Corrigé détaillé E3A Physique Chimie PSI 2022

Un onduleur est un convertisseur statique continu-alternatif (DC/AC). Il permet de convertir une grandeur continue (tension ou courant) en une grandeur alternative (périodique de valeur moyenne nulle ou non, et de fréquence ajustable).

La charge est constituée d'une association RLC série comprenant une bobine d'inductance L. L'énergie emmagasinée sous forme magnétique dans cette bobine vaut :

Pour une puissance finie échangée par la bobine, cette énergie est une fonction continue du temps. En conséquence, l'intensité du courant i(t) circulant dans la bobine — et donc dans toute la branche série — est une grandeur continue.

Puisqu'un élément ou un dipôle imposant la continuité de son courant se comporte vis-à-vis des commutations comme une source de courant :

D'après la figure 2, la flèche représentant la tension u(t) est orientée de la droite vers la gauche, ce qui correspond à la différence de potentiel :

Étudions la tension u(t) sur une période T :

• Pour t \in \left[nT, \left(n+\frac{1}{2}\right)T\right[ (n \in \mathbb{N}) : K_1 et K_3 sont fermés tandis que K_2 et K_4 sont ouverts. Le point situé à gauche de la charge est relié au pôle positif du générateur (V_{\text{gauche}} = E), et le point situé à droite est relié au pôle négatif (V_{\text{droite}} = 0). Il vient :

  u(t) = +E

• Pour t \in \left[\left(n+\frac{1}{2}\right)T, (n+1)T\right[ : K_2 et K_4 sont fermés tandis que K_1 et K_3 sont ouverts. Le point gauche est relié au pôle négatif (V_{\text{gauche}} = 0) et le point droit au pôle positif (V_{\text{droite}} = E). Il vient :

  u(t) = -E

La tension u(t) est donc un signal en créneau alternatif, symétrique, de période T, d'amplitude E et de valeur moyenne nulle.

D'après la loi des mailles appliquée à l'association série représentée sur la figure 3, en convention récepteur pour chaque dipôle :

Les relations constitutives des composants s'écrivent :

En dérivant la loi des mailles par rapport au temps t, il vient :

En divisant cette relation par l'inductance L, on obtient :

Par identification terme à terme avec la forme canonique demandée :

on identifie la pulsation propre \omega_0 et le facteur de qualité Q :

puis :

Par définition, la fonction de transfert s'écrit :

Elle est le rapport d'une intensité sur une tension : elle est homogène à l'inverse d'une résistance, c'est-à-dire à une admittance (de dimension [I]\cdot[U]^{-1}, dont l'unité SI est le siemens \mathrm{S} = \mathrm{\Omega^{-1}}).

L'impédance complexe de l'association RLC série est :

En utilisant les définitions obtenues à la question Q3, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} et Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{L\omega_0}{R} = \frac{1}{RC\omega_0}, la partie imaginaire se factorise sous la forme :

On en déduit l'expression canonique de la fonction de transfert :

Le module G(\omega) = |\underline{H}(\mathrm{j}\omega)| s'écrit alors :

Étudions les comportements asymptotiques de G(\omega) :

• Petites pulsations (\omega \to 0) :

  \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \sim -\frac{\omega_0}{\omega} \implies G(\omega) \sim \frac{1}{RQ}\frac{\omega}{\omega_0} = C\omega \xrightarrow[\omega \to 0]{} 0

• Grandes pulsations (\omega \to +\infty) :

  \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \sim \frac{\omega}{\omega_0} \implies G(\omega) \sim \frac{1}{RQ}\frac{\omega_0}{\omega} = \frac{1}{L\omega} \xrightarrow[\omega \to +\infty]{} 0

D'après le résultat de la question Q4, le module de la fonction de transfert s'écrit :

Le terme sous le radical est la somme de 1 et d'un carré positif ou nul. Le dénominateur atteint donc son minimum, égal à 1, lorsque :

La fonction G(\omega) présente ainsi un maximum strict à la résonance en intensité (\omega = \omega_0), dont la valeur maximale est :

Application numérique : avec R = 7{,}0\ \Omega,

D'après les questions Q4 et Q5, le module du gain vérifie :

De plus, en multipliant le numérateur et le dénominateur de \underline{H}(\mathrm{j}\omega) par \mathrm{j}\omega, on obtient :

Le dénominateur est un polynôme du second degré en \mathrm{j}\omega : il s'agit donc d'un filtre passe-bande du deuxième ordre.

