Feuille d'entraînement : Machines thermiques

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique PC 2025, Q14

   1. Variations d'énergie interne et d'entropie en régime stationnaire

   En régime stationnaire, toutes les grandeurs d'état locales et globales décrivant le module sont indépendantes du temps. L'énergie interne U et l'entropie S du module sont donc rigoureusement constantes :

   \mathrm{d}U = 0 \quad \text{et} \quad \mathrm{d}S = 0

   2. Application des principes et rendement de Carnot

   Le premier principe appliqué au module entre les instants t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \begin{aligned} \mathrm{d}U &= (\mathcal{P}_C + \mathcal{P}_F + \mathcal{P}_{\text{él}})\,\mathrm{d}t = 0 \\ \implies \mathcal{P}_C + \mathcal{P}_F + \mathcal{P}_{\text{él}} &= 0 \end{aligned}

   Le second principe appliqué au module sur le même intervalle donne :

   \begin{aligned} \mathrm{d}S &= \delta S_e + \delta S_c = \left( \frac{\mathcal{P}_C}{T_C} + \frac{\mathcal{P}_F}{T_F} \right) \mathrm{d}t + \delta S_c = 0 \end{aligned}

   où \delta S_c \ge 0 est l'entropie créée par les irréversibilités. On en déduit l'inégalité de Clausius :

   \begin{aligned} \frac{\mathcal{P}_C}{T_C} + \frac{\mathcal{P}_F}{T_F} \le 0 \end{aligned}

   En injectant \mathcal{P}_F = -\mathcal{P}_C - \mathcal{P}_{\text{él}} issu du premier principe :

   \begin{aligned} \frac{\mathcal{P}_C}{T_C} + \frac{-\mathcal{P}_C - \mathcal{P}_{\text{él}}}{T_F} &\le 0 \\ \mathcal{P}_C \left( \frac{1}{T_C} - \frac{1}{T_F} \right) &\le \frac{\mathcal{P}_{\text{él}}}{T_F} \end{aligned}

   En multipliant par T_F > 0 et en divisant par \mathcal{P}_C > 0, il vient :

   \begin{aligned} \frac{T_F}{T_C} - 1 \le \frac{\mathcal{P}_{\text{él}}}{\mathcal{P}_C} = -\eta \implies \eta \le 1 - \frac{T_F}{T_C} \end{aligned}

   Le rendement admet ainsi une borne supérieure :

   \boxed{\eta \le \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C}}

   3. Condition d'atteinte de la limite de Carnot

   Ce rendement limite n'est atteint que pour une création d'entropie nulle (\delta S_c = 0), c'est-à-dire pour un fonctionnement réversible du convertisseur thermoélectrique (absence d'effet Joule, pas de conduction thermique irréversible liée à des gradients finis de température non convertis, etc.).

   Résultat

   $$\eta \le {\eta }_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_F}{T_C}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q1

   Considérons le fluide de travail subissant une transformation cyclique au sein de la machine thermique ditherme en contact avec :

   • une source chaude à température T_{\mathrm{c}} échangeant la chaleur Q_{\mathrm{c}} avec le système ;
   • une source froide à température T_{\mathrm{f}} (T_{\mathrm{f}} < T_{\mathrm{c}}) échangeant la chaleur Q_{\mathrm{f}} avec le système ;
   • l'extérieur mécanique échangeant le travail W avec le système.

   La machine produit du travail mécanique vers l'extérieur (machine motrice), ainsi en convention récepteur :

   W < 0

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur un cycle :

   \Delta U_{\text{cycle}} = W + Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = 0 \implies Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = -W > 0

   D'après le second principe (inégalité de Clausius, avec S_{\text{créée}} \ge 0) :

   \Delta S_{\text{cycle}} = \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{f}}} + S_{\text{créée}} = 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{f}}} \le 0

   En combinant ces deux relations avec T_{\mathrm{c}} > T_{\mathrm{f}} :

   Q_{\mathrm{f}} \le - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}} Q_{\mathrm{c}}

   Comme Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} > 0, cela impose nécessairement :

   \boxed{Q_{\mathrm{c}} > 0 \quad \text{et} \quad Q_{\mathrm{f}} < 0 \quad \text{avec} \quad W < 0}

