Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2020

À un instant t donné, une ligne de courant est une courbe géométrique tangente en chacun de ses points M au vecteur vitesse \vec{v}(M,t) de l'écoulement. Elle vérifie localement :

Cette notion repose sur la connaissance du champ de vecteurs vitesse \vec{v}(M,t) défini en des points fixes de l'espace : il s'agit donc d'une description de nature eulérienne.

L'analyse de l'écoulement repose sur deux étapes successives :

• Vitesse de l'écoulement : Pour un fluide incompressible et homogène, le débit volumique se conserve le long d'un tube de courant (D_v = v \cdot S = \text{cte}). Sur la figure 2, les lignes de courant sont nettement resserrées au-dessus de l'aile (extrados) et plus écartées ou peu modifiées au-dessous (intrados). Ce resserrement traduit un étranglement des tubes de courant, d'où :

  v_{\text{extrados}} > v_\infty \ge v_{\text{intrados}}

• Champ de pression (théorème de Bernoulli) : L'écoulement étant stationnaire, incompressible, homogène et le fluide parfait sans effet de gravité, le théorème de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant :

  P + \frac{1}{2}\rho_\infty v^2 = \text{cte}

  Par conséquent, aux zones de grande vitesse correspondent des zones de plus faible pression statique :

  v_{\text{extrados}} > v_{\text{intrados}} \implies P_{\text{extrados}} < P_{\text{intrados}}

Il existe donc une surpression relative à l'intrados et une dépression relative à l'extrados. La résultante des forces de pression élémentaires \mathrm{d}\vec{F}_P = -P\,\vec{n}_{\text{ext}}\,\mathrm{d}S exercées par le fluide sur l'aile est orientée globalement vers le haut :

D'après la définition du coefficient de pression :

Le dénominateur étant strictement positif, le signe de C_P est celui de P - P_\infty :

• Extrados : l'air y subit une accélération (v > v_\infty). D'après la relation de Bernoulli, il y règne une dépression relative à la pression à l'infini amont, soit P < P_\infty, ce qui impose C_P < 0.
• Intrados : l'air y est ralenti par rapport à l'écoulement incident au voisinage du bord d'attaque, créant une surpression (P > P_\infty), d'où C_P > 0. De façon plus générale, pour que l'aile développe une force de portance dirigée vers le haut, il est nécessaire que P_{\text{intrados}} > P_{\text{extrados}}, c'est-à-dire C_{P,\text{intrados}} > C_{P,\text{extrados}}.

Sur la figure 3, l'axe vertical des C_P est orienté vers le bas (les valeurs négatives se situent vers le haut, convention courante en aérodynamique) :

• La courbe supérieure correspond à des valeurs négatives de C_P (C_P \in [-0{,}8 \,;\, 0]) : c'est la courbe de dépression associée à l'extrados.
• La courbe inférieure correspond à des valeurs positives de C_P (C_P \in [0 \,;\, 0{,}5]) : c'est la courbe de surpression associée à l'intrados.

On conclut :

L'écoulement d'air étant supposé stationnaire, incompressible, parfait et homogène, avec des effets de pesanteur négligés, la relation de Bernoulli s'applique le long d'une ligne de courant entre l'infini amont (où la pression est P_\infty et la vitesse v_\infty) et un point courant autour du profil (où la pression est P et la vitesse v) :

On en déduit l'écart de pression par rapport à l'amont :

En injectant cette relation dans la définition du coefficient de pression C_P, on obtient :

La norme de la vitesse v étant nécessairement positive ou nulle (v^2 \ge 0), le terme retranché est toujours positif ou nul. Par conséquent :

Le coefficient de portance est défini par :

Déterminons la dimension de chaque terme intervenant dans cette expression :

• F_z est une force : d'après la deuxième loi de Newton, [F_z] = \mathrm{M \cdot L \cdot T^{-2}} ;
• S_{\text{réf}} est une surface : [S_{\text{réf}}] = \mathrm{L^2} ;
• \rho_{\infty} est une masse volumique : [\rho_{\infty}] = \mathrm{M \cdot L^{-3}} ;
• v_{\infty} est une vitesse : [v_{\infty}] = \mathrm{L \cdot T^{-1}}, soit [v_{\infty}^2] = \mathrm{L^2 \cdot T^{-2}}.

La dimension du dénominateur s'écrit donc :

Le dénominateur a ainsi la dimension d'une force. Par conséquent :

Le coefficient de portance C_z est bien adimensionné (il en va de même pour le coefficient de traînée C_x).