La tension u(t) délivrée par l'onduleur est un signal créneau symétrique alternatif (question Q2). Sa décomposition en série de Fourier ne comporte que la pulsation fondamentale \omega et des harmoniques de rangs impairs (3\omega, 5\omega, etc.). Ajuster la commande pour avoir \omega = \omega_0 présente un double intérêt :

• Maximiser l'amplitude du courant : le gain est maximal à la pulsation propre (G(\omega_0) = 1/R), ce qui maximise le courant efficace traversant la bobine et donc la puissance thermique dissipée pour chauffer la poêle ;
• Obtenir un courant quasi-sinusoïdal : le filtre passe-bande atténue fortement les harmoniques d'ordre supérieur (3\omega_0, 5\omega_0, etc.), ce qui justifie l'hypothèse du premier harmonique et la forme sinusoïdale i(t) \approx I_0 \cos(\omega_0 t) adoptée dans la suite.

La fréquence f associée à cette résonance s'exprime par :

Avec L = 0{,}25\text{ mH} = 0{,}25 \times 10^{-3}\text{ H} et C = 68\text{ nF} = 68 \times 10^{-9}\text{ F} :

L'équation locale de Maxwell-Faraday s'écrit :

Soit une surface ouverte S fixe dans le référentiel d'étude, s'appuyant sur un contour fermé \mathcal{L} orienté selon la règle de la main droite relativement au vecteur surface \mathrm{d}\vec{S}.

En intégrant l'équation locale de Maxwell-Faraday sur la surface S, on obtient :

D'une part, en appliquant le théorème de Stokes au membre de gauche :

D'autre part, la surface S étant géométriquement fixe dans le temps, l'opérateur de dérivation temporelle commute avec l'intégrale spatiale :

On en déduit la formulation intégrale (ou globale) de l'équation de Maxwell-Faraday :

En introduisant la force électromotrice induite e = \oint_{\mathcal{L}} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} le long du contour \mathcal{L} et le flux magnétique \Phi = \iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} à travers la surface S, cette relation n'est autre que la loi de Faraday :

Considérons un cercle \mathcal{L} de rayon r (r \leqslant a), situé dans le plan de la poêle, centré en O et orienté selon \vec{u}_\theta.

La circulation du champ électrique induit le long de ce contour s'écrit :

La surface S délimitée par ce cercle est orientée par le vecteur normal \vec{u}_z selon la règle de la main droite. Le champ magnétique \vec{B} étant uniforme sur la section de la poêle, le flux magnétique traversant S vaut :

D'après la loi de Faraday établie à la question Q7 :

Avec i(t) = I_0 \cos(\omega t), la dérivée temporelle de l'intensité est :

On en déduit :

Soit finalement :

Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) et pour un conducteur ohmique fixe et isotrope de conductivité \gamma, la loi d'Ohm locale s'écrit :

En utilisant l'expression du champ électrique induit obtenue à la question Q8, \vec{E}(r, t) = E(r, t)\,\vec{u}_{\theta}, le vecteur densité volumique de courant s'exprime en tout point de la poêle par :

La puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule s'écrit :

En prenant la moyenne temporelle sur une période, avec \langle \sin^2(\omega t)\rangle = \frac{1}{2}, la puissance volumique moyenne p vaut :

La poêle est modélisée par un cylindre de rayon a et d'épaisseur e, invariant par rotation selon l'axe (Oz). L'élément de volume en coordonnées cylindriques s'écrit :

avec r \in [0, a], \theta \in [0, 2\pi] et z \in [0, e].

D'après la question Q9, la puissance volumique moyenne ne dépend que de la distance radiale r :

La puissance moyenne totale induite dissipée par effet Joule dans la poêle s'obtient par intégration sur tout son volume :

L'intégrale radiale vaut :

En regroupant les facteurs, on trouve :

D'après l'expression de la puissance moyenne totale induite établie à la question Q10 :

La puissance dissipée par effet Joule varie donc proportionnellement à la conductivité électrique \gamma, mais de façon quadratique avec la perméabilité magnétique relative \mu_{\mathrm{r}} du matériau.

Comparons les grandeurs pour les deux matériaux :

• La fonte est un matériau ferromagnétique caractérisé par \mu_{\mathrm{r}} = 80 et une conductivité \gamma_{\mathrm{fonte}}.
• L'aluminium est un matériau non magnétique (paramagnétique), d'où \mu_{\mathrm{r}} \approx 1, bien que sa conductivité soit plus élevée : \gamma_{\mathrm{Al}} \approx 40\,\gamma_{\mathrm{fonte}}.

Le rapport des puissances induites vaut donc :

Le caractère ferromagnétique de la fonte compense ainsi largement sa conductivité électrique plus modeste.

Ce phénomène de localisation des champs variables et des courants induits au voisinage de la surface d'un conducteur s'appelle l'effet de peau (ou effet pelliculaire).

