Corrigé détaillé Mines Physique 1 MP 2022

La loi d'Ohm locale s'écrit :

où :

• \vec{\jmath} est le vecteur densité volumique de courant électrique, exprimé en ampères par mètre carré (\mathrm{A\cdot m^{-2}}) ;
• \vec{E} est le champ électrique, en volts par mètre (\mathrm{V\cdot m^{-1}}) ;
• \gamma_{\mathrm{w}} est la conductivité électrique du matériau, en siemens par mètre (\mathrm{S\cdot m^{-1}} ou \Omega^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1}) ;
• \rho_{\mathrm{w}} = 1/\gamma_{\mathrm{w}} est la résistivité électrique du matériau, en ohms-mètres (\Omega\cdot\mathrm{m}).

Pour un fil cylindrique rectiligne de section droite d'aire S = \frac{\pi d_{\mathrm{w}}^2}{4} et de longueur L_{\mathrm{w}}, parcouru par un courant d'intensité I continu et uniforme, la densité de courant est colinéaire à l'axe du fil et a pour norme :

Le champ électrique dans le fil est uniforme et vaut E = \rho_{\mathrm{w}} j = \rho_{\mathrm{w}} \frac{I}{S}. La différence de potentiel entre les extrémités du fil s'en déduit par intégration sur la longueur L_{\mathrm{w}} :

Par identification avec la relation tension-courant U = R_{\mathrm{w}} I, la résistance électrique totale du fil s'écrit :

La puissance totale dissipée par effet Joule dans le fil est alors donnée par :

Le volume total du fil étant \tau_{\mathrm{w}} = S L_{\mathrm{w}} = \frac{\pi d_{\mathrm{w}}^2 L_{\mathrm{w}}}{4}, et la dissipation étant spatialement uniforme, la puissance volumique dissipée par effet Joule vaut \mathcal{P}_{\mathrm{v}} = \vec{\jmath}\cdot\vec{E} = \frac{\mathcal{P}_{\mathrm{j}}}{\tau_{\mathrm{w}}} :

1. Loi de Fourier et définitions

La loi de Fourier régit le transfert thermique conductif dans un milieu continu isotrope :

où :

• \vec{\jmath}_{\mathrm{th}} est le vecteur densité volumique de courant thermique (ou flux thermique surfacique), exprimé en \mathrm{W\cdot m^{-2}} ;
• \lambda_{\mathrm{w}} est la conductivité thermique du matériau, exprimée en \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1}} ;
• T est la température locale, exprimée en kelvins (\mathrm{K}), et \vec{\mathrm{grad}}\, T son gradient spatial, en \mathrm{K\cdot m^{-1}}.

Une loi est dite phénoménologique lorsqu'elle repose sur une observation macroscopique et relie linéairement un flux à une force motrice (ici, le flux d'énergie thermique au gradient de température), sans être démontrée à partir des premiers principes de la mécanique microscopique (bien qu'elle puisse être justifiée par la physique statistique ou la théorie cinétique).

2. Conséquence de l'homogénéité sur chaque section

Si la température est homogène sur toute section droite d'abscisse x, le champ de température ne dépend que de la variable axiale x et du temps t :

Le gradient de température est donc purement longitudinal :

Il en découle que le vecteur densité de courant thermique est dirigé selon l'axe du fil :

3. Établissement de l'équation de diffusion thermique

Considérons comme système fermé une tranche fixe de fil comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite constante S = \frac{\pi d_{\mathrm{w}}^2}{4}, de volume \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x et de masse \mathrm{d}m = \mu_{\mathrm{w}} S\,\mathrm{d}x.

Le matériau étant en phase condensée indilatable et incompressible, sous pression extérieure constante, la variation d'énergie interne coïncide avec la variation d'enthalpie :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système entre t et t+\mathrm{d}t, en l'absence de terme source et d'échanges latéraux :

La chaleur reçue pendant \mathrm{d}t par conduction thermique à travers les sections d'entrée en x et de sortie en x+\mathrm{d}x s'écrit :

En injectant l'expression de la loi de Fourier j_{\mathrm{th}} = -\lambda_{\mathrm{w}} \frac{\partial T}{\partial x}, en supposant \lambda_{\mathrm{w}} uniforme :

En égalant les deux expressions et en simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

soit encore :

où D désigne la diffusivité thermique du fil.

