Corrigé détaillé ENS Physique Chimie LS PC 2025

D'après le premier théorème de Kœnig, l'énergie cinétique totale d'un solide indéformable en mouvement dans le référentiel d'étude s'écrit comme la somme de son énergie cinétique de translation (associée à la masse totale concentrée au centre de masse G) et de son énergie cinétique propre (énergie cinétique de rotation dans le référentiel barycentrique) :

où J_\Delta > 0 désigne le moment d'inertie de la bille par rapport à son axe instantané de rotation passant par G, et \omega sa vitesse angulaire de rotation.

La bille se déplaçant avec roulement sans glissement, sa vitesse de translation v et sa rotation \omega sont proportionnelles et synchronisées (\omega \neq 0 dès lors que v \neq 0). Dès lors, l'énergie cinétique de rotation propre est strictement positive pour v \neq 0 :

Il s'ensuit que l'énergie cinétique totale est strictement supérieure à l'énergie cinétique de simple translation :

En identifiant cette expression avec la forme donnée par l'énoncé, E_c = \frac{1}{2} (\alpha m) v^2, on conclut immédiatement que :

D'après l'équation (1), pour une position située sur l'axe (\mathrm{O}x) à l'abscisse x = a, l'intensité du champ magnétique créé par l'aimant vaut :

Ainsi, le paramètre B^\star représente l'intensité du champ magnétique créé par la bille aimantée sur l'axe (\mathrm{O}x) à une distance de son centre égale à son diamètre a. Cette distance correspond précisément à la position du centre de la bille voisine (1) (ou de l'impacteur (i)) lorsqu'elle est en contact avec l'aimant. Il s'agit donc du champ magnétique caractéristique de l'interaction à l'échelle d'une bille.

D'après l'expression fournie dans l'énoncé :

Avec :

• \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}
• \mathcal{M}_0 = 0,5\text{ A}\cdot\text{m}^2
• a = 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m} \implies a^3 = 10^{-6}\text{ m}^3

On obtient :

D'après l'énoncé, le champ magnétique créé par la bille aimantée (0) sur l'axe (Ox) en un point d'abscisse x (|x| \ge a) s'écrit :

La bille ferromagnétique d'abscisse x acquiert sous l'effet de ce champ un moment magnétique induit :

L'énergie d'interaction magnétique entre l'aimant (0) et cette bille s'obtient par l'équation (3) :

La bille (1) est en contact direct avec l'aimant (0), de sorte que la distance entre leurs centres vaut x_1 = a. Son énergie d'interaction magnétique s'écrit donc :

En introduisant la variable adimensionnée X = x/a, comme |X|^6 = X^6, on en déduit immédiatement :

D'après la question Q3, pour |X| \ge 1, l'énergie d'interaction s'écrit :

Ce tracé met en évidence trois propriétés physiques fondamentales de l'interaction :

1. Caractère purement attractif : L'énergie d'interaction est négative pour tout X et s'annule à l'infini (\mathcal{E}_0 \to 0^- quand |X| \to \infty). La force magnétique subie par la bille s'écrit :

   F_x = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_0}{\mathrm{d}x} = -\frac{1}{a} \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_0}{\mathrm{d}X} = \frac{6\,\mathcal{E}_{01}}{a\,X^7}

   Comme \mathcal{E}_{01} < 0, on a F_x > 0 pour X \le -1 et F_x < 0 pour X \ge 1 : la force est constamment dirigée vers l'aimant en O. Les positions de contact |X| = 1 correspondent au minimum d'énergie potentielle (puits de potentiel).

2. Très courte portée de l'interaction : La dépendance en 1/X^6 induit une décroissance spatiale extrêmement rapide. Dès la bille (2) située à X = 2, l'énergie d'interaction ne vaut plus que :

   \mathcal{E}_0(2) = \frac{\mathcal{E}_{01}}{2^6} = \frac{\mathcal{E}_{01}}{64} \approx 0{,}016\,\mathcal{E}_{01}

   L'attraction est donc pratiquement négligeable au-delà du premier voisin.

