Feuille d'entraînement : Mécanique des fluides

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q27

   1. Expression du gradient de pression statique

   En l'absence d'onde sonore, le fluide possède une vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x uniforme et constante dans le temps, une masse volumique constante \rho_0, et une pression p_{\text{st}}(z). Toutes les dérivées spatio-temporelles du champ de vitesse s'annulent :

   \frac{\partial \vec{v}_0}{\partial t} = \vec{0}, \quad (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_0 = \vec{0}, \quad \Delta \vec{v}_0 = \vec{0}

   L'équation de Navier–Stokes se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

   \vec{0} = -\vec{\mathrm{grad}}\,p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g}

   Comme \vec{g} = -g \vec{u}_z et que p_{\text{st}} ne dépend que de la cote z, la projection sur l'axe vertical \vec{u}_z donne directement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}p_{\text{st}}}{\mathrm{d}z} = -\rho_0 g}

   (Compte tenu de la condition à la surface libre p_{\text{st}}(0) = p_0, on retrouve la loi hydrostatique p_{\text{st}}(z) = p_0 - \rho_0 g z).

   2. Forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes

   En présence de l'onde acoustique, on décompose les champs sous la forme :

   p = p_{\text{st}}(z) + p_1(\vec{r},t), \quad \rho = \rho_0 + \rho_1(\vec{r},t), \quad \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}_1(\vec{r},t)

   où p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 sont des perturbations acoustiques de petite amplitude (grandeurs du premier ordre).

   L'équation de Navier–Stokes devient :

   (\rho_0 + \rho_1)\left[ \frac{\partial \vec{v}_1}{\partial t} + \left((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}}\right)(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) \right] = -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} - \vec{\mathrm{grad}} p_1 + (\rho_0 + \rho_1)\vec{g} + \eta \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1)

   Procédons aux simplifications :

   • Équilibre de base : D'après le résultat précédent, -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g} = \vec{0}.

   • Terme de pesanteur perturbé : Le terme résiduel de gravité est \rho_1 \vec{g}. En ordre de grandeur, \|\rho_1 \vec{g}\| \sim \rho_1 g \sim \frac{p_1}{c_a^2} g, tandis que le gradient de pression acoustique est de norme \|\vec{\mathrm{grad}} p_1\| \sim k p_1 = \frac{\omega}{c_a} p_1. Le rapport de ces deux termes vaut :

     \frac{\|\rho_1 \vec{g}\|}{\|\vec{\mathrm{grad}} p_1\|} \sim \frac{g}{\omega c_a}

     Pour des ondes acoustiques dans l'eau (c_a \simeq 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), dès que f \ge 10\text{ Hz} (\omega \ge 60\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega c_a \ge 9\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \gg g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. La force de pesanteur sur les surdensités acoustiques est donc négligeable devant la force de pression : \rho_1 \vec{g} \ll \vec{\mathrm{grad}} p_1.

   • Linéarisation du terme d'inertie : Au premier ordre, \rho_0 + \rho_1 \simeq \rho_0. Puisque \vec{v}_0 est uniforme, le terme convectif s'écrit :

     ((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}})(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 + \mathcal{O}(v_1^2)
   • Terme visqueux : \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = \Delta \vec{v}_1.

   On aboutit ainsi à la forme simplifiée (linéarisée) de l'équation de Navier–Stokes pour l'onde acoustique (notée ici avec \underline{p} et \underline{\vec{v}} conformément à la suite de l'énoncé) :

   \boxed{\rho_0 \left[ \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} + (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}} \right] = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}}

   Dans le cas particulier où l'eau est au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}, étudié dans la sous-partie II.1), celle-ci se réduit à :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{p}_{\text{st}}}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{0}g$$

   $${\rho }_0\left[\frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t}+({\vec{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}}\right]=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}+\eta \Delta \underline{\vec{v}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q28

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, les compressions et dilatations du fluide sont suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligeables, et les gradients d'amplitude suffisamment faibles pour négliger la dissipation visqueuse au sein de l'onde : l'évolution est isentropique.

