Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2025

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath} au gradient du champ scalaire de température T au sein du matériau conducteur :

où \lambda > 0 désigne la conductivité thermique du milieu (exprimée en \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}}).

Justification du signe « - » :

• Par définition mathématique, le vecteur gradient \vec{\mathrm{grad}}\, T pointe vers les zones de température croissante (les zones les plus chaudes).
• Conformément au second principe de la thermodynamique, le transfert thermique s'effectue spontanément des régions les plus chaudes vers les régions les plus froides (sens des températures décroissantes).

Le signe « - » assure ainsi que le vecteur densité de courant thermique \vec{\jmath} est orienté dans le sens opposé au gradient de température, c'est-à-dire dans le sens réel de propagation de l'énergie thermique.

Considérons le système fermé constitué par la tranche d'isolant comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de surface S, pendant l'intervalle de temps \mathrm{d}t.

Son volume élémentaire est \mathrm{d}V = S \, \mathrm{d}x et sa masse est :

Le matériau étant au repos, indéformable et sans travail mécanique reçu (\delta W = 0), le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche entre les instants t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

Pour cette phase condensée de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'exprime par :

Le transfert thermique \delta Q reçu par la tranche provient exclusivement de la conduction à travers les deux faces d'aire S situées en x et x + \mathrm{d}x :

où \Phi(x, t) = j(x, t) \, S désigne le flux thermique orienté selon \vec{u}_x. Au premier ordre en \mathrm{d}x, on a :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U = \delta Q et en simplifiant par S \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de l'énergie (en l'absence de source interne de chaleur) :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle rappelée à la question Q1, j(x, t) = -\lambda \, \frac{\partial T}{\partial x}. La conductivité thermique \lambda étant supposée constante et uniforme dans le matériau, il vient :

En réinjectant cette expression, on obtient finalement l'équation de la diffusion thermique :

ou encore \dfrac{\partial T}{\partial t} = D \, \dfrac{\partial^2 T}{\partial x^2}, où D = \dfrac{\lambda}{\rho \, c} est la diffusivité thermique du milieu.

Par analogie avec la loi d'Ohm électrique, la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'une paroi plane séparant deux surfaces isothermes à des températures T(0) et T(d) est définie par le rapport de la différence de température entre ses faces au flux thermique \Phi qui la traverse (orienté de la face à x=0 vers la face à x=d) :

En régime stationnaire (\partial / \partial t = 0), l'équation de la diffusion thermique établie à la question Q2 devient :

La dérivée spatiale de la température est donc uniforme dans l'épaisseur de la couche :

Le flux thermique \Phi traversant la surface plane d'aire S orientée selon \vec{u}_x s'exprime grâce à la loi de Fourier (Q1) :

En identifiant avec la définition de la résistance thermique, on obtient :

Pour un écart de température donné \Delta T entre l'intérieur et l'extérieur de l'habitation, les déperditions thermiques à travers le toit non isolé correspondent à un flux thermique :

Après pose de la couche isolante, le toit et l'isolant sont traversés par le même flux thermique en régime stationnaire : ils sont donc associés en série. La résistance thermique totale de la toiture isolée s'écrit :

Le flux thermique de déperdition devient alors :

On souhaite diviser les pertes thermiques par 10, soit \Phi = \dfrac{\Phi_0}{10} :

On en déduit l'expression de la résistance thermique de l'isolant :

D'après la question Q3, la résistance thermique conductive d'une couche d'isolant d'épaisseur d, de section S et de conductivité thermique \lambda s'écrit :

D'après la question Q4, la condition de réduction des pertes thermiques impose R_{\text{th,iso}} = 9\,R_{\text{th,toit}}. On en déduit l'expression littérale de l'épaisseur requise :

On remarque que le produit S \times R_{\text{th,toit}} vaut :

Application numérique :

• Pour la laine de verre (\lambda_{\ell} = 0{,}032\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) :

  d_{\ell} = 9 \times 0{,}032 \times 1{,}0 = 0{,}288\text{ m}

  Soit, avec deux chiffres significatifs :

  \boxed{d_{\ell} = 0{,}29\text{ m} = 29\text{ cm}}

• Pour l'ouate de cellulose (\lambda_{\mathrm{o}} = 0{,}040\text{ W}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) :

  d_{\mathrm{o}} = 9 \times 0{,}040 \times 1{,}0 = 0{,}36\text{ m}

  Soit :

  \boxed{d_{\mathrm{o}} = 0{,}36\text{ m} = 36\text{ cm}}

La température imposée en x=0 est modélisée par une fonction sinusoïdale du temps :

Les valeurs maximale et minimale de la fonction cosinus étant respectivement +1 et -1, les températures extrémales s'écrivent :

On en déduit la température moyenne T_0 et l'amplitude des variations T_1 :

L'évolution de la température étant journalière, la période du phénomène est égale à un jour, soit \mathcal{T} = 24\text{ h}. La pulsation associée \omega s'exprime par :

Numériquement, avec \pi \approx 3{,}14 :

D'après la question Q2, le champ de température vérifie l'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle :

Par linéarité de l'équation différentielle, la fonction complexe \underline{T}(x,t) = T_0 + \underline{f}(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} vérifie cette même équation :

Calculons les dérivées partielles nécessaires :

En injectant ces expressions dans l'équation de diffusion, on obtient :

Le terme exponentiel \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} ne s'annulant jamais, on simplifie pour aboutir à l'équation différentielle spatiale satisfaite par \underline{f}(x) :

D'après la question Q7, la fonction \underline{f}(x) vérifie l'équation différentielle :

La forme de la solution donnée par l'énoncé s'écrit :

En dérivant deux fois par rapport à x, on obtient :

Le carré de la racine caractéristique vaut :

En identifiant avec l'équation différentielle r^2 = \dfrac{\mathrm{i}\rho c \omega}{\lambda}, il vient :

La constante \delta étant positive :

L'argument de la fonction exponentielle (1+\mathrm{i})\dfrac{x}{\delta} étant sans dimension, \delta a la même dimension que la coordonnée spatiale x :

La grandeur \delta est homogène à une longueur (et s'exprime en mètres, \mathrm{m}).