3. Symétrie spatiale (parité) : La fonction est paire : \mathcal{E}_0(-X) = \mathcal{E}_0(X). L'intensité de l'interaction ne dépend que de la distance centre-à-centre |x|, que la bille soit située à gauche (impacteur) ou à droite (projectile).

D'après la question précédente, l'énergie d'interaction magnétique entre la bille aimantée (0) et la première bille ferromagnétique (1) située en x_1 = a s'écrit :

avec :

Comme \mu_{\mathrm{r}} \sim 10^3 \gg 1, on a avec une excellente précision :

Effectuons l'application numérique avec les valeurs de l'énoncé (V = 0{,}5\text{ cm}^3 = 5 \times 10^{-7}\text{ m}^3, \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} et B^\star = 0{,}10\text{ T} calculé à la question 2) :

L'énergie cinétique initiale de l'impacteur, en roulement sans glissement avec \alpha = 7/5, est donnée par l'équation (4) :

Avec m = 4\text{ g} = 4 \times 10^{-3}\text{ kg}, \alpha = 1{,}4 et v_{\mathrm{i},\infty} = 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

Commentaire : On constate que :

L'énergie cinétique initiale apportée lors du lancement est négligeable (environ 40\,000 fois plus faible) devant l'énergie potentielle d'interaction magnétique disponible dans le puits. Le lancer initial ne sert donc qu'à amorcer le mouvement ; la vitesse acquise par l'impacteur lors de son approche proviendra quasi-exclusivement de la conversion de l'énergie magnétique en énergie cinétique. Cela justifie pleinement l'approximation adoptée à la question 6.

Le roulement s'effectuant sans glissement et sans frottement dissipatif d'après les hypothèses de l'énoncé, l'énergie mécanique E_\mathrm{m} de l'impacteur se conserve au cours de son mouvement vers l'aimant :

À l'infini (x_\mathrm{i} \to -\infty), le potentiel magnétique tend vers zéro (\mathcal{E}_0(-\infty) = 0), de sorte que :

Immédiatement avant le contact avec la bille aimantée (0) située à l'origine, le centre de l'impacteur se trouve en x_\mathrm{i} = -a. D'après l'expression établie à la question Q3, l'énergie potentielle d'interaction magnétique vaut alors :

La conservation de l'énergie mécanique s'écrit donc :

Comme E_{\mathrm{c},\mathrm{i},\infty} \ll |\mathcal{E}_{01}|, on peut négliger l'énergie cinétique initiale devant \mathcal{E}_{01} :

Puisque \mathcal{E}_{01} < 0, le terme -\mathcal{E}_{01} = |\mathcal{E}_{01}| est strictement positif, d'où :

Application numérique : Avec \mathcal{E}_{01} \simeq -1{,}2 \times 10^{-2}\text{ J} (obtenu à la question Q5), \alpha = 7/5 = 1{,}4 et m = 4\text{ g} = 4{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}, soit \alpha m = 5{,}6 \times 10^{-3}\text{ kg} :

D'après la question Q6, l'énergie cinétique totale de l'impacteur immédiatement avant le choc s'écrit :

L'énoncé précise que seule l'énergie cinétique de translation de l'impacteur, soit \dfrac{1}{2}mv_{\mathrm{i},\mathrm{c}}^2, est transmise à la bille (N) par l'intermédiaire de l'onde mécanique se propageant dans la chaîne de billes.

L'énergie cinétique E_{\mathrm{c},N,0} de la bille (N), immédiatement après sa perte de contact avec la bille (N-1), est donc égale à cette composante de translation :

On en déduit :

La bille (N) est initialement au repos en contact avec la chaîne, son centre étant situé en x_N = Na. D'après le résultat de la question 3, son énergie potentielle d'interaction magnétique avec l'aimant (0) est :

À l'infini (x \to +\infty), cette énergie tend vers zéro. La hauteur de la barrière d'énergie potentielle attractive que la bille (N) doit franchir pour se libérer est donc :

(Comme \mathcal{E}_{01} < 0, on a bien \Delta_N > 0).

