Dynamique des fluides parfaits : 229 questions de concours corrigées

Reconnaître et nommer les 2 équations en jeu.

Exprimer h en fonction de v_s et des données.

Énoncer la relation de Bernoulli après avoir rappelé ses conditions d'application.

Écrire la relation de Bernoulli dans le cas d’un fluide parfait en précisant les hypothèses de son utilisation.

Rappeler les hypothèses nécessaires à l'application de la relation de Bernouilli.

Rappeler la relation de Bernoulli dans le cadre d'un écoulement parfait stationnaire, homogène et incompressible d'un fluide soumis à la seule force de pesanteur. On travaillera par la suite dans ce…

Rappeler la relation de Bernoulli pour un fluide parfait incompressible en écoulement stationnaire.

Énoncer la relation de Bernoulli pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène.

Définir les expressions suivantes figurant dans l'énoncé : écoulement parfait, écoulement homogène et incompressible, écoulement stationnaire.

Rappeler la relation de Bernoulli, ainsi que ses conditions d'application. On supposera ces conditions remplies dans le cadre de ce premier modèle.

Rappeler la relation de Bernoulli en indiquant les conditions de validité.

Quelle est l'unité du coefficient de tension de surface ? Que mesure une telle grandeur ?

Déterminer la forme de l'équation d'Euler à l'ordre le plus bas (vitesse nulle).

Justifier la relation ρ₀ (∂ v)/(∂ t) ≃ -grad p (5) en réalisant un bilan de quantité de mouvement dq = dqₓeₓ + dq_ye_y + dq_ze_z sur un petit élément de fluide de dimensions (dx, dy, dz). On…

Déterminer l'expression de u en fonction de s, S, P_A, P_B et de la masse volumique du dioxygène ρ_d.

Des expériences analogiques ont permis d'établir que la vitesse du front, dans ce régime d'écoulement, prend la forme suivante : u = F × (g')α × hβ (3) où F ≃ 1,2 est une constante sans dimension…

On se place en régime permanent, donc avec hₑ(t) = h_e,0 = constante, exprimer la vitesse vₜ de l'eau dans le tuyau en fonction de g et de h_e,0.

Exprimer les composantes de v₁ en fonction de φ₁. Déduire d'une condition limite satisfaite en z = -h par le champ des vitesses une condition sur la fonction φ₁.

Après avoir vérifié toutes les hypothèses nécessaires, appliquer le théorème de Bernoulli entre deux points à préciser afin d'exprimer Pₑ en fonction de P₀, µ, g, H, D_v, Sₑ et de S_s.

En exploitant l'hypothèse s ≪ S, établir l'expression de v(t) en fonction de g et de h(t).

En appliquant la relation de Bernoulli, déterminer la vitesse v₀ en fonction de la hauteur de liquide notée z(t), de l'accélération de la pesanteur notée g et de la vitesse de la surface libre à…

Montrer que la relation d'Euler permet d'écrire l'équation suivante : (∂ φ)/(∂ t) + 1/2 u · u + gz + p/ρ = f(t) où f(t) est une fonction que l'on ne cherchera pas à déterminer mais qui ne dépend que…

Montrer que la relation d'Euler permet d'écrire l'équation suivante : (∂ φ)/(∂ t) + 1/2 u · u + gz + p/ρ = f(t) où f(t) est une fonction que l'on ne cherchera pas à déterminer mais qui ne dépend que…

Calculer la vitesse de phase v_φ de la vague linéaire. Déterminer les deux expressions limites de v_φ lorsque la profondeur du réservoir H est petite ou grande devant la longueur d'onde de la vague…

Montrer, à partir de l'équation de Navier-Stokes et en précisant clairement les hypothèses utilisées, que la quantité pₑ/ρ + vₑ²/2 est constante et uniforme dans tout l'écoulement.

Donner l'équation d'Euler et la linéariser.

Rappeler l'équation d'Euler, limitée aux seules forces pressantes (effets de la pesanteur négligés en particulier). En déduire après linéarisation l'équation de couplage : ρ₀ (∂ v₁)/(∂ t) + (∂…

Rappeler les conditions d'application du théorème de Bernoulli. Exprimer la différence de pression P(C) - P(E) en fonction de la vitesse v₁ et des sections S₁ et S₂. Les points E et C sont situés…

Comment tient-on compte des pertes de charges précédentes Δ H_pc dans la relation précédente, l'eau étant considérée comme un fluide newtonien ?

En projetant l'équation de Navier-Stokes sur e_z, montrer que la pression peut s'écrire p(x, y, z) = p₁(z) + p₂(x, y) où p₁ est une fonction simple à déterminer, et p₂ une fonction inconnue à ce…

En l'absence de la force de Coriolis, déterminer l'équation vérifiée par η. On notera c une quantité homogène à une vitesse caractéristique, et on donnera son expression. Comment s'appelle cette…

Montrer que µ v dv/dx = K dP/dx où K est une constante dont on donnera la valeur.