La solution générale sous forme complexe s'écrit :

Le terme dépendant de (\omega t + x/\delta) correspond à une onde se propageant vers les x décroissants, tandis que le terme dépendant de (\omega t - x/\delta) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants (à phase constante, \omega t - x/\delta = \mathrm{cte} \implies x(t) = \omega\delta t + \mathrm{cte}, avec \omega\delta > 0).

Conformément à la consigne, on ne conserve que l'onde se propageant vers les x croissants, d'où :

La fonction complexe s'écrit donc :

En x = 0, la condition aux limites imposée par l'équation (1) est :

Or \underline{T}(0, t) = T_0 + \underline{B}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, d'où par identification immédiate avec T_1 \in \mathbb{R}^+ :

En prenant la partie réelle de \underline{T}(x, t), on obtient le champ de température réel :

Évaluons ce champ à l'intérieur du logement, au niveau du plafond en x = d :

Par comparaison avec la relation (4) proposée par l'énoncé, à savoir T(x = d, t) = T_0 + T_1\,\mathrm{e}^{-d/\delta}\cos[\omega(t - \tau)], on identifie :

En remplaçant \delta par son expression établie à la question Q8, \delta = \sqrt{\dfrac{2\lambda}{\rho c \omega}}, on obtient :

D'après les expressions de T(0, t) et T(d, t) établies aux questions Q6 et Q9 :

Les oscillations de température en x = 0 et en x = d sont en opposition de phase si le déphasage satisfait :

Le plus petit déphasage temporel strictement positif associé est donc :

Sachant que \omega = \frac{\pi}{12}\text{ rad}\cdot\mathrm{h}^{-1} (période journalière \mathcal{T} = 24\text{ h}), on obtient :

Comparons à présent les deux configurations envisagées :

• Laine de verre : \tau_{\ell} = 5{,}3\text{ h} ;
• Ouate de cellulose : \tau_{\mathrm{o}} = 11\text{ h}.

La valeur \tau_{\mathrm{o}} = 11\text{ h} est très proche de la valeur optimale de 12\text{ h} (écart de seulement 1\text{ h}), alors que la laine de verre présente un retard insuffisant (\tau_{\ell} = 5{,}3\text{ h}).

Considérons un volume cylindrique de directrice parallèle à l'axe (Ox), de section droite d'aire S quelconque dans le plan (yOz), délimité par les plans x = -e_1 et x = e_2.

La charge électrique totale contenue dans ce volume s'obtient par intégration de la densité volumique de charge :

La neutralité électrique globale de la zone de déplétion impose Q_{\mathrm{tot}} = 0 pour toute section S, ce qui conduit à la condition littérale :

ou de manière équivalente, sachant que \rho_2 < 0 :

L'équation locale de Maxwell-Gauss relie le champ électrostatique \vec{E} à la distribution volumique de charge \rho en tout point de l'espace :

Pour établir la forme intégrale, on considère un volume arbitraire \mathcal{V} délimité par une surface fermée \Sigma, orientée conventionnellement vers l'extérieur par le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S}.

En intégrant l'équation de Maxwell-Gauss sur le volume \mathcal{V}, on obtient :

D'une part, le théorème de Green-Ostrogradsky (théorème de flux-divergence) transforme l'intégrale volumique de la divergence en flux sortant à travers la surface fermée \Sigma :

D'autre part, la charge totale contenue à l'intérieur du volume \mathcal{V} est donnée par :

On en déduit l'expression intégrale du théorème de Gauss :

On repère un point de l'espace par ses coordonnées cartésiennes \mathrm{M}(x,y,z) dans la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

Invariances et dépendance spatiale La distribution de charges est constituée de deux couches planes d'extension infinie selon Oy et Oz, avec des densités volumiques \rho dépendant uniquement de x :

La distribution est donc invariante par toute translation selon \vec{u}_y et selon \vec{u}_z. Par conséquent, les composantes du champ électrostatique ne dépendent ni de y ni de z : le champ ne dépend que de l'unique variable spatiale x.

Symétries et direction du champ Soit \mathrm{M}(x,y,z) un point quelconque de l'espace. Considérons les deux plans passant par \mathrm{M} suivants :

• le plan \Pi_1 parallèle au plan (xOy), d'équation Z = z ;
• le plan \Pi_2 parallèle au plan (xOz), d'équation Y = y.

Comme la densité de charge ne dépend que de la coordonnée x, elle est invariante par réflexion par rapport à \Pi_1 et par rapport à \Pi_2. Ces deux plans sont donc des plans de symétrie de la distribution de charges.