Pour que la bille (N) puisse s'échapper à l'infini, son énergie cinétique immédiatement après détachement doit être au moins égale à cette barrière de potentiel :

En utilisant l'expression établie à la question 7, E_{\mathrm{c},N,0} = -\frac{\mathcal{E}_{01}}{\alpha}, la condition devient :

Puisque -\mathcal{E}_{01} = |\mathcal{E}_{01}| > 0, cela équivaut à :

Avec la valeur numérique \alpha = 7/5 = 1{,}4, on a \alpha^{1/6} \simeq 1{,}06. Comme N est un entier strictement positif, cette condition impose :

Le roulement s'effectuant sans dissipation, l'énergie mécanique de la bille (N) se conserve le long de son trajet sur le rail horizontal après sa perte de contact avec la bille (N-1) :

• Immédiatement après la séparation en x_N = Na, l'énergie cinétique de la bille (N) vaut E_{\mathrm{c},N,0} = \frac{1}{2}mv_{\mathrm{i,c}}^2 (d'après la question Q7) et son énergie potentielle d'interaction avec l'aimant est \mathcal{E}_0(Na) = -\Delta_N (d'après la question Q8). L'énergie mécanique initiale s'écrit donc :

  E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c},N,0} - \Delta_N

• Lorsque la bille s'éloigne à l'infini (x \to +\infty), elle ne subit plus l'attraction de l'aimant (\mathcal{E}_0 \to 0). La condition de roulement sans glissement étant satisfaite, son énergie cinétique prend la forme donnée par l'équation (4) :

  E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c},N,\infty} = \frac{1}{2}(\alpha m) v_{N,\infty}^2

Par conservation de l'énergie mécanique :

D'après la question Q7, E_{\mathrm{c},N,0} = -\dfrac{\mathcal{E}_{01}}{\alpha} = \dfrac{|\mathcal{E}_{01}|}{\alpha}. Comme \Delta_N \ll |\mathcal{E}_{01}|, la barrière de potentiel \Delta_N est négligeable devant E_{\mathrm{c},N,0} :

On en déduit :

soit :

Application numérique : Avec \alpha = 7/5 = 1{,}4 (soit \sqrt{\alpha} = \sqrt{1{,}4} \simeq 1{,}18) et v_{\mathrm{i,c}} \simeq 2{,}1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (obtenu à la question Q6) :

À matériau fixé, les grandeurs intensives (la masse volumique \rho, le module d'Young Y, la perméabilité relative \mu_{\mathrm{r}} et l'aimantation volumique permanente du matériau magnétique M = \mathcal{M}_0 / V) sont constantes et indépendantes du diamètre a.

Le volume d'une bille sphérique de diamètre a s'écrit :

On en déduit les dépendances suivantes vis-à-vis de a :

• Masse d'une bille :

  m = \rho V \propto a^3

• Moment magnétique permanent de l'aimant (0) :

  \mathcal{M}_0 = M V \propto a^3

• Champ magnétique caractéristique à la surface de contact :

  B^\star = \frac{\mu_0 \mathcal{M}_0}{2\pi a^3} \propto \frac{a^3}{a^3} = a^0 \quad (\text{indépendant de } a)

• Énergie d'interaction magnétique de contact (d'après la question Q3) :

  \mathcal{E}_{01} = -\frac{\beta V}{\mu_0} (B^\star)^2 \propto V \propto a^3

D'après les résultats des questions Q6 et Q9, la vitesse d'éjection à l'infini s'exprime par :

Comme \mathcal{E}_{01} \propto a^3 et m \propto a^3, le rapport \dfrac{|\mathcal{E}_{01}|}{m} est indépendant de a :

L'énergie cinétique finale correspondante est donnée par :

Puisque \mathcal{E}_{01} \propto a^3 (ou m \propto a^3 avec v_{N,\infty} constant) :

Après l'éjection de la bille (N), le système a subi les modifications suivantes :

• La chaîne restante comprend l'impacteur (i) désormais collé à l'aimant (0) en x = -a, l'aimant (0), et les billes (1) à (N-1) du côté x > 0.
• La bille (N) est animée d'une vitesse v_{N,\infty} \gg v_{\mathrm{i},\infty} le long du guide circulaire fermé et revient donc vers l'arrière de la chaîne, jouant le rôle d'un nouvel impacteur incident sur la bille (i).