   Le diagramme synoptique est donné ci-dessous :

   Résultat

   $$Q_{\mathrm{c}}>0\text{et}{Q}_{\mathrm{f}}<0\text{avec}W<0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q2

   Le rendement d'un moteur thermique est défini par :

   \eta = \frac{-W}{Q_{\mathrm{c}}} = 1 + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}}

   D'après l'inégalité de Clausius, pour un fonctionnement cyclique réversible (cycle de Carnot) :

   \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}}} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{f}}} = 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}} = -\frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}

   Le rendement maximal théorique, ou rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}}, s'exprime donc par :

   \boxed{\eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}}

   Application numérique : Les températures thermodynamiques absolues valent :

   \begin{aligned} T_{\mathrm{c}} &= 26 + 273{,}15 = 299{,}15\text{ K} \\ T_{\mathrm{f}} &= 5 + 273{,}15 = 278{,}15\text{ K} \end{aligned}

   On obtient :

   \eta_{\mathrm{C}} = 1 - \frac{278{,}15}{299{,}15} = \frac{21}{299{,}15} \approx 0{,}0702

   \boxed{\eta_{\mathrm{C}} \approx 7{,}0\,\%}

   Commentaire : Ce rendement théorique maximal est particulièrement faible (environ 7\,\%). Cela s'explique par le faible écart relatif de température entre la surface et les profondeurs océaniques (\Delta T = 21\text{ K} pour une température absolue de l'ordre de 300\text{ K}).

   En pratique, compte tenu des irréversibilités (frottements, écarts finis de température aux échangeurs), le rendement effectif d'une centrale ETM est encore plus bas (de l'ordre de 2 à 3\,\%). Pour extraire une puissance électrique utile significative, il sera donc nécessaire de brasser des débits massiques d'eau extrêmement importants et d'utiliser des échangeurs de grande surface, ce qui implique une dépense énergétique non négligeable pour le pompage.

   Résultat

   $${\eta }_{\mathrm{C}}=1-\frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}}$$

   $${\eta }_{\mathrm{C}}\approx 7,0\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 1 PC 2024, Q12

   1. Cycle sur le diagramme de Mollier (P, h) (Document réponse 3) :

   • Échauffement et vaporisation isobares (1 \to 1' \to 2 sous P = 9\text{ bar}) : L'isobare est un segment horizontal orienté vers la droite, allant de h_1 = 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h_2 \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. Le point 1' est situé à l'intersection de cette horizontale et de la courbe d'ébullition (x = 0, h_{1'} \approx 285\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}). Le point 2 est sur la courbe de rosée (x = 1).
   • Détente isenthalpique (2 \to 2') : L'évolution dans la vanne WV2 s'effectuant à enthalpie massique constante (h_{2'} = h_2), elle est représentée par un segment vertical descendant de P = 9\text{ bar} à P = 6\text{ bar}.
   • Désurchauffe isobare (2' \to 3 sous P = 6\text{ bar}) : Segment horizontal orienté vers la gauche, de h_{2'} \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} jusqu'à h_3 \approx 1\,425\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (le point 3 est situé sur l'isentrope passant par le point 2, déjà esquissée sur le document).
   • Condensation isobare (3 \to 4 sous P = 6\text{ bar}) : Poursuite du segment horizontal vers la gauche jusqu'à la courbe d'ébullition (x = 0) au point 4 (h_4 \approx 230\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}).
   • Compression isentropique (4 \to 1) : Segment quasi vertical montant de P = 6\text{ bar} (point 4) à P = 9\text{ bar} (point 1), déjà représenté sur le document réponse 3.