D'après la loi de Newton rappelée dans l'énoncé :

La puissance thermique \delta \dot{Q}_{\mathrm{f}} s'exprime en watts (\mathrm{W}), l'élément de surface \mathrm{d}S en mètres carrés (\mathrm{m}^2) et l'écart de température T_{\mathrm{w}} - T_{\mathrm{f}} en kelvins (\mathrm{K}). On en déduit la dimension et l'unité de h :

Variation de h avec la vitesse V :
Lorsque la vitesse V de l'écoulement augmente, le renouvellement du fluide au voisinage immédiat du fil est accéléré. L'épaisseur de la couche limite thermique entourant le fil diminue, ce qui augmente le gradient de température pariétal et favorise le transfert thermique par convection forcée. Ainsi :

Évolution de T_{\mathrm{w}} :
En régime permanent et à intensité I imposée, l'énergie thermique dissipée par effet Joule dans le fil doit être évacuée vers le fluide. L'augmentation de la vitesse V accroît le coefficient d'échange h, ce qui améliore le refroidissement du fil. Pour évacuer la même puissance thermique, l'écart de température nécessaire T_{\mathrm{w}} - T_{\mathrm{f}} diminue :

Considérons le système fermé constitué par la tranche de fil comprise entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x, de section droite S = \dfrac{\pi d_{\mathrm{w}}^2}{4}, de volume \mathrm{d}\tau = S\,\mathrm{d}x et de surface latérale \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} = \pi d_{\mathrm{w}}\,\mathrm{d}x.

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Exprimons chacun des termes de ce bilan :

• Variation d'énergie interne (le solide étant indéformable) :

  \mathrm{d}U = \mu_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{w}} \mathrm{d}\tau \left[ T_{\mathrm{w}}(x, t+\mathrm{d}t) - T_{\mathrm{w}}(x, t) \right] = \mu_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{w}} S\,\mathrm{d}x\,\frac{\partial T_{\mathrm{w}}}{\partial t}\,\mathrm{d}t

• Transfert thermique par conduction axiale :

  \begin{aligned} \delta Q_{\mathrm{cond}} &= \left[ \Phi_{\mathrm{cond}}(x,t) - \Phi_{\mathrm{cond}}(x+\mathrm{d}x, t) \right] \mathrm{d}t = -\frac{\partial \Phi_{\mathrm{cond}}}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \\ &= -\frac{\partial}{\partial x}\left( -\lambda_{\mathrm{w}} S \frac{\partial T_{\mathrm{w}}}{\partial x} \right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = \lambda_{\mathrm{w}} S \frac{\partial^2 T_{\mathrm{w}}}{\partial x^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• Transfert thermique par conducto-convection latérale : le fil cède au fluide, d'après la loi de Newton (1), une énergie thermique à travers sa surface latérale \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}} :

  \delta Q_{\mathrm{conv}} = -\delta \dot{Q}_{\mathrm{f}}\,\mathrm{d}t = -h \left( T_{\mathrm{w}}(x,t) - T_{\mathrm{f}} \right) \mathrm{d}S_{\mathrm{lat}}\,\mathrm{d}t = -h \pi d_{\mathrm{w}} \left( T_{\mathrm{w}}(x,t) - T_{\mathrm{f}} \right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

• Puissance reçue par effet Joule : à partir de la puissance volumique \mathcal{P}_{\mathrm{v}} établie en question 1 :

  \delta W_{\mathrm{J}} = \mathcal{P}_{\mathrm{v}}\,\mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = \mathcal{P}_{\mathrm{v}} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t = \frac{16 \rho_{\mathrm{w}} I^2}{\pi^2 d_{\mathrm{w}}^4} S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

En rassemblant ces contributions dans le bilan et en divisant par \mathrm{d}\tau\,\mathrm{d}t = S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, avec le rapport de forme \dfrac{\mathrm{d}S_{\mathrm{lat}}}{\mathrm{d}\tau} = \dfrac{\pi d_{\mathrm{w}}}{S} = \dfrac{4}{d_{\mathrm{w}}}, on obtient :

En régime permanent, la température ne dépend plus du temps : \frac{\partial T_{\mathrm{w}}}{\partial t} = 0. Comme T_{\mathrm{f}} est constante, la fonction T_1(x) = T_{\mathrm{w}}(x) - T_{\mathrm{f}} vérifie :

D'après le résultat de la question Q1, la puissance volumique dissipée par effet Joule s'écrit :

En injectant la loi de variation de la résistivité \rho_{\mathrm{w}} = \rho_{\mathrm{f}} [1 + \alpha(T_{\mathrm{w}} - T_{\mathrm{f}})] = \rho_{\mathrm{f}} [1 + \alpha T_1(x)], on obtient :

