Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2021

Le voltmètre est modélisé par sa résistance interne R_V connectée en dérivation aux bornes du pH-mètre. Le circuit fermé constitué du dipôle de Thévenin (E, r) et de la résistance R_V forme un diviseur de tension.

La tension mesurée e aux bornes du voltmètre s'écrit donc :

Pour l'application numérique, avec R_V = 1,0\text{ M}\Omega, r = 10\text{ M}\Omega et E = 0,20\text{ mV} :

D'après la question Q1, la tension mesurée par un voltmètre de résistance interne R'_V s'écrit :

Puisque R'_V > 0 et r > 0, on a e' < E. L'erreur relative commise sur la mesure de la tension à vide E est :

On souhaite que cette erreur soit strictement inférieure à 10\,\% = 0{,}10 :

La valeur minimale de la résistance interne du voltmètre est donc :

Application numérique : Avec r = 10\text{ M}\Omega :

Ce montage est un montage suiveur (ou suiveur de tension).

Justifions que u_1 = E :

• Absence de courant d'entrée : L'amplificateur linéaire intégré (ALI) étant supposé idéal, son impédance d'entrée est infinie, ce qui implique :

  i^+ = 0

  Le pH-mètre (modélisé figure 2) débite sur un circuit ouvert. La loi des mailles donne donc pour la tension à ses bornes :

  e = E - r \cdot i^+ = E

  Le potentiel de la borne non inverseuse vaut ainsi :

  V^+ = e = E

• Régime linéaire : L'ALI comporte une rétroaction négative sur la borne inverseuse (-) et fonctionne en régime linéaire, d'où une tension différentielle d'entrée nulle :

  \varepsilon = V^+ - V^- = 0 \implies V^- = V^+

• Tension de sortie : La borne de sortie est directement reliée à la borne inverseuse, soit :

  u_1 = V^-

En combinant ces relations, on obtient :

D'après la figure 4, le signal E(t) est purement sinusoïdal avec une composante continue :

• Les extrema valent E_{\max} = 0,25\text{ mV} et E_{\min} = 0,15\text{ mV}.

• La composante continue (valeur moyenne) est :

  E_{\text{moy}} = \frac{E_{\max} + E_{\min}}{2} = \frac{0,25 + 0,15}{2} = 0,20\text{ mV}

• L'amplitude de l'ondulation alternative est :

  E_m = \frac{E_{\max} - E_{\min}}{2} = \frac{0,25 - 0,15}{2} = 0,05\text{ mV}

• On compte exactement 8 périodes d'oscillation sur l'intervalle \Delta t = 1,6\text{ s}, soit :

  T = \frac{1,6}{8} = 0,20\text{ s} \implies f_1 = \frac{1}{T} = 5,0\text{ Hz}

Le signal s'écrit donc sous la forme :

Le spectre d'amplitude comporte ainsi uniquement deux raies :

• une composante continue à la fréquence f_0 = 0\text{ Hz} d'amplitude A_0 = 0,20\text{ mV} ;
• une composante alternative fondamentale à la fréquence f_1 = 5,0\text{ Hz} d'amplitude A_1 = 0,05\text{ mV}.

L'impédance complexe du condensateur est donnée par :

• À basse fréquence (\omega \to 0) : |\underline{Z}_C| \to +\infty. Le condensateur se comporte en régime sinusoïdal comme un circuit ouvert. Le courant circulant dans le dipôle RC à vide est donc nul, ce qui implique que la tension aux bornes de la résistance est nulle. On a alors :

  \underline{u}_2 \approx \underline{u}_1

  Les composantes spectrales de basse fréquence ne sont pas atténuées.

• À haute fréquence (\omega \to +\infty) : |\underline{Z}_C| \to 0. Le condensateur se comporte comme un court-circuit. La tension à ses bornes tend vers zéro :

  \underline{u}_2 \approx 0

  Les composantes spectrales de haute fréquence sont coupées.

Ce quadripôle laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes fréquences : il s'agit d'un filtre passe-bas.