On s'intéresse au champ de pression dans le domaine r > R. On suppose que la pression loin de la tornade est égale à la pression atmosphérique P(r = ∞) = Pₐ. Que peut-on dire de l'écoulement pour…

Déterminer une expression de v₂(t) en fonction de g, h_p(t), R₁ et de R₂ uniquement.

En supposant le fluide parfait, quelle doit être, en régime permanent, la différence de pression pour que l'eau arrive au niveau d'une nacelle située à 30 m de hauteur ?

Rappeler les hypothèses d'application du théorème de Bernoulli. On suppose que ces hypothèses sont valables dans la zone r > R_T. En considérant la pression de l'air égale à P° loin du cyclone…

On néglige l'effet du champ de pesanteur sur la propagation de l'air. Démontrer, dans le cadre de l'approximation acoustique, la relation : µ₀ ((∂ v₁)/(∂ t)) = -((∂ P₁)/(∂ x))

Déterminer l'expression de la vitesse v_D de sortie de l'eau au point D, en tenant compte de la forte différence entre les sections S_r et Sₜ.

Préciser ce que traduit chacune de ces équations.

Introduire, dans le système différentiel (7), les fonctions sous leur forme donnée par l'équation (6) afin d'établir un système linéaire d'équations algébriques vérifié par les amplitudes complexes…

Écrire, en projection sur e_z, l'équation aux dérivées partielles obtenue en appliquant la relation fondamentale de la dynamique à une particule de fluide de volume dτ et de masse µ₀ dτ. Que donne…

Déterminer, en fonction de P_∞, ρ_∞, et v_∞, les expressions de la vitesse v_F et de la pression P_F du fluide en F ainsi que la vitesse v_G et la pression P_G du fluide en G.

Déduire des questions précédentes l'expression de la vitesse de l'écoulement v_∞ de l'air en fonction de ρ_l, ρ_∞, g et h. Comment évolue h lorsque la vitesse de l'air augmente ?

On se place hors de la couche limite. Le théorème de Bernoulli prend la forme suivante : V²/2 + P/ρ_f + gz = constante avec V la vitesse d'écoulement du fluide en un point, P la pression, ρ_f la…

En négligeant toutes pertes de charge, déterminer littéralement la puissance mécanique P que la pompe doit développer pour assurer le débit D_p lorsque la pression dans le vase d'expansion est…

On souhaite vidanger par gravité un aquarium cubique d'arête a = 1,0 m via une vanne située en dessous d'un aquarium. La section de la canalisation d'évacuation vaut s = 10 cm². Estimer la durée τ…

En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de l'onde entre ω, g, k et la tangente hyperbolique de kH.

On se propose de démontrer la relation précédente en effectuant, au choix, un bilan d'énergie mécanique ou cinétique. Définir et décrire avec soin une surface de contrôle Σ et un système fermé Σ*…

Établir l'équation d'Euler en considérant l'eau comme un fluide parfait et en justifiant les autres simplifications possibles.

Quelle est la vitesse de propagation (que l'on notera c) des ondes à haute fréquence ?

Exprimer v_s, m en fonction de la surpression p₀ et des données. En déduire hₘ sous ces hypothèses. Cette hauteur est-elle modifiée si l'on rétrécit la sortie ? Evaluer numériquement hₘ si la…

Rappeler les équations d'Euler et de conservation de la masse en fonction de µ, p et v dans le cas le plus général.

Que devient l'équation de Navier-Stokes dans l'hypothèse d'un écoulement parfait ? Écrire la nouvelle équation, dite équation d'Euler.

Que représentent les différents termes de cette équation ? En déduire une simplification de cette dernière dans le cadre de l’approximation acoustique.

Le rendement de la conversion électro-mécanique du moteur de la pompe est estimé η_élec = 70 % et le rendement de la turbine de la pompe (conversion de l'énergie mécanique de rotation de la turbine…

Utiliser l'équation (2) pour exprimer la vitesse u du nuage en fonction de F, g, Δρ, ρ₀, h et ψ.

Rappeler la relation de Bernoulli ainsi que ses conditions d'application. On suppose ces conditions remplies dans la suite.

L'écoulement étant supposé incompressible, en déduire l'expression de V(t) en fonction de S, s, g et de h(t). Préciser qualitativement le sens d'évolution de V(t) lors de la vidange.

Le ballon est tel que R = 0,50 m et r = 5,0 mm. Quelle simplification de la relation précédente peut-on en tirer ?

Effectuer l'application numérique. On prendra g = 10 m⁻² et H₀ = 2,0 m.

Montrer que les conditions aux limites à la surface du cylindre sont vérifiées.