L'équation du bilan énergétique obtenue à la question Q4 devient :

En divisant par la conductivité thermique \lambda_{\mathrm{w}} et en regroupant les termes :

Cette équation s'identifie à la forme (3) :

en posant :

et

On constate directement que :

La condition K_1 < 0 se traduit par :

Soit, en simplifiant par 4/(\lambda_{\mathrm{w}} d_{\mathrm{w}}) :

1. Résistance thermique et contact parfait

Par analogie avec la résistance électrique, la résistance thermique R_{\mathrm{th}} d'un milieu ou d'une interface traversé(e) par un flux thermique (ou puissance thermique) \Phi sous l'effet d'un écart de température \Delta T est définie par :

Elle s'exprime en kelvin par watt (\mathrm{K\cdot W^{-1}}).

Un contact sans résistance thermique (R_{\mathrm{th}} = 0) implique :

La conséquence est la continuité de la température à travers l'interface de contact. Les gaines étant à la température T_{\mathrm{f}}, les extrémités du fil sont maintenues à cette même température :

2. Solution générale de l'équation différentielle

Puisque K_1 < 0, on pose K_1 = -1/\ell_c^2. L'équation (3) s'écrit :

• Une solution particulière constante évidente est T_{1,\mathrm{part}} = K_2 \ell_c^2.

• L'équation homogène associée \frac{\mathrm{d}^2 T_1}{\mathrm{d}x^2} - \frac{1}{\ell_c^2} T_1 = 0 admet pour solution générale une combinaison de fonctions hyperboliques :

  T_{1,\mathrm{h}}(x) = A \cosh\left(\frac{x}{\ell_c}\right) + B \sinh\left(\frac{x}{\ell_c}\right)

La solution générale de l'équation (3) est donc :

où A et B sont deux constantes réelles d'intégration.

3. Profils de température T_1(x) et T_{\mathrm{w}}(x)

Le système présente une symétrie par réflexion par rapport au plan médian x = 0 : le terme source volumique Joule et le terme de perte conducto-convective sont pairs en x, et les conditions aux limites sont symétriques (T_1(-L_{\mathrm{w}}/2) = T_1(+L_{\mathrm{w}}/2) = 0).

Le profil de température est donc une fonction paire de x, ce qui impose B = 0 :

La condition aux limites en x = L_{\mathrm{w}}/2 donne :

On obtient ainsi directement l'expression de T_1(x) :

Sachant que T_{\mathrm{w}}(x) = T_{\mathrm{f}} + T_1(x), le profil de température dans le fil s'écrit :

Le transfert thermique entre les extrémités du fil et les gaines d'adaptation s'effectue par conduction à travers la section droite du fil de surface :

D'après la loi de Fourier, le vecteur densité de courant thermique au sein du fil s'écrit :

D'après le profil de température obtenu à la question 6 :

En dérivant par rapport à x :

Calculons la puissance thermique cédée par conduction à chaque extrémité :

• En x = +L_{\mathrm{w}}/2, le vecteur normal unitaire sortant du fil vers la gaine est \vec{n} = +\vec{u}_x. La puissance cédée à la gaine droite est donc :

  \begin{aligned} \dot{Q}_{\mathrm{g},+} &= \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}\!\left(\frac{L_{\mathrm{w}}}{2}\right) \cdot (+\vec{u}_x) \, S \\ &= -\lambda_{\mathrm{w}} S \left.\frac{\mathrm{d}T_1}{\mathrm{d}x}\right|_{x = +L_{\mathrm{w}}/2} \\ &= \lambda_{\mathrm{w}} S K_2 \ell_c \tanh\left(\frac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c}\right) \end{aligned}

• En x = -L_{\mathrm{w}}/2, le vecteur normal unitaire sortant du fil vers la gaine est \vec{n} = -\vec{u}_x. La puissance cédée à la gaine gauche s'écrit :

  \begin{aligned} \dot{Q}_{\mathrm{g},-} &= \vec{\jmath}_{\mathrm{th}}\!\left(-\frac{L_{\mathrm{w}}}{2}\right) \cdot (-\vec{u}_x) \, S \\ &= +\lambda_{\mathrm{w}} S \left.\frac{\mathrm{d}T_1}{\mathrm{d}x}\right|_{x = -L_{\mathrm{w}}/2} \\ &= \lambda_{\mathrm{w}} S K_2 \ell_c \tanh\left(\frac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c}\right) \end{aligned}

Par symétrie, les pertes vers les deux gaines sont identiques. La puissance totale cédée à l'ensemble des deux gaines est :

Par définition, la moyenne spatiale de la température le long du fil de longueur L_{\mathrm{w}} s'écrit :

D'après l'expression du profil de température obtenue à la question Q6 :

Par parité de la fonction cosinus hyperbolique, l'intégration donne :

En injectant ce résultat dans l'expression de la moyenne, il vient :

Par identification avec l'expression demandée par l'énoncé, on obtient :

où k = \dfrac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c} est le paramètre sans dimension introduit dans l'énoncé.