Intérêt dans le cas présent : Le signal u_1(t) est composé d'une composante continue utile (de pulsation nulle) qui renseigne sur la valeur du pH, et d'une composante alternative oscillante liée aux perturbations induites par l'agitation mécanique du digesteur (étudiée à la question Q4). L'utilisation d'un filtre passe-bas permet d'atténuer fortement cette composante oscillatoire parasite tout en conservant la composante continue liée au pH à réguler.

Le filtre est constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C montés en série, la sortie étant prise aux bornes du condensateur non chargé (circuit ouvert en sortie).

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, on applique la formule du pont diviseur de tension aux impédances complexes \underline{Z}_R = R et \underline{Z}_C = \frac{1}{\mathrm{j}C\omega} :

La fonction de transfert s'écrit donc :

Par identification avec la forme canonique imposée \underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \dfrac{H_0}{1 + \mathrm{j}(\omega/\omega_0)}, on en déduit :

D'après la question Q6, la fonction de transfert du filtre s'écrit en fonction de la pulsation réduite x = \omega/\omega_0 :

puisque H_0 = 1.

1. Gain du filtre G(x) :

   Le gain est le module de la fonction de transfert :

   \begin{aligned} G(x) &= |\underline{H}(\mathrm{j}x)| = \frac{1}{|1 + \mathrm{j}x|} \end{aligned}
   \boxed{G(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}}

2. Phase \varphi(x) :

   La phase est l'argument de la fonction de transfert :

   \begin{aligned} \varphi(x) &= \arg\left(\underline{H}(\mathrm{j}x)\right) = \arg(1) - \arg(1 + \mathrm{j}x) \end{aligned}

   Comme la partie réelle de 1 + \mathrm{j}x est strictement positive (1 > 0), on a :

   \boxed{\varphi(x) = -\arctan(x)}

Par définition, la pulsation de coupure à -3\text{ dB}, notée \omega_c, correspond à une atténuation de 3\text{ dB} par rapport au gain maximal G_{\max} :

D'après l'expression établie à la question Q7 :

Le gain est une fonction strictement décroissante de x \ge 0, son maximum est donc atteint en x = 0 :

La condition de coupure s'écrit alors :

Comme la pulsation réduite x est une grandeur strictement positive :

La pulsation de coupure est donc égale à la pulsation propre du filtre : \omega_c = \omega_0 = \dfrac{1}{RC}.

D'après l'expression du gain obtenue à la question Q 7, G(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

Le gain en décibels est défini par :

Comportement à basse fréquence (x \ll 1) : Pour x \ll 1, le terme x^2 est négligeable devant 1, soit 1 + x^2 \approx 1. On a alors :

Il s'agit d'une asymptote horizontale d'ordonnée 0\text{ dB}.

Comportement à haute fréquence (x \gg 1) : Pour x \gg 1, 1 + x^2 \approx x^2, d'où :

Il s'agit d'une asymptote oblique de pente -20\text{ dB/décade} (ou -6\text{ dB/octave}).

Pour construire le diagramme de Bode du filtre passe-bas du premier ordre, on utilise les résultats établis aux questions précédentes :

• Courbe de gain en décibels G_{\mathrm{dB}} = f(\log x) :

  • Asymptote basse fréquence (x \ll 1 \iff \log x \ll 0) : droite d'équation G_{\mathrm{dB}} = 0\text{ dB} (pente nulle).
  • Asymptote haute fréquence (x \gg 1 \iff \log x \gg 0) : droite d'équation G_{\mathrm{dB}} = -20\log x (pente de -20\text{ dB/décade}).
  • À la pulsation de coupure (x = 1 \iff \log x = 0) : le gain réel vaut G_{\mathrm{dB}}(1) = -10\log(2) \approx -3{,}0\text{ dB}.

• Courbe de phase \varphi = f(\log x) :

  • Asymptote basse fréquence (x \ll 1) : \varphi \to 0\text{ rad} (0^\circ).
  • Asymptote haute fréquence (x \gg 1) : \varphi \to -\dfrac{\pi}{2}\text{ rad} (-90^\circ).
  • À la pulsation de coupure (x = 1 \iff \log x = 0) : \varphi(1) = -\arctan(1) = -\dfrac{\pi}{4}\text{ rad} (-45^\circ).

