Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2024

La taille caractéristique a de la particule fluide doit satisfaire la double inégalité :

où :

• \ell_{\text{micro}} est l'échelle microscopique caractéristique, représentée par la distance intermoléculaire moyenne d dans un liquide ou par le libre parcours moyen \ell_{\text{libre}} dans un gaz. Cette condition (a \gg \ell_{\text{micro}}) garantit que la particule renferme un nombre de molécules N \gg 1, de sorte que les grandeurs thermodynamiques et mécaniques locales (\rho, p, T, \vec{v}) soient bien définies avec des fluctuations statistiques relatives négligeables (\sim 1/\sqrt{N} \ll 1) ;
• L_{\text{macro}} est l'échelle macroscopique spatiale sur laquelle varient significativement les champs d'écoulement (dans le cas présent, la longueur d'onde acoustique \lambda ou une échelle caractéristique du milieu). Cette condition (a \ll L_{\text{macro}}) autorise l'assimilation de la particule fluide à un point géométrique et permet l'emploi du calcul différentiel (milieu continu).

Le système d'équations (1) fait intervenir les champs spatio-temporels suivants :

• le champ des vitesses \vec{v}(M,t), soit 3 composantes scalaires ;
• le champ de pression p(M,t), soit 1 grandeur scalaire ;
• le champ de masse volumique \rho(M,t), soit 1 grandeur scalaire ;
• (le champ de température T(M,t) mentionné dans le texte).

Cela représente au minimum 5 fonctions scalaires inconnues (voire 6 avec la température).

Or, le système (1) ne fournit que 4 équations scalaires :

• l'équation d'Euler (vectorielle), équivalente à 3 équations scalaires ;
• l'équation de conservation de la masse (scalaire), soit 1 équation scalaire.

Le nombre d'inconnues (5 ou 6) étant strictement supérieur au nombre d'équations (4), le système est sous-déterminé (non fermé). Pour le clore, il est indispensable de lui adjoindre une équation d'état thermodynamique (reliant p, \rho et T) ainsi qu'une équation régissant les transferts thermiques ou l'évolution thermodynamique du fluide (par exemple l'hypothèse d'une évolution isentropique).

Par ailleurs, sur le plan mathématique, ce système est constitué d'équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires. Les non-linéarités proviennent :

• du terme convectif \rho (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v} dans l'équation de Navier-Stokes/Euler ;
• des produits entre grandeurs dynamiques, notamment \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} et \operatorname{div}(\rho \vec{v}).

Ces non-linéarités interdisent l'utilisation directe du principe de superposition et empêchent généralement toute résolution analytique exacte, justifiant ainsi le recours à une procédure d'approximation ou de linéarisation (acoustique linéaire).

Le terme (a) s'écrit, compte tenu de la décomposition des champs \vec{v} = \vec{v}_0 + \delta\vec{v} = \delta\vec{v} (le fluide étant au repos à l'équilibre) et \rho = \rho_0 + \delta\rho :

Le premier terme \rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} est du premier ordre en grandeurs dynamiques, tandis que le second terme \delta\rho \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} est un terme non linéaire d'ordre deux.

Le terme (a) peut donc être linéarisé sous la forme \rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} dès lors que la perturbation relative de masse volumique est négligeable devant l'unité, soit :

Le fluide étant au repos à l'équilibre (\vec{v}_0 = \vec{0}), le champ de vitesse se réduit à sa composante dynamique : \vec{v} = \delta\vec{v}, d'amplitude caractéristique notée A_v.

Pour une onde se propageant à la pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k} vérifiant \omega = c k :

• la dérivation temporelle introduit un facteur d'échelle \omega, d'où l'ordre de grandeur du terme (a) :

  \left\| \rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \right\| \sim \rho_0 \omega A_v

• les dérivées spatiales introduisent le facteur d'échelle spatial k = \omega/c, d'où l'ordre de grandeur du terme convectif (b) :

  \left\| \rho (\vec{v} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{v} \right\| \sim \rho_0 k A_v^2

Le terme convectif (b) est négligeable devant le terme d'accélération locale (a) si :

En utilisant la relation de dispersion k = \omega/c, cette condition s'écrit :

soit encore \|\delta\vec{v}\| \ll c.