   2. Cycle sur le diagramme entropique (T, s) (Document réponse 4) :

   • Échauffement et vaporisation isobares (1 \to 1' \to 2 sous 9\text{ bar}) :

     • Échauffement du liquide 1 \to 1' : suit la ligne isobare 9\text{ bar} dans le domaine liquide de T_1 = 12\,^\circ\text{C} jusqu'à T_{1'} = T_{\text{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} sur la courbe d'ébullition.
     • Vaporisation 1' \to 2 : palier de changement d'état horizontal et isotherme à T_{\text{vap,HP}} \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}, de la courbe d'ébullition (point 1') jusqu'à la courbe de rosée (point 2).
   • Détente isenthalpique (2 \to 2') : Suit l'isenthalpe en tirets h \approx 1\,465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} qui descend vers la droite (l'entropie augmente par irréversibilité) de T_2 \approx 21{,}5\,^\circ\text{C} jusqu'à l'isobare 6\text{ bar} en T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C}.
   • Désurchauffe isobare (2' \to 3 sous 6\text{ bar}) : Suit l'isobare 6\text{ bar} en descendant vers la gauche, de T_{2'} \approx 15\,^\circ\text{C} à la température de saturation T_3 \approx 9{,}5\,^\circ\text{C} (atteignant la verticale isentropique s_3 = s_2 \approx 5{,}08\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}).
   • Condensation isobare (3 \to 4 sous 6\text{ bar}) : Palier horizontal et isotherme à T_{\text{vap,BP}} \approx 9{,}5\,^\circ\text{C}, de droite à gauche, jusqu'au point 4 situé sur la courbe d'ébullition.
   • Compression isentropique (4 \to 1) : Segment vertical ou quasi vertical (à s \approx \text{cste}) reliant le point 4 à l'état de liquide comprimé 1.

   Sur chacun des diagrammes, on munit les tracés de flèches indiquant le sens de parcours : le cycle est parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre (sens moteur).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q39

   1. Localisation des sources thermique chaude et froide :

   La particule de fluide n'échange de la chaleur avec l'extérieur que lors des deux étapes de thermalisation isobare au contact de la plaque :

   • En x_1 = x_4 = x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}}, la particule est en contact thermique avec la plaque à la température T(x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}}) = T_{\mathrm{m}}(1 - \varepsilon_T) (étape [4] \to [1]) ;
   • En x_2 = x_3 = x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}}, la particule est en contact thermique avec la plaque à la température T(x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}}) = T_{\mathrm{m}}(1 + \varepsilon_T) (étape [2] \to [3]).

   Le gradient de température de la plaque étant positif (T'_{\mathrm{m}} > 0), on a :

   T(x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}}) < T(x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}})

   Par conséquent :

   • la source froide est constituée par la portion de la plaque située en x = x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}} ;
   • la source chaude est constituée par la portion de la plaque située en x = x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}}.

   2. Origine du travail mécanique :

   Le travail mécanique reçu par la particule provient des forces de pression exercées par le milieu fluide environnant lors des étapes de compression [1] \to [2] et de détente [3] \to [4]. Ces forces résultent directement du champ de pression oscillant de l'onde acoustique entretenue dans le résonateur (alimentée par une source d'ondes sonores, tel un haut-parleur ou un actionneur piézoélectrique).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q40

   Le cycle thermodynamique décrit par la particule de fluide comporte quatre étapes :

   • [1] \to [2] : compression adiabatique réversible par l'onde acoustique. La pression augmente de p_1 = p_{\mathrm{m}}(1-\varepsilon_p) à p_2 = p_{\mathrm{m}}(1+\varepsilon_p) et le volume massique décroît de v_1 à v_2 selon une courbe isentropique d'équation p v^\gamma = \text{cste}.
   • [2] \to [3] : refroidissement isobare au contact de la plaque à haute pression p_2 = p_3. Pour un fonctionnement en réfrigérateur, le fluide cède de la chaleur à la plaque (source chaude), donc T_3 < T_2 d'où, pour un gaz parfait (p v = r T), un volume massique qui décroît : v_3 < v_2. Cette transformation est représentée par un segment horizontal parcouru de droite à gauche.
   • [3] \to [4] : détente adiabatique réversible par l'onde sonore. La pression chute de p_3 à p_4 = p_1 et le volume massique augmente de v_3 à v_4 selon une isentropique.
   • [4] \to [1] : réchauffement isobare au contact de la plaque à basse pression p_4 = p_1. Le fluide prélève de la chaleur à la source froide, donc T_1 > T_4, ce qui implique v_1 > v_4. Cette transformation est un segment horizontal parcouru de gauche à droite.

