Feuille d'entraînement : Ondes mécaniques et acoustiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q27

   1. Expression du gradient de pression statique

   En l'absence d'onde sonore, le fluide possède une vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x uniforme et constante dans le temps, une masse volumique constante \rho_0, et une pression p_{\text{st}}(z). Toutes les dérivées spatio-temporelles du champ de vitesse s'annulent :

   \frac{\partial \vec{v}_0}{\partial t} = \vec{0}, \quad (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_0 = \vec{0}, \quad \Delta \vec{v}_0 = \vec{0}

   L'équation de Navier–Stokes se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

   \vec{0} = -\vec{\mathrm{grad}}\,p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g}

   Comme \vec{g} = -g \vec{u}_z et que p_{\text{st}} ne dépend que de la cote z, la projection sur l'axe vertical \vec{u}_z donne directement :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}p_{\text{st}}}{\mathrm{d}z} = -\rho_0 g}

   (Compte tenu de la condition à la surface libre p_{\text{st}}(0) = p_0, on retrouve la loi hydrostatique p_{\text{st}}(z) = p_0 - \rho_0 g z).

   2. Forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes

   En présence de l'onde acoustique, on décompose les champs sous la forme :

   p = p_{\text{st}}(z) + p_1(\vec{r},t), \quad \rho = \rho_0 + \rho_1(\vec{r},t), \quad \vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{v}_1(\vec{r},t)

   où p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 sont des perturbations acoustiques de petite amplitude (grandeurs du premier ordre).

   L'équation de Navier–Stokes devient :

   (\rho_0 + \rho_1)\left[ \frac{\partial \vec{v}_1}{\partial t} + \left((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}}\right)(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) \right] = -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} - \vec{\mathrm{grad}} p_1 + (\rho_0 + \rho_1)\vec{g} + \eta \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1)

   Procédons aux simplifications :

   • Équilibre de base : D'après le résultat précédent, -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g} = \vec{0}.

   • Terme de pesanteur perturbé : Le terme résiduel de gravité est \rho_1 \vec{g}. En ordre de grandeur, \|\rho_1 \vec{g}\| \sim \rho_1 g \sim \frac{p_1}{c_a^2} g, tandis que le gradient de pression acoustique est de norme \|\vec{\mathrm{grad}} p_1\| \sim k p_1 = \frac{\omega}{c_a} p_1. Le rapport de ces deux termes vaut :

     \frac{\|\rho_1 \vec{g}\|}{\|\vec{\mathrm{grad}} p_1\|} \sim \frac{g}{\omega c_a}

     Pour des ondes acoustiques dans l'eau (c_a \simeq 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), dès que f \ge 10\text{ Hz} (\omega \ge 60\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega c_a \ge 9\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \gg g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. La force de pesanteur sur les surdensités acoustiques est donc négligeable devant la force de pression : \rho_1 \vec{g} \ll \vec{\mathrm{grad}} p_1.

   • Linéarisation du terme d'inertie : Au premier ordre, \rho_0 + \rho_1 \simeq \rho_0. Puisque \vec{v}_0 est uniforme, le terme convectif s'écrit :

     ((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}})(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 + \mathcal{O}(v_1^2)
   • Terme visqueux : \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = \Delta \vec{v}_1.

   On aboutit ainsi à la forme simplifiée (linéarisée) de l'équation de Navier–Stokes pour l'onde acoustique (notée ici avec \underline{p} et \underline{\vec{v}} conformément à la suite de l'énoncé) :

   \boxed{\rho_0 \left[ \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} + (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}} \right] = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}}

   Dans le cas particulier où l'eau est au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}, étudié dans la sous-partie II.1), celle-ci se réduit à :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p} + \eta \Delta \underline{\vec{v}}

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}{p}_{\text{st}}}{\mathrm{d}z}=-{\rho }_{0}g$$

   $${\rho }_0\left[\frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t}+({\vec{v}}_0\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\underline{\vec{v}}\right]=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\underline{p}+\eta \Delta \underline{\vec{v}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q28

   Dans le cadre de l'approximation acoustique, les compressions et dilatations du fluide sont suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligeables, et les gradients d'amplitude suffisamment faibles pour négliger la dissipation visqueuse au sein de l'onde : l'évolution est isentropique.