D'après les propriétés de symétrie du champ électrostatique, le vecteur \vec{E}(\mathrm{M}) est contenu dans tout plan de symétrie passant par \mathrm{M}. Il appartient ainsi à l'intersection de \Pi_1 et \Pi_2, qui est la droite passant par \mathrm{M} dirigée selon \vec{u}_x :

En combinant l'étude des invariances et des symétries, le champ électrostatique s'écrit en tout point \mathrm{M} de l'espace :

Dans le domaine d'étude, \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x} = \frac{\rho(x)}{\varepsilon_0}.

1. Première zone : pour x \in [-e_1, \, 0], la densité volumique de charge vaut \rho(x) = \rho_1. En intégrant entre -e_1 et x, et sachant que E(-e_1) = 0 par continuité avec l'extérieur :

En particulier, à l'interface x = 0, la continuité donne E(0) = \frac{\rho_1 e_1}{\varepsilon_0}.

2. Seconde zone : pour x \in [0, \, e_2], la densité volumique de charge vaut \rho(x) = \rho_2. En intégrant entre x et e_2, et compte tenu de E(e_2) = 0 :

D'après la relation de neutralité de la question Q11, \rho_2 = -\rho_1\,\frac{e_1}{e_2}. En injectant cette expression, on obtient :

On remarque que pour x = 0, cette expression redonne bien E(0) = \frac{\rho_1 e_1}{\varepsilon_0}, ce qui confirme la continuité du champ en x = 0.

Le champ électrostatique à l'intérieur de la zone de déplétion s'écrit donc :

D'après les résultats de la question Q14, le champ électrostatique \vec{E}(x) = E(x)\,\vec{u}_x est colinéaire à \vec{u}_x et sa composante E(x) est positive ou nulle sur tout l'espace :

La norme de \vec{E}(M) est donc une fonction continue affine par morceaux :

• nulle pour x \le -e_1 et pour x \ge e_2 ;
• croissant linéairement de 0 à E_{\max} sur [-e_1, 0] avec une pente \dfrac{\rho_1}{\varepsilon_0} > 0 ;
• décroissant linéairement de E_{\max} à 0 sur [0, e_2] avec une pente \dfrac{\rho_2}{\varepsilon_0} = -\dfrac{\rho_1 e_1}{\varepsilon_0 e_2} < 0.

Le maximum est atteint à l'interface métallurgique x = 0 :

D'après les résultats des questions Q14 et Q15, le champ électrostatique régnant dans la zone de déplétion est orienté selon les x croissants :

Ce champ est donc dirigé de la région dopée N vers la région dopée P.

• Action sur les électrons : les électrons libres portent une charge négative q = -e < 0. Ils subissent donc une force électrostatique :

  \vec{F}_e = -e\,\vec{E} = -e\,E(x)\,\vec{u}_x

  orientée vers les x décroissants (vers la région N). Cette force s'oppose directement au mouvement spontané de diffusion des électrons de N vers P.

• Action sur les trous : de façon symétrique, les trous (porteurs de charge positive +e) subissent une force \vec{F}_h = +e\,\vec{E} orientée vers la région P, s'opposant à leur diffusion vers la région N.

Un état d'équilibre thermodynamique s'établit lorsque le courant de dérive (migration sous l'effet du champ électrique) compense exactement le courant de diffusion dû au gradient de concentration des porteurs : le transfert net de charges cesse.

En convention générateur, la puissance électrique \mathcal{P} délivrée par le panneau photovoltaïque s'écrit :

Une courbe iso-puissance correspond à l'ensemble des points de fonctionnement (U, I) pour lesquels la puissance fournie \mathcal{P} est constante. On obtient ainsi la relation mathématique :

Commentaire sur la forme :

• Dans le quadrant où U > 0 et I > 0, cette relation correspond à une branche d'hyperbole équilatère.
• La fonction U \mapsto \frac{\mathcal{P}}{U} est strictement décroissante et convexe.
• Elle admet l'axe des ordonnées (U = 0) pour asymptote verticale et l'axe des abscisses (I = 0) pour asymptote horizontale.
• Sur le graphique de la figure 3, plus la puissance \mathcal{P} est élevée (par exemple 25 W, 50 W, 75 W, 100 W), plus la branche d'hyperbole s'éloigne de l'origine des axes.

1. Justification qualitative de l'existence d'un maximum de puissance

Le point de fonctionnement (U, I) du circuit fermé sur la résistance R est l'intersection entre la caractéristique du panneau solaire I = f(U) en convention générateur et celle du conducteur ohmique U = R\,I (soit I = \frac{U}{R}) en convention récepteur. La puissance électrique reçue par le résistor est :

• Dans la limite d'un court-circuit (R \to 0), la tension s'annule (U \to 0) tandis que le courant atteint le courant de court-circuit I_{\mathrm{cc}} \approx 5{,}3\,\mathrm{A} ; la puissance fournie tend vers zéro :

  \lim_{R \to 0} \mathcal{P}(R) = 0

• Dans la limite d'un circuit ouvert (R \to +\infty), le courant s'annule (I \to 0) tandis que la tension atteint la tension à vide U_{\mathrm{co}} \approx 22\,\mathrm{V} ; la puissance fournie tend également vers zéro :

  \lim_{R \to +\infty} \mathcal{P}(R) = 0

La fonction \mathcal{P}(R) étant continue, strictement positive sur ]0, +\infty[ et nulle aux deux bornes, elle admet nécessairement au moins un maximum en une valeur particulière R^\star \in ]0, +\infty[.