On considère l'écoulement d'un fluide parfait incompressible en régime stationnaire. Exprimer la grandeur C homogène à une pression qui se conserve le long d'une ligne de courant.

En déduire la puissance mécanique de la pompe P_meca nécessaire.

Le rendement de la pompe vaut η = 0,8. En déduire la puissance électrique absorbée par la pompe. Effectuer l'application numérique.

Quel est l'intérêt de pouvoir pomper de l'eau de l'aval à l'amont d'un barrage du point de vue de la production électrique globale d'un pays ?

La puissance maximale brute est obtenue en négligeant tout frottement et en prenant un rendement de la turbine et de l'alternateur de 1 : c'est une valeur idéale. À quelle énergie E_mb…

Donner brièvement quelques caractéristiques d'un écoulement parfait.

Quelle condition nécessaire relie P₀ et P₁ pour avoir un écoulement dans le sens des x croissants ?

L'air de la pièce est modélisé par un gaz parfait diatomique, à la pression atmosphérique et à la température Tₘₐₓ. Exprimer, puis évaluer numériquement, la masse volumique ρ_air de l'air dans ces…

Calculer numériquement τ_p. On trouve un temps de vidange expérimental τ_exp = 1,5s. Qu'en pensez-vous ?

Évaluer dans le cadre de ce modèle simplifié la dépression Δ P = P° - P(R_T) pour des vents de 180 km/h à la surface de la tornade en R_T.

En déduire l'expression du débit volumique Dₜ en sortie du siphon au point D.

Donner l'expression de la période des oscillations.

En pratique, pour étudier la répartition de pression P le long de l'intrados et de l'extrados, on définit une pression adimensionnée appelée coefficient de pression : C_P = (P-P_∞)/(1/2 · ρ_∞ ·…

Représenter l'allure de la ligne de courant qui aboutit en F et l'allure de la ligne de courant qui longe le tube et passe à proximité de G.

Quelles gammes de pulsations correspondent à des bandes interdites ?

Les ondes de Rossby correspondent approximativement aux solutions du problème : ω = (-β kₓ)/(kₓ² + β/c(2n + 1)) avec n N*. Évaluer la vitesse de phase de ces ondes et montrer qu'elle est toujours…

Exprimer la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie de la lance. Montrer que la tension s'écrit T=1/2 µ Q² 1/A k₁ avec k₁ un coefficient que l'on exprimera en fonction du rapport A / A_s…

En se contentant d'une analyse dimensionnelle, exprimer le temps typique τ_h pour que le jet se brise en fonction des paramètres µ, R₀ et α.

À l'interface entre l'eau et l'air, que traduit la relation v(x,z,t) · e_z = (∂ h)/(∂ t) ? En déduire que ω = (gk)β. Déterminer l'exposant β et vérifier l'homogénéité de cette relation. Comment…

Que dire de la vitesse du fluide en A₀ ? Montrer alors qu'entre les points A₀ et D, la variation d'énergie cinétique du fluide est négligeable devant la variation d'énergie potentielle.

En déduire l'expression du débit massique Dₘ dans la conduite. Montrer que sa valeur est proche de 1 kg⁻¹, valeur qu'on conservera pour la suite.

Application numérique : Estimer la vitesse d'une nuée ardente de hauteur h = 200 m et pour ψ = 1%. Commenter brièvement ce résultat.

Justifier que la totalité du jet est isobare à pression identique à celle P₀ = 1,0 bar de l'air. Peut-on appliquer le théorème de Bernoulli le long de cet écoulement parabolique ? Quelle est en…

Calculer la pression P_F au point F dans le cadre des hypothèses précédentes.

Déterminer littéralement la puissance électrique Pₑ que doit fournir le panneau solaire à la pompe en fonction des données regroupées en début de partie. L'application numérique, non demandée, donne…

Justifier que le système d'équations (1) ne permet pas, à lui seul, d'accéder aux différents champs qu'il fait intervenir. Par ailleurs, indiquer quelle difficulté mathématique particulière soulève…

Quelle circonstance autorise à négliger les variations de la pression dans l'air ? Pourquoi peut-on choisir de décrire la vitesse v de l'eau sous la forme v = gradA(r,t) ?

Exprimer f(z) en fonction seulement de k et de f₀ = f(0).

Exprimer les composantes de v₂ en fonction de U et φ₂. Déduire d'une condition limite lorsque z → +∞, en supposant l'écoulement d'air non perturbé loin de la surface de l'eau, des conditions limites…

Établir l'équation différentielle satisfaite par φ₂(z). En déduire la solution φ₂(z) uniquement en fonction de k, z et de la constante φ₂⁰ = φ₂(z = 0) en tenant compte d'une condition limite établie…

Établir l'équation différentielle satisfaite par φ₁(z). En déduire que φ₁(z) = φ₁⁰ cosh (k(z + h)) où intervient la constante φ₁⁰ = (φ₁(z = 0))/(cosh (kh)) en tenant compte d'une condition limite…

Le rapport des masses volumiques vérifiant ρ₂/ρ₁ ≪ 1, montrer la relation de dispersion de l'onde associée à la houle sans vent s'écrit : ω² = gk tanh (kh).