   Le coefficient de compressibilité isentropique \chi d'un volume V de fluide est défini par :

   \chi = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S

   Pour une masse de fluide m = \rho V constante, la différentiation logarithmique donne :

   \frac{\mathrm{d}m}{m} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} + \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}V}{V} = -\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}

   On en déduit l'expression de \chi en fonction de la masse volumique \rho :

   \chi = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S

   En se plaçant au premier ordre autour de l'état d'équilibre caractérisé par la masse volumique moyenne \rho_0, la fluctuation de masse volumique \underline{\rho} = \rho - \rho_0 s'écrit directement en fonction de la surpression acoustique \underline{p} :

   \boxed{\underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}}

   Résultat

   $$\underline{\rho }={\rho }_0\chi \underline{p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q29

   Dans un fluide parfait (\eta = 0) au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée obtenue à la question Q27 s'écrit :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p}

   Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon le facteur de phase \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels deviennent :

   \frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow \mathrm{i}\omega \quad \text{et} \quad \vec{\mathrm{grad}} \longrightarrow -\mathrm{i}\vec{k}

   L'équation d'Euler linéarisée devient ainsi :

   \rho_0 (\mathrm{i}\omega \underline{\vec{v}}) = -(-\mathrm{i}\vec{k}\underline{p}) = \mathrm{i}\vec{k}\underline{p}

   En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

   \boxed{\rho_0 \omega \underline{\vec{v}} = \vec{k}\underline{p}}

   L'équation locale de conservation de la masse est :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0

   Avec \rho = \rho_0 + \underline{\rho} et \vec{v} = \underline{\vec{v}}, le terme convectif \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \operatorname{div}((\rho_0 + \underline{\rho})\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} + \operatorname{div}(\underline{\rho}\underline{\vec{v}}) se réduit au premier ordre à \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}}. L'équation de continuité linéarisée s'écrit donc :

   \frac{\partial \underline{\rho}}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0

   D'après la relation issue de la compressibilité (question Q28), \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En remplaçant \underline{\rho} :

   \rho_0 \chi \frac{\partial \underline{p}}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0 \iff \chi \frac{\partial \underline{p}}{\partial t} + \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0

   En passant en notation complexe (\operatorname{div} \to -\mathrm{i}\vec{k}\cdot) :

   \chi (\mathrm{i}\omega \underline{p}) - \mathrm{i}\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = 0

   Soit, en simplifiant par \mathrm{i} :

   \boxed{\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = \chi \omega \underline{p}}

   Multiplions scalairement par \vec{k} la première équation :

   \rho_0 \omega (\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}}) = k^2 \underline{p}

   En y substituant l'expression de \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} issue de la seconde équation :

   \rho_0 \omega (\chi \omega \underline{p}) = k^2 \underline{p} \implies \left(\rho_0 \chi \omega^2 - k^2\right) \underline{p} = 0

   Pour une onde non triviale (\underline{p} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

   k^2 = \rho_0 \chi \omega^2

   Le milieu est non dispersif et la célérité de phase c_a = \frac{\omega}{k} s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

   \boxed{c_a = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi}}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} \rho_0 &= 1{,}00 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \\ \chi &= 4{,}10 \cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} \\ c_a &= \frac{1}{\sqrt{1{,}00 \cdot 10^3 \times 4{,}10 \cdot 10^{-10}}} = \frac{1}{\sqrt{4{,}10 \cdot 10^{-7}}} \simeq 1{,}56 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{c_a \simeq 1{,}56 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $${\rho }_0\omega \underline{\vec{v}}=\vec{k}\underline{p}$$

   $$\vec{k}\cdot \underline{\vec{v}}=\chi \omega \underline{p}$$

   $$c_a=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}$$

   $$c_a\simeq 1,56\cdot 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

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4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q1

   Par définition, le nombre de Reynolds \mathcal{R}_{\mathrm{e}} adimensionné s'écrit :

   \boxed{\mathcal{R}_{\mathrm{e}} = \frac{\rho v L}{\eta}}

   Dans l'équation de Navier-Stokes (1), les deux termes comparés par ce nombre sans dimension sont le terme convectif d'inertie et le terme visqueux :

   • le terme d'inertie convective \vec{T}_{\mathrm{iner}} = \rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v}, d'ordre de grandeur \rho \dfrac{v^2}{L} ;
   • le terme de diffusion visqueuse \vec{T}_{\mathrm{visq}} = \eta \vec{\Delta}\vec{v}, d'ordre de grandeur \eta \dfrac{v}{L^2}.

