Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2024

Considérons le fluide de travail subissant une transformation cyclique au sein de la machine thermique ditherme en contact avec :

• une source chaude à température T_{\mathrm{c}} échangeant la chaleur Q_{\mathrm{c}} avec le système ;
• une source froide à température T_{\mathrm{f}} (T_{\mathrm{f}} < T_{\mathrm{c}}) échangeant la chaleur Q_{\mathrm{f}} avec le système ;
• l'extérieur mécanique échangeant le travail W avec le système.

La machine produit du travail mécanique vers l'extérieur (machine motrice), ainsi en convention récepteur :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle :

D'après le second principe (inégalité de Clausius, avec S_{\text{créée}} \ge 0) :

En combinant ces deux relations avec T_{\mathrm{c}} > T_{\mathrm{f}} :

Comme Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} > 0, cela impose nécessairement :

Le diagramme synoptique est donné ci-dessous :

Le rendement d'un moteur thermique est défini par :

D'après l'inégalité de Clausius, pour un fonctionnement cyclique réversible (cycle de Carnot) :

Le rendement maximal théorique, ou rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}}, s'exprime donc par :

Application numérique : Les températures thermodynamiques absolues valent :

On obtient :

Commentaire : Ce rendement théorique maximal est particulièrement faible (environ 7\,\%). Cela s'explique par le faible écart relatif de température entre la surface et les profondeurs océaniques (\Delta T = 21\text{ K} pour une température absolue de l'ordre de 300\text{ K}).

En pratique, compte tenu des irréversibilités (frottements, écarts finis de température aux échangeurs), le rendement effectif d'une centrale ETM est encore plus bas (de l'ordre de 2 à 3\,\%). Pour extraire une puissance électrique utile significative, il sera donc nécessaire de brasser des débits massiques d'eau extrêmement importants et d'utiliser des échangeurs de grande surface, ce qui implique une dépense énergétique non négligeable pour le pompage.

D'après la figure 1, la température de l'eau en surface (z = 0\text{ m}) est de :

Pour que l'installation ETM soit rentable selon le critère de l'IFREMER, l'écart de température entre les eaux de surface et les eaux profondes doit être d'au moins 20\text{ \textdegree C}, ce qui impose une température d'eau profonde T_{\text{f}} telle que :

Par lecture graphique sur la figure 1, la température passe sous le seuil de 6\text{ \textdegree C} pour une profondeur :

On devra donc prélever l'eau à une profondeur d'environ 1\,000\text{ m} (ou au-delà).

On applique la relation fondamentale de la statique des fluides dans le référentiel terrestre supposé galiléen, sous les hypothèses suivantes :

• l'eau de mer est au repos ;
• l'eau de mer est assimilée à un fluide incompressible et homogène de masse volumique constante \rho_1 = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
• l'accélération de la pesanteur est constante : g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}.

En orientant un axe vertical (Oz) descendant depuis la surface libre (z = 0) où règne la pression atmosphérique P^0 = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, la loi de l'hydrostatique s'écrit :

Par intégration entre la surface (z = 0, P = P^0) et la profondeur z :

D'après la question Q3, la profondeur retenue est de l'ordre de z = 1\,000\text{ m} (ou 900\text{ m}). Pour z = 1\,000\text{ m} :

(Pour z = 900\text{ m}, on trouve de même P \approx 89\text{ bar}).

Une installation d'énergie thermique des mers (ETM) présente des caractéristiques spécifiques liées à l'exploitation du gradient thermique océanique :

Avantages :

• Énergie renouvelable et continue (non intermittente) : contrairement au solaire ou à l'éolien, la ressource thermique des mers est disponible de façon quasi constante jour et nuit, tout au long de l'année, ce qui en fait une énergie de base (base load).
• Absence d'émissions directes de gaz à effet de serre en phase d'exploitation.
• Ressource colossale dans les zones intertropicales.
• Coproductions valorisables : possibilité de production d'eau douce (par dessalement en cycle ouvert), valorisation des nutriments des eaux profondes pour l'aquaculture ou utilisation de l'eau froide pour la climatisation marine (SWAC).