D'après le texte introduisant la question Q5, le coefficient de portance C_z s'obtient par intégration de l'écart des coefficients de pression entre l'intrados et l'extrados le long de la corde :

Cette intégrale correspond géométriquement à l'aire comprise entre la courbe d'intrados et la courbe d'extrados dans le diagramme de la figure 5.

Sur la figure 5 :

• à l'extrados, la dépression est considérablement plus marquée pour une incidence de 6^\circ (courbe en tirets, où C_P atteint environ -2{,}7 au voisinage du bord d'attaque) que pour 2^\circ (courbe en trait plein, où le minimum est d'environ -0{,}8) ;
• à l'intrados, les pressions sont très proches dans les deux configurations (légère surpression supplémentaire pour 6^\circ).

L'aire entre les courbes d'intrados et d'extrados est donc nettement plus grande pour i = 6^\circ que pour i = 2^\circ.

En phase de décollage, le pilote choisit la configuration volets sortis.

Justification :

• Pour que l'avion s'élève, la force de portance F_z doit compenser le poids de l'appareil (F_z \ge M g). Or, au décollage, la vitesse v_\infty de l'avion est encore faible par rapport à sa vitesse de croisière.

• D'après l'expression établie précédemment :

  F_z = \frac{1}{2}\, C_z\, S_{\text{réf}}\, \rho_\infty\, v_\infty^2

  Pour une vitesse v_\infty donnée, maximiser la force de portance nécessite d'augmenter le produit C_z\, S_{\text{réf}}.

• Le déploiement des volets (dispositifs hypersustentateurs) permet :

  • d'accroître la surface alaire effective S_{\text{réf}} ;
  • d'augmenter la cambrure du profil de l'aile, ce qui accroît également le coefficient de portance C_z.

La portance nécessaire au décollage est ainsi atteinte à une vitesse plus basse, ce qui réduit la distance de roulement nécessaire sur la piste.

On étudie l'avion (de masse m) assimilé à son centre de masse G dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Lors d'un vol en palier à vitesse constante, l'altitude et le vecteur vitesse \vec{V}_a sont constants : le mouvement du centre d'inertie est rectiligne et uniforme. D'après le principe fondamental de la dynamique (ou première loi de Newton), la résultante des forces extérieures appliquées à l'avion est nulle :

L'avion est soumis à quatre forces principales :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;
• la force de portance aérodynamique \vec{F}_z, perpendiculaire à l'écoulement (donc verticale) et dirigée vers le haut ;
• la force de traînée aérodynamique \vec{F}_x, parallèle à l'écoulement et opposée au mouvement (horizontale vers l'arrière) ;
• la force de poussée (ou traction) \vec{F}_p développée par le système propulsif (les réacteurs), dirigée vers l'avant selon la trajectoire.

Par projection sur les axes horizontal et vertical :

Dans l'atmosphère, la pression et la masse volumique de l'air \rho_\infty décroissent fortement avec l'altitude (selon la loi du nivellement barométrique).

Cette diminution présente des intérêts majeurs pour l'aviation de ligne :

• Réduction de la traînée et gain de vitesse : Pour un vol en palier, la portance compense le poids :

  F_z = \frac{1}{2} C_z S_{\text{réf}} \rho_\infty v_\infty^2 = mg

  À incidence et coefficient C_z fixés, la diminution de \rho_\infty impose une vitesse v_\infty \propto 1/\sqrt{\rho_\infty} nettement plus élevée. Comme la traînée s'écrit alors :

  F_x = \frac{C_x}{C_z} F_z = \frac{mg}{f}

  l'avion peut se déplacer beaucoup plus vite pour un même niveau de poussée (et donc une consommation horaire comparable), ce qui réduit la durée du trajet et minimise la consommation de carburant par kilomètre parcouru.

• Stabilité météorologique : À haute altitude (haute troposphère ou basse stratosphère, entre 10 et 12 km), l'avion évolue au-dessus de la plupart des perturbations météorologiques convectives (orages, nuages denses), ce qui limite les turbulences et accroît la sécurité et le confort du vol.

On étudie le système {avion} de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

L'avion est soumis à trois forces extérieures :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical descendant ;
• la force de portance \vec{F}_z, perpendiculaire à la trajectoire de l'avion (direction de l'écoulement de l'air) et orientée vers le haut ;
• la force de traînée \vec{F}_x, parallèle à la trajectoire et opposée au mouvement (dirigée vers l'arrière).