D'après le résultat de la question Q6, la fréquence du signal de commande ajustée à la résonance vaut :

L'expression de l'épaisseur de peau est donnée par :

Avec les données fournies pour la fonte :

• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{H}\cdot\text{m}^{-1} ;
• \mu_{\mathrm{r}} = 80 ;
• \gamma = 1{,}0 \cdot 10^6\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• f \approx 38{,}6\ \text{kHz}.

On obtient :

L'épaisseur typique e d'une poêle (en fonte en particulier) est de l'ordre de quelques millimètres (e \sim 2\ \text{à}\ 5\ \text{mm}). On constate donc que :

Les courants de Foucault ne sont pas distribués de façon uniforme sur toute l'épaisseur e comme supposé à la question Q10, mais sont confinés dans une fine couche superficielle d'épaisseur de l'ordre de \delta. Cet effet est donc essentiel à prendre en compte pour calculer la puissance effectivement induite, sous peine de la surestimer très largement en intégrant sur toute l'épaisseur e.

Considérons le système fermé constitué de la matière contenue à l'instant t dans une tranche comprise entre x et x+\mathrm{d}x, de section S normale à l'axe (Ox), de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x et de masse \mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x.

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à cette tranche entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

où :

• La variation d'énergie interne du milieu indéformable (solide) est :

  \mathrm{d}U = \mathrm{d}m \, c \, \mathrm{d}T = \rho c \, S\,\mathrm{d}x \left[ T(x, t+\mathrm{d}t) - T(x, t) \right] = \rho c \, \frac{\partial T}{\partial t}\, S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

• Le transfert thermique conductif net reçu à travers les surfaces en x et x+\mathrm{d}x orientées suivant \vec{u}_x vaut :

  \begin{aligned} \delta Q &= \left[ \Phi_{\mathrm{th}}(x, t) - \Phi_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x, t) \right] \mathrm{d}t \\ &= \left[ j_{\mathrm{th}}(x, t) - j_{\mathrm{th}}(x+\mathrm{d}x, t) \right] S\,\mathrm{d}t = -\frac{\partial j_{\mathrm{th}}}{\partial x}\, S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t \end{aligned}

• L'énergie thermique générée par courants de Foucault (effet Joule volumique de puissance volumique moyenne p) s'écrit :

  \delta W_{\mathrm{ind}} = p\,\mathrm{d}V\,\mathrm{d}t = p\,S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t

En rassemblant ces contributions et en simplifiant par S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle, le vecteur densité de courant thermique s'écrit :

La conductivité thermique \lambda étant supposée uniforme, il vient :

En injectant cette relation dans le bilan d'énergie, on aboutit à :

En divisant chaque terme par le produit \rho c, on obtient l'équation satisfaite par le champ des températures :

L'équation différentielle de diffusion thermique sans terme de source s'écrit :

où D désigne la diffusivité thermique du matériau. Par analyse dimensionnelle ou par estimation des ordres de grandeur :

On en déduit l'expression du temps caractéristique de diffusion thermique associé à une échelle de longueur \ell :

Calculons d'abord la diffusivité thermique de la fonte :

Pour la dimension \ell, l'énoncé précise que les pancakes ont un diamètre de 5 à 10\text{ cm}, ce qui correspond à un rayon de poêle typique a \approx 5{,}0\text{ cm} = 5{,}0\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m}. Si l'on s'intéresse à la diffusion thermique le long du rayon de la poêle (\ell = a) :

Commentaires :

• Ce temps de quelques minutes est en excellent accord avec le texte introductif de la sous-partie I.3, qui indique : « Au bout de quelques minutes, le profil de température de la poêle atteint un régime stationnaire ».
• Si l'on choisit plutôt l'épaisseur de la poêle, typiquement e \approx 3\ \mathrm{mm}, on trouve \tau_e = \frac{(3\cdot 10^{-3})^2}{1{,}43\cdot 10^{-5}} \approx 0{,}6\ \mathrm{s}. La diffusion selon l'épaisseur est quasi instantanée à l'échelle de la cuisson, ce qui justifie que la température soit parfaitement homogène dans l'épaisseur de la fonte.

D'après l'ajustement linéaire représenté sur la figure 5, la température stationnaire de la poêle T_{\mathrm{p}} (exprimée en ^{\circ}\mathrm{C}) dépend du nombre de spires n selon la loi affine :

avec les paramètres d'ajustement :

En extrapolant ce comportement jusqu'à la température souhaitée T_{\mathrm{p}} = 160~^{\circ}\mathrm{C}, le nombre de spires nécessaire N s'obtient par :

Application numérique :

Un nombre de spires étant nécessairement entier, on retiendra :

La relation de Bernoulli s'applique sous les conditions suivantes :

• fluide parfait (viscosité négligeable, aucune dissipation par frottement) ;
• écoulement incompressible et fluide homogène (\rho = \mathrm{cste}) ;
• écoulement en régime stationnaire (ou permanent) ;
• fluide soumis uniquement à des forces massiques conservatives (ici, le champ de pesanteur uniforme \vec{g} = -g\,\vec{u}_z).