Peut-on s'attendre à une amplification cumulative de la vitesse au fil des tours ? Non, pour plusieurs raisons physiques concordantes :

1. Principe de conservation de l'énergie : L'énergie cinétique acquise par la première bille éjectée provenait de la libération d'énergie potentielle magnétique (\Delta E_{\mathrm{p,mag}} \simeq \mathcal{E}_{01} < 0) lorsque l'impacteur (i) est tombé dans le puits de potentiel de l'aimant (0). En l'absence de source d'énergie extérieure, l'énergie mécanique totale ne peut pas croître indéfiniment.

2. Épuisement du gain magnétique : La bille (N) qui revient arrive sur la bille (i) déjà en place : elle ne peut pas s'approcher à une distance inférieure à 2a de l'aimant (0). Comme l'énergie d'interaction décroît très rapidement en 1/r^6 (question Q3), le gain d'énergie magnétique lors de cette seconde approche est divisé par 2^6 = 64 :

   |\mathcal{E}_0(2a)| = \frac{|\mathcal{E}_{01}|}{64} \ll |\mathcal{E}_{01}|

   Le puits de potentiel le plus profond (x = \pm a) est déjà comblé des deux côtés de l'aimant.

3. Dissipation d'énergie à chaque choc : Conformément à la note 4 de l'énoncé, l'énergie cinétique de rotation n'est pas transmise à l'onde de compression et se dissipe par frottement lors du choc. À chaque collision, une fraction 1 - 1/\alpha = 2/7 \simeq 28\,\% de l'énergie cinétique de la bille incidente est définitivement perdue.
4. Augmentation de la barrière de potentiel à franchir : La nouvelle bille susceptible d'être éjectée est la bille (N-1), située plus près de l'aimant (x = (N-1)a). La barrière de potentiel qu'elle doit franchir, \Delta_{N-1} = |\mathcal{E}_{01}|/(N-1)^6, est plus élevée que celle de la bille (N).

Le système ne présente donc aucun effet amplificateur de vitesse au cours des cycles successifs. Le mouvement va rapidement s'amortir et la chaîne finira par se stabiliser dans un état lié symétrique autour de l'aimant.

D'après la loi de Hooke, la contrainte normale \sigma au sein d'un milieu élastique linéaire est proportionnelle à la déformation relative \varepsilon :

Pour un solide élastique déformé à section de contact S constante (par exemple un barreau ou un ressort hélicoïdal), la force résultante F = \sigma S est directement proportionnelle à l'écrasement \delta : l'exposant associé à \delta vaut alors 1.

Dans le cas du contact entre deux billes sphériques :

• à contact naissant (\delta_{n+1} = 0), le contact est purement ponctuel (S = 0) ;
• dès que les billes s'interpénètrent d'une quantité \delta_{n+1} > 0, la zone de contact devient une surface (un disque) d'aire S_c non nulle, qui croît avec l'écrasement. Géométriquement, le rayon de la zone de contact vérifie r_c^2 \sim a \delta_{n+1}, d'où une section S_c \propto \delta_{n+1}.

La force élastique globale résultant de l'intégration de la contrainte sur la surface de contact (F \sim \sigma S_c), elle cumule :

• l'augmentation de la contrainte locale avec l'écrasement ;
• l'élargissement de l'aire de contact S_c mobilisée pour résister à la compression.