En déduire, en éliminant le champ de pression P(r), une nouvelle équation différentielle ne faisant apparaître plus que les champs des vitesses de l'écoulement v(r) et de masse volumique µ(r) de…

Vérifier la cohérence des expressions des grandeurs c et r* obtenues à la question précédente en termes de dimensions. Déterminer leurs valeurs numériques.

Aurait-il été possible de positionner la pompe au point E pour effectuer le même acheminement ? Justifier.

Déterminer l'expression de la différence de pression Δ Pₐ entre les points O et B.

Déterminer l'expression de la différence de pression Δ P_r entre les points C et E.

Déduire des trois questions précédentes que : F = P₀ (2 S_s + Sₑ) - M_eau g + µ g H Sₑ + µ D_v² β où β est à expliciter en fonction de Sₑ et de S_s.

En prenant g = 10 m⁻², H = 5,0 m, µ = 1,0 · 10³ kg⁻³ et en reprenant les valeurs de la Q10 pour Sₑ et S_s, déterminer par un calcul d'ordre de grandeur, la bonne valeur numérique pour Δ P = Pₑ - P₀…

En supposant que l'expression de v(t) obtenue à la question Q11 reste valable, montrer que l'évolution de h(t) est régie par l'équation différentielle : (d h)/(d t) = -(s √(2 g))/(π K²) √(h)/(h²/ⁿ).

Sans chercher à résoudre cette équation différentielle, déterminer la valeur de l'entier n en imposant que d h/d t ne dépende pas du temps. En déduire l'unité de K.

Trouver la valeur de K permettant d'assurer une vitesse constante |d h/d t| = 1,0 mm⁻¹.

À partir des données de l'énoncé, estimer numériquement la puissance hydroélectrique moyenne que peut récupérer le barrage de Jinping I.

En déduire, dans le cas de cette simplification, l'expression de la fonction z(t) que l'on exprimera en fonction de g, r, R, H₀ et t.

Déterminer alors l'expression littérale du temps nécessaire à la vidange complète du ballon.

Montrer que les fonctions X(x,t) et Z(z) sont solutions du système d'équations suivant : (∂² X)/(∂ x²) = -µ X (d² Z)/dz² = µ Z où µ est une constante qui ne dépend ni des coordonnées spatiales ni du…

En utilisant l'une des conditions de surface au repos montrer que les expressions X(x,t) = sin (kx - ω t) et .(d Z)/(d z)|_z=0 = γ = cste résolvent le problème. On exprimera la constante γ en…

En s'appuyant sur le tracé des lignes de courant de la figure 12, décrire comment évolue la pression dans l'écoulement au voisinage de la surface du cylindre pour x < 0 et pour x > 0.

Existe-t-il des situations pour lesquelles la grandeur C n'est pas conservée ? Justifier votre réponse en utilisant le schéma de puisage ci-dessus.

Un sous-marin est-il plus discret en eau chaude qu'en eau froide ? Si l'on suppose un diamètre de l'hélice de 10 m, et en raisonnant sur l'extrémité des pales uniquement, les bulles de cavitation…

Exprimer f_ic dans la base (eₓ, e_y, e_z). Dans la suite, on admet que l'on peut négliger la composante selon e_z de f_ic.

Linéariser les équations (18) et (19). Celles-ci feront intervenir v, f, η, g et H.

En présence de la force de Coriolis, les équations régissant ce problème deviennent couplées. On pose η = η/H, v_i = v_i/c pour i = x, y et f' = f/c. Écrire les équations trouvées à la question 46…

Expliquer sans calcul pourquoi le résultat de la question 26 s’applique toujours, à condition de remplacer l’amplitude A du mouvement du récipient par l’amplitude A_l du mouvement du liquide…

Afin d'éviter une trop forte détente des gaz après la sortie de la tuyère (ce qui peut conduire à la génération d'une onde de choc), on cherche à avoir une pression P₁ proche de la pression…

Préciser la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement de dihydrogène en sortie du cœur de réacteur.

En déduire la température en sortie de tuyère T₁ ainsi que la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement.

Déduire de la question 41 la relation T(1 + C₃ M²) = C₄ où l'on exprimera les constantes C₃ et C₄ en fonction de γ et T₀.

On considère que les masses d'air froid et d'air chaud ne s'interpénètrent pas lors de leur déplacement relatif. Que dire de la vitesse du fluide au niveau d'une bosse de déformation puis au niveau…

Établir alors l'expression de P(r) pour r > R.