   Le coefficient de compressibilité isentropique \chi d'un volume V de fluide est défini par :

   \chi = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_S

   Pour une masse de fluide m = \rho V constante, la différentiation logarithmique donne :

   \frac{\mathrm{d}m}{m} = \frac{\mathrm{d}\rho}{\rho} + \frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}V}{V} = -\frac{\mathrm{d}\rho}{\rho}

   On en déduit l'expression de \chi en fonction de la masse volumique \rho :

   \chi = \frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\right)_S

   En se plaçant au premier ordre autour de l'état d'équilibre caractérisé par la masse volumique moyenne \rho_0, la fluctuation de masse volumique \underline{\rho} = \rho - \rho_0 s'écrit directement en fonction de la surpression acoustique \underline{p} :

   \boxed{\underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}}

   Résultat

   $$\underline{\rho }={\rho }_0\chi \underline{p}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique 1 PC 2025, Q29

   Dans un fluide parfait (\eta = 0) au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée obtenue à la question Q27 s'écrit :

   \rho_0 \frac{\partial \underline{\vec{v}}}{\partial t} = -\vec{\mathrm{grad}}\,\underline{p}

   Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon le facteur de phase \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels deviennent :

   \frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow \mathrm{i}\omega \quad \text{et} \quad \vec{\mathrm{grad}} \longrightarrow -\mathrm{i}\vec{k}

   L'équation d'Euler linéarisée devient ainsi :

   \rho_0 (\mathrm{i}\omega \underline{\vec{v}}) = -(-\mathrm{i}\vec{k}\underline{p}) = \mathrm{i}\vec{k}\underline{p}

   En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

   \boxed{\rho_0 \omega \underline{\vec{v}} = \vec{k}\underline{p}}

   L'équation locale de conservation de la masse est :

   \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = 0

   Avec \rho = \rho_0 + \underline{\rho} et \vec{v} = \underline{\vec{v}}, le terme convectif \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \operatorname{div}((\rho_0 + \underline{\rho})\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} + \operatorname{div}(\underline{\rho}\underline{\vec{v}}) se réduit au premier ordre à \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}}. L'équation de continuité linéarisée s'écrit donc :

   \frac{\partial \underline{\rho}}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0

   D'après la relation issue de la compressibilité (question Q28), \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En remplaçant \underline{\rho} :

   \rho_0 \chi \frac{\partial \underline{p}}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0 \iff \chi \frac{\partial \underline{p}}{\partial t} + \operatorname{div}\underline{\vec{v}} = 0

   En passant en notation complexe (\operatorname{div} \to -\mathrm{i}\vec{k}\cdot) :

   \chi (\mathrm{i}\omega \underline{p}) - \mathrm{i}\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = 0

   Soit, en simplifiant par \mathrm{i} :

   \boxed{\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = \chi \omega \underline{p}}

   Multiplions scalairement par \vec{k} la première équation :

   \rho_0 \omega (\vec{k}\cdot\underline{\vec{v}}) = k^2 \underline{p}

   En y substituant l'expression de \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} issue de la seconde équation :

   \rho_0 \omega (\chi \omega \underline{p}) = k^2 \underline{p} \implies \left(\rho_0 \chi \omega^2 - k^2\right) \underline{p} = 0

   Pour une onde non triviale (\underline{p} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

   k^2 = \rho_0 \chi \omega^2

   Le milieu est non dispersif et la célérité de phase c_a = \frac{\omega}{k} s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