La raideur équivalente du contact k_{\text{eff}} = \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\delta} augmente donc avec \delta_{n+1}. La force de rappel croît ainsi plus vite que linéairement avec le recouvrement :

D'après l'équation (5), la force de contact s'écrit :

La variable de recouvrement \delta_{n+1} étant homogène à une longueur ([\delta] = \mathrm{L}) et la force vérifiant [F] = \mathrm{M\,L\,T^{-2}}, la dimension de la constante q est :

On recherche une relation sous la forme q \propto Y^\alpha a^\beta. Les dimensions de Y (assimilable à une contrainte, donc une pression) et de a sont :

D'où :

Par identification avec [q] :

Ainsi, la dépendance recherchée est :

En fixant arbitrairement à 1 le préfacteur sans dimension, on adopte la relation :

Application numérique : Avec Y = 200\text{ GPa} = 2{,}0 \times 10^{11}\text{ Pa} et a = 1\text{ cm} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m} :

Considérons la bille incidente de masse m, animée d'un mouvement de translation rectiligne à la vitesse initiale v_0 selon l'axe (\mathrm{O}x), venant percuter une bille dont le centre est maintenu fixe. Conformément aux hypothèses de la partie 2, les effets de roulement et les pertes d'énergie par dissipation sont négligés.

Pendant la phase de contact, le recouvrement est repéré par \delta \ge 0. Par principe des actions réciproques, la bille fixe exerce sur la bille incidente une force de contact opposée au mouvement :

Le déplacement de la bille incidente étant relié à la variation de recouvrement par \mathrm{d}x = \mathrm{d}\delta, le travail élémentaire résistant de cette force s'écrit :

On en déduit l'énergie potentielle élastique de contact, nulle à l'instant d'entrée en contact (\delta = 0) :

L'énergie mécanique du système est conservée au cours du choc. Entre l'instant d'impact (\delta = 0, v = v_0) et l'instant où le recouvrement maximal \delta_{\mathrm{M}} est atteint (la bille incidente s'immobilise instantanément, v = 0), le bilan d'énergie mécanique s'écrit :

On isole alors \delta_{\mathrm{M}} :

d'où l'expression littérale :

Application numérique : Avec les valeurs m = 4\text{ g} = 4 \times 10^{-3}\text{ kg}, v_0 = 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et q = 2{,}0 \times 10^{10}\text{ N}\cdot\text{m}^{-3/2} (établi à la question 13) :

Pour calculer la puissance 2/5, on élève d'abord au carré puis on prend la racine cinquième :

Sachant que 9^5 = 59\,049 \approx 62\,500, la racine cinquième vaut environ 9{,}1. On obtient ainsi :

En ordre de grandeur à un chiffre significatif :

D'après l'équation (5) définissant la force de Hertz, l'intensité maximale de la force de contact atteinte au cours du choc s'exprime par :

En utilisant la valeur de q déterminée à la question Q13 et le recouvrement maximal \delta_M estimé à la question Q14 :

Le calcul du terme \delta_M^{3/2} donne :

On en déduit :

Avec un chiffre significatif pour un ordre de grandeur :

D'après la question Q15, la force élastique de contact de Hertz maximale développée lors du choc est de l'ordre de :

L'énoncé indique que la force d'interaction magnétique maximale (au niveau du contact entre l'aimant et la première bille) est de l'ordre de :

On constate ainsi que :

De surcroît, la force magnétique d'interaction décroît extrêmement vite avec la distance au centre de l'aimant (en 1/x^7, puisque \mathcal{E}_0(x) \propto 1/x^6 d'après la question Q3). Elle devient donc quasi nulle dès la deuxième bille de la chaîne.

La description discrète de la chaîne par la suite des positions \{x_n(t)\} des centres des billes est acceptable sous deux conditions physiques équivalentes (l'une géométrique, l'autre temporelle) :

1. Condition de déformation localisée (géométrique) :
   Le recouvrement \delta_n entre deux billes successives doit être très faible devant le diamètre a d'une bille :

   \delta_n \ll a

   Les déformations élastiques restent alors infinitésimales et très localisées au voisinage immédiat des zones de contact. Le reste de la bille n'est pas déformé et se déplace en bloc, autorisant ainsi l'assimilation de chaque bille à un solide indéformable de masse m, repéré par l'abscisse de son centre de masse x_n(t).