On s'intéresse au champ de pression dans le domaine 0 r R. Que peut-on dire de l'écoulement pour ces valeurs de r ? Que peut-on en déduire pour la relation de Bernoulli ? Expliquer alors pourquoi…

On appelle dépression P(r) - Pₐ. Préciser ses expressions dans le cas étudié. Pour quelle valeur de r la valeur de |P(r) - Pₐ| est-elle la plus élevée ? Commenter.

En identifiant v₁(t) à -dh_p/dt, déduire de la question précédente une équation différentielle régissant l'évolution de h_p(t).

Résoudre cette équation différentielle par séparation des variables, puis montrer que la durée totale de vidange du réservoir s'exprime par : τ_p = 2h₀/g[(R₁/R₂)⁴ - 1].

Justifier que l'on peut considérer l'écoulement dans la lame de savon comme bidimensionnel. Montrer que, dans cette hypothèse, le terme d'étirement de vortex est nul.

La masse d'une tuile en terre cuite est d'environ 2,8 kg. Le faible recouvrement offre une densité surfacique de masse réduite de la couverture, de l'ordre de 40 kg⁻². Justifier de la nécessité du…

Que se passe-t-il alors ? Dessiner alors le système dans cette nouvelle configuration.

En tenant compte que le récipient se remplit avec le débit volumique Dₑ et se vide avec le débit volumique Dₜ obtenu en Q21, trouver l'équation différentielle donnant le niveau d'eau z(t) dans le…

Représenter graphiquement z en fonction du temps sur 2 périodes.

À partir de la définition du nombre de Froude expliquée dans l'annexe 1, quelle est, en ordre de grandeur, l'expression de la vitesse des ondes de gravité ayant une longueur d'onde égale à L, la…

Donner par analyse dimensionnelle l'expression de We.

Évaluer We pour le bateau de la figure 3 et conclure quant à la prise en compte de la tension de surface pour la suite du sujet.

Pour des ondes de gravité, quel type d'énergie, autre que l'énergie cinétique, est mis en jeu lors de la formation d'une vague d'une hauteur a, d'une longueur d'onde λ ?

Déterminer, en fonction des paramètres du problème, la fréquence de production de ces vagues, ainsi que l'ordre de grandeur de leur largeur.

En choisissant un ordre de grandeur raisonnable pour a et les valeurs trouvées pour L et U, calculer l'ordre de grandeur de P.

Un bateau de plaisance de 52 pieds est vendu typiquement avec un moteur d'une puissance de 715 chevaux-vapeur : comparer et conclure.

Quelle équation lie alors p₁ et v₁ ?

Quelle propriété de l'équation entre p₁ et v₁ permet de se restreindre à l'étude des formes proposées ?

Dans ces hypothèses, donner l'expression de v_1,0 en fonction de p_1,0, ρ et ω.

Montrer qu'en z = -h, on a (∂ φ)/(∂ z) = 0. (II.3)

Pourquoi peut-on considérer que, x ]-∞, +∞[, le gradient de φ est borné ?

Commenter la forme de cette solution.

En déduire la relation de dispersion.

À l'aide de la figure 4, expliquer l'existence d'une force de portance pour les angles d'incidence non nuls.

Dans la figure 2 sont représentées les lignes de courant pour un profil donné. En analysant ces lignes de courant, expliquer pourquoi l'écoulement stationnaire de l'air, supposé parfait, homogène et…

Pourquoi observe-t-on toujours C_P ≤ 1 ?

En utilisant l'équation de conservation de la quantité de mouvement (5), justifier que le champ de vitesse de l'OSPH définie en Q31 est radial et montrer qu'il peut se mettre sous la forme v_r(r, t)…

On fait l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude à la surface de la terre : h(x, y, t) = H + η(x, y, t) avec η(x, y, t) ≪ H, ainsi que u et v sont de faibles amplitudes. Écrire le système…

Montrer que l'on obtient un problème aux valeurs propres de la forme : MΨ₀ = ω Ψ₀ (2) Expliciter la matrice M en fonction de kₓ, k_y et des paramètres H, g et f₀.

Donner la relation de dispersion de ces ondes.