   \boxed{c_a = \frac{1}{\sqrt{\rho_0 \chi}}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} \rho_0 &= 1{,}00 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \\ \chi &= 4{,}10 \cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} \\ c_a &= \frac{1}{\sqrt{1{,}00 \cdot 10^3 \times 4{,}10 \cdot 10^{-10}}} = \frac{1}{\sqrt{4{,}10 \cdot 10^{-7}}} \simeq 1{,}56 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{c_a \simeq 1{,}56 \cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

   Résultat

   $${\rho }_0\omega \underline{\vec{v}}=\vec{k}\underline{p}$$

   $$\vec{k}\cdot \underline{\vec{v}}=\chi \omega \underline{p}$$

   $$c_a=\frac{1}{\sqrt{{\rho }_0\chi }}$$

   $$c_a\simeq 1,56\cdot 10^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique 2 PC 2025, Q21

   Pour une corde idéale de longueur L fixée à ses deux extrémités (x = 0 et x = L), le déplacement transversal y(x,t) d'un mode propre s'écrit sous la forme stationnaire :

   y_i(x,t) = Y_{0,i} \sin\left(\frac{i\pi x}{L}\right) \cos(2\pi f_i t + \phi_i) \quad \text{avec } i \in \{1, 2, 3, 4\}

   Chaque mode i comporte i fuseaux (ou ventres de vibration) et i-1 nœuds internes de vibration :

   La fréquence propre du mode i s'écrit f_i = i\,\frac{c_s}{2L} = i f_1 (où c_s est la célérité des ondes transversales sur la corde).

   \boxed{\text{La suite des fréquences }(f_i)_{i \ge 1}\text{ est strictement croissante.}}

   Résultat

   $$\text{La suite des freˊquences }(f_i{)}_{i\ge 1}\text{ est strictement croissante.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-III-Q15

   Pour une onde progressive harmonique, la pulsation \omega, la norme du vecteur d'onde k et la célérité c de l'onde sont reliées par la relation de dispersion :

   \boxed{\omega = c \, k \quad \Longleftrightarrow \quad c = \frac{\omega}{k}}

   L'onde progressive incidente proposée par le sujet s'écrit y_i(x,t) = A \sin(\omega t - kx). Calculons ses dérivées partielles secondes :

   \begin{aligned} \frac{\partial^2 y_i}{\partial t^2} &= -\omega^2 A \sin(\omega t - kx) = -\omega^2 y_i(x,t) \\ \frac{\partial^2 y_i}{\partial x^2} &= -k^2 A \sin(\omega t - kx) = -k^2 y_i(x,t) \end{aligned}

   En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde (1) :

   \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \frac{T}{\rho} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

   on obtient :

   -\omega^2 y_i(x,t) = -\frac{T}{\rho} k^2 y_i(x,t) \implies \frac{\omega^2}{k^2} = \frac{T}{\rho}

   Sachant que c = \frac{\omega}{k} > 0, on en déduit l'expression de la célérité des ondes transversales le long de la corde :

   \boxed{c = \sqrt{\frac{T}{\rho}}}

   Résultat

   $$\omega =ck⟺c=\frac{\omega }{k}$$

   $$c=\sqrt{\frac{T}{\rho }}$$

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6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PC 2025, QPhysique-III-Q16

   L'équation de d'Alembert (1) étant linéaire, l'onde résultante dans le domaine x < 0 est obtenue par superposition de l'onde incidente y_i(x,t) et de l'onde réfléchie y_r(x,t) :

   \begin{aligned} y(x,t) &= y_i(x,t) + y_r(x,t) \\ &= A \sin(\omega t - kx) - A \sin(\omega t + kx) \end{aligned}

   À l'aide de l'identité trigonométrique fournie dans les données de l'énoncé :

   \sin(a) - \sin(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)

   en posant a = \omega t - kx et b = \omega t + kx, il vient :

   \frac{a+b}{2} = \omega t \quad \text{et} \quad \frac{a-b}{2} = -kx

   d'où :

   \begin{aligned} y(x,t) &= 2A \cos(\omega t) \sin(-kx) \\ &= -2A \sin(kx) \cos(\omega t) \end{aligned}

   \boxed{y(x,t) = -2A \sin(kx) \cos(\omega t)}

   Cette onde présente une séparation stricte des variables spatiale et temporelle sous la forme y(x,t) = f(x)g(t) : il s'agit d'une onde stationnaire.