2. Détermination graphique de \mathcal{P}_{\max} et de R^\star pour une irradiance de 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2}

Sur la figure 3, les courbes iso-puissance sont espacées de 5\,\mathrm{W}. La caractéristique pour 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2} est tangente à la deuxième courbe iso-puissance située au-dessus de la ligne repérée 75\,\mathrm{W}, soit la courbe :

La puissance maximale délivrée par le panneau vaut donc :

Au point de tangence (point de fonctionnement à puissance maximale), on lit les coordonnées :

On en déduit la résistance optimale correspondante :

Le rendement énergétique \eta du panneau photovoltaïque est défini comme le rapport entre la puissance électrique maximale \mathcal{P}_{\max} fournie par le panneau et la puissance radiative totale \mathcal{P}_{\text{inc}} du rayonnement solaire incident intercepté par la surface active du panneau :

La puissance solaire incidente s'exprime en fonction de l'irradiance (flux solaire surfacique) \Pi = 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2} = 1{,}0\cdot 10^3\,\mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2} et de la surface totale S_{\text{tot}} occupée par les N = 36 cellules carrées de côté c :

D'après la question Q18, pour \Pi = 1\,\mathrm{kW}\cdot\mathrm{m}^{-2}, la puissance maximale fournie vaut \mathcal{P}_{\max} \approx 85\,\mathrm{W}.

En utilisant l'approximation numérique suggérée par l'énoncé, c \approx \frac{1}{8}\,\mathrm{m} :

La puissance solaire incidente est donc :

Le rendement vaut ainsi :

Comparaison aux données de l'énoncé :
Le panneau étudié comporte des cellules en silicium polycristallin, dont la plage de rendement typique fournie dans le tableau de début de partie est [13\,\% - 18\,\%]. La valeur obtenue, voisine de 15\,\%, se situe précisément au cœur de cet intervalle, ce qui confirme la cohérence du résultat.

Chaque branche est constituée de y générateurs identiques associés en série (chacun de force électromotrice E et de résistance interne r). Le modèle de Thévenin d'une branche est donc :

Le circuit complet associe en parallèle x branches identiques. Par symétrie et lois d'association :

• la force électromotrice à vide de l'ensemble reste égale à celle d'une branche :

  E_{\text{Th}} = E_{\text{branche}} = y E

• la résistance interne équivalente est celle de x résistances r_{\text{branche}} en dérivation :

  r_{\text{Th}} = \frac{r_{\text{branche}}}{x} = \frac{y r}{x}

Le nombre total de cellules étant fixé à N = x y, on a y = \dfrac{N}{x}, d'où :

La résistance de charge R est connectée aux bornes de ce générateur de Thévenin équivalent (E_{\text{Th}}, r_{\text{Th}}). La formule du pont diviseur de tension donne directement :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par x^2 :

La puissance électrique reçue par la résistance R s'écrit :

En utilisant l'expression de U établie à la question Q20 :

on obtient :

Pour trouver la valeur de x > 0 maximisant \mathcal{P}_R(x), on dérive par rapport à x :

Comme x > 0, le dénominateur et le facteur 2 N^2 E^2 R x sont strictement positifs. La dérivée s'annule et change de signe de positif à négatif en :

Cette valeur correspond bien à un maximum global de la puissance. On en déduit l'expression de x :

Sachant que N = x \times y, on en déduit l'expression de y :

soit :

À la question Q21, le maximum de puissance correspond à l'adaptation de résistance r_{\text{Th}} = R, soit :

La f.é.m. de Thévenin équivalente du générateur vaut alors :

Le courant total débité dans la résistance de charge R s'écrit :

La puissance maximale \mathcal{P}_{\max} transmise au conducteur ohmique R est donc :

Par symétrie, les x branches en parallèle étant identiques, le courant circulant dans chaque branche vaut :

Chaque branche contient y résistances internes r en série. La puissance dissipée par effet Joule dans l'ensemble des N = x y résistances est donc :

Comme r_{\text{Th}} = R, on retrouve exactement :

Commentaire :

• Égalité des puissances et rendement électrique : À l'adaptation d'impédance, la puissance fournie à la charge est strictement égale à la puissance dissipée par effet Joule dans les générateurs (\mathcal{P}_{\mathrm{J}} = \mathcal{P}_{\max}). Le rendement électrique du générateur est donc de :

  \eta_{\text{elec}} = \frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\text{tot}}} = \frac{\mathcal{P}_{\max}}{\mathcal{P}_{\max} + \mathcal{P}_{\mathrm{J}}} = 50\,\%

  Le régime d'adaptation de puissance ne maximise pas le rendement énergétique, la moitié de l'énergie électrique produite étant perdue sous forme de chaleur dans les cellules.

• Caractère extensif : La puissance maximale extractible \mathcal{P}_{\max} est directement proportionnelle au nombre total de cellules N et ne dépend que des caractéristiques intrinsèques E et r d'une cellule individuelle (pourvu que l'agencement (x, y) soit adapté à la charge R).

Notons V_A le potentiel au point milieu de la branche de gauche (entre \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_4) et V_B celui de la branche de droite (entre \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_3). D'après la flèche de tension sur le schéma, la tension de sortie s'écrit :

Étudions les deux phases de fonctionnement au cours d'une période T :

• Pour t \in \left]0, \frac{T}{2}\right[ : les interrupteurs \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont fermés, tandis que \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont ouverts. Le point A est relié à la borne positive du générateur (V_A = E) et le point B à sa borne négative (V_B = 0). Il vient donc :

  u(t) = +E

• Pour t \in \left]\frac{T}{2}, T\right[ : les interrupteurs \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont fermés, tandis que \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont ouverts. Le point B est relié à la borne positive (V_B = E) et le point A à la borne négative (V_A = 0). Il vient donc :

  u(t) = -E

Le fonctionnement étant périodique de période T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 20\text{ ms}, la tension u(t) est un signal rectangulaire alternatif symétrique (créneau) de valeur crête E.