Le signal d'entrée est composé d'une composante continue et d'une composante harmonique de pulsation \omega = 10\,\omega_0 :

Par linéarité du filtre, le signal de sortie est la somme des réponses à chacune des deux composantes :

• Pour la composante continue (\omega = 0, soit x = 0) :

  A_1 = G(0) \cdot E = 1 \cdot E = E

• Pour la composante sinusoïdale de pulsation \omega_2 = 10\,\omega_0 (soit x = 10) : Le régime étant linéaire et permanent, la pulsation est conservée :

  \omega_2 = 10\,\omega_0

  L'amplitude de sortie s'obtient à l'aide du gain G(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} (question Q7) :

  A_2 = \frac{E}{4}\,G(10) = \frac{E}{4\sqrt{1+10^2}} = \frac{E}{4\sqrt{101}}

  Le déphasage à la pulsation considérée est donné par \varphi(x) = -\arctan(x) (question Q7) :

  \psi_2 = \varphi(10) = -\arctan(10)

On récapitule les expressions analytiques obtenues :

Applications numériques : avec E = 0,20\text{ mV},

Commentaire sur l'action du filtre :

• La composante continue E, qui porte l'information utile sur le pH, est transmise sans atténuation (A_1 = E).
• La composante oscillante, causée par l'agitation mécanique, est située à une pulsation bien supérieure à la pulsation de coupure (10\,\omega_0 \gg \omega_0) : son amplitude passe de 50\,\mu\text{V} à 5,0\,\mu\text{V}, soit une atténuation d'un facteur \sqrt{101} \approx 10 (ou -20\text{ dB}).
• Le filtre passe-bas permet donc de lisser efficacement le signal de mesure pour restituer la valeur moyenne liée au pH.

D'après l'énoncé, la solution notée \mathrm{pH}^- a pour rôle de faire diminuer le pH du milieu réactionnel. Il s'agit par conséquent d'une solution acide, capable d'apporter des ions oxonium \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ (ou protons hydratés).

En pratique, on utilise couramment une solution aqueuse d'acide fort :

• une solution d'acide chlorhydrique (\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ + \mathrm{Cl}^-), constituée des ions oxonium \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ et chlorure \mathrm{Cl}^- ;
• ou une solution d'acide sulfurique (2\,\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ + \mathrm{SO}_4^{2-}), constituée des ions oxonium \mathrm{H}_3\mathrm{O}^+ et sulfate \mathrm{SO}_4^{2-}.

La solution notée \mathrm{pH}^+ est introduite dans le milieu pour faire augmenter le \mathrm{pH} ; il s'agit donc d'une solution basique contenant une espèce capable de consommer les ions oxonium ou d'apporter des ions hydroxyde \mathrm{HO}^-.

On peut par exemple utiliser une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium (soude), constituée des ions :

Sur le schéma de la figure 6, il n'existe aucune boucle de rétroaction reliant la sortie s(t) aux bornes d'entrée de l'ALI : le montage fonctionne en boucle ouverte.

L'ALI étant supposé idéal, son gain différentiel en boucle ouverte est infini (A_0 \to \infty). Par conséquent, la moindre tension différentielle \varepsilon(t) = V^+ - V^- = U_r - u_2(t) non nulle entraîne la saturation de la tension de sortie :

La sortie ne peut prendre que deux valeurs discrètes :

D'après le schéma de la figure 6, les potentiels des bornes d'entrée de l'ALI s'écrivent :

La tension différentielle d'entrée est donc :

L'ALI étant idéal et fonctionnant en régime non linéaire (saturé), la tension de sortie prend deux valeurs possibles :

• Si u_2 < U_r, alors \varepsilon > 0, d'où :

  s = +U_s

• Si u_2 > U_r, alors \varepsilon < 0, d'où :

  s = -U_s

Le montage constitue ainsi un comparateur à un seuil inverseur, avec une tension de basculement égale à U_r.