   Résultat

   $$y(x,t)=-2A\sin (kx)\cos (\omega t)$$

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7. Exercice 7ENS Physique-Chimie L PC 2025, Q18

   Considérons la n-ième bille (avec 1 < n < N), de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Conformément aux hypothèses de l'énoncé, la bille est animée d'un mouvement de translation pure selon l'axe horizontal (Ox) et aucun contact n'est rompu.

   Les forces appliquées à cette bille sont :

   • son poids et la réaction normale du rail de guidage, qui s'équilibrent selon la verticale ;

   • la force de contact exercée par la bille (n-1) : d'après la relation (5),

     \vec{F}_{n-1/n} = q \, \delta_n^{3/2} \, \vec{e}_x

   • la force de contact exercée par la bille (n+1) : d'après la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques),

     \vec{F}_{n+1/n} = -\vec{F}_{n/n+1} = -q \, \delta_{n+1}^{3/2} \, \vec{e}_x

   Les positions des centres des billes s'écrivent x_k(t) = k a + u_k(t). Les recouvrements \delta_n et \delta_{n+1} valent ainsi :

   \begin{aligned} \delta_n &= a - (x_n - x_{n-1}) = a - \bigl(a + u_n - u_{n-1}\bigr) = u_{n-1} - u_n \\ \delta_{n+1} &= a - (x_{n+1} - x_n) = a - \bigl(a + u_{n+1} - u_n\bigr) = u_n - u_{n+1} \end{aligned}

   La seconde loi de Newton appliquée à la bille (n) projetée sur \vec{e}_x s'écrit alors :

   m \, \ddot{x}_n = m \, \ddot{u}_n = q \, \delta_n^{3/2} - q \, \delta_{n+1}^{3/2} = q \left\{ (u_{n-1} - u_n)^{3/2} - (u_n - u_{n+1})^{3/2} \right\}

   En multipliant cette équation par \frac{a^{1/2}}{m} et en utilisant la relation K = q a^{1/2}, on obtient :

   a^{1/2} \ddot{u}_n = \frac{K}{m} \left\{ (u_{n-1} - u_n)^{3/2} - (u_n - u_{n+1})^{3/2} \right\}

   Par identification avec l'équation (6) de l'énoncé, on a :

   \boxed{\Omega_0^2 = \frac{K}{m}}

   Résultat

   $${\Omega }_0^2=\frac{K}{m}$$

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8. Exercice 8ENS Physique-Chimie L PC 2025, Q21

   La vitesse de phase v_\phi d'une onde est la vitesse de déplacement, dans la direction de propagation, d'une surface ou d'un point d'état vibratoire (ou de phase) constant. Pour une onde se propageant selon l'axe (Ox), elle correspond à la vitesse à laquelle se déplace un motif remarquable (crête, creux, plan d'onde) au cours du temps :

   \left. \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right|_{\text{phase cste}} = v_\phi

   D'après le système d'équations (8), le champ de déplacement s'écrit sous la forme d'une onde progressive se propageant vers les x croissants :

   u(x,t) = F(\theta) \quad \text{avec} \quad \theta = \frac{x - c\,t}{L_0}

   Une condition de phase constante correspond à \theta = \text{cste}, soit :

   x - c\,t = \text{cste}

   En dérivant cette relation par rapport au temps, on identifie directement la vitesse de phase :

   v_\phi = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = c

   En introduisant l'expression de la célérité c donnée à l'équation (8), il vient :