   Le travail massique reçu sur un cycle s'exprime par l'intégrale curviligne :

   w_{\text{cycle}} = -\oint p\,\mathrm{d}v

   Pour un cycle réfrigérateur (récepteur), le travail net reçu doit être positif (w_{\text{cycle}} > 0), ce qui impose \oint p\,\mathrm{d}v < 0 : le cycle est nécessairement décrit dans le **sens antihoraire** (sens trigonométrique).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique 2 PC 2026, Q41

   Pour qu'une machine thermique fonctionne comme un réfrigérateur, elle doit prélever de la chaleur à la source froide et en céder à la source chaude :

   • Lors de l'étape de thermalisation [2] \to [3] en x = x_{\mathrm{m}} + x_{\mathrm{a}} (source chaude), le fluide doit céder de la chaleur à la plaque. La température du fluide doit donc être supérieure à celle de la plaque, ce qui impose :

     \boxed{T_2 > T_3}

   • Lors de l'étape de thermalisation [4] \to [1] en x = x_{\mathrm{m}} - x_{\mathrm{a}} (source froide), le fluide doit recevoir de la chaleur de la plaque. La température du fluide doit donc être inférieure à celle de la plaque, ce qui impose :

     \boxed{T_4 < T_1} \quad \text{soit} \quad \boxed{T_1 > T_4}

   D'après le tableau de l'énoncé, calculons les écarts de température correspondants au premier ordre non nul en \varepsilon_T et \varepsilon'_p :

   \begin{aligned} T_2 - T_3 &= T_{\mathrm{m}}\left[1 - \varepsilon_T + 2\varepsilon'_p - 2\varepsilon'_p\varepsilon_T + 2(\varepsilon'_p)^2\right] - T_{\mathrm{m}}(1 + \varepsilon_T) \\ &= 2T_{\mathrm{m}}(\varepsilon'_p - \varepsilon_T) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \end{aligned}

   De même :

   \begin{aligned} T_1 - T_4 &= T_{\mathrm{m}}(1 - \varepsilon_T) - T_{\mathrm{m}}\left[1 + \varepsilon_T - 2\varepsilon'_p - 2\varepsilon'_p\varepsilon_T + 2(\varepsilon'_p)^2\right] \\ &= 2T_{\mathrm{m}}(\varepsilon'_p - \varepsilon_T) + \mathcal{O}(\varepsilon^2) \end{aligned}

   Les deux conditions T_2 > T_3 et T_1 > T_4 se ramènent donc à la même inégalité :

   \varepsilon_T < \varepsilon'_p

   En remplaçant \varepsilon_T et \varepsilon'_p par leurs définitions :

   \varepsilon_T = \frac{x_{\mathrm{a}} T'_{\mathrm{m}}}{T_{\mathrm{m}}} \quad \text{et} \quad \varepsilon'_p = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{x_{\mathrm{a}} p'_{\mathrm{m}}}{p_{\mathrm{m}}}

   Comme l'amplitude d'oscillation x_{\mathrm{a}} et T_{\mathrm{m}} sont strictement positifs, on en déduit que le gradient de température de la plaque doit vérifier T'_{\mathrm{m}} < T'_{\mathrm{m},\text{lim}} avec :

   \boxed{T'_{\mathrm{m},\text{lim}} = \frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac{T_{\mathrm{m}}}{p_{\mathrm{m}}} p'_{\mathrm{m}}}

   Résultat

   $$T_2>T_3$$

   $$T_4<T_1$$

   $$T_1>T_4$$

   $$T_{\mathrm{m},\text{lim}}^{\prime }=\frac{\gamma -1}{\gamma }\frac{T_{\mathrm{m}}}{p_{\mathrm{m}}}{p}_{\mathrm{m}}^{\prime }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique PC 2025, Q13

   Le module thermoélectrique fonctionne comme un moteur thermique :

   • Il reçoit de l'énergie thermique de la source chaude à température T_C, d'où :

     \boxed{\mathcal{P}_C > 0}

   • Il cède nécessairement une partie de cette énergie thermique à la source froide à température T_F < T_C, d'où :

     \boxed{\mathcal{P}_F < 0}

   • Il fournit de la puissance électrique à la résistance de charge R_c extérieure ; la puissance électrique algébrique reçue par le module est donc négative :