D'après la question Q6, le profil de température s'écrit :

Puisque la fonction \cosh est paire et strictement croissante sur \mathbb{R}^+, son minimum est atteint en x = 0 où \cosh(0) = 1. L'écart de température T_{\mathrm{w}}(x) - T_{\mathrm{f}} est donc maximal au centre du fil (x = 0) :

En utilisant l'expression de la température moyenne spatiale obtenue à la question Q8 avec \Lambda = 1/k :

Le coefficient \xi = f(0) s'exprime donc sous la forme :

Calculons la valeur du paramètre k :

Pour k = 4, \mathrm{e}^k = \mathrm{e}^4 \approx 55 \gg 1, de sorte que :

• \cosh(4) = \dfrac{\mathrm{e}^4 + \mathrm{e}^{-4}}{2} \approx 27 \gg 1 \implies \dfrac{1}{\cosh(4)} \ll 1 ;
• \tanh(4) = \dfrac{1 - \mathrm{e}^{-8}}{1 + \mathrm{e}^{-8}} \approx 1.

On peut donc effectuer les approximations :

Il vient ainsi :

1. Commentaire des courbes de la figure 2 :

• Pour les faibles valeurs de k (k \leqslant 1), le profil de température présente une courbure continue sur toute la longueur du fil : la température varie significativement d'un bout à l'autre et ne présente pas de zone uniforme.
• À mesure que le paramètre k = \dfrac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c} augmente (k = 5, puis k = 20), on observe la formation d'un large plateau central où la température adimensionnée est quasi constante et très proche de sa valeur moyenne (f(y) \approx 1).
• La chute de température jusqu'à la valeur imposée par les gaines (T_{\mathrm{w}} = T_{\mathrm{f}} en y = \pm 0{,}5) est confinée à des couches limites thermiques d'épaisseur de l'ordre de quelques \ell_c, localisées au voisinage immédiat des extrémités du fil.

2. Définition et approximation du « fil long » :

• L'hypothèse de fil long signifie que la longueur active du fil est très grande devant la longueur caractéristique d'atténuation \ell_c :

  \boxed{L_{\mathrm{w}} \gg \ell_c \quad \Longleftrightarrow \quad k = \frac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c} \gg 1}

• Sous cette hypothèse, les effets de bord liés au refroidissement par les gaines deviennent négligeables en proportion de la longueur totale. On peut alors considérer la température du fil comme quasi-uniforme sur la quasi-totalité de sa longueur :

  \boxed{T_{\mathrm{w}}(x) \simeq \langle T_{\mathrm{w}} \rangle \simeq T_{\mathrm{w},\max} = T_{\mathrm{f}} + K_2 \ell_c^2}

Considérons une tranche de fil d'épaisseur \mathrm{d}x et de section droite S = \dfrac{\pi d_{\mathrm{w}}^2}{4}. Sa résistance élémentaire s'écrit :

D'après la relation (2) de l'énoncé, la résistivité locale dépend de la température selon :

La résistance totale du fil s'obtient par sommation des résistances élémentaires en série de x = -L_{\mathrm{w}}/2 à x = +L_{\mathrm{w}}/2 :

Par définition de la moyenne spatiale \langle T_{\mathrm{w}} \rangle = \dfrac{1}{L_{\mathrm{w}}} \displaystyle\int_{-L_{\mathrm{w}}/2}^{L_{\mathrm{w}}/2} T_{\mathrm{w}}(x)\,\mathrm{d}x, et en introduisant la résistance du fil à la température du fluide R_{\mathrm{f}} = \dfrac{\rho_{\mathrm{f}} L_{\mathrm{w}}}{S} = \dfrac{4\rho_{\mathrm{f}} L_{\mathrm{w}}}{\pi d_{\mathrm{w}}^2}, l'intégrale se simplifie directement :

Dans le cadre de l'approximation du fil long, cette résistance est notée R_{\mathrm{w},\infty} :

Considérons l'ensemble du fil de tungstène comme système thermodynamique fermé entre les instants t et t+\mathrm{d}t. En régime permanent, l'énergie interne du fil est constante :

Le bilan de puissance s'écrit alors :

où \dot{Q}_{\mathrm{j}} est la puissance dissipée par effet Joule, \dot{Q}_{\mathrm{g}} la puissance thermique perdue au niveau des deux gaines d'adaptation et \dot{Q}_{\mathrm{f}} la puissance thermique évacuée vers le fluide.