Tracer les 3 branches de ces relations de dispersion pour k_y = 0 en s'autorisant des fréquences négatives dans le plan (kₓ, ω) pour les cas f₀ = 1, f₀ = 0 et f₀ = -1 (où on a pris une valeur…

Le problème reste invariant par translation selon la direction x mais le terme f = β y brise l'invariance selon y. On cherche donc désormais des solutions sous la forme : Ψ(x, y, t) = Ψ(y) ei⁽kₓ x ⁻…

De même, évaluer la vitesse de groupe de ces ondes et montrer qu'elle change de signe pour une valeur caractéristique de kₓ définissant une longueur d'onde critique λ_c que l'on évaluera. En déduire…

Exprimer v_s en fonction de v_s, m, f, K et des rapports L / D et d / D. On vérifiera la cohérence du résultat lorsque l'on néglige toutes les pertes. Exprimer h en fonction de hₘ, f, K et des…

En utilisant l'équation d'Euler, montrer que : ρ (∂ v)/(∂ t) = -grad p. (2) Afin d'étudier plus en d'étail les ondes de gravité, on va supposer les perturbations sous forme sinusoïdale que l'on…

Sachant que la perturbation p doit rester finie, montrer alors que l'expression réelle de la perturbation p de la pression s'écrit : p(x,z,t) = A ekz cos (ω t - kx) où A est une constante que l'on…

En supposant que le réseau d'irrigation est constitué de L = 100 m de tuyaux micro-poreux avec un débit linéique D_lin = 6 L⁻¹⁻¹, déterminer la durée de la phase « pompe allumée » notée τ₁ puis…

Exprimer, au premier ordre en Δ p₁, la variation de température Δ T₁ = T₁ - T_A du fluide entre l'entrée et la sortie du stator. En appliquant le premier principe des systèmes ouverts dans le…

Déterminer, en fonction des grandeurs physiques précédentes, l'expression littérale du débit volumique minimal d'eau brute pour que la saumure saturée remonte jusqu'au niveau de l'injecteur.

Exprimer la puissance utile P_u de la pompe à l’aide d’un bilan de puissance entre un point de la surface libre de l’eau de la piscine et le point de refoulement G.

Quelle équation différentielle est vérifiée par hₑ(t) ? En déduire la durée t_v de la vidange du spa en fonction de dₜ, d_int, g et hₑ(0).

En intégrant l'équation d'Euler le long d'une ligne de courant, établir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse vₜ(t) de l'eau dans le tuyau. Cette équation ne dépend que des seuls…

Résoudre l'équation précédente sous la forme vₜ(t) = v₁ f(t/τₑ) où f est une fonction trigonométrique hyperbolique et dans laquelle on exprimera d'une part v₁ en fonction de g et hₑ(0) et d'autre…

En déduire qu'à l'ordre le plus bas en ε on peut écrire (∂ P(r,t))/(∂ r) = -β/r² (d²ε(t))/dt². On exprimera β en fonction de ρₑ et R₀. À partir de cette relation, obtenir une expression de la…

Montrer alors que le rayon de la bulle oscille et calculer la fréquence correspondante. On prendra R₀ = 1 mm. En estimant le temps caractéristique de diffusion thermique dans la bulle, montrer que…

Montrer qu'on peut choisir A de façon à vérifier l'équation de Laplace Δ A = 0 (où Δ désigne l'opérateur laplacien) ainsi que l'équation de Bernoulli généralisée (2) : (∂² A)/(∂ t²) + 1/ρ₀(∂ P)/(∂…

Que devient l'équation de Bernoulli au niveau de la surface libre de l'eau ? En déduire l'équation de dispersion ω² = gk. La propagation est-elle dispersive ? On notera que cette équation de dépend…

Montrer que la linéarisation de cette équation, en ne conservant que les termes en vitesse d'ordres inférieurs ou égaux à 1, conduit à l'égalité : (∂ φ₁)/(∂ t) + p₁/ρ₁ + gz = C₁(t), où C₁(t) est une…

De même, écrire l'équation d'Euler vérifiée par le champ des vitesses V₂ en tout point du fluide (2). Montrer que la linéarisation de cette équation, en ne conservant que les termes en vitesse…

Déduire de cette égalité, après linéarisation, deux équations au premier ordre, l'une faisant intervenir η et φ₁, l'autre η et φ₂.

Expliquer, sans calcul, comment obtenir l'équation suivante en précisant son origine physique et les éventuelles approximations effectuées : ρ₁ ( (∂ φ₁)/(∂ t)(x, 0, t) + g η(x, t) ) = ρ₂ ( (∂ φ₂)/(∂…

Montrer que les deux équations établies à la question Q 33, traduisant les propriétés de la surface de séparation, conduisent aux deux égalités : -k φ₂⁰ = j(ω - kU)ηₘ et k sinh (kh) φ₁⁰ = jωηₘ.

Toujours dans le cas limite d'une profondeur h infinie, calculer la longueur d'onde maximale observable lorsque la vitesse du vent vaut 100 km/h. Proposer en conséquence dans ce cas une discussion…

Déterminer l'équation différentielle reliant les champs v(r), P(r) et µ(r).

En déduire que l'équation différentielle vérifiée par v(r) se met sous la forme : 1/vdv/dr(v²/c²-1) = 2(1/r-(r*)/r²) pour laquelle on exprimera les grandeurs c et r*.

Déterminer v(r*).