La caractéristique de transfert s = f(u_2) est représentée ci-dessous :

Le comparateur simple ne convient pas pour assurer la régulation du digesteur pour deux raisons majeures :

1. Absence de plage de tolérance (zone morte) : Le digesteur requiert un maintien du pH dans un intervalle [6{,}8\,;\,7{,}2]. Or, le comparateur simple ne dispose que d'un unique seuil de commutation U_r. La sortie ne prend que deux états (\pm U_s), ce qui implique une injection permanente soit de correcteur acide (\text{pH}^-), soit de correcteur basique (\text{pH}^+), sans aucun état de repos lorsque le pH se situe dans la plage optimale.
2. Sensibilité au bruit et instabilité (broutement) : Le signal de mesure u_2(t) comporte des résidus de fluctuations ou de bruit. Lorsque la tension u_2(t) oscille autour de la tension de référence U_r, la sortie bascule de façon intempestive et à fréquence élevée entre +U_s et -U_s. Ce phénomène de broutement entraîne l'injection simultanée ou alternée rapide d'acide et de base, ce qui détériore prématurément les actionneurs (électrovannes, pompes doseuses) et gaspille les solutions régulatrices.

L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal, de sorte que le courant entrant sur sa borne non inverseuse est nul :

En appliquant le théorème de Millman au potentiel de la borne non inverseuse, reliée à la tension de référence U_r via R_1 et à la tension de sortie s via R_2, on obtient :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par R_1 R_2, il vient :

L'ALI fonctionne en régime saturé non linéaire avec une réaction positive sur la borne non inverseuse. La tension différentielle d'entrée s'écrit :

D'après la question Q17, le potentiel de l'entrée non inverseuse est :

Expression de U_b^+ : Initialement, la sortie est à l'état bas : s = -U_s. Pour maintenir cet état saturé, il faut \varepsilon < 0, c'est-à-dire u_2(t) > V^+(-U_s).

Le basculement de la sortie vers +U_s survient dès que \varepsilon devient positif, c'est-à-dire au franchissement de la condition limite \varepsilon = 0, soit u_2(t) = V^+(-U_s) par valeurs décroissantes. La tension de basculement associée est donc :

Expression de U_b^- : De façon symétrique, lorsque la sortie est à l'état haut : s = +U_s, l'état est stable tant que \varepsilon > 0, soit u_2(t) < V^+(+U_s).

Le basculement de la sortie vers -U_s intervient dès que \varepsilon devient négatif, soit au franchissement de \varepsilon = 0 par valeurs croissantes de u_2(t) :

Le signal d'entrée u_2(t) étant appliqué sur la borne inverseuse (V^- = u_2), le montage est un comparateur à hystérésis inverseur. D'après la question Q18, les deux seuils de basculement vérifient U_b^+ < U_b^-.

• Pour u_2 croissant à partir de valeurs négatives : tant que u_2 < U_b^-, la sortie est saturée au niveau haut s = +U_s. Lorsque u_2 franchit le seuil U_b^-, \varepsilon devient négatif et la sortie bascule à s = -U_s, où elle se maintient pour tout u_2 > U_b^-.
• Pour u_2 décroissant à partir de valeurs élevées : tant que u_2 > U_b^+, la sortie reste au niveau bas s = -U_s. Dès que u_2 franchit vers le bas le seuil U_b^+, \varepsilon devient positif et la sortie bascule à s = +U_s.

On en déduit la caractéristique statique s = f(u_2) représentée ci-dessous, parcourue dans le sens horaire :

Conclusion :

• L'hystérésis introduit une bande d'insensibilité de largeur \Delta U_b = U_b^- - U_b^+. Si l'amplitude des fluctuations ou du bruit résiduel sur u_2 est inférieure à \Delta U_b, les basculements intempestifs et le phénomène de « broutage » observés avec le comparateur simple sont totalement supprimés.
• En calibrant les tensions de seuil telles que U_b^+ = k \times 6{,}8 et U_b^- = k \times 7{,}2, le trigger permet d'injecter la solution \mathrm{pH}^- uniquement lorsque le milieu est trop basique (\mathrm{pH} > 7{,}2 \iff u_2 > U_b^-) et la solution \mathrm{pH}^+ uniquement lorsqu'il est trop acide (\mathrm{pH} < 6{,}8 \iff u_2 < U_b^+), régulant ainsi efficacement le digesteur dans sa fourchette optimale de fonctionnement sans user prématurément les actionneurs.