Inconvénients :

• Très faible rendement thermodynamique : le rendement théorique de Carnot est inférieur à 7\,\% (Q2) et le rendement réel ne dépasse guère 2\text{ à }4\,\%, ce qui impose la manipulation d'immenses débits d'eau.
• Autoconsommation élevée : le pompage des eaux profondes sur environ 1\,000\text{ m} (Q3) nécessite une puissance mécanique importante qui grève le rendement global de l'installation.
• Coûts d'investissement et de maintenance très élevés : difficultés techniques liées à la pose et à la tenue des conduites profondes (forte pression hydrostatique, houle, tempêtes), à la corrosion en milieu marin et au salissement biologique (biofouling).
• Impact environnemental et risques technologiques : perturbation potentielle des écosystèmes marins lors du rejet des eaux profondes et risques de fuite du fluide de travail (l'ammoniac étant toxique).

1. Courbes de saturation et domaines de phases

Sur les diagrammes (P, h) (document réponse 1) et (T, s) (document réponse 2), la courbe délimitant le domaine d'équilibre liquide-vapeur est la courbe de saturation (ou cloche de saturation). Elle est constituée de deux branches qui se rejoignent au sommet :

• la branche de gauche correspond à la courbe d'ébullition (liquide saturant, titre massique en vapeur x = 0) ;
• la branche de droite correspond à la courbe de rosée (vapeur saturante sèche, x = 1).

Les domaines associés aux différentes phases stables sont :

• à gauche de la courbe d'ébullition : phase liquide (ou liquide sous-refroidi / comprimé) ;
• sous la cloche de saturation : domaine diphasique (mélange liquide-vapeur en équilibre) ;
• à droite de la courbe de rosée (pour P < P_c) : phase vapeur (vapeur surchauffée ou gaz) ;
• au-delà du point critique (T > T_c et P > P_c) : domaine du fluide supercritique.

2. Point critique : définition et coordonnées

Le point critique, noté \mathrm{C}, est le point au sommet de la courbe de saturation où se rejoignent la courbe d'ébullition et la courbe de rosée. Physiquement, il représente l'état limite au-delà duquel la transition liquide-vapeur s'effectue de manière continue sans transition de phase discontinue : les propriétés des phases liquide et vapeur deviennent identiques (même masse volumique) et l'enthalpie de vaporisation s'annule (\Delta h_{\mathrm{vap}} = 0).

Par lecture graphique sur les documents réponses 1 et 2 au sommet de la cloche :

• sur le diagramme (T, s) (document réponse 2), on lit l'ordonnée du sommet :

  \boxed{T_c \approx 132\,^{\circ}\mathrm{C} \quad (\approx 405\text{ K})}

• sur le diagramme (P, h) (document réponse 1), on lit la pression correspondante sur l'échelle logarithmique :

  \boxed{P_c \approx 113\text{ bar} \quad (= 11{,}3\text{ MPa})}

Pour un corps pur diphasé en équilibre liquide-vapeur, la variance est égale à 1 (règle des phases de Gibbs) : la température et la pression de saturation sont univoquement liées. Les courbes isothermes et isobares sont donc confondues sous la courbe de saturation.

• À haute pression (P_{\text{HP}} = 9\text{ bar}) :

  Sur le diagramme (P, h) (document réponse 3), sur la droite horizontale d'ordonnée P = 9\text{ bar}, l'isotherme sous la cloche de saturation se situe entre les graduations 20\,^\circ\mathrm{C} et 25\,^\circ\mathrm{C}, très proche de 21{,}5\,^\circ\mathrm{C}.

  Sur le diagramme (T, s) (document réponse 4), le palier horizontal de l'isobare 9\text{ bar} (reliant les points 1' et 2) a pour ordonnée :

  \boxed{T_{\mathrm{vap},\mathrm{HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\mathrm{C}\quad (\text{soit } 294{,}7\text{ K})}

  (une valeur comprise entre 21\,^\circ\mathrm{C} et 22\,^\circ\mathrm{C} est tout à fait acceptable compte tenu de la précision graphique).

• À basse pression (P_{\text{BP}} = 6\text{ bar}) :

  Sur le diagramme (P, h), à l'ordonnée P = 6\text{ bar}, le palier horizontal correspond à une isotherme légèrement en dessous de 10\,^\circ\mathrm{C}.

  Sur le diagramme (T, s), l'isobare 6\text{ bar} présente un palier horizontal à :

  \boxed{T_{\mathrm{vap},\mathrm{BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\mathrm{C}\quad (\text{soit } 282{,}7\text{ K})}

  (une valeur comprise entre 9\,^\circ\mathrm{C} et 10\,^\circ\mathrm{C} est acceptable).