Déterminer l'expression de la pression p(x,z = η,t) à la surface du fluide. En déduire une seconde condition de surface libre : η = -.1/g (∂ φ)/(∂ t)|_z=η - .(u · u)/2g|_z=η.

En utilisant la condition de surface au repos non encore utilisée, établir la relation de dispersion de l'onde entre ω, g, k et la tangente hyperbolique de kH.

Déterminer l'expression de la pression p(x,z = η,t) à la surface du fluide. En déduire une seconde condition de surface libre : η = -.1/g (∂ φ)/(∂ t)|_z=η - .(u · u)/2g|_z=η . (9)

En utilisant les résultats précédents complétés par la condition (7) au fond du réservoir, montrer qu'alors Z(z) = ζ (cosh [k(z + H)])/(sinh (kH)) où l'on exprimera la constante ζ en fonction de A…

Exprimer le travail massique w_i que doit fournir la pompe. Effectuer l'application numérique.

On sait que l'atmosphère martienne est environ 100 fois moins dense que l'atmosphère terrestre et que l'accélération de la pesanteur martienne a pour valeur g_Mars = 3,7 m⁻². À partir des données et…

Écrire l'équation d'Euler. En déduire l'expression de (∂ p(r,t))/(∂ r) en fonction de ρ₀, r, A(t) et de ses dérivées temporelles. On négligera la pesanteur.

Exprimer la durée τ, appelée temps de Rayleigh, que met la bulle à disparaître en fonction de ρ₀, p_∞,0, p_sat(T) et R₀ ainsi que de l'intégrale suivante dont on donne la valeur approchée. On pourra…

Dans la suite on considère que la pression est nulle à la surface du fluide. Montrer alors que (∂ v)/(∂ t) + (v · grad)v + f ∧ v = -ggrad h (18) où f = fe_z et f est un paramètre à déterminer.

On s'intéresse à des solutions en ondes planes progressives harmoniques dont on écrit la représentation complexe vₓ = v_x,0 ei⁽kₓ x ⁺ k_y y ⁻ ω t⁾ et de même pour v_y et η. Montrer que le problème…

En déduire les relations de dispersion vérifiées par ω. On les notera ω_j(k, f'), 1 ≤ j ≤ 3, de telle sorte que ω_j < ω_j' si j < j'.

Calculer l’énergie cinétique E_c(t) du liquide associée à ce champ de vitesses en fonction de ρ_l, k, S et ζ(t).

Calculer l’énergie cinétique E_v du liquide associée à ce champ de vitesses, moyennée sur une période d’oscillation, en fonction de ρ_l, A, ω, k, S et ζ.

En utilisant le résultat de la question 27, écrire la relation de dispersion vérifiée par les oscillations de la surface inférieure du liquide.

On néglige la tension superficielle. En utilisant les résultats des questions 18 et 29, montrer que l’interface liquide-air inférieure est stable si Lₓ < L*, où L* est une longueur critique qu’on…

Déduire des deux précédentes questions la relation v² - v₀² = C₁ ( 1 - ( P/P₀ )⁽γ ⁻ ¹⁾/γ ) où l'on exprimera la constante C₁ en fonction de P₀, µ₀ et γ.

En posant α = (P(x))/P₀ et en supposant que v₀ est négligeable devant v, établir l'expression du débit massique dans la tuyère sous la forme Dₘ = C₂ S(x) f(α) où f(α) est une fonction de α seul, à…

Justifier que l'on a nécessairement α [0, 1]. Après avoir indiqué les limites, étudier la fonction f(α) et préciser sa particularité en α_M = ( (γ + 1)/2 )γ/⁽γ ⁻ ¹⁾ = 0,528.

Expliquer en quoi la valeur du rapport P₁/P₀ influence sa géométrie et associer, parmi les formes proposées sur la figure 4, celles correspondant aux différents cas possibles.

À partir de la relation établie à la question 32 et en tenant compte du caractère isentropique de l'évolution, établir une relation entre la température et la vitesse dans la tuyère. À quelle loi de…

Au vu de la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement à l'entrée et à la sortie de la tuyère, justifier que seule la tuyère de Laval permet une augmentation continue de la vitesse. Préciser…

La pression en sortie de tuyère semble-t-elle respecter la condition évoquée à la question 36 ? Le dihydrogène subit-il un changement d'état à la sortie ?

Ce profil de vitesse est-il partout compatible avec la modélisation d'un écoulement incompressible et homogène ? Avec celle d'un écoulement parfait ?

Montrer qu'alors un gradient de pression apparait entre les deux couches de part et d'autre de l'interface. Quelle en est la conséquence sur la déformation initiale ? Est-elle amplifiée ou au…

Calculer, en explicitant le raisonnement, le travail mécanique fourni au sang par le coeur pour un battement.

Établir l'expression de P(r) pour 0 r R en utilisant la relation d'Euler.