Sous ces hypothèses, la quantité suivante est conservée le long d'une même ligne de courant :

où P est la pression statique, v la vitesse locale de la particule fluide et z l'altitude repérée selon un axe vertical orienté vers le haut. Entre deux points 1 et 2 d'une même ligne de courant, elle s'écrit :

Le fluide étant incompressible, le débit volumique D_v(t) se conserve à chaque instant à travers le réservoir :

où S_1 et S_2 désignent respectivement les aires des sections transversales de rayons R_1 et R_2 :

On en déduit immédiatement la relation entre les vitesses v_1(t) et v_2(t) :

soit :

Considérons la ligne de courant reliant le point 1 (situé à la surface libre du fluide) au point 2 (situé au centre de la section de sortie), représentée sur la figure 7. Dans l'approximation des régimes quasi-permanents (ARQP), la relation de Bernoulli s'écrit entre ces deux points :

Les conditions aux limites sont les suivantes :

• au point 1 : la surface libre est en contact avec l'atmosphère, soit P_1 = P_0, et sa cote est z_1 = h_{\mathrm{p}}(t) ;
• au point 2 : le jet débouche à l'air libre, donc P_2 = P_0, et on choisit l'origine des altitudes à ce niveau, soit z_2 = 0.

La relation de Bernoulli se simplifie en :

D'après la question Q17, la conservation du débit volumique impose :

En substituant v_1(t) dans la relation précédente, on obtient :

Comme R_1 > R_2, le terme entre crochets est strictement positif. La vitesse d'éjection v_2(t) étant positive, on en déduit :

D'après la relation de continuité établie à la question Q17, on a :

En injectant l'expression de la vitesse d'éjection v_2(t) déterminée à la question Q18, il vient :

En identifiant la vitesse de la surface libre à v_1(t) = -\frac{\mathrm{d}h_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}t}, on obtient l'équation différentielle satisfaite par h_{\mathrm{p}}(t) :

ou, sous forme implicite :

D'après le résultat de la question Q19, la hauteur h_{\mathrm{p}}(t) vérifie l'équation différentielle :

En séparant les variables pour h_{\mathrm{p}} > 0 :

Par intégration entre t = 0 (pour lequel h_{\mathrm{p}} = h_0) et l'instant \tau_{\mathrm{p}} correspondant à la vidange complète (pour lequel h_{\mathrm{p}} = 0) :

On en déduit immédiatement la durée totale de vidange :

soit finalement :

D'après la question Q20, la durée de vidange dans l'hypothèse d'un fluide parfait est donnée par :

Avec les valeurs numériques :

• h_0 = 6{,}0\text{ cm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} ;
• g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• R_1 = 1{,}0\text{ cm} et R_2 = 0{,}70\text{ cm}, d'où \dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{1{,}0}{0{,}70} \approx 1{,}43 ;

on obtient :

soit :

Commentaire physique : La valeur théorique \tau_{\mathrm{p}} \approx 0{,}20\text{ s} est près d'un ordre de grandeur inférieure à la valeur expérimentale \tau_{\exp} = 1{,}5\text{ s} (un facteur d'environ 7{,}5).

Ce désaccord provient du fait que le modèle parfait néglige toute dissipation d'énergie au sein de l'écoulement. Or, la pâte à pancakes est un fluide très visqueux (\eta = 3{,}0\text{ Pa}\cdot\text{s}, soit environ 3000 fois la viscosité de l'eau). Les frottements visqueux (au sein du fluide et aux parois) dissipent une part considérable de l'énergie mécanique et freinent fortement l'écoulement, allongeant ainsi notablement le temps de vidange réel. Ce modèle est donc inadapté et justifie la prise en compte des pertes de charge visqueuses dans la sous-partie suivante.

1. Ordre de grandeur de la vitesse débitante v_{\mathrm{m}}

La pâte parcourt la hauteur initiale h_0 pendant la durée de vidange expérimentale \tau_{\exp} = 1{,}5\ \mathrm{s}. L'ordre de grandeur de la vitesse débitante moyenne est donc :

Application numérique avec h_0 = 6{,}0\ \mathrm{cm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} :

2. Définition et estimation du nombre de Reynolds \mathcal{R}e

Le nombre de Reynolds, comparant les effets inertiels aux effets visqueux, est défini par :

où d = 2R_1 = 2{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} désigne le diamètre du réservoir cylindrique.