L'enthalpie massique de vaporisation à une pression P donnée correspond à la largeur du palier de changement d'état sur le diagramme (P, h) :

où h''(P) est l'enthalpie massique de la vapeur saturante (x = 1, courbe de rosée) et h'(P) celle du liquide saturant (x = 0, courbe d'ébullition).

1. À haute pression (P = 9\text{ bar}) : Sur l'isobare P = 9\text{ bar} du diagramme (P, h) (document réponse 3) :

• sur la courbe d'ébullition (point 1') : h'(9\text{ bar}) \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• sur la courbe de rosée (point 2) : h''(9\text{ bar}) \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

2. À basse pression (P = 6\text{ bar}) : Sur l'isobare P = 6\text{ bar} du diagramme (P, h) :

• sur la courbe d'ébullition (point 4) : h'(6\text{ bar}) \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• sur la courbe de rosée : h''(6\text{ bar}) \approx 1\,460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On en déduit :

Pour une transformation réversible, l'identité thermodynamique appliquée à l'enthalpie massique s'écrit :

La compression étant isentropique (\mathrm{d}s = 0), on a :

Entre le point 4 (liquide saturant à 6\text{ bar}) et le point 1 (liquide comprimé à 9\text{ bar}), l'ammoniac est en phase liquide. D'après les hypothèses de l'énoncé, le liquide est incompressible, son volume massique v = v_{\text{liq}} est donc constant.

Par intégration entre les états 4 et 1 :

Il en découle deux caractéristiques pour le tracé dans le diagramme (P, h) :

• la relation entre P et h étant affine (v_{\text{liq}} = \text{cste}), la trajectoire est un segment de droite ;
• le volume massique du liquide étant extrêmement faible (v_{\text{liq}} \sim 1{,}6 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}), la variation d'enthalpie associée à \Delta P = 3\text{ bar} est très faible (\Delta h \approx 0{,}5\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) au regard de l'échelle des abscisses (graduée en centaines de \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) : la pente \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}h} = \frac{1}{v_{\text{liq}}} est donc extrêmement grande.

1. Enthalpie massique h_{2'} :

La détente de l'ammoniac dans la vanne de laminage WV2 étant isenthalpique, l'enthalpie massique se conserve entre les points 2 et 2' :

Le point 2 étant situé sur la courbe de rosée à la pression de 9\text{ bar}, on a déterminé à la question Q8 que :

2. Température T_{2'} et entropie massique s_{2'} :

Le point 2' correspond à l'intersection de l'isobare P = 6\text{ bar} et de l'isenthalpe h = 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Sur le diagramme (T, s) du document réponse 4, le point 2' est déjà placé à l'intersection de l'isobare 6\text{ bar} et de la courbe isenthalpique issue du point 2. On lit sur l'axe des ordonnées :

  \boxed{T_{2'} \approx 15\,^{\circ}\text{C} \quad (\text{soit entre } 14\,^{\circ}\text{C}\text{ et } 16\,^{\circ}\text{C})}

• Sur l'axe des abscisses du document réponse 4 (gradué en \text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}), ou à l'aide des courbes isentropes du diagramme (P, h) (document réponse 3), on lit :

  \boxed{s_{2'} \approx 5{,}13\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} = 5\,130\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} \quad (\pm 0{,}03\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1})}

3. Phase(s) présente(s) au point 2' :

À la pression P = 6\text{ bar}, la température de vaporisation vaut T_{\text{vap},\text{BP}} \approx 9{,}5\,^{\circ}\text{C} (question Q7) et l'enthalpie de la vapeur saturante vaut h''(6\text{ bar}) \approx 1\,460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (question Q8).

Comme T_{2'} > T_{\text{vap},\text{BP}} (ou de manière équivalente h_{2'} > h''(6\text{ bar})), le point 2' se situe en dehors de la zone diphasique, dans le domaine de la vapeur. L'ammoniac se trouve donc sous une seule phase :

D'après l'énoncé, l'évolution virtuelle entre les points 2 et 3 est une détente isentropique, ce qui impose :

L'entropie massique au point 2 (vapeur saturante sèche à P_2 = 9\text{ bar}) se lit sur le diagramme (T, s) du document réponse 4 ou sur le diagramme (P, h) :

Sur le diagramme (P, h) du document réponse 3, le point 3 est situé à l'intersection de l'isobare P = 6\text{ bar} et de l'isentrope issue du point 2. La lecture de son abscisse donne :