   \boxed{v_\phi = c = \sqrt{\frac{24}{5\pi}}\,A^{1/4} c_{\mathrm{son}} = \sqrt{\frac{24}{5\pi}}\,A^{1/4} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}}

   Résultat

   $$v_{\varphi }=c=\sqrt{\frac{24}{5\pi }}{A}^{1/4}{c}_{\mathrm{son}}=\sqrt{\frac{24}{5\pi }}{A}^{1/4}\sqrt{\frac{Y}{\rho }}$$

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9. Exercice 9Polytechnique Physique A PC 2025, Q11

   D'après la question Q10, la situation renversée temporellement comprend deux ondes incidentes convergeant vers l'interface en x = 0 :

   • une onde d'amplitude r_{12} se propageant vers les x > 0 depuis le milieu 1 (x \le 0) ;
   • une onde d'amplitude t_{12} se propageant vers les x < 0 depuis le milieu 2 (x > 0).

   Par linéarité de l'équation d'ondes, cette configuration est la superposition de deux situations élémentaires :

   1. Onde incidente d'amplitude r_{12} venant de la gauche (x \le 0) :

      • onde réfléchie se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude r_{12} \times r_{12} = r_{12}^2 ;
      • onde transmise se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude r_{12} \times t_{12}.

   2. Onde incidente d'amplitude t_{12} venant de la droite (x > 0) :

      • onde réfléchie se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude t_{12} \times r_{21} ;
      • onde transmise se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude t_{12} \times t_{21}.

   En sommant les contributions des ondes repartant de part et d'autre de l'interface :

   • Dans le milieu 2 (x > 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x croissants vaut :

     A_{2,\text{repartant}} = r_{12} t_{12} + t_{12} r_{21} = t_{12}(r_{12} + r_{21})

     Or, dans l'état renversé temporellement, aucune onde ne s'éloigne vers x = +\infty, donc A_{2,\text{repartant}} = 0. Comme t_{12} \neq 0, on obtient :

     \boxed{r_{21} = -r_{12}}

   • Dans le milieu 1 (x \le 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x décroissants vaut :

     A_{1,\text{repartant}} = r_{12}^2 + t_{12} t_{21}

     Cette onde doit reproduire l'onde initiale retournée, d'amplitude 1 :

     r_{12}^2 + t_{12} t_{21} = 1

     soit :

     \boxed{t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}}

   Résultat

   $$r_{21}=-r_{12}$$

   $$t_{21}=\frac{1-r_{12}^2}{t_{12}}$$

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10. Exercice 10Polytechnique Physique A PC 2025, Q21

    Pour un problème invariant par rotation autour de l'origine (symétrie sphérique), le champ d'onde scalaire ne dépend que de la distance radiale r = \|\vec{r}\| et du temps t :

    u(\vec{r}, t) = u(r, t).

    Les dérivées partielles par rapport aux coordonnées angulaires \theta et \phi sont donc nulles :

    \frac{\partial u}{\partial \theta} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\partial u}{\partial \phi} = 0.

    Le laplacien scalaire en coordonnées sphériques fourni par l'énoncé se réduit alors à sa seule composante radiale :

    \Delta u(r, t) = \frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r u)}{\partial r^2}.

    En injectant cette expression dans l'équation d'ondes (1), on obtient :

    \boxed{\frac{1}{r} \frac{\partial^2 (r u)}{\partial r^2} - \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0}

    En multipliant par r \neq 0, cette équation se réécrit de façon équivalente sous la forme d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle sur la fonction auxiliaire \chi(r, t) = r\,u(r, t) :

    \boxed{\frac{\partial^2 (r u)}{\partial r^2} - \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 (r u)}{\partial t^2} = 0}

    Résultat

    $$\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2(ru)}{\partial r^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=0$$

    $$\frac{{\partial }^2(ru)}{\partial r^2}-\frac{1}{c_0^2}\frac{{\partial }^2(ru)}{\partial t^2}=0$$

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