2. Condition quasi-statique (temporelle) :
   Le temps caractéristique de transit d'une onde élastique volumique au travers d'une bille, \tau_{\text{transit}} \sim a / c_{\text{son}}, doit être très court devant la durée caractéristique \tau de la sollicitation mécanique (temps de passage de l'onde ou durée du contact) :

   \tau_{\text{transit}} \sim \frac{a}{c_{\text{son}}} \ll \tau

   Cette condition assure que les déformations internes s'adaptent instantanément à l'échelle de la bille sans exciter de modes propres de vibration volumique internes.

Considérons la n-ième bille (avec 1 < n < N), de masse m, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Conformément aux hypothèses de l'énoncé, la bille est animée d'un mouvement de translation pure selon l'axe horizontal (Ox) et aucun contact n'est rompu.

Les forces appliquées à cette bille sont :

• son poids et la réaction normale du rail de guidage, qui s'équilibrent selon la verticale ;

• la force de contact exercée par la bille (n-1) : d'après la relation (5),

  \vec{F}_{n-1/n} = q \, \delta_n^{3/2} \, \vec{e}_x

• la force de contact exercée par la bille (n+1) : d'après la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques),

  \vec{F}_{n+1/n} = -\vec{F}_{n/n+1} = -q \, \delta_{n+1}^{3/2} \, \vec{e}_x

Les positions des centres des billes s'écrivent x_k(t) = k a + u_k(t). Les recouvrements \delta_n et \delta_{n+1} valent ainsi :

La seconde loi de Newton appliquée à la bille (n) projetée sur \vec{e}_x s'écrit alors :

En multipliant cette équation par \frac{a^{1/2}}{m} et en utilisant la relation K = q a^{1/2}, on obtient :

Par identification avec l'équation (6) de l'énoncé, on a :

Dans la chaîne de billes, les positions des centres à l'équilibre valent x_n^0 = na. En présence de l'onde, la position du centre de la bille (n) s'écrit :

Le recouvrement \delta_{n+1} entre les billes (n) et (n+1) est défini selon l'équation (5) par :

D'après l'énoncé, aucun contact entre les billes n'est rompu lors de la propagation de l'onde. Les billes subissent des forces de répulsion élastique de Hertz, ce qui impose que le recouvrement reste positif ou nul :

Dans le cadre de la description continue où le pas du réseau a est petit devant la longueur caractéristique de variation de la déformation, le déplacement discret s'identifie à la fonction continue u(x, t) évaluée en x = na :

Il s'ensuit que :

Comme a > 0 et \delta_{n+1} \ge 0, on en déduit que :

Dans le cadre de l'approximation des milieux continus, on pose x = x_n^0 = na et on note u = u(x,t). Les déplacements des billes voisines s'expriment à l'ordre deux en puissances de a :

Il vient ainsi pour les différences de déplacement :

D'après la question 19, on a -\frac{\partial u}{\partial x} > 0 (en supposant \frac{\partial u}{\partial x} \neq 0). On factorise par le terme principal a\left(-\frac{\partial u}{\partial x}\right) :

En utilisant le développement limité (1+\varepsilon)^{3/2} = 1 + \frac{3}{2}\varepsilon + \mathcal{O}(\varepsilon^2) avec \varepsilon = \pm \frac{a}{2} \frac{\partial^2 u/\partial x^2}{-\partial u/\partial x} = \mathcal{O}(a), on obtient :

En effectuant la soustraction, les termes d'ordre zéro en a s'annulent :

En reportant dans l'équation différentielle (6) avec \ddot{u}_n = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} :

Soit, en simplifiant par a^{1/2} :

On retrouve bien l'équation aux dérivées partielles (7) en posant :

Le paramètre c_0 a la dimension d'une vitesse :

En effet, \Omega_0 étant homogène à l'inverse d'un temps ([\Omega_0] = \mathrm{T^{-1}}) et a à une longueur ([a] = \mathrm{L}), a\Omega_0 est bien une vitesse. De plus, la déformation -\partial u/\partial x étant sans dimension, l'équation (7) est dimensionnellement identique à une équation d'onde classique.