   Le nombre de Reynolds estime ainsi le rapport des normes de ces deux termes :

   \frac{\|\rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v}\|}{\|\eta \vec{\Delta}\vec{v}\|} \sim \frac{\rho \frac{v^2}{L}}{\eta \frac{v}{L^2}} = \frac{\rho v L}{\eta} = \mathcal{R}_{\mathrm{e}}

   L'interprétation physique de chacun de ces termes est la suivante :

   • Terme convectif d'inertie \rho(\vec{v}\cdot\vec{\operatorname{grad}})\vec{v} : il traduit les effets d'inertie de l'écoulement, c'est-à-dire le transport de quantité de mouvement lié au mouvement macroscopique des particules fluides à travers des zones de vitesses différentes.
   • Terme visqueux \eta \vec{\Delta}\vec{v} : il traduit la diffusion moléculaire de la quantité de mouvement due aux frottements internes entre couches de fluide de vitesses différentes, responsable de la dissipation d'énergie mécanique sous forme thermique.

   Résultat

   $${\mathcal{R}}_{\mathrm{e}}=\frac{\rho vL}{\eta }$$

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5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q5

   L'équation de Navier-Stokes s'écrit de façon générale :

   \rho\left[\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{v}\right] = -\vec{\operatorname{grad}} P + \eta \vec{\Delta} \vec{v}

   Dans le cadre de l'écoulement considéré :

   • l'écoulement est stationnaire dans le référentiel d'étude, d'où \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} = \vec{0} ;
   • le régime de Stokes correspond à un nombre de Reynolds très faible (\mathcal{R}_{\mathrm{e}} \ll 1), de sorte que les effets inertiels (terme convectif (\vec{v} \cdot \vec{\operatorname{grad}}) \vec{v}) sont négligeables devant les effets visqueux \dfrac{\eta}{\rho}\vec{\Delta}\vec{v}.

   Le terme d'accélération particulaire est donc totalement négligé devant les termes de force volumique.

   L'équation de Navier-Stokes se réduit alors à l'équation de Stokes :

   \boxed{\vec{\operatorname{grad}} P = \eta \vec{\Delta} \vec{v}}

   À cette équation s'ajoute l'équation d'incompressibilité du fluide :

   \operatorname{div} \vec{v} = 0

   Résultat

   $$\overrightarrow{\mathrm{grad}}P=\eta \vec{\Delta }\vec{v}$$

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6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 PC 2025, Q9

   La force élémentaire de pression exercée par le fluide sur un élément de surface \mathrm{d}S de la boule située à la coordonnée radiale r = a s'écrit :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{p}} = - P(a,\theta)\,\vec{n}_{\mathrm{ext}}\,\mathrm{d}S

   où \vec{n}_{\mathrm{ext}} = \vec{e}_r est le vecteur unitaire normal à la surface de la boule dirigé vers le fluide. Ainsi :

   \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{p}} = - P(a,\theta)\,\vec{e}_r\,\mathrm{d}S

   avec \mathrm{d}S = a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.

   D'après le résultat de la question Q8, la pression à la surface de la boule (r = a) vaut :

   P(a,\theta) = P_\infty - \beta\,\frac{\cos\theta}{a^2} \quad \text{avec} \quad \beta = \frac{3}{2}\eta a v_0

   Dans la base cartésienne, le vecteur radial s'exprime par :

   \vec{e}_r = \sin\theta\cos\phi\,\vec{e}_x + \sin\theta\sin\phi\,\vec{e}_y + \cos\theta\,\vec{e}_z