Le mouvement étant une translation rectiligne uniforme, le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En projetant cette relation sur les axes parallèle et perpendiculaire à la trajectoire (inclinée de l'angle \alpha sous l'horizontale) :

D'après les définitions données des coefficients de portance et de traînée, on a :

En effectuant le rapport des deux composantes de l'équilibre :

Géométriquement, l'avion descend d'une pente d'angle \alpha. La relation trigonométrique entre la distance horizontale franchie d_H et la perte d'altitude d_V est :

Il vient ainsi directement :

Sens physique de la finesse : La finesse f représente le rapport entre la distance horizontale franchie en vol plané (moteurs coupés) et la perte d'altitude correspondante. C'est un indicateur direct de la performance aérodynamique de l'aéronef : plus la finesse est grande, plus l'avion plane loin pour une altitude initiale donnée (par exemple, pour f = 10, une perte d'altitude de 1\text{ km} permet de parcourir 10\text{ km} à l'horizontale).

Sur le tracé de la polaire d'Eiffel C_z = g(C_x) :

• Traînée minimale : elle correspond à la valeur minimale du coefficient de traînée C_x, soit le point le plus à gauche de la polaire (tangente verticale).
• Portance maximale : elle correspond à l'ordonnée maximale C_{z,\max}, atteinte au sommet de la courbe (tangente horizontale).
• Finesse maximale : le rapport f = \frac{C_z}{C_x} est la pente de la sécante issue de l'origine O(0,0) et passant par le point de fonctionnement. La valeur maximale f_{\max} correspond donc au point de contact de la tangente à la polaire issue de l'origine.

D'après la question Q6, une augmentation de l'angle d'incidence i accroît la dépression sur l'extrados ainsi que la surpression sur l'intrados, ce qui se traduit par une augmentation du coefficient de portance C_z.

Tant que l'aile n'a pas atteint le phénomène de décrochage (séparation de la couche limite sur l'extrados), le coefficient de portance C_z varie de façon croissante en fonction de l'angle d'incidence i.

Le point où la portance est maximale (C_{z,\max}) correspond précisément à l'incidence critique de décrochage, tandis que la traînée minimale (C_{x,\min}) est atteinte pour une incidence nettement plus faible (proche de l'incidence de portance nulle).

Par conséquent, lorsque l'on parcourt la polaire du point de traînée minimale vers le point de portance maximale :

D'après la loi de composition classique des vitesses (dans le cadre de la cinématique galiléenne), la vitesse \vec{V}_{\text{sol}} de l'avion par rapport au sol (référentiel terrestre) est la somme de sa vitesse par rapport à l'air \vec{V}_a et de la vitesse de l'air par rapport au sol \vec{v}_v :

D'après le repère orthonormé direct (\vec{u}_x, \vec{u}_y) fourni sur la figure 8, où l'axe (A,\vec{u}_y) est aligné avec la route au sol de A vers B :

• le vecteur vitesse \vec{V}_a fait un angle \theta avec la direction AB vers la droite :

  \vec{V}_a = V_a \sin\theta \, \vec{u}_x + V_a \cos\theta \, \vec{u}_y

• le vecteur vitesse du vent contraire \vec{v}_v fait un angle \phi avec la direction AB, orienté vers la gauche et vers le bas :

  \vec{v}_v = - v_v \sin\phi \, \vec{u}_x - v_v \cos\phi \, \vec{u}_y

Le vecteur vitesse par rapport au sol s'écrit donc :

Pour que l'avion se déplace en ligne droite suivant la droite AB, sa vitesse par rapport au sol doit être colinéaire à \vec{u}_y, ce qui impose que sa composante transverse selon \vec{u}_x soit nulle :

Pour que l'avion progresse effectivement de A vers B (et ne recule pas sous l'effet du vent contraire), il faut également que :

D'après la relation établie à la question Q13, l'angle de correction \theta vérifie :

D'où :

Application numérique : Les vitesses étant exprimées dans la même unité (\mathrm{km\cdot h^{-1}}), la conversion n'est pas nécessaire :

En tenant compte du nombre de chiffres significatifs (deux pour v_v et \phi) :

1. Vitesse au sol à l'aller et au retour

D'après les questions Q13 et Q14, sur le trajet aller (A \to B), la compensation du vent latéral impose un angle de dérive \theta tel que \sin\theta = \frac{v_v}{V_a}\sin\phi. La vitesse de l'avion par rapport au sol le long de la ligne droite AB est :

Sur le trajet retour (B \to A), l'avion se déplace dans le sens opposé (\vec{u}_{BA} = -\vec{u}_y). Le vent \vec{v}_v conserve les mêmes caractéristiques dans le référentiel terrestre :

• Sa composante transversale le long de \vec{u}_x reste inchangée (v_v \sin\phi). L'angle de correction nécessaire pour compenser cette composante reste donc identique en norme : \theta_{\text{retour}} = \theta.
• Sa composante le long de la direction de vol est désormais favorable (le vent contraire à l'aller devient un vent arrière au retour) : \vec{v}_v \cdot \vec{u}_{BA} = +v_v \cos\phi.