La seconde équation du système (1) est l'équation locale de conservation de la masse :

En introduisant les décompositions \rho(\mathrm{M}, t) = \rho_0 + \delta\rho(\mathrm{M}, t) et \vec{v}(\mathrm{M}, t) = \delta\vec{v}(\mathrm{M}, t) (avec \vec{v}_0 = \vec{0}), et sachant que \rho_0 est indépendant du temps et uniforme dans l'espace, il vient :

L'équation s'écrit ainsi :

Le terme non linéaire est le terme du second ordre \operatorname{div}(\delta\rho\,\delta\vec{v}). Estimons les grandeurs caractéristiques associées aux deux termes d'écoulement pour une onde plane de vecteur d'onde k :

Le terme d'ordre deux est négligeable devant le terme linéaire d'ordre un si et seulement si :

Sous cette condition, la seconde équation du système (1) tend vers l'équation linéaire :

La condition pour que la seconde équation tende vers une équation linéaire est donc :

L'évolution du fluide induite par le passage de l'onde étant supposée isentropique (S = \text{cste}), la masse volumique ne dépend localement que de la pression p : \rho = \rho(p, S). Un développement limité au premier ordre au voisinage de l'état statique (p_0, T_0) conduit à :

soit pour la fluctuation dynamique de masse volumique :

Cette approximation linéaire est valable sous la condition de petites perturbations acoustiques, c'est-à-dire :

ce qui garantit que les termes d'ordres supérieurs dans le développement de Taylor restent négligeables devant le terme d'ordre un, et assure également |\delta\rho| \ll \rho_0.

En combinant l'équation d'Euler linéarisée sans pesanteur (\rho_0 \frac{\partial \delta\vec{v}}{\partial t} = -\vec{\nabla}\delta p) et l'équation de conservation de la masse linéarisée (\frac{\partial \delta\rho}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\delta\vec{v} = 0), on obtient l'équation d'onde de d'Alembert pour \delta p ou \delta\rho, dans laquelle la célérité isentropique c vérifie c^2 = \left.\frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_{S,0} = \frac{1}{\rho_0 \chi_{S0}}. La célérité du son s'écrit donc :

On en déduit immédiatement la relation liant la surpression acoustique \delta p à la variation de masse volumique \delta\rho :

À l'équilibre statique (en l'absence d'onde acoustique), le fluide est au repos (\vec{v}_0 = \vec{0}) et vérifie la relation fondamentale de la statique des fluides :

En présence de l'onde acoustique, en injectant les décompositions p = p_0 + \delta p, \rho = \rho_0 + \delta\rho et \vec{v} = \delta\vec{v} dans la première équation du système (1), et compte tenu des approximations linéaires validées aux questions précédentes (terme convectif négligeable et terme d'accélération linéarisé), on obtient :

En soustrayant la condition d'équilibre statique, l'équation dynamique s'écrit :

Évaluons les ordres de grandeur spatio-temporels de ces composantes dynamiques pour une onde plane harmonique de pulsation \omega et de vecteur d'onde de norme k = \omega/c :

• Le terme de force volumique de pesanteur dynamique a pour amplitude :

  \|\delta\rho\,\vec{g}\| \sim A_\rho\,g

• Le terme de gradient de pression acoustique a pour amplitude :

  \|\vec{\grad}\delta p\| \sim k\,A_p = \frac{\omega}{c}\,A_p

D'après la question 6, la réponse thermodynamique isentropique impose la relation \delta p = c^2\,\delta\rho, d'où A_p = c^2\,A_\rho. L'amplitude du gradient de pression s'exprime donc sous la forme :

L'effet de la pesanteur peut être légitimement négligé dans les équations dynamiques si le terme \delta\rho\,\vec{g} est négligeable devant le gradient de pression acoustique \vec{\grad}\delta p, ce qui se traduit par :

On obtient ainsi la condition requise :

D'après la question 7, la pesanteur est négligeable dans les équations dynamiques de propagation sous la condition \omega \gg \dfrac{g}{c}. Exprimée en fonction de la fréquence f = \dfrac{\omega}{2\pi}, cette condition s'écrit :