   Par invariance par rotation autour de l'axe (Oz), les composantes selon \vec{e}_x et \vec{e}_y s'annulent après intégration sur \phi \in [0, 2\pi] car \int_0^{2\pi}\cos\phi\,\mathrm{d}\phi = \int_0^{2\pi}\sin\phi\,\mathrm{d}\phi = 0. La résultante est donc purement selon \vec{e}_z :

   \begin{aligned} \vec{F}_{\mathrm{p}} &= \left( \iint_S - P(a,\theta)\cos\theta\,\mathrm{d}S \right)\vec{e}_z \\ &= -\vec{e}_z \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\pi \left( P_\infty - \beta\frac{\cos\theta}{a^2} \right) \cos\theta\,a^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \end{aligned}

   Le terme uniforme P_\infty donne une contribution nulle :

   \int_0^\pi \cos\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \left[ \frac{\sin^2\theta}{2} \right]_0^\pi = 0

   ce qui traduit le fait qu'une pression uniforme n'exerce aucune force résultante sur une surface fermée.

   Il reste donc :

   \begin{aligned} \vec{F}_{\mathrm{p}} &= \beta\,\vec{e}_z \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^\pi \cos^2\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \\ &= 2\pi\beta\,\left[ -\frac{\cos^3\theta}{3} \right]_0^\pi \vec{e}_z \\ &= \frac{4\pi}{3}\beta\,\vec{e}_z \end{aligned}

   En remplaçant \beta = \dfrac{3}{2}\eta a v_0, on obtient :

   \boxed{\vec{F}_{\mathrm{p}} = 2\pi\eta a v_0\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\mathrm{p}}=2\pi \eta a{v}_0{\vec{e}}_z$$

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7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q10

   D'après l'énoncé, la norme de la force exercée par le vent ne dépend que de la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}}, de la vitesse v et du rayon R de la sphère. Cherchons une expression sous la forme :

   F_v = C \, \rho_{\text{air}}^\alpha \, v^\beta \, R^\gamma

   où C est une constante sans dimension.

   Exprimons la dimension de chacune des grandeurs physiques dans le système international :

   • [F_v] = \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}}
   • [\rho_{\text{air}}] = \mathrm{M\cdot L^{-3}}
   • [v] = \mathrm{L\cdot T^{-1}}
   • [R] = \mathrm{L}

   L'égalité dimensionnelle s'écrit :

   [F_v] = [\rho_{\text{air}}]^\alpha \, [v]^\beta \, [R]^\gamma \implies \mathrm{M\cdot L\cdot T^{-2}} = \mathrm{M}^\alpha \cdot \mathrm{L}^{-3\alpha + \beta + \gamma} \cdot \mathrm{T}^{-\beta}

   Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

   \begin{aligned} \text{M} &: \alpha = 1 \\ \text{T} &: -\beta = -2 \implies \beta = 2 \\ \text{L} &: -3\alpha + \beta + \gamma = 1 \implies \gamma = 1 + 3(1) - 2 = 2 \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la force de vent :

   \boxed{F_v = C\,\rho_{\text{air}} R^2 v^2}

   où C est une constante adimensionnelle de l'ordre de l'unité (liée au maître-couple S = \pi R^2 et au coefficient de traînée C_x par C = \frac{1}{2}\pi C_x).

   Résultat

   $$F_v=C{\rho }_{\text{air}}{R}^2{v}^2$$

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8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PC 2025, Q14

   On étudie la partie haute de la membrane du ballon dans le référentiel terrestre supposé galiléen. D'après l'énoncé, la masse de la membrane est négligée, de sorte que son poids est nul.