Application numérique avec \rho = 1{,}1 \cdot 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} et \eta = 3{,}0\ \mathrm{Pa\cdot s} :

3. Validité de l'expression de \Lambda

On a très largement :

L'écoulement est donc strictement laminaire (régime de Poiseuille), ce qui justifie parfaitement l'utilisation de la loi de Darcy-Weisbach avec le coefficient de perte de charge régulier :

On applique la relation de Bernoulli généralisée entre le point 1 (surface libre) et le point 2 (sortie) le long d'une ligne de courant, orientée dans le sens de l'écoulement :

où \Delta P_{\mathrm{c}} > 0 représente la perte de charge le long de la hauteur de fluide h_{\mathrm{v}}(t).

Précisons les différents termes :

• Les deux extrémités débouchent dans l'atmosphère, d'où P_1 = P_2 = P_0.
• En négligeant le rétrécissement de section de R_1 à R_2, la section est uniforme et égale à S = \pi R_1^2. Par conservation du débit pour un fluide incompressible, on a v_1 = v_2 = v_{\mathrm{m}}.
• En choisissant l'origine des altitudes au fond du réservoir (z_2 = 0), on a z_1 = h_{\mathrm{v}}(t), soit z_1 - z_2 = h_{\mathrm{v}}(t).

La relation de Bernoulli se simplifie ainsi en :

Exprimons le terme de perte de charge à l'aide de la loi de Darcy-Weisbach :

En remplaçant \Lambda et \mathcal{R}e :

Comme d = 2R_1, on a d^2 = 4R_1^2, ce qui donne :

On retrouve ainsi directement la loi de Poiseuille pour un écoulement laminaire dans une conduite cylindrique.

En égalisant les deux expressions pour h_{\mathrm{v}}(t) \neq 0 :

On en déduit la vitesse débitante :

Sachant que v_{\mathrm{m}} = -\frac{\mathrm{d}h_{\mathrm{v}}}{\mathrm{d}t}, on obtient finalement :

D'après la question Q23, la dérivée temporelle de la hauteur de pâte h_{\mathrm{v}}(t) est constante :

Par intégration directe entre l'instant initial t=0, où h_{\mathrm{v}}(0) = h_0, et un instant t quelconque :

En remplaçant par l'expression de la vitesse débitante v_{\mathrm{m}}, on obtient la loi d'évolution :

La vidange complète du réservoir correspond à l'instant \tau_{\mathrm{v}} pour lequel la hauteur s'annule, soit h_{\mathrm{v}}(\tau_{\mathrm{v}}) = 0 :

On en déduit l'expression de la durée totale de vidange :

D'après le résultat de la question Q24, la durée totale de vidange du réservoir dans le cadre du modèle visqueux s'écrit :

Avec les données numériques de la partie II :

• \eta = 3{,}0\ \mathrm{Pa\cdot s} ;
• h_0 = 6{,}0\ \mathrm{cm} = 6{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m} ;
• \rho = 1{,}1 \cdot 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} ;
• g = 9{,}8\ \mathrm{m\cdot s^{-2}} ;
• R_1 = 1{,}0\ \mathrm{cm} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \mathrm{m}.

On obtient :

Comparaison avec l'expérience : La valeur obtenue (\tau_{\mathrm{v}} \approx 1{,}3\ \mathrm{s}) est très proche du temps expérimental \tau_{\exp} = 1{,}5\ \mathrm{s} (écart relatif d'environ 11\,\%, bien plus réaliste que la prédiction du modèle parfait \tau_{\mathrm{p}} \approx 0{,}20\ \mathrm{s}). La prise en compte de la dissipation visqueuse est donc indispensable et décrit convenablement l'écoulement.

Pistes pour affiner la modélisation : Plusieurs effets négligés expliquent le léger écart restant (\tau_{\mathrm{v}} < \tau_{\exp}) :

• Prise en compte du rétrécissement de section (R_1 \to R_2) : ce rétrécissement impose des pertes de charge régulières supplémentaires dans le convergent et dans l'ajutage de sortie (où la vitesse est plus élevée), ainsi qu'une perte de charge singulière liée à la contraction des lignes de courant. Ces dissipations accrues augmentent le temps de vidange.
• Caractère non newtonien de la pâte : la pâte à pancakes est généralement une suspension complexe présentant un comportement rhéologique non newtonien (rhéofluidifiant ou fluide à seuil de contrainte).
• Effets de tension superficielle et d'adhérence : la tension superficielle au niveau de l'orifice de sortie et le film de pâte résiduel adhérant aux parois le long de la descente freinent la vidange.