D'après l'hypothèse de fil long formulée dans le texte, les pertes par les gaines sont négligeables devant les autres termes (\dot{Q}_{\mathrm{g}} \ll \dot{Q}_{\mathrm{j}}), ce qui conduit à :

La puissance totale \dot{Q}_{\mathrm{f}} cédée par conducto-convection au fluide à travers la surface latérale s'obtient par intégration de la loi de Newton (1) :

Par définition de la moyenne spatiale \langle T_{\mathrm{w}} \rangle = \frac{1}{L_{\mathrm{w}}} \int_{-L_{\mathrm{w}}/2}^{L_{\mathrm{w}}/2} T_{\mathrm{w}}(x) \, \mathrm{d}x, on en déduit :

Le nombre de Reynolds est défini par :

Déterminons la dimension de chacune des grandeurs intervenant dans ce quotient :

• La masse volumique a pour dimension : [\mu_{\mathrm{f}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-3}.
• La vitesse a pour dimension : [V] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}.
• Le diamètre du fil a pour dimension : [d_{\mathrm{w}}] = \mathrm{L}.

• La viscosité dynamique \eta s'exprime en \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}. La pression étant homogène à une force par unité de surface, sa dimension est :

  [p] = \frac{[F]}{[S]} = \frac{\mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-2}

  On en déduit la dimension de \eta :

  [\eta] = [p]\cdot\mathrm{T} = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-1}\cdot\mathrm{T}^{-1}

En combinant les grandeurs du numérateur :

On en déduit la dimension du nombre de Reynolds :

1. Dimension du nombre de Nusselt

Le nombre de Nusselt est défini par :

En analysant les unités des grandeurs en jeu :

• le coefficient de transfert thermique h s'exprime en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-2}\cdot\mathrm{K}^{-1} ;
• le diamètre du fil d_{\mathrm{w}} s'exprime en \mathrm{m} ;
• la conductivité thermique du fluide \lambda_{\mathrm{f}} s'exprime en \mathrm{W}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}.

On en déduit :

2. Interprétation physique

Pour un écart de température caractéristique \Delta T entre le fil et le fluide, considérons les densités de flux thermique surfaciques :

• par transfert conducto-convectif : \varphi_{\mathrm{conv}} \sim h \, \Delta T ;
• par conduction pure dans une couche de fluide immobile d'épaisseur caractéristique d_{\mathrm{w}} : \varphi_{\mathrm{cond}} \sim \lambda_{\mathrm{f}} \frac{\Delta T}{d_{\mathrm{w}}}.

Leur rapport s'écrit :

Le nombre de Nusselt représente ainsi le rapport entre le transfert thermique réel (conduction et convection) et le transfert thermique qui aurait lieu par conduction pure dans le fluide au repos sur la même échelle géométrique. Il mesure l'efficacité de la convection par rapport à la conduction dans le fluide.

3. Évolution de \mathcal{N}_u avec la vitesse V

D'après l'analyse qualitative menée à la question 3, une augmentation de la vitesse d'écoulement V amincit la couche limite thermique autour du fil, ce qui accroît le gradient de température à la paroi et augmente le coefficient de transfert thermique h.

Les grandeurs d_{\mathrm{w}} et \lambda_{\mathrm{f}} étant fixées :

Ce comportement est confirmé par la loi de King \mathcal{N}_u = A + B \sqrt{\mathcal{R}_e} avec \mathcal{R}_e \propto V.