Sur deux périodes, soit pour t \in [0, 2T], le graphe de la tension u(t) est le suivant :

D'après l'expression fournie par l'énoncé :

Le facteur 1 - \cos(n\pi) = 1 - (-1)^n vaut :

• 0 si n est pair ;
• 2 si n est impair, d'où b_n = \dfrac{4E}{n\pi}.

Le signal ne comporte donc que des harmoniques de rangs impairs :

• Pour le fondamental (n=1, fréquence \nu_1 = f) :

  b_1 = \frac{4E}{\pi} \approx 1{,}27\,E
• Pour n=2 (\nu_2 = 2f) : b_2 = 0.

• Pour l'harmonique 3 (n=3, fréquence \nu_3 = 3f) :

  b_3 = \frac{4E}{3\pi} = \frac{b_1}{3} \approx 0{,}42\,E
• Pour n=4 (\nu_4 = 4f) : b_4 = 0.

• Pour l'harmonique 5 (n=5, fréquence \nu_5 = 5f) :

  b_5 = \frac{4E}{5\pi} = \frac{b_1}{5} \approx 0{,}25\,E

Le spectre d'amplitude est un spectre de raies représenté ci-dessous :

D'après la figure 5 du sujet, la tension u(t) est orientée de telle sorte que u(t) = V_{\mathrm{G}} - V_{\mathrm{D}}, où V_{\mathrm{G}} est le potentiel du nœud situé entre \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_4, et V_{\mathrm{D}} celui entre \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_3.

Analysons les configurations présentées dans le tableau 1 :

• Configuration 1 : t \in ]0, \tau[ et t \in ]T - \tau, T[ \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_2 sont ouverts ; \mathrm{K}_4 et \mathrm{K}_3 sont fermés. Les deux bornes de la charge sont reliées au pôle négatif du générateur : la charge est court-circuitée par le bas, donc :

  u(t) = 0

• Configuration 2 : t \in ]\tau, T/2 - \tau[ \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont fermés ; \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont ouverts. La borne gauche est reliée au pôle positif et la borne droite au pôle négatif :

  u(t) = +E

• Configuration 3 : t \in ]T/2 - \tau, T/2 + \tau[ \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_2 sont fermés ; \mathrm{K}_3 et \mathrm{K}_4 sont ouverts. Les deux bornes de la charge sont reliées au pôle positif du générateur : la charge est court-circuitée par le haut, d'où :

  u(t) = 0

• Configuration 4 : t \in ]T/2 + \tau, T - \tau[ \mathrm{K}_2 et \mathrm{K}_4 sont fermés ; \mathrm{K}_1 et \mathrm{K}_3 sont ouverts. La borne droite est reliée au pôle positif et la borne gauche au pôle négatif :

  u(t) = -E

Tracé du signal u(t) sur l'intervalle ]0, T[ :

Pour un signal u(t) de période T, la valeur moyenne U_0 et la valeur efficace U_{\mathrm{eff}} sont définies par :

D'après la question Q25, le signal u(t) vaut :

• +E sur l'intervalle [\tau, T/2 - \tau], de durée \Delta t_1 = \dfrac{T}{2} - 2\tau ;
• -E sur l'intervalle [T/2 + \tau, T - \tau], de durée \Delta t_2 = \dfrac{T}{2} - 2\tau ;
• 0 sur le reste de la période.

Calcul de la valeur moyenne U_0 :

Calcul de la valeur efficace U_{\mathrm{eff}} : La grandeur u^2(t) est nulle lorsque u(t) = 0 et vaut (\pm E)^2 = E^2 pendant les deux créneaux non nuls, soit sur une durée cumulée \Delta t_{\text{tot}} = \Delta t_1 + \Delta t_2 = T - 4\tau :

D'où l'expression de la valeur efficace :

D'après la formule (6) de l'énoncé, le mode fondamental correspond au terme de rang n = 1 de la série de Fourier de u(t) :

Pour les valeurs usuelles de réglage (\tau < T/4), le coefficient d'amplitude b_1 est strictement positif. Le fondamental u_1(t) est donc un signal sinusoïdal de même période T = 1/f que u(t), caractérisé par :

• des passages par zéro en t = 0, t = T/2 et t = T ;
• un maximum positif en t = T/4, correspondant précisément au centre de l'intervalle d'application du palier +E ;
• un minimum négatif en t = 3T/4, correspondant au centre de l'intervalle d'application du palier -E.

On représente ci-dessous le signal en créneaux u(t) tracé à la question Q25 ainsi que l'allure du mode fondamental u_1(t) :

D'après l'expression fournie par l'équation (6) :

Pour tout entier pair n = 2p, \cos(2p\pi) = 1, de sorte que b_n = 0.

Pour un entier impair n, on a 1 - \cos(n\pi) = 2, ce qui donne :

Le terme n = 1 correspond au mode fondamental. Les harmoniques correspondent aux entiers n \ge 2. L'harmonique n=2 étant identiquement nulle, la première harmonique non identiquement nulle est celle de rang n = 3, de fréquence 3f.