Dans le référentiel d'étude, la vitesse de rotation imposée au cylindre fixe l'échelle de temps caractéristique de l'écoulement :

Le terme d'accélération locale s'estime donc par :

Les variations radiales de vitesse se développent sur l'épaisseur du film de sirop d'érable, d'échelle caractéristique h_0 \ll a. Le terme de diffusion visqueuse s'évalue ainsi par :

Le terme d'inertie \rho \partial v / \partial t est négligeable devant le terme visqueux \eta \partial^2 v / \partial r^2 si :

soit la condition :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs données :

• \rho = 1{,}4 \cdot 10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} ;
• \eta = 0{,}20\ \mathrm{Pa\cdot s} ;
• h_0 = 0{,}50\ \mathrm{mm} = 5{,}0 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m} ;
• \Omega = 4\pi\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}} \approx 13\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}.

On calcule la pulsation caractéristique visqueuse :

Puisque :

avec un rapport de l'ordre de 45, la condition est bien vérifiée.

1. Condition aux limites en r = a :

Le fluide étant visqueux, il vérifie la condition d'adhérence à la paroi solide du cylindre en rotation. À la surface du cylindre (r = a), la vitesse des particules fluides coïncide avec celle du solide :

En évaluant l'expression proposée pour r = a :

La condition aux limites d'adhérence à la paroi est donc bien satisfaite pour tout angle \theta :

2. Allure du champ des vitesses aux différents angles :

Le champ des vitesses s'écrit \vec{v}(r,\theta) = v(r,\theta)\,\vec{u}_\theta. À la surface libre r = a+h, on a \frac{\partial v}{\partial r} = 0 (contrainte de cisaillement nulle avec l'air). Pour les quatre angles demandés :

• En \theta = \pi/2 (sommet) et \theta = 3\pi/2 (base) : \cos\theta = 0, le terme de gravité projeté sur \vec{u}_\theta est nul. Le profil de vitesse est donc uniforme dans toute l'épaisseur du film :

  v\left(r, \frac{\pi}{2}\right) = v\left(r, \frac{3\pi}{2}\right) = a\,\Omega.
• En \theta = 0 (côté droit, fluide montant car \vec{u}_\theta = \vec{u}_z) : \cos 0 = 1. La gravité s'oppose au mouvement ascendant. Pour tout r \in ]a, a+h], (r-a)^2 - 2(r-a)h = (r-a)(r-a-2h) < 0, si bien que la vitesse décroît de a\Omega à la paroi jusqu'à a\Omega - \frac{\rho g h^2}{2\eta} en r = a+h.
• En \theta = \pi (côté gauche, fluide descendant car \vec{u}_\theta = -\vec{u}_z) : \cos\pi = -1. La gravité agit dans le sens de l'écoulement. La vitesse croît de a\Omega à la paroi jusqu'à a\Omega + \frac{\rho g h^2}{2\eta} en r = a+h.

Considérons une section du film liquide située à un angle \theta donné, orientée selon \vec{u}_\theta et s'étendant sur toute la longueur axiale L du cylindre (selon un axe horizontal \vec{u}_y ou \vec{u}_z).

Un élément de surface de cette section s'écrit :

L'écoulement étant purement orthoradial (\vec{v} = v(r,\theta)\,\vec{u}_\theta), le débit volumique total traversant cette section est :

Le débit volumique par unité de longueur de cylindre s'écrit donc bien :

Pour calculer cette intégrale, on injecte l'expression du champ des vitesses établie précédemment :

Effectuons le changement de variable u = r - a (\mathrm{d}r = \mathrm{d}u), la variable u variant de 0 à h :

On en déduit l'expression du débit volumique par unité de longueur :

D'après le résultat de la question Q28, le débit volumique par unité de longueur s'écrit :

En régime stationnaire, la conservation de la masse pour ce fluide incompressible impose que le débit volumique à travers toute section méridienne soit indépendant de la position angulaire \theta :

En égalant les deux expressions, on obtient :

On identifie ainsi l'équation régissant l'épaisseur locale h(\theta) du film :

La fonction F est définie pour h \ge 0 par :

Sa dérivée par rapport à h s'écrit :

Sachant que le débit entraîné par la rotation est positif, on a F(0) = Q > 0.

1. Cas \cos\theta \le 0 : Pour tout h > 0, F'(h) < 0. La fonction F est strictement décroissante de F(0) = Q > 0 à \lim_{h \to +\infty} F(h) = -\infty. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe toujours une unique solution h > 0 à l'équation F(h) = 0, quelle que soit la valeur de Q > 0.