On note Ω = rot v la vorticité dans l'écoulement. Montrer, en négligeant les effets de la viscosité ainsi que la résultante des forces volumiques autres que celles de pression, que Ω satisfait à une…

En raisonnant sur dz(t)/dt au début de la vidange et à la fin de la vidange montrer qu'il ne peut y avoir de vidange effective que si Dₑ est inférieur à une valeur limite valable pour toute la phase…

Montrer que pour certaines valeurs de Dₑ la vidange peut s'arrêter pour une cote z₀ telle que z_B < z₀ < z_C. Déterminer l'expression de cette cote. Expliquer cet effet par un raisonnement physique.

On suppose que Dₑ est suffisamment petit pour être négligeable pendant toute la phase de vidange. Donner alors la nouvelle forme de l'équation différentielle régissant z(t), déterminer l'expression…

Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur E_p = E_p(ρ, g, L, A, λ) emmagasinée par l'onde, sur une étendue spatiale (selon (Ox)) égale à une longueur d'onde. Rappelons que la largeur de la cuve…

Nous cherchons d'abord à relier l'amplitude A des ondes à l'amplitude B (B ≥ 0) des oscillations du flotteur. Nous considérons alors que le volume total des bosses (occupant chacune une demie…

Déduire de ce système d'équations la relation de dispersion liant ω, kₓ et k_y. Vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme : ω²(kₓ² + k_y²) = α² kₓ² (8) où α est une constante positive, propre au…

Donner une expression qui estime, en ordre de grandeur, cette énergie par unité de longueur de vague en fonction notamment de a et λ. Pour cette question, on pourra, entre autres, estimer pour une…

En déduire la puissance totale rayonnée dans les vagues et la force de trainée de vague F en fonction de ρ, g, a, L et U.

Montrer que g(z) peut s'écrire g(z) = A cosh (k(z + h)), où k est une constante.

Déterminer complètement l'expression générale de φ et donner une interprétation pour la signification de k.

Un technicien souhaite vérifier la vitesse d'écoulement du fluide dans le réseau de tuyauterie. Il dispose du matériel suivant : un tube coudé et un tube droit de diamètres très inférieurs à celui…

Expliquer en quoi l'équateur peut être vu comme une interface entre deux milieux homogènes de topologies différentes. Quelle est la conséquence étant donné les valeurs des invariants topologiques ?

En utilisant les acquis de la chaîne SSH (questions 19 à 21), compter le nombre de modes transitant dans chaque bande interdite des modes vues dans l'hypothèse de Kelvin où f était constant et…

L'onde de Kelvin joue un rôle prépondérant dans le phénomène El Niño. Pourquoi est-elle responsable d'une accumulation d'eaux au large des côtes du Pérou ?

En appliquant la relation fondamentale au centre de gravité de la tranche, obtenir une équation différentielle du second ordre vérifiée par ε(t). Discuter de la forme des solutions suivant les…

Estimer l'énergie cinétique moyenne associée à ces oscillations. Conclure sur le brassage de l'eau provoqué par les bulles du spa.

En utilisant l'équation de la question Q 34, établir la relation suivante notée V.1 : ρ₁ [ ((jω)²)/(tanh (kh)) + kg ] = ρ₂ [ kg - (j(ω - kU))² ]. V.1

Montrer que, dans le cas limite d'une profondeur h infinie et en notant que ρ₂/ρ₁ ≪ 1, le démarrage des oscillations s'observe lorsque la vitesse du vent U vérifie U² > g/k ρ₁/ρ₂.

Évaluer la contribution hydrodynamique au débit massique d'échappement atmosphérique de Mars donnée par le modèle qui précède. Conclure.

Parmi les pompes dont les caractéristiques sont présentées figure 2, quel est le numéro de la pompe la mieux adaptée à cette utilisation ? Justifier la réponse.

En appliquant l’équation d’Euler, dans laquelle on néglige le terme convectif, montrer qu’à la surface, la vitesse du liquide dans le référentiel du récipient vérifie l’équation (∂ vₓ)/(∂ t) = -Z(t)…

Déterminer les diamètres de la tuyère au col et à la sortie. Commenter vos résultats à l'aide de la figure 2.

Les ondes internes peuvent interagir avec le relief sous-marin et subir des réflexions. Représenter, sur un schéma (inspiré de la figure (6)), le vecteur d'onde et la vitesse de groupe (orientant…

Le vecteur d'onde incident est toujours tel que kₓ = 2k_y > 0 mais le plan représentant la paroi sous-marine a maintenant pour équation cartésienne y - 2x = Cste. Représenter, sur un schéma inspiré…

Montrer que la pression totale et le potentiel sont reliés par ρ (∂ φ)/(∂ t) + P + ρ g z = Constante. En déduire qu'en z = ζ(x, t), (∂² φ)/(∂ t²) + g (∂ φ)/(∂ z) = 0. (II.4)