Particularités de l'équation (7) comparée à celle de D'Alembert :

• Non-linéarité : l'équation contient le facteur non linéaire (-\partial u/\partial x)^{1/2}. Contrairement à l'équation de D'Alembert, le principe de superposition ne s'applique pas.
• Célérité dépendante de l'amplitude : on peut réécrire l'équation sous la forme \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c_{\mathrm{eff}}^2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} où la célérité locale c_{\mathrm{eff}} = c_0 \left(-\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{1/4} croît avec la compression. Les zones les plus comprimées se propagent plus vite, ce qui tend à raidir le front d'onde.
• Unilatéralité du contact : l'équation n'est définie que pour une compression (\partial u/\partial x \le 0). En cas de décohésion (\partial u/\partial x > 0), la force de contact s'annule, ce qui n'existe pas dans un milieu élastique continu standard régi par l'équation de D'Alembert.

La vitesse de phase v_\phi d'une onde est la vitesse de déplacement, dans la direction de propagation, d'une surface ou d'un point d'état vibratoire (ou de phase) constant. Pour une onde se propageant selon l'axe (Ox), elle correspond à la vitesse à laquelle se déplace un motif remarquable (crête, creux, plan d'onde) au cours du temps :

D'après le système d'équations (8), le champ de déplacement s'écrit sous la forme d'une onde progressive se propageant vers les x croissants :

Une condition de phase constante correspond à \theta = \text{cste}, soit :

En dérivant cette relation par rapport au temps, on identifie directement la vitesse de phase :

En introduisant l'expression de la célérité c donnée à l'équation (8), il vient :

D'après le résultat de la question précédente (Q21), la vitesse de phase s'écrit :

où le paramètre A > 0 mesure l'amplitude de la déformation maximale subie par le milieu (|\partial u / \partial x|_{\max} = A), à laquelle l'amplitude du déplacement u est proportionnelle.

On peut formuler trois commentaires physiques essentiels :

• Caractère non linéaire de l'onde : pour une onde élastique usuelle (régime linéaire régi par l'équation de D'Alembert), la célérité est indépendante de l'amplitude de la perturbation. Ici, la vitesse de phase dépend explicitement de l'amplitude A, ce qui découle directement de la non-linéarité de la loi de contact de Hertz. C'est une propriété emblématique des ondes solitaires (solitons).
• Croissance avec l'amplitude : la puissance étant positive (1/4 > 0), la vitesse de propagation croît avec l'amplitude : une impulsion plus intense (onde plus fortement compressive) se propage plus rapidement le long de la chaîne qu'une onde de faible amplitude.
• Faible sensibilité (loi en puissance 1/4) : la dépendance en A^{1/4} est très amortie par la racine quatrième. Ainsi, il faut multiplier l'amplitude par un facteur 2^4 = 16 pour simplement doubler la vitesse de propagation de l'onde.

Le déplacement u(x,t) ne dépend du temps et de l'espace que par l'intermédiaire de la variable \theta = \dfrac{x - c t}{L_0}. On en déduit :

On obtient ainsi la relation caractéristique d'une onde se propageant dans le sens des x croissants :

D'après l'équation (9), la dérivée spatiale s'écrit :

Il vient par conséquent :

À abscisse x fixée, la variable adimensionnée est \theta(t) = \dfrac{x - c t}{L_0}. Elle décroît de manière affine au cours du temps. L'intervalle de passage de la perturbation \theta \in [0, \pi] correspond donc à :

avec :

1. Évolution temporelle de la vitesse particulaire \dfrac{\partial u}{\partial t}(x, t) : D'après la question Q23 :

• pour t \le t_1, la bille est au repos avant l'arrivée du front d'onde : \dfrac{\partial u}{\partial t} = 0 ;
• pour t \in ]t_1, t_2[, la vitesse particulaire vaut \dfrac{\partial u}{\partial t} = c A \sin^4\theta \ge 0. Elle est strictement positive, présente un maximum d'amplitude c A à l'instant médian t_{\mathrm{m}} = \dfrac{t_1 + t_2}{2} = \dfrac{x - \frac{\pi}{2}L_0}{c} (où \theta = \frac{\pi}{2}), et tend vers zéro aux bornes avec une dérivée première et seconde nulles (profil très aplati aux extrémités grâce à la puissance 4) ;
• pour t \ge t_2, la perturbation est passée : \dfrac{\partial u}{\partial t} = 0.