2. Cas \cos\theta > 0 : La dérivée F'(h) s'annule en une valeur unique strictement positive :

La fonction F est strictement décroissante sur [0, h_m] puis strictement croissante sur [h_m, +\infty[, avec \lim_{h \to +\infty} F(h) = +\infty. Elle admet donc un minimum absolu en h = h_m :

Puisque F(0) = Q > 0 et \lim_{h \to +\infty} F(h) = +\infty, l'équation F(h) = 0 admet des solutions positives si et seulement si F(h_m) < 0 (deux solutions distinctes, comme illustré sur la figure 9), soit Q < Q_{\max}(\theta) avec :

3. Condition d'existence pour tout angle \theta : Pour qu'une solution existe en tout angle \theta, la condition Q < Q_{\max}(\theta) doit être satisfaite pour tous les angles où \cos\theta > 0. La condition la plus restrictive correspond au minimum de Q_{\max}(\theta), atteint lorsque \cos\theta est maximal, c'est-à-dire en \cos\theta = 1 (\theta = 0) :

La masse de sirop d'érable contenue autour du cylindre de longueur L s'obtient par intégration en coordonnées cylindriques :

Comme l'épaisseur du film est très faible devant le rayon (h \ll a), l'intégrale radiale se simplifie :

En introduisant l'épaisseur moyenne h_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} h(\theta)\,\mathrm{d}\theta, la masse par unité de longueur s'écrit :

D'après la relation liant le débit et l'épaisseur établie à la question Q29 :

En intégrant cette égalité sur \theta \in [0, 2\pi], et en tenant compte de l'hypothèse selon laquelle les déformations du film sont faibles devant son épaisseur (h(\theta) \approx h_0) :

On en déduit la relation directe entre le débit et l'épaisseur moyenne :

La masse par unité de longueur s'exprime donc simplement en fonction du débit stationnaire Q :

D'après la question Q30, la valeur maximale du débit permettant l'existence d'une solution stationnaire sur l'ensemble du cylindre est atteinte pour \cos\theta = 1 et vaut :

La masse maximale de sirop d'érable par unité de longueur que l'on peut ainsi maintenir vaut donc :

L'équation de la réaction d'inversion du saccharose s'écrit :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction à T = 298\ \mathrm{K} s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des réactifs et des produits :

L'entropie standard de réaction à T = 298\ \mathrm{K} se calcule à partir des entropies molaires standard :

L'enthalpie libre standard de la réaction d'inversion du saccharose à T = 298\ \mathrm{K} s'exprime par :

D'après les résultats de la question Q32 (\Delta_{\mathrm{r}}H^\circ = -27\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} et \Delta_{\mathrm{r}}S^\circ = 5\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}) :

La constante d'équilibre K^\circ est reliée à l'enthalpie libre standard par :

Application numérique avec R = 8{,}314\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} :

Conclusion : La constante d'équilibre est très supérieure à 1 (K^\circ \gg 1, et même K^\circ \ge 10^4). La réaction d'inversion du saccharose est donc thermodynamiquement très favorisée dans le sens direct (elle est quasi-totale à l'équilibre à température ambiante).

L'eau étant le solvant, sa concentration est très largement supérieure à celle du saccharose ([\mathrm{H_2O}] \approx 55{,}5\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} \gg [\mathrm{S}]_0 = 0{,}400\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}). Il y a dégénérescence de l'ordre par rapport à l'eau, dont la concentration peut être considérée comme constante.

Si la réaction est d'ordre 1 par rapport au saccharose, la vitesse volumique de réaction s'écrit :

Par séparation des variables et intégration avec la condition initiale [\mathrm{S}](0) = [\mathrm{S}]_0 :

Méthode 1 : étude des temps de demi-réaction

• À t = 500\ \mathrm{h}, [\mathrm{S}](500\ \mathrm{h}) = 0{,}196\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} \approx \frac{[\mathrm{S}]_0}{2} = 0{,}200\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}, donc t_{1/2} \approx 500\ \mathrm{h}.
• À t = 1\,000\ \mathrm{h}, [\mathrm{S}](1\,000\ \mathrm{h}) = 0{,}100\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} = \frac{[\mathrm{S}]_0}{4}. La concentration est à nouveau divisée par deux entre 500\ \mathrm{h} et 1\,000\ \mathrm{h}, soit une durée additionnelle \Delta t = 500\ \mathrm{h} = t_{1/2}.

Le temps de demi-réaction est indépendant de la concentration initiale, ce qui caractérise une cinétique d'ordre 1.