D'après la question Q8, la température moyenne spatiale du fil s'écrit :

Dans le cas d'un fil long, L_{\mathrm{w}} \gg \ell_c, soit k = \frac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c} \gg 1. On a \tanh(k) \to 1 et \frac{1}{k} \to 0, d'où :

En utilisant le résultat de la question Q11, la résistance R_{\mathrm{w},\infty} s'écrit :

Par ailleurs, d'après la question Q5, avec K_1 = -|K_1| = -\frac{1}{\ell_c^2} :

En multipliant cette relation par \ell_c^2, on obtient :

En égalant les deux expressions de 1 + \alpha K_2 \ell_c^2, il vient :

D'après la définition du nombre de Nusselt \mathcal{N}_u = \frac{h d_{\mathrm{w}}}{\lambda_{\mathrm{f}}} (question Q14), le coefficient de transfert s'exprime sous la forme h = \frac{\mathcal{N}_u \lambda_{\mathrm{f}}}{d_{\mathrm{w}}}. En substituant :

En prenant la racine carrée, on obtient bien la forme demandée :

L'exposant vaut donc :

La surface latérale élémentaire d'une tranche de fil comprise entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x s'écrit :

D'après la loi de Newton (1), le transfert thermique conducto-convectif élémentaire du fil vers le fluide à travers cette surface est :

La puissance totale cédée par l'ensemble de la surface latérale du fil s'obtient par sommation sur sa longueur :

Par définition de la moyenne spatiale \langle T_{\mathrm{w}} \rangle sur le fil de longueur L_{\mathrm{w}} :

On en déduit l'expression compacte :

En injectant l'expression de \langle T_{\mathrm{w}} \rangle - T_{\mathrm{f}} établie à la question Q8, la puissance s'exprime également de façon développée en fonction des paramètres du modèle sous la forme :

1. Rapport \dot{Q}_{\mathrm{f}}/\dot{Q}_{\mathrm{g}} et justification de l'approximation du fil long

D'après les questions Q7 et Q16, les puissances thermiques cédées respectivement aux gaines et au fluide s'écrivent :

Le rapport de ces deux grandeurs s'exprime ainsi :

en posant k = \frac{L_{\mathrm{w}}}{2\ell_c}.

Or, d'après les résultats des questions Q5 et Q15, la longueur caractéristique vérifie :

On en déduit l'expression exacte du rapport :

Dans le cadre de l'approximation d'un fil long (k \gg 1), on a \tanh k \simeq 1, d'où :

Estimons l'ordre de grandeur de k. D'après la relation (4) de la question Q15, avec \theta \sim 1 :

Avec les dimensions usuelles données à la question Q9 (d_{\mathrm{w}} = 5\,\mu\text{m} et L_{\mathrm{w}} = 1{,}2\,\text{mm}), on obtient :

Comme le fil est chauffé, sa température moyenne est supérieure à T_{\mathrm{f}}, donc R_{\mathrm{w},\infty} > R_{\mathrm{f}}, ce qui implique :

Les pertes par conduction vers les gaines d'adaptation sont donc totalement négligeables devant les transferts vers le fluide, ce qui justifie a posteriori l'hypothèse d'un fil long.

2. Détermination de la vitesse V du fluide par mesure de résistance

En régime permanent pour un fil long, toute la puissance Joule dissipée est évacuée vers le fluide (question Q12) :

D'après la loi de comportement établie à la question Q11 :

En introduisant le nombre de Nusselt \mathcal{N}_u = \frac{h d_{\mathrm{w}}}{\lambda_{\mathrm{f}}}, le coefficient d'échange vaut h = \frac{\lambda_{\mathrm{f}} \mathcal{N}_u}{d_{\mathrm{w}}}. Le bilan s'écrit alors :

On en déduit l'expression expérimentale du nombre de Nusselt :

D'après la loi de King, \mathcal{N}_u = A + B \sqrt{\mathcal{R}_e}, où \mathcal{R}_e = \frac{\mu_{\mathrm{f}} V d_{\mathrm{w}}}{\eta}. On extrait le nombre de Reynolds :

On en déduit finalement la vitesse V de l'écoulement :

Soit, en remplaçant \mathcal{N}_u par son expression :

Toutes les autres grandeurs (\eta, \mu_{\mathrm{f}}, \lambda_{\mathrm{f}}, A, B, \alpha, d_{\mathrm{w}}, L_{\mathrm{w}}, R_{\mathrm{f}} et I) étant des constantes d'étalonnage ou des paramètres fixés, la mesure de la résistance R_{\mathrm{w},\infty} du fil permet de remonter directement à la vitesse V du fluide.

Considérons comme système fermé le fil émetteur de volume V = \frac{\pi d_{\mathrm{w}}^2}{4} L_{\mathrm{w}} et de masse m = \mu_{\mathrm{w}} V.