Le point 3 se trouvant sous la courbe de rosée (h_3 < h''(\text{6 bar}) \approx 1\,460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}), le fluide est un mélange diphasique liquide-vapeur (de titre en vapeur x_3 \approx 0{,}97). À la pression P_3 = 6\text{ bar}, la température est donc la température de saturation T_{\mathrm{vap},\mathrm{BP}} déterminée à la question Q7 :

1. Cycle sur le diagramme de Mollier (P, h) (Document réponse 3) :

• Échauffement et vaporisation isobares (1 \to 1' \to 2 sous P = 9\text{ bar}) : L'isobare est un segment horizontal orienté vers la droite, allant de h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Le point 1' est situé à l'intersection de cette horizontale et de la courbe d'ébullition (x = 0, h_{1'} \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}). Le point 2 est sur la courbe de rosée (x = 1).
• Détente isenthalpique (2 \to 2') : L'évolution dans la vanne WV2 s'effectuant à enthalpie massique constante (h_{2'} = h_2), elle est représentée par un segment vertical descendant de P = 9\text{ bar} à P = 6\text{ bar}.
• Désurchauffe isobare (2' \to 3 sous P = 6\text{ bar}) : Segment horizontal orienté vers la gauche, de h_{2'} \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} jusqu'à h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (le point 3 est situé sur l'isentrope passant par le point 2, déjà esquissée sur le document).
• Condensation isobare (3 \to 4 sous P = 6\text{ bar}) : Poursuite du segment horizontal vers la gauche jusqu'à la courbe d'ébullition (x = 0) au point 4 (h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}).
• Compression isentropique (4 \to 1) : Segment quasi vertical montant de P = 6\text{ bar} (point 4) à P = 9\text{ bar} (point 1), déjà représenté sur le document réponse 3.

2. Cycle sur le diagramme entropique (T, s) (Document réponse 4) :

• Échauffement et vaporisation isobares (1 \to 1' \to 2 sous 9\text{ bar}) :

  • Échauffement du liquide 1 \to 1' : suit la ligne isobare 9\text{ bar} dans le domaine liquide de T_1 = 12\,^\circ\text{C} jusqu'à T_{1'} = T_{\text{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} sur la courbe d'ébullition.
  • Vaporisation 1' \to 2 : palier de changement d'état horizontal et isotherme à T_{\text{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}, de la courbe d'ébullition (point 1') jusqu'à la courbe de rosée (point 2).
• Détente isenthalpique (2 \to 2') : Suit l'isenthalpe en tirets h \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} qui descend vers la droite (l'entropie augmente par irréversibilité) de T_2 \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} jusqu'à l'isobare 6\text{ bar} en T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C}.
• Désurchauffe isobare (2' \to 3 sous 6\text{ bar}) : Suit l'isobare 6\text{ bar} en descendant vers la gauche, de T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C} à la température de saturation T_3 \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} (atteignant la verticale isentropique s_3 = s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}).
• Condensation isobare (3 \to 4 sous 6\text{ bar}) : Palier horizontal et isotherme à T_{\text{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C}, de droite à gauche, jusqu'au point 4 situé sur la courbe d'ébullition.
• Compression isentropique (4 \to 1) : Segment vertical ou quasi vertical (à s \approx \text{cste}) reliant le point 4 à l'état de liquide comprimé 1.

Sur chacun des diagrammes, on munit les tracés de flèches indiquant le sens de parcours : le cycle est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre (sens moteur).

Rappelons les caractéristiques physiques des différents états du fluide :

• Point 1 : liquide sous-refroidi à P_1 = 9\text{ bar} et T_1 = 12\,^\circ\text{C}. Les valeurs h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et s_1 = 1{,}15\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} sont fournies. La fraction massique en vapeur est nulle : x_1 = 0.