Méthode 2 : vérification par le calcul de k_1

Calculons les valeurs de k_1 = \frac{1}{t}\ln\left(\frac{0{,}400}{[\mathrm{S}](t)}\right) pour chaque mesure expérimentale :

Les valeurs de k_1 sont remarquablement constantes autour de la valeur moyenne :

L'hypothèse d'un ordre 1 par rapport au saccharose est donc parfaitement validée.

La dépendance en température de la constante de vitesse est modélisée par la loi d'Arrhenius :

où A est le facteur pré-exponentiel (supposé indépendant de la température sur la plage considérée) et E_{\mathrm{a}} l'énergie d'activation de la réaction.

En appliquant cette relation aux deux températures T_1 et T_2 :

Par soustraction membre à membre :

On en déduit l'expression littérale de l'énergie d'activation :

Application numérique : D'après la question Q34, à T_1 = 293\text{ K}, k_1 \approx 1{,}39 \cdot 10^{-3}\text{ h}^{-1}. À T_2 = 313\text{ K}, k_2 = 2{,}4 \cdot 10^{-2}\text{ h}^{-1}. Avec R = 8{,}314\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} :

Soit, avec deux chiffres significatifs :

À la température de fusion de l'eau pure T_{\text{fus}} sous la pression de référence P^\circ = 1\text{ bar}, les phases liquide et solide (glace) sont en équilibre thermodynamique :

L'enthalpie libre d'un système biphasé fermé à température et pression fixées est minimale à l'équilibre (\mathrm{d}G = 0), ce qui se traduit par l'égalité des potentiels chimiques du corps pur dans chaque phase :

Les quantités de matière respectives d'eau liquide et de sucre dans la solution s'écrivent :

Par définition, la fraction molaire x_{\mathrm{eau}} de l'eau en phase liquide est le rapport de la quantité de matière d'eau sur la quantité de matière totale du mélange liquide :

À la température de fusion T'_{\mathrm{fus}} de la solution (à pression fixée), l'équilibre diphasé liquide-solide pour le constituant eau se traduit par l'égalité de ses potentiels chimiques dans les deux phases :

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• la phase solide étant constituée d'eau pure, son activité vaut a_{\mathrm{eau}}^{\mathrm{sol}} = 1, d'où :

  \mu_{\mathrm{eau}}^{\mathrm{sol}}(T'_{\mathrm{fus}}) = \mu_{\mathrm{eau}}^{*,\mathrm{sol}}(T'_{\mathrm{fus}}) ;

• la phase liquide étant idéale, l'activité de l'eau (solvant) s'identifie à sa fraction molaire, soit a_{\mathrm{eau}} = x_{\mathrm{eau}}. La relation (17) de l'énoncé donne :

  \mu_{\mathrm{eau}}^{\mathrm{liq}}(T'_{\mathrm{fus}}) = \mu_{\mathrm{eau}}^{*,\mathrm{liq}}(T'_{\mathrm{fus}}) + R\,T'_{\mathrm{fus}}\ln x_{\mathrm{eau}}.

En égalant ces deux potentiels, on obtient la relation demandée :

Considérons la différence de potentiel chimique entre l'eau liquide pure et la glace pure :

D'après les relations différentielles de Gibbs-Duhem fournies, à pression fixée :

Les entropies molaires étant supposées indépendantes de la température, intégrons cette relation entre la température de fusion du corps pur T_{\text{fus}} et celle du mélange T'_{\text{fus}} :

Exploitons les résultats précédents :

• D'après la question Q36, à l'équilibre de fusion du corps pur à T_{\text{fus}} :

  \mu_{\text{eau}}^{*,\text{liq}}(T_{\text{fus}}) - \mu_{\text{eau}}^{*,\text{sol}}(T_{\text{fus}}) = 0

• À la température d'équilibre T_{\text{fus}}, la variation d'enthalpie libre de fusion est nulle (\Delta_{\text{fus}}G = \Delta_{\text{fus}}H - T_{\text{fus}}\Delta_{\text{fus}}S = 0), d'où :

  \Delta_{\text{fus}}S = \frac{\Delta_{\text{fus}}H}{T_{\text{fus}}}

• D'après la question Q37, à la température T'_{\text{fus}} en présence de soluté :

  \mu_{\text{eau}}^{*,\text{sol}}(T'_{\text{fus}}) - \mu_{\text{eau}}^{*,\text{liq}}(T'_{\text{fus}}) = RT'_{\text{fus}}\ln x_{\text{eau}} \iff \mu_{\text{eau}}^{*,\text{liq}}(T'_{\text{fus}}) - \mu_{\text{eau}}^{*,\text{sol}}(T'_{\text{fus}}) = -RT'_{\text{fus}}\ln x_{\text{eau}}

En substituant ces expressions dans l'équation intégrée, il vient :

En multipliant par T_{\text{fus}}, on obtient bien :