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• la température T_{\mathrm{e}}(t) est spatialement uniforme dans le fil à chaque instant (conduction thermique interne négligée) ;
• les pertes thermiques par conduction vers les broches sont négligées ;
• l'impulsion étant extrêmement brève (\tau de quelques microsecondes), les transferts conducto-convectifs avec l'air environnant sont également négligés (\delta Q = 0).

Le premier principe de la thermodynamique appliqué au fil entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

Le fil étant une phase condensée incompressible et indilatable de capacité thermique totale C, la variation d'énergie interne est :

La puissance électrique dissipée par effet Joule sous le courant continu I s'exprime à l'aide de la résistance R_{\mathrm{e}}(t) :

D'après la relation (2), la température étant uniforme dans tout le fil, la résistance dépend de la température selon :

où R_{\mathrm{f}} = \dfrac{4\rho_{\mathrm{f}} L_{\mathrm{w}}}{\pi d_{\mathrm{w}}^2} est la résistance du fil à la température du fluide.

Le bilan thermique devient donc :

Par identification avec la relation (5) imposée par l'énoncé :

on obtient les expressions des constantes :

Le paramètre C représente la capacité thermique (ou capacité calorifique) totale du fil conducteur.

D'après la question 18, la constante de temps \tau_1 est définie par :

L'équation différentielle (5) vérifiée par l'écart de température \theta(t) = T_{\mathrm{e}}(t) - T_{\mathrm{f}} s'écrit alors :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est la somme :

• de la solution de l'équation homogène : \theta_{\mathrm{h}}(t) = A \, \mathrm{e}^{t/\tau_1} (avec A une constante réelle) ;
• d'une solution particulière constante : \theta_{\mathrm{p}} = -\dfrac{1}{\alpha}.

On a ainsi :

Le fil étant initialement à la température du fluide (T_{\mathrm{e}}(0) = T_{\mathrm{f}} soit \theta(0) = 0), on en déduit :

L'expression de la température du fil pendant la phase de chauffe (0 \le t \le \tau) est donc :

L'impulsion électrique se termine à l'instant t = \tau. La fonction t \mapsto T_{\mathrm{e}}(t) étant strictement croissante sur [0, \tau], la température maximale atteinte à l'issue de l'impulsion est T_{\mathrm{e},\max} = T_{\mathrm{e}}(\tau). L'amplitude de l'impulsion thermique s'exprime donc par :

Pour t > \tau, l'impulsion de courant est terminée (I = 0, l'effet Joule du faible courant de test I_0 = 1\text{ mA} étant négligé). Conformément aux hypothèses de l'énoncé, la température T_{\mathrm{e}}(t) du fil reste spatialement homogène et la conduction axiale est négligée.

Le fil n'échange de l'énergie thermique qu'avec le fluide extérieur par conducto-convection à travers sa surface latérale S_{\mathrm{lat}} = \pi d_{\mathrm{w}} L_{\mathrm{w}}. Le bilan d'énergie appliqué au fil pendant la durée \mathrm{d}t s'écrit :

avec \mathrm{d}U = C\,\mathrm{d}T_{\mathrm{e}}. Il vient :

Cette équation différentielle du premier ordre se met sous la forme canonique de relaxation :

où la durée caractéristique de refroidissement \tau_2 vaut :

En introduisant le nombre de Nusselt \mathcal{N}_u = \dfrac{h d_{\mathrm{w}}}{\lambda_{\mathrm{f}}}, on obtient :

La solution générale de cette équation différentielle pour t > \tau est :

Par continuité de la température à l'instant t = \tau, la condition initiale de cette phase de relaxation est :

On en déduit immédiatement K = \Delta T_{\mathrm{e},\max}, soit :

Dans le préambule de la partie II, il a été supposé que :

« Pendant la phase de chauffe, l'impulsion étant très brève, on négligera les pertes d'énergie dues à la convection de l'air autour du fil lors de cette phase. »

Sous cette hypothèse, le bilan thermique pendant la chauffe ne fait intervenir que l'effet Joule et la capacité thermique du fil, conduisant à l'équation différentielle (5) établie à la question 18. Ni l'expression de la constante de temps \tau_1, ni celle de la température T_{\mathrm{e}}(t) ne dépendent des grandeurs caractéristiques de l'écoulement (notamment le coefficient d'échange conducto-convectif h ou la vitesse du fluide V).

L'observation expérimentale montre que pour deux vitesses d'écoulement distinctes V_1 < V_2, les courbes de température T_{\mathrm{e}}(t) sont rigoureusement confondues pendant toute la phase de chauffe (0 \leqslant t \leqslant \tau).