   À l'équilibre mécanique, la résultante des forces extérieures appliquées à cette calotte sphérique est donc nulle :

   \vec{F}_p + \vec{f} = \vec{0}

   En utilisant les expressions établies à la question précédente :

   • la résultante des forces de pression intérieure et extérieure s'écrit :

     \vec{F}_p = (P_i - P_e) \pi r^2\,\vec{e}_z

   • la résultante des forces de traction exercées par la partie basse le long du cercle \mathcal{C} vaut :

     \vec{f} = -2\pi R \xi \sin^2\theta\,\vec{e}_z

   Comme le cercle frontière a pour rayon r = R \sin\theta, on a r^2 = R^2 \sin^2\theta, d'où :

   \begin{aligned} (P_i - P_e) \pi R^2 \sin^2\theta - 2\pi R \xi \sin^2\theta &= 0 \end{aligned}

   Pour toute calotte non triviale (\theta \in ]0, \pi/2[), le facteur \pi R^2 \sin^2\theta est non nul. On peut donc simplifier :

   \begin{aligned} P_i - P_e &= \frac{2\xi}{R} \end{aligned}

   On obtient bien la loi de Jurin–Laplace :

   \boxed{P_i = P_e + \frac{2\xi}{R}}

   Résultat

   $$P_i=P_e+\frac{2\xi }{R}$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q4

   On applique la relation fondamentale de la statique des fluides dans le référentiel terrestre supposé galiléen, sous les hypothèses suivantes :

   • l'eau de mer est au repos ;
   • l'eau de mer est assimilée à un fluide incompressible et homogène de masse volumique constante \rho_1 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
   • l'accélération de la pesanteur est constante : g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

   En orientant un axe vertical (Oz) descendant depuis la surface libre (z = 0) où règne la pression atmosphérique P^0 = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, la loi de l'hydrostatique s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}z} = \rho_1 g

   Par intégration entre la surface (z = 0, P = P^0) et la profondeur z :

   P(z) = P^0 + \rho_1 g z

   D'après la question Q3, la profondeur retenue est de l'ordre de z = 1\,000\text{ m} (ou 900\text{ m}). Pour z = 1\,000\text{ m} :

   \begin{aligned} P &= 1{,}0 \times 10^5 + 1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}8 \times 1\,000 \\ P &= 1{,}0 \times 10^5 + 98 \times 10^5 = 99 \times 10^5\text{ Pa} \approx 99\text{ bar} \end{aligned}

   (Pour z = 900\text{ m}, on trouve de même P \approx 89\text{ bar}).

   \boxed{P \approx 100\text{ bar} = 10\text{ MPa}}

   Résultat

   $$P\approx 100\text{ bar}=10\text{ MPa}$$

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q28

    L'équation locale de conservation de la masse pour un écoulement s'écrit :

    \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho \vec{v}) = 0

    Les fluides étant homogènes et incompressibles, leurs masses volumiques respectives \rho_1 et \rho_2 sont uniformes et constantes, ce qui conduit à la condition d'incompressibilité :

    \mathrm{div}\,\vec{v}_1 = 0 \quad \text{et} \quad \mathrm{div}\,\vec{V}_2 = 0

    Pour le fluide (1) (eau) : Le champ de vitesse dérive du potentiel \varphi_1 selon \vec{v}_1 = \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_1). D'après le formulaire :

    \mathrm{div}\,\vec{v}_1 = \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}\,\varphi_1) = \Delta \varphi_1

    La condition d'incompressibilité impose immédiatement :

    \boxed{\Delta \varphi_1 = 0}

    Pour le fluide (2) (air) : Le champ des vitesses s'écrit \vec{V}_2 = \vec{\mathrm{grad}}(Ux + \varphi_2) = U\vec{u}_x + \vec{\mathrm{grad}}(\varphi_2). En prenant la divergence :

    \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{V}_2 &= \mathrm{div}(U\vec{u}_x) + \mathrm{div}(\vec{\mathrm{grad}}\,\varphi_2) \\ &= \frac{\partial U}{\partial x} + \Delta \varphi_2 \end{aligned}

    La vitesse du vent non perturbé U étant constante et uniforme, \dfrac{\partial U}{\partial x} = 0, d'où :

    \mathrm{div}\,\vec{V}_2 = \Delta \varphi_2 = 0

    On obtient ainsi :

    \boxed{\Delta \varphi_2 = 0}

    Les potentiels des vitesses vérifient donc tous deux l'équation de Laplace (écoulements à potentiel laplacien).

    Résultat

    $$\Delta {\phi }_1=0$$

    $$\Delta {\phi }_2=0$$

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