Son amplitude s'annule si et seulement si b_3 = 0, soit :

La plus petite valeur strictement positive de \tau est obtenue pour k = 0, soit :

On vérifie bien que \tau = \frac{T}{12} < \frac{T}{2}, ce qui est compatible avec le domaine de définition de la commande décalée.

Application numérique : Avec f = 50\text{ Hz}, soit une période T = \frac{1}{f} = 20\text{ ms} :

Le but de ce montage est de conserver la composante fondamentale de fréquence f = 50\text{ Hz} tout en atténuant les harmoniques de fréquences multiples plus élevées (5f, 7f, \dots) afin de rendre la tension la plus sinusoïdale possible : on cherche donc à réaliser un filtre passe-bas.

Analysons qualitativement le comportement du circuit LR série :

• à basse fréquence (\omega \to 0), la bobine se comporte comme un fil (court-circuit). La tension d'entrée se retrouve alors intégralement aux bornes de la résistance R : la tension v(t) n'est pas atténuée ;
• à haute fréquence (\omega \to \infty), l'impédance de la bobine devient prépondérante et elle tend vers un circuit ouvert. La quasi-totalité de la tension chute aux bornes de l'inductance, et la tension aux bornes de R tend vers zéro : les composantes de fréquences élevées (les harmoniques) sont fortement atténuées.

Prélever la tension aux bornes du conducteur ohmique R réalise ainsi un filtre passe-bas, adapté au lissage de la tension.

À l'inverse, prélever la sortie aux bornes de la bobine L donnerait un filtre passe-haut, ce qui aurait pour effet indésirable d'amplifier les harmoniques et d'atténuer le fondamental.

En régime sinusoïdal établi de pulsation \omega, les impédances complexes de la bobine idéale et du conducteur ohmique s'écrivent respectivement :

Le conducteur ohmique et la bobine étant montés en série et parcourus par le même courant, la formule du pont diviseur de tension donne directement :

On en déduit l'expression de la fonction de transfert sous forme canonique :

Le gain du filtre est donné par le module de la fonction de transfert :

Le gain statique maximal vaut H_0 = 1. Par définition, la pulsation de coupure à -3\text{ dB} vérifie G(\omega_{\mathrm{c}}) = \dfrac{H_0}{\sqrt{2}}, ce qui se traduit par :

Comme \omega_{\mathrm{c}} = 2\pi f_{\mathrm{c}}, la fréquence de coupure s'écrit :

D'après la question Q30, la fréquence de coupure du filtre passe-bas s'écrit :

À résistance R fixée, la fréquence de coupure f_{\mathrm{c}} est inversement proportionnelle à l'inductance L.

• Si L est trop petite : la fréquence de coupure f_{\mathrm{c}} est très élevée (f_{\mathrm{c}} \gg f). La bande passante du filtre est alors trop large : les harmoniques de rang supérieur (5f, 7f, \dots) ne sont quasiment pas atténuées. Le signal de sortie v(t) reste très déformé, ce qui entraîne une pollution harmonique inacceptable pour l'injection sur le réseau électrique.
• Si L est trop grande : la fréquence de coupure devient trop basse (f_{\mathrm{c}} < f). La composante fondamentale à la fréquence f = 50\text{ Hz} se trouve alors dans la bande atténuée du filtre : elle subit une forte atténuation en amplitude ainsi qu'un déphasage important, ce qui dégrade l'efficacité du transfert de puissance vers le réseau. De surcroît, une valeur de L très élevée nécessite une bobine volumineuse, lourde, coûteuse et présentant une résistance série parasite non négligeable génératrice de pertes par effet Joule supplémentaires.

Le choix de l'inductance L est donc un compromis : elle doit être suffisamment grande pour atténuer efficacement les harmoniques indésirables, mais suffisamment petite pour transmettre la composante fondamentale sans atténuation excessive, ce qui conduit à choisir f_{\mathrm{c}} \approx f.

D'après la fonction de transfert établie à la question Q30 :

Le gain en décibels vaut :

L'atténuation apportée par le filtre, définie positivement par A_{\mathrm{dB}}(f) = -G_{\mathrm{dB}}(f), s'écrit donc :

1. Vérification du cahier des charges :

• Pour la composante fondamentale (f = f_1 = f = f_{\mathrm{c}}) :

  \begin{aligned} A_{\mathrm{dB}}(f_1) &= 10\log(1 + 1^2) = 10\log(2) \\ A_{\mathrm{dB}}(f_1) &\approx 10 \times 0{,}30 = 3{,}0\text{ dB} \end{aligned}

  Cette valeur est inférieure à 4\text{ dB}, le fondamental n'est donc pas atténué de plus de 4\text{ dB}. Le premier critère est validé.

• Pour la première harmonique non nulle : Le signal u(t) ne contient que des harmoniques impaires car 1 - \cos(n\pi) = 0 pour n pair. De plus, le choix de \tau à la question Q28 élimine l'harmonique de rang 3 (b_3 = 0). La première harmonique non nulle est donc l'harmonique de rang 5, de fréquence f_5 = 5f = 5f_{\mathrm{c}}.

  \begin{aligned} A_{\mathrm{dB}}(f_5) &= 10\log\left(1 + 5^2\right) = 10\log(26) \\ A_{\mathrm{dB}}(f_5) &\approx 10 \times 1{,}41 = 14{,}1\text{ dB} \end{aligned}

  Cette valeur est strictement supérieure à 14\text{ dB}. Le second critère est donc également validé.