Ce résultat confirme donc que les transferts thermiques convectifs vers le fluide sont totalement négligeables devant l'apport par effet Joule au cours de cette impulsion très brève.

D'après le résultat de la question Q20, la loi de refroidissement de l'émetteur pour t > \tau s'écrit :

En passant au logarithme népérien, on obtient une relation affine du temps :

Le tracé semi-logarithmique de droite de la figure 4 représente cette quantité en fonction du temps t :

• Les courbes expérimentales sont des droites dont la pente p vaut p = -\frac{1}{\tau_2}. La détermination expérimentale de cette pente permet donc de mesurer la constante de temps de relaxation \tau_2.

• D'après la question Q20, cette constante de temps est inversement proportionnelle au nombre de Nusselt :

  \tau_2 = \frac{\mu_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{w}} d_{\mathrm{w}}^2}{4 \lambda_{\mathrm{f}} \mathcal{N}_u} = \frac{\mu_{\mathrm{w}} c_{\mathrm{w}} d_{\mathrm{w}}}{4h}

  La mesure de \tau_2 donne donc directement accès au nombre de Nusselt \mathcal{N}_u (ou au coefficient d'échange conducto-convectif h).

• Enfin, d'après la loi de King \mathcal{N}_u = A + B\sqrt{\mathcal{R}_e} (avec \mathcal{R}_e = \frac{\mu_{\mathrm{f}} V d_{\mathrm{w}}}{\eta}), la vitesse V est une fonction univoque de \mathcal{N}_u.

Ainsi, la mesure de la pente de relaxation semi-logarithmique permet de déterminer \tau_2, d'en déduire \mathcal{N}_u, puis, par inversion de la loi de King (après étalonnage préalable des constantes A et B), d'obtenir la vitesse V du fluide.

L'observation comparée des profils de température fait apparaître trois phénomènes majeurs :

• Retard temporel (temps de vol) : le maximum de température au récepteur intervient avec un retard \Delta t par rapport à l'impulsion initiale sur l'émetteur. Ce délai correspond au temps nécessaire pour que la nappe (ou « traînée ») d'air réchauffé soit transportée par advection à la vitesse V de l'écoulement sur la distance séparant les deux fils :

  \Delta t \sim \frac{\epsilon}{V}
• Forte atténuation de l'amplitude : le pic au niveau du récepteur présente une amplitude bien plus faible que celle de l'émetteur (\Delta T_{\mathrm{r},\max} \ll \Delta T_{\mathrm{e},\max}). En effet, lors de son transit, la chaleur contenue dans la bouffée d'air chaud se diffuse dans le fluide environnant et se dilue dans l'air froid non perturbé, réduisant l'échauffement local du fluide lorsqu'il atteint le récepteur.
• Élargissement (étalement temporel) du pic : l'impulsion de l'émetteur est très brève et asymétrique (chauffe quasi-instantanée puis relaxation exponentielle), tandis que le signal du récepteur est beaucoup plus large et étalé dans le temps. Cet élargissement résulte de la diffusion thermique au sein de l'air pendant le transport (qui homogénéise et élargit spatialement la zone chaude le long de la ligne de courant) ainsi que de l'inertie thermique propre au fil récepteur.

L'analyse des enregistrements temporels du fil récepteur (figure 5, droite) met en évidence que l'instant t_{\max} auquel la température T_{\mathrm{r}}(t) atteint son maximum (sommet du pic de température) dépend fortement de la vitesse d'écoulement V : plus la vitesse V est grande, plus le pic apparaît tôt.

• Principe de la mesure : le paquet d'air chauffé au niveau du fil émetteur à l'instant initial est transporté par advection (convection) par l'écoulement jusqu'au récepteur situé à la distance \epsilon en aval.

• Détermination de la vitesse : la durée de transit \Delta t \simeq t_{\max} (l'impulsion de chauffe de durée \tau \sim \mu\text{s} étant négligeable devant les millisecondes du transit) est inversement proportionnelle à la vitesse d'écoulement :

  \Delta t \sim \frac{\epsilon}{V} \iff V \sim \frac{\epsilon}{\Delta t}

En mesurant le retard temporel \Delta t entre l'impulsion de chauffe et le maximum de température au récepteur, et après un étalonnage préalable (tenant compte de la diffusion thermique et du temps de réponse propre du fil récepteur), on accède de manière directe et précise à la norme V de la vitesse du fluide.