• Point 1' : liquide juste saturant à haute pression (P_{1'} = 9\text{ bar}) :

  • T_{1'} = T_{\mathrm{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} (d'après Q7) ;
  • x_{1'} = 0 (courbe d'ébullition) ;
  • h_{1'} = h'(9\text{ bar}) \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q8) ;
  • s_{1'} se lit sur la courbe d'ébullition à 21{,}5\,^\circ\text{C} sur le diagramme (T,s) : s_{1'} \approx 1{,}30\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Point 2 : vapeur juste saturante à haute pression (P_2 = 9\text{ bar}) :

  • T_2 = T_{\mathrm{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} ;
  • x_2 = 1 (courbe de rosée) ;
  • h_2 = h''(9\text{ bar}) \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q8) ;
  • s_2 se lit à l'intersection de l'isobare 9\text{ bar} et de la courbe de rosée : s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Point 2' : issu de la détente isenthalpique dans la vanne WV2 jusqu'à P_{2'} = 6\text{ bar} (d'après Q10) :

  • T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C} ;
  • x_{2'} = 1 (vapeur surchauffée, hors de la zone diphasique) ;
  • h_{2'} = h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
  • s_{2'} \approx 5{,}13\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Point 3 : issu de la détente isentropique virtuelle 2 \to 3 jusqu'à P_3 = 6\text{ bar} (d'après Q11) :

  • T_3 = T_{\mathrm{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} ;
  • h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
  • s_3 = s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} ;

  • le titre en vapeur vaut :

    x_3 = \frac{h_3 - h_4}{\Delta h_{\mathrm{vap,BP}}} \approx \frac{1\,425 - 230}{1\,230} \approx 0{,}97.

• Point 4 : liquide juste saturant à basse pression (P_4 = 6\text{ bar}) :

  • T_4 = T_{\mathrm{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} ;
  • x_4 = 0 (courbe d'ébullition) ;
  • h_4 = h'(6\text{ bar}) \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (d'après Q8) ;
  • s_4 se lit sur la courbe d'ébullition à 9{,}5\,^\circ\text{C} : s_4 \approx 1{,}12\text{ à }1{,}15\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} (la compression 4 \to 1 étant isentropique pour un liquide incompressible, s_4 \approx s_1 = 1{,}15\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}).

On complète ainsi le tableau du document réponse 5 :

Entre le point 1 (liquide sous-refroidi à P_1 = 9\text{ bar}, T_1 = 12\,^\circ\text{C}) et le point 1' (liquide juste saturant sous la même pression P_1 = 9\text{ bar}, T_{1'} = T_{\mathrm{vap},\mathrm{HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}), l'ammoniac est à l'état liquide et subit un échauffement isobare à P = 9\text{ bar}.

Pour une phase liquide considérée comme incompressible :

L'évolution étant isobare (\mathrm{d}P = 0), on en déduit :

D'après le tableau complété à la question Q13 :

• h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_1 = 12\,^\circ\text{C} ;
• h_{1'} \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_{1'} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}.

L'application numérique donne :

1. Choix de l'ammoniac plutôt que de l'eau :

La centrale fonctionne entre les températures des sources océaniques, soit environ T_{\mathrm{f}} = 5\,^\circ\mathrm{C} et T_{\mathrm{c}} = 26\,^\circ\mathrm{C}.

• Pour l'eau, la pression de vapeur saturante à ces températures est extrêmement faible :

  P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{H_2O}}(5\,^\circ\mathrm{C}) \approx 9\times 10^{-3}\text{ bar} \quad\text{et}\quad P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{H_2O}}(26\,^\circ\mathrm{C}) \approx 3{,}4\times 10^{-2}\text{ bar}.

  Un cycle utilisant l'eau nécessiterait donc de travailler sous un vide très poussé, ce qui entraîne :

  • un volume massique de vapeur considérable (v \approx 30\text{ à }40\text{ m}^3\cdot\mathrm{kg}^{-1}), imposant des conduites et des turbines de dimensions gigantesques pour faire passer le débit nécessaire ;
  • des contraintes d'étanchéité drastiques pour éviter toute entrée d'air incondensable dans l'installation.

• Pour l'ammoniac (\mathrm{NH}_3), les pressions de saturation correspondantes sont modérées et adaptées :

  P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{NH_3}}(5\,^\circ\mathrm{C}) \approx 5\text{ bar} \quad\text{et}\quad P_{\mathrm{sat},\,\mathrm{NH_3}}(26\,^\circ\mathrm{C}) \approx 10\text{ bar}.

  Ces pressions sont supérieures à la pression atmosphérique (évitant les rentrées d'air extérieur) et la masse volumique de la vapeur est bien plus grande, ce qui permet de concevoir des échangeurs et des turbines nettement plus compacts.

2. Inconvénient de l'ammoniac :

L'ammoniac est un composé toxique, irritant et dangereux pour le personnel comme pour l'écosystème marin en cas de fuite. De plus, il est corrosif (notamment pour le cuivre et ses alliages) et présente un risque d'inflammabilité voire d'explosion en mélange avec l'air dans certaines proportions.