     \boxed{\mathcal{P}_{\text{él}} < 0}

   Le rendement \eta est défini par le rapport entre la puissance utile cédée au circuit extérieur, -\mathcal{P}_{\text{él}}, et la puissance thermique coûteuse fournie par la source chaude, \mathcal{P}_C :

   \boxed{\eta = \frac{-\mathcal{P}_{\text{él}}}{\mathcal{P}_C}}

   Résultat

   $${\mathcal{P}}_C>0$$

   $${\mathcal{P}}_F<0$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}<0$$

   $$\eta =\frac{-{\mathcal{P}}_{\text{eˊl}}}{{\mathcal{P}}_C}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique PC 2025, Q26

   1. Intérêt de la maximisation du facteur de mérite

   D'après la figure 6, à températures T_C et T_F fixées, le rendement maximal \eta_{\max} est une fonction strictement croissante du facteur de mérite Z_{pn} T_m. Lorsque Z_{pn} T_m \to +\infty, le rendement tend vers le rendement limite de Carnot \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_F}{T_C}. Maximiser ce facteur permet donc de réduire les irréversibilités (conduction thermique pure et dissipation Joule) et de rapprocher le rendement réel de la limite thermodynamique idéale.

   2. Estimation du rendement du générateur

   La température de la source chaude constituée par les gaz d'échappement vaut :

   T_C = 500\ ^\circ\text{C} = 773\text{ K}

   La source froide étant à T_F = 300\text{ K}, et l'énoncé précisant que dans l'état actuel des technologies le facteur de mérite n'excède pas 1 (Z_{pn} T_m \le 1), on se place sur la courbe Z_{pn} T_m = 1.

   Par lecture graphique sur la figure 6 à l'abscisse T_C \approx 773\text{ K} :

   \boxed{\eta \approx 14\text{ à }15\,\%}

   3. Commentaire et comparaison

   • Comparaison au rendement de Carnot : Le rendement maximal théorique pour ces températures est :

     \eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{300}{773} \approx 61\,\%

     Le rendement du générateur thermoélectrique (\approx 15\,\%) ne représente ainsi qu'environ un quart du rendement de Carnot (\eta / \eta_{\text{Carnot}} \approx 0{,}24).

   • Comparaison aux machines dithermes usuelles : Les machines dithermes classiques de conversion d'énergie mécanique en électricité (turbines à vapeur, centrales à cycle combiné) présentent des rendements industriels bien supérieurs, couramment compris entre 35\,\% et plus de 55\,\%.
   • Le rendement d'un générateur thermoélectrique est donc modeste. Toutefois, son absence totale de pièces mobiles lui confère une grande robustesse, une absence de maintenance et une compacité idéale pour valoriser de la chaleur fatale qui serait sinon intégralement perdue.

   Résultat

   $$\eta \approx 14\text{ aˋ }15\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique PC 2020, Q37

    Par définition donnée par l'énoncé, le rendement global \eta du turboréacteur s'exprime par le rapport entre la puissance utile liée à la force propulsive \mathcal{P}_{\text{prop}} (déterminée à la question Q36) et la puissance thermique fournie dans la chambre de combustion P_{\text{chamb}} :

    \eta = \frac{\mathcal{P}_{\text{prop}}}{P_{\text{chamb}}}

    Avec \mathcal{P}_{\text{prop}} \approx 9{,}28\text{ MW} et P_{\text{chamb}} = 45{,}5\text{ MW}, on obtient :

    \eta = \frac{9{,}28}{45{,}5} \approx 0{,}204

    \boxed{\eta \approx 20\%}

    Comparaison avec d'autres machines thermiques :

    • Ce rendement est du même ordre de grandeur que celui d'un moteur thermique automobile à allumage commandé (essence), dont le rendement typique est compris entre 25\% et 30\%.
    • Il est en revanche nettement inférieur à celui d'un moteur Diesel (35\% à 40\%), d'une centrale thermique à flamme ou nucléaire (environ 33\% à 40\%) ou d'une centrale à cycle combiné gaz-vapeur (qui dépasse 55\%).
    • Il est également inférieur à celui des turboréacteurs civils modernes à double flux (environ 30\% à 35\%).

    Résultat

    $$\eta \approx 20\%$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question