• Cas de l'air : avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c_{\text{air}} = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

  \begin{aligned} f_{c,\text{air}} &= \frac{10}{2\pi \times 300} = \frac{1}{60\pi} \approx 5{,}3\times 10^{-3}\text{ Hz} \end{aligned}

  soit la condition :

  \boxed{f \gg 5{,}3\times 10^{-3}\text{ Hz} \approx 5\text{ mHz}}

• Cas de l'eau : avec g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et c_{\text{eau}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},

  \begin{aligned} f_{c,\text{eau}} &= \frac{10}{2\pi \times 1500} = \frac{1}{300\pi} \approx 1{,}1\times 10^{-3}\text{ Hz} \end{aligned}

  soit la condition :

  \boxed{f \gg 1{,}1\times 10^{-3}\text{ Hz} \approx 1\text{ mHz}}

Commentaires :

• Les fréquences seuils f_c obtenues sont de l'ordre du millihertz, ce qui correspond à des périodes caractéristiques de l'ordre de plusieurs centaines de secondes (environ 3\text{ min} pour l'air et 15\text{ min} pour l'eau).
• Pour l'ensemble du domaine acoustique usuel (sons audibles de 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}, et ultrasons au-delà), les fréquences considérées sont immensément supérieures à ces seuils : l'inégalité f \gg f_c est donc toujours largement satisfaite en pratique.
• Il est par conséquent parfaitement légitime de négliger les effets de la pesanteur dans l'étude des ondes acoustiques usuelles dans l'air comme dans l'eau. Seuls les infrasons de très basse fréquence (ondes de gravité-acoustiques) nécessiteraient la prise en compte de la gravité.

Lors de la propagation d'une onde acoustique plane, le fluide subit localement une succession de compressions et de dilatations :

• les zones de compression (\delta p > 0) s'échauffent adiabatiquement (\delta T > 0) ;
• les zones de détente (\delta p < 0) se refroidissent adiabatiquement (\delta T < 0).

Ces zones chaudes et froides alternent périodiquement dans l'espace avec une période spatiale égale à la longueur d'onde \lambda = 2\pi/k = 2\pi c/\omega. La distance typique séparant une zone chaude d'une zone froide est de l'ordre de la demi-longueur d'onde, ce qui correspond à l'échelle spatiale caractéristique :

Il s'établit alors un gradient de température spatial qui donne naissance, d'après la loi de Fourier, à des transferts thermiques conductifs entre les zones chaudes et les zones froides, via un vecteur densité de courant thermique \vec{j}_{\text{th}} = -\lambda_{\text{th}} \overrightarrow{\operatorname{grad}}(\delta T) orienté des zones chaudes vers les zones froides.

L'évolution du fluide peut être considérée comme adiabatique si la diffusion thermique n'a pas le temps d'homogénéiser les températures au cours d'une période de l'onde acoustique. Comparons les deux temps caractéristiques du phénomène :

• le temps caractéristique acoustique :

  \tau_{\text{ac}} \sim \frac{1}{\omega}

• le temps caractéristique de diffusion thermique sur l'échelle spatiale L \sim c/\omega :

  \tau_{\text{diff}} \sim \frac{L^2}{D} \sim \frac{c^2}{D\,\omega^2}

Le transfert thermique est négligeable (régime adiabatique) si le temps de diffusion est très supérieur au temps acoustique :

ce qui conduit immédiatement à la condition :

Remarque équivalente : dans l'équation de la diffusion de la chaleur avec terme source de compression, le terme instationnaire d'ordre \omega\,\delta T domine le terme de diffusion thermique d'ordre D k^2 \delta T = D \frac{\omega^2}{c^2} \delta T si et seulement si D \frac{\omega^2}{c^2} \ll \omega, ce qui redonne \omega \ll \frac{c^2}{D}.