Le cahier des charges est ainsi pleinement respecté.

2. Calcul de l'inductance L : La condition f_{\mathrm{c}} = f donne :

Avec R = 100\,\Omega et f = 50\text{ Hz} :

Pour atténuer plus efficacement les harmoniques résiduelles sans dégrader le fondamental, on peut agir sur deux plans :

1. Amélioration du filtrage (solution matérielle en aval) :

   • Utiliser un filtre passe-bas d'ordre supérieur (par exemple un filtre passif du second ordre de type LC, RLC ou en cellule LCL). La pente de réjection en haute fréquence passe ainsi de -20\text{ dB/décade} (ordre 1) à -40\text{ dB/décade} (ordre 2), ce qui permet d'atténuer beaucoup plus fortement les harmoniques de rangs 5, 7, etc., tout en préservant le fondamental.
   • Insérer des filtres résonants accordés (circuits bouchons ou pièges harmoniques LC) réglés sur les fréquences harmoniques dominantes restantes (5f, 7f).

2. Amélioration de la commande de l'onduleur (solution logicielle en amont) :

   • Mettre en œuvre une commande par Modulation de Largeur d'Impulsion (MLI ou PWM). En découpant la tension à une fréquence porteuse très supérieure à la fréquence du réseau (f_{\text{découpage}} \gg f), le spectre harmonique est repoussé au voisinage de cette fréquence élevée, rendant le filtrage passif nettement plus simple et très efficace.
   • Utiliser une structure d'onduleur multiniveaux afin de générer une forme d'onde en escalier plus proche d'un signal sinusoïdal.

Sur le schéma de la figure 7 :

• L'entrée inverseuse (borne - de potentiel V^-) est reliée directement à la sortie du capteur de niveau, fournissant la tension u_{\mathrm{cn}} : elle ne comporte aucune liaison avec la sortie de l'ALI.
• L'entrée non inverseuse (borne + de potentiel V^+) est reliée à la sortie de l'ALI par l'intermédiaire du dipôle de résistance R x : il existe donc une boucle de réaction (rétroaction positive) vers la borne non inverseuse.

En présence d'une rétroaction positive exclusive, le point de fonctionnement en régime linéaire est instable. L'ALI fonctionne par conséquent en régime de saturation (ou régime non linéaire).

La tension de sortie u_{\mathrm{s}} ne peut ainsi prendre que deux valeurs discrètes :

L'amplificateur linéaire d'intégration (ALI) étant supposé idéal, son impédance d'entrée est infinie : le courant entrant sur la borne non inverseuse est nul (i^+ = 0).

Le potentiel V^+ est donc celui du point milieu constitué par les deux résistances R_1 = xR et R_2 = (1-x)R, connectées respectivement aux potentiels u_{\mathrm{s}} et E.

En appliquant le théorème de Millman au nœud de potentiel V^+ :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par x(1-x)R :

On en déduit :

L'ALI fonctionnant en régime saturé (cf. Q34), la tension différentielle d'entrée est :

D'après la question Q35, le potentiel de l'entrée non inverseuse s'écrit V^+ = (1-x)u_{\mathrm{s}} + xE. Le signe de \varepsilon détermine l'état de la sortie :

• si \varepsilon > 0, soit u_{\mathrm{cn}} < V^+, alors u_{\mathrm{s}} = +U_{\mathrm{sat}} ;
• si \varepsilon < 0, soit u_{\mathrm{cn}} > V^+, alors u_{\mathrm{s}} = -U_{\mathrm{sat}}.

On distingue donc deux seuils de basculement selon la valeur de u_{\mathrm{s}} :

• Seuil haut V_{\mathrm{H}} (lorsque u_{\mathrm{s}} = +U_{\mathrm{sat}}) :

  V_{\mathrm{H}} = xE + (1-x)U_{\mathrm{sat}}

  Tant que u_{\mathrm{cn}} < V_{\mathrm{H}}, la sortie reste à +U_{\mathrm{sat}}. Dès que u_{\mathrm{cn}} dépasse V_{\mathrm{H}} par valeurs croissantes, la sortie bascule à -U_{\mathrm{sat}}.

• Seuil bas V_{\mathrm{B}} (lorsque u_{\mathrm{s}} = -U_{\mathrm{sat}}) :

  V_{\mathrm{B}} = xE - (1-x)U_{\mathrm{sat}}

  Tant que u_{\mathrm{cn}} > V_{\mathrm{B}}, la sortie reste à -U_{\mathrm{sat}}. Dès que u_{\mathrm{cn}} passe sous V_{\mathrm{B}} par valeurs décroissantes, la sortie bascule à +U_{\mathrm{sat}}.

Comme x \in [0, 1] et U_{\mathrm{sat}} > 0, la largeur d'hystérésis vaut :

On en déduit la caractéristique de transfert u_{\mathrm{s}} = f(u_{\mathrm{cn}}) :

Ce bloc réalise la fonction de comparateur à hystérésis inverseur (ou trigger de Schmitt inverseur).