La vitesse par rapport au sol sur le trajet retour vaut donc :

2. Calcul de la durée T de l'aller-retour

La durée totale du trajet aller-retour est la somme des durées de chaque trajet :

Applications numériques :

• V_a \cos\theta = 445 \times \cos(2{,}47^\circ) \approx 444{,}6\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}
• v_v \cos\phi = 56 \times \cos(20^\circ) \approx 52{,}6\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}

D'où les vitesses au sol :

Soit pour la durée totale :

3. Calcul de la durée T' en l'absence de vent

En l'absence de vent (v_v = 0), la vitesse par rapport au sol est constamment égale à V_a = 445\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} :

4. Comparaison et commentaire

On constate que T > T', avec un retard de l'ordre de :

Le vent allonge systématiquement la durée totale d'un aller-retour, pour deux raisons physiques :

1. L'effet temporel prépondérant du vent contraire : la vitesse étant plus faible à l'aller qu'au retour (V_{\text{aller}} < V_{\text{retour}}), l'avion subit le vent défavorable pendant un temps plus long qu'il ne bénéficie du vent favorable (t_{\text{aller}} > t_{\text{retour}}). Le gain de temps au retour ne compense donc jamais la perte subie à l'aller.
2. L'effet du vent de travers : pour maintenir une trajectoire rectiligne, une fraction de la poussée est dérivée pour compenser le vent latéral (V_a \cos\theta < V_a), ce qui pénalise la progression dans les deux sens.

1. Hypothèses de modélisation

• On assimile l'avion à un point matériel de masse m = 500\text{ t} = 5{,}0 \times 10^5\text{ kg} en translation rectiligne horizontale le long de la piste (axe Ox).

• La vitesse au moment de la rotation (décollage) vaut :

  v_{\text{déc}} = 260\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{260}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 72\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.
• Une piste d'atterrissage pour gros porteur a une longueur typique de 3 à 4\text{ km} ; on estime la distance de roulement nécessaire pour atteindre v_{\text{déc}} à L \approx 2\,000\text{ m} = 2\text{ km}.
• On suppose l'accélération a constante durant le roulement.

2. Estimation de l'accélération

Pour un mouvement rectiligne uniformément accéléré partant du repos (v_0 = 0) :

(Cette accélération correspond à un temps de décollage t_{\text{déc}} = v_{\text{déc}}/a \approx 55\text{ s}, ce qui est tout à fait réaliste.)

3. Bilan des forces selon l'axe horizontal

L'avion est soumis à :

• la poussée totale des N = 4 réacteurs : F_{p,\text{tot}} = 4 F_p ;

• la traînée aérodynamique F_x(v), qui croît de 0 à sa valeur maximale à l'envol F_{x,\max}. À l'envol, la portance compense le poids (F_z \approx mg), donc avec la finesse f = F_z / F_x \approx 10 :

  F_{x,\max} \approx \frac{mg}{f} = \frac{5{,}0 \times 10^5 \times 9{,}8}{10} \approx 490\text{ kN}.

  En première approximation, la force moyenne de traînée au cours de la prise de vitesse vaut :

  \langle F_x \rangle \approx \frac{1}{2} F_{x,\max} \approx 250\text{ kN} ;
• les frottements mécaniques au roulement, de l'ordre de F_{\text{roul}} \approx \mu_{\text{roul}} mg \approx 0{,}02 \times 5{,}0 \cdot 10^6 \approx 100\text{ kN}, qui diminuent au fur et à mesure que les ailes portent l'avion.

D'après le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe du mouvement :

Avec m a = 5{,}0 \times 10^5 \times 1{,}3 \approx 650\text{ kN}, la poussée totale requise est de l'ordre de :

Par réacteur, la poussée nécessaire lors de l'accélération s'estime donc à :

4. Discussion

• La poussée maximale certifiée pour un réacteur d'A380 est F_{p,\max} = 370\text{ kN}. Notre estimation correspond à un régime de poussée de l'ordre de :

  \frac{F_p}{F_{p,\max}} \approx \frac{245}{370} \approx 66\,\% \text{ à } 70\,\% \text{ du régime maximal plein gaz.}
• Ce résultat est cohérent avec les procédures aéronautiques réelles : pour préserver la durée de vie des moteurs, les décollages s'effectuent généralement à poussée réduite (dite déflexée ou « flex temp »).
• De plus, la réserve de puissance restante (environ 30 à 35\,\%) est indispensable pour garantir la sécurité et permettre à l'aéronef de poursuivre son décollage même en cas de panne de l'un des moteurs (contrainte réglementaire OEI, One Engine Inoperative).