D'après la condition établie à la question 9, l'évolution du fluide est adiabatique si :

Cas de l'air : Avec c_{\text{air}} = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et D_{\text{air}} \sim 20 \times 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

soit la condition :

Cas de l'eau : Avec c_{\text{eau}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et D_{\text{eau}} \sim 0{,}15 \times 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

soit la condition :

Commentaires :

• Le domaine acoustique audible s'étend typiquement de 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}, et le domaine des ultrasons usuels atteint au plus quelques dizaines de mégahertz. Ces fréquences sont immensément plus faibles que les fréquences de coupure thermique f_{\text{th}} obtenues (de l'ordre du gigahertz dans l'air et du térahertz dans l'eau).
• L'hypothèse de transformations adiabatiques lors du passage d'une onde acoustique est donc excellemment vérifiée pour tous les sons audibles et ultrasons usuels, tant dans l'air que dans l'eau.

Pour une onde plane harmonique se propageant dans la direction de \vec{u}, la perturbation de vitesse s'écrit \delta\vec{v}(\vec{r}, t) = \vec{A}_v \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}).

Le terme d'accélération locale (a) linéarisé (étudié en question 3) est de l'ordre de grandeur :

D'après le texte, la résultante volumique des forces de viscosité f_{\mathrm{V}} s'exprime comme le produit de la viscosité dynamique \eta par une dérivée spatiale d'ordre deux de la vitesse. L'opérateur spatial intervenant à l'ordre deux se met à l'échelle par le carré du vecteur d'onde k^2 = (\omega/c)^2 :

L'écoulement induit par l'onde acoustique peut être considéré comme parfait si les effets visqueux sont négligeables devant le terme d'inertie (a) :

En simplifiant par \omega A_v > 0 et en introduisant la viscosité cinématique \nu = \eta/\rho_0, on obtient la condition :

Soit finalement :

D'après la condition établie à la question Q11, l'écoulement induit par l'onde acoustique est assimilable à un écoulement parfait si :

1. Cas de l'air : Avec c_{\text{air}} = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \nu_{\text{air}} \sim 10^{-5}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

L'inégalité s'écrit donc :

2. Cas de l'eau : Avec c_{\text{eau}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et \nu_{\text{eau}} \sim 10^{-6}\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-1} :

L'inégalité s'écrit donc :

Commentaires :

• Les fréquences caractéristiques obtenues appartiennent au domaine de l'hypersonique (f \gtrsim 1\text{ GHz}).
• Le domaine acoustique usuel (sons audibles entre 20\text{ Hz} et 20\text{ kHz}, ainsi que les ultrasons usuels jusqu'à quelques dizaines de mégahertz) vérifie très largement cette condition : f \ll f_{\text{visq}}.
• L'hypothèse de fluide parfait (effets visqueux négligeables) est donc pleinement justifiée pour la quasi-totalité des applications acoustiques et sous-marines.

Dans le cadre de l'acoustique linéaire et en l'absence de pesanteur, l'équation de conservation de la masse et l'équation d'Euler s'écrivent :

En utilisant la relation constitutive \delta p = c(z)^2 \delta\rho, l'élimination de \delta\vec{v} par dérivation temporelle de l'équation de continuité et utilisation de l'équation d'Euler fait intervenir l'opérateur spatial :

ainsi que des termes de couplage issus de la dérivation de grandeurs dépendant de l'altitude z (comme c(z) ou \rho_0(z)).

Pour toute composante dynamique \delta s dépendant de z :

• La dérivée spatiale directe du champ dynamique varie sur l'échelle de l'onde acoustique \lambda :

  \left| \frac{\partial^2 \delta s}{\partial z^2} \right| \sim \frac{\delta s}{\lambda^2}

• Les dérivées spatiales croisées faisant intervenir la variation spatiale des caractéristiques du milieu (telle que c(z), qui varie sur la distance \ell) s'écrivent sous la forme de termes correctifs du type :

  \left| \frac{1}{c}\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}z} \frac{\partial \delta s}{\partial z} \right| \sim \frac{1}{\ell} \times \frac{\delta s}{\lambda} = \frac{\delta s}{\ell \lambda}

Pour que la composante \delta s satisfasse une équation de d'Alembert locale de la forme :

il est nécessaire que ces termes de gradient d'inhomogénéité soient négligeables devant les termes de dérivée seconde de l'onde :

soit la condition :