Le fonctionnement cyclique de la régulation s'explique de la façon suivante :

• Phase de vidange (évaporation) : Lorsque la pompe est à l'arrêt (u_{\mathrm{s}} = -U_{\mathrm{sat}}), le niveau d'eau h diminue lentement par évaporation, ce qui entraîne une baisse de la tension délivrée par le capteur u_{\mathrm{cn}} = \alpha h.
• Enclenchement de la pompe : Dès que le niveau atteint la valeur minimale h_{\min}, la tension u_{\mathrm{cn}} franchit le seuil bas V_{\mathrm{B}}. La sortie de l'ALI bascule alors à u_{\mathrm{s}} = +U_{\mathrm{sat}}, ce qui ferme le relais et met la pompe en marche.
• Phase de remplissage : La pompe injectant de l'eau, la hauteur h augmente, de même que u_{\mathrm{cn}}. Grâce à l'effet de mémoire du comparateur à hystérésis, la sortie reste maintenue à +U_{\mathrm{sat}} tant que le seuil haut n'est pas atteint.
• Arrêt de la pompe : Lorsque le niveau atteint la valeur maximale h_{\max}, la tension u_{\mathrm{cn}} dépasse le seuil haut V_{\mathrm{H}}. La sortie bascule à u_{\mathrm{s}} = -U_{\mathrm{sat}}, ouvrant le relais et coupant la pompe. Le niveau peut alors à nouveau redescendre sous l'effet de l'évaporation.

Ce cycle de régulation « tout ou rien » assure ainsi le maintien permanent de la hauteur d'eau dans la plage souhaitée [h_{\min}, \, h_{\max}].

D'après la loi entrée-sortie du capteur, la tension de commande appliquée à l'entrée inverseuse de l'ALI vaut u_{\mathrm{cn}} = \alpha h. Le fonctionnement de la régulation impose les deux basculements suivants :

• Lorsque le niveau baisse par évaporation, la pompe est à l'arrêt (u_{\mathrm{s}} = -U_{\mathrm{sat}}). Elle doit démarrer (u_{\mathrm{s}} = +U_{\mathrm{sat}}) dès que le niveau atteint la hauteur minimale h_{\min}. D'après l'étude du cycle d'hystérésis (question Q36), ce basculement se produit lorsque u_{\mathrm{cn}} décroît et franchit par valeurs inférieures le seuil bas V_{\mathrm{B}} :

  V_{\mathrm{B}} = \alpha h_{\min}

• Lorsque la pompe fonctionne (u_{\mathrm{s}} = +U_{\mathrm{sat}}), le niveau d'eau monte. La pompe doit s'arrêter (u_{\mathrm{s}} = -U_{\mathrm{sat}}) dès que le niveau atteint la hauteur maximale h_{\max}. Ce basculement se produit lorsque u_{\mathrm{cn}} croît et franchit par valeurs supérieures le seuil haut V_{\mathrm{H}} :

  V_{\mathrm{H}} = \alpha h_{\max}

En remplaçant V_{\mathrm{B}} et V_{\mathrm{H}} par leurs expressions obtenues à la question Q36 :

on obtient le système d'équations liant E et x aux grandeurs imposées :

En effectuant la somme et la différence de ces deux équations, ce système s'écrit de manière équivalente et directement découplée en x et E sous la forme :

D'après le système d'équations établi à la question Q38 :

On en déduit les expressions littérales de x et E :

Avec les données numériques fournies :

• U_{\mathrm{sat}} = 10\text{ V} ;
• \alpha = 5\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} ;
• h_{\min} = 0{,}40\text{ m} ;
• h_{\max} = 1{,}00\text{ m}.

Calculons la largeur du cycle d'hystérésis et la valeur moyenne des seuils :

On calcule alors le paramètre x :

Puis la valeur de la tension d'alimentation E :

On applique le premier principe de la thermodynamique en système ouvert (ou théorème de Bernoulli généralisé) à l'écoulement d'eau supposé incompressible de masse volumique \rho, entre la surface libre du réservoir (état d'entrée noté \text{e}) et l'orifice de sortie du tuyau de refoulement (état de sortie noté \text{s}) :

• À la surface du réservoir : l'altitude est z_{\mathrm{e}}, la pression est P_{\mathrm{e}} = P_{\mathrm{atm}} et la vitesse est négligeable (v_{\mathrm{e}} \approx 0) car la section du réservoir S = 100\text{ m}^2 est très grande devant celle du tuyau.
• À la sortie du tuyau de refoulement débouchant dans l'air libre : l'altitude est z_{\mathrm{s}}, la pression est P_{\mathrm{s}} = P_{\mathrm{atm}} et la vitesse du fluide vaut v_{\mathrm{s}} = v.

La vitesse d'écoulement v dans le tuyau de section droite s = \frac{\pi d^2}{4} s'exprime en fonction du débit volumique D_{\mathrm{v}} par :

En l'absence de pertes de charge, le bilan d'énergie mécanique volumique (Bernoulli avec apport de travail utile) s'écrit :

Comme P_{\mathrm{s}} = P_{\mathrm{e}} = P_{\mathrm{atm}} et v_{\mathrm{e}} \approx 0, la puissance mécanique cédée par la pompe au fluide s'écrit :

Par définition du rendement électromécanique de la pompe, r = \frac{\mathcal{P}_{\text{fluide}}}{\mathcal{P}_{\mathrm{e}}}, d'où l'expression littérale de la puissance électrique \mathcal{P}_{\mathrm{e}} :

Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension défini, pour un écoulement en conduite cylindrique de diamètre intérieur d, par :

où \rho est la masse volumique du fluide, \eta sa viscosité dynamique et v la vitesse débitante (vitesse moyenne de l'écoulement).