à température constante

Méthode thermodynamique (par la loi d'action de masse) :
D'après la relation établie à la question Q37 :

À température constante, la constante d'équilibre K_1(T) ne dépend que de T et reste donc inchangée. On peut réécrire cette relation sous la forme :

La fonction f est strictement croissante par rapport au rendement r sur l'intervalle [0, 1[. Par conséquent, une augmentation de la pression totale P impose une augmentation de f(r), et donc une augmentation du rendement r.

Interprétation par le principe de Le Chatelier :
La réaction de synthèse présente une variation du nombre de moles de gaz :

D'après la loi de modération, une augmentation de pression à température constante déplace l'équilibre dans le sens qui tend à modérer cette augmentation, c'est-à-dire dans le sens d'une diminution du nombre total de moles gazeuses (sens direct).

2. Commentaire sur le choix de la pression industrielle de 300 bars

• Nécessité d'une pression très élevée : À 450\,^\circ\text{C}, la constante d'équilibre est très faible (K_1 = 3\cdot 10^{-5}). À la pression atmosphérique, le rendement à l'équilibre serait dérisoire. Pour obtenir un rendement acceptable (typiquement de l'ordre de 15 à 20 % par passage), il est donc indispensable d'opérer sous très haute pression.

• Limitation technique et économique : On ne peut cependant pas augmenter la pression indéfiniment car :

  • le coût des compresseurs et la dépense énergétique liée à la compression augmentent fortement avec la pression ;
  • la résistance mécanique des parois des réacteurs et les risques liés à la fragilisation des aciers par le dihydrogène chaud imposent des contraintes matérielles sévères ;
  • les risques industriels et de sécurité (fuites, explosions) croissent rapidement.

L'influence de la température sur la constante d'équilibre K_1 est régie par la loi de van 't Hoff :

D'après la question Q34, la synthèse de l'ammoniac est exothermique : \Delta_{\mathrm{r}}H_1^\circ = -114{,}7\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0. Par conséquent :

Une augmentation de température entraîne donc une diminution de la constante d'équilibre K_1.

D'après l'expression établie à la question Q37 :

Pour une pression totale P maintenue constante, le terme \left(p^\circ/P\right)^2 est constant. La fonction r \mapsto \frac{r(2-r)}{(1-r)^2} étant strictement croissante sur [0, 1[, le membre de droite est une fonction strictement croissante du rendement r. Une baisse de K_1 impose donc une baisse du rendement r.