Considérons le système fermé déformable constitué :

• à l'instant t : du fluide contenu dans la machine (volume fixe \mathcal{V}_0) et de la tranche de fluide élémentaire de masse \mathrm{d}m s'apprêtant à entrer à travers la section d'entrée \Sigma_\mathrm{e} ;
• à l'instant t+\mathrm{d}t : du fluide contenu dans \mathcal{V}_0 et de la tranche de fluide de masse \mathrm{d}m venant de sortir à travers la section de sortie \Sigma_\mathrm{s}.

Hypothèses de l'étude :

1. Régime stationnaire (ou permanent) : les grandeurs locales ne dépendent pas explicitement du temps ; la masse contenue dans \mathcal{V}_0 est constante, d'où l'égalité des débits massiques d'entrée et de sortie D_\mathrm{m} = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}, et l'énergie interne U(\mathcal{V}_0) est invariable au cours du temps.
2. Énergies cinétique et potentielle macroscopiques négligées : conformément au préambule, \Delta e_\mathrm{c} \approx 0 et \Delta e_\mathrm{p} \approx 0. L'énergie totale du système se résume donc à son énergie interne U.
3. Écoulement monodimensionnel aux sections d'accès : les grandeurs d'état (P, T, h, v) sont supposées uniformes sur les sections d'entrée \Sigma_\mathrm{e} et de sortie \Sigma_\mathrm{s}.

La variation d'énergie totale du système fermé entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

où u_\mathrm{e} et u_\mathrm{s} sont les énergies internes massiques aux sections d'entrée et de sortie.

D'après le premier principe pour un système fermé :

Le travail mécanique \delta W reçu par le fluide se décompose en :

• le travail utile \delta W_\mathrm{u} = \mathcal{P}_\mathrm{u} \, \mathrm{d}t échangé avec d'éventuelles parties mobiles (arbre d'une turbine, piston d'une pompe) ;

• le travail des forces de pression extérieures aux frontières ouvertes :

  • travail d'admission par le fluide amont : \delta W_{\mathrm{p},\mathrm{e}} = + P_\mathrm{e} \, \mathrm{d}\mathcal{V}_\mathrm{e} = + P_\mathrm{e} v_\mathrm{e} \, \mathrm{d}m ;
  • travail d'échappement contre le fluide aval : \delta W_{\mathrm{p},\mathrm{s}} = - P_\mathrm{s} \, \mathrm{d}\mathcal{V}_\mathrm{s} = - P_\mathrm{s} v_\mathrm{s} \, \mathrm{d}m.

Le transfert thermique élémentaire reçu s'écrit \delta Q = \mathcal{P}_\mathrm{th} \, \mathrm{d}t. On obtient ainsi :

En regroupant les grandeurs massiques de sortie et d'entrée :

En introduisant l'enthalpie massique h = u + P v :

En divisant par la durée \mathrm{d}t et en identifiant le débit massique D_\mathrm{m} = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}, on obtient bien :

L'évaporateur \mathrm{E} ne comporte aucune pièce mobile, la puissance utile reçue par le fluide est donc nulle :

D'après le premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire établi à la question Q16, la puissance thermique reçue par le fluide s'écrit :

D'après les schémas des cycles de la figure 3 :

• Pour le cycle réel (figure 3(a)), le débit massique d'ammoniac traversant l'évaporateur est \dot{m}_1.
• Pour le cycle virtuel (figure 3(b)), le débit massique dans tout le cycle, et en particulier dans l'évaporateur, est également \dot{m}_1.

Les deux cycles partagent le même état d'entrée (point 1) et le même état de sortie (point 2) dans l'évaporateur, d'où :

Application numérique :

• \dot{m}_1 = 4{,}0 \times 10^{-1}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (tableau 2 de l'énoncé) ;
• h_2 = h''(9\text{ bar}) \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (vapeur saturante à 9 bar, déterminé à la question Q8).

Commentaire du signe : La puissance thermique reçue par l'ammoniac est positive (\mathcal{P}_{\mathrm{th},\mathrm{E}} > 0). En convention récepteur, cela traduit le fait que l'ammoniac reçoit de l'énergie sous forme thermique de la part de l'eau chaude, ce qui est conforme au rôle d'un évaporateur dans une machine thermique motrice où le fluide de travail puise de la chaleur à la source chaude pour se réchauffer et se vaporiser.