2. Évolution temporelle du déplacement u(x, t) : Le déplacement s'obtient par intégration :

En choisissant l'état de repos initial comme référence (u_{\text{avant}} = 0) :

• pour t \le t_1, le déplacement est nul : u(x, t) = 0 ;
• pour t \in ]t_1, t_2[, \dfrac{\partial u}{\partial t} > 0 donc la fonction u(t) est strictement croissante. Elle part de 0 avec une tangente horizontale en t_1, atteint sa pente maximale en t_{\mathrm{m}} (point d'inflexion où u = \dfrac{\Delta u}{2} par symétrie), puis rejoint continûment sa valeur maximale en t_2 avec une tangente horizontale ;
• pour t \ge t_2, la vitesse étant nulle, le déplacement reste constant à sa valeur finale : u(x, t) = \Delta u.

À un instant t fixé, la coordonnée adimensionnée s'écrit :

Elle croît de 0 à \pi lorsque x varie de x_1 = ct à x_2 = ct + \pi L_0.

Vitesse particulaire \frac{\partial u}{\partial t}(x, t) : D'après la question précédente :

La fonction présente un pic positif symétrique (« en cloche ») de largeur \pi L_0, nul en dehors de [ct,\, ct + \pi L_0], avec un maximum valant cA atteint en x = ct + \frac{\pi}{2}L_0, et des raccords à dérivée nulle en x_1 et x_2.

Déplacement u(x, t) : Le front d'onde se propage vers les x croissants :

• En avant du soliton (x > ct + \pi L_0), le milieu n'a pas encore été atteint par la perturbation : u(x, t) = 0.
• À l'intérieur du soliton (ct \le x \le ct + \pi L_0), la dérivée spatiale est négative (\frac{\partial u}{\partial x} \le 0) : la fonction u(x, t) est strictement décroissante de u(ct, t) = \Delta u à u(ct + \pi L_0, t) = 0. La pente la plus forte (égale à -A) est atteinte au centre en x = ct + \frac{\pi}{2}L_0 où u = \frac{\Delta u}{2}.
• En arrière du soliton (x < ct), l'onde est déjà passée et a déplacé les billes de manière permanente : u(x, t) = \Delta u.

Les dérivées spatiales \frac{\partial u}{\partial x} = -A\sin^4\theta s'annulant en \theta = 0 et \theta = \pi, le profil de u présente des tangentes horizontales en x = ct et x = ct + \pi L_0.

D'après la question 17, la description discrète de la chaîne par les abscisses des centres de masse x_n(t) repose sur l'hypothèse que chaque bille se déplace globalement comme un solide indéformable, les déformations élastiques étant localisées au niveau des zones de contact quasi-statiques régies par la loi de Hertz. Pour cela, le temps caractéristique de la perturbation \tau doit être très supérieur au temps de propagation d'une onde élastique à travers une bille de diamètre a :

D'après les relations (8) et (9), le motif du soliton est localisé sur le domaine \theta \in [0, \pi] avec \theta = (x - ct)/L_0 et L_0 = \sqrt{5/2}\,a. L'extension spatiale du soliton vaut donc :

La durée caractéristique du passage du soliton s'écrit alors :

Or, la célérité du soliton s'écrit c = \sqrt{\frac{24}{5\pi}}\,A^{1/4} c_{\text{son}}. Puisque la déformation maximale reste très faible devant les dimensions macroscopiques (\delta_{\mathrm{M}}/a \sim 10^{-3}, d'où A \ll 1), on a c \ll c_{\text{son}} (la vitesse du soliton est de quelques centaines de mètres par seconde, alors que c_{\text{son}} = \sqrt{Y/\rho} \simeq 5 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Par conséquent :

Le temps d'interaction est suffisamment long pour que les ondes acoustiques internes effectuent de nombreux allers-retours au sein de chaque bille : l'état d'équilibre élastique local est instantanément atteint et le modèle de contact quasi-statique de Hertz s'applique.

Considérons une bille située à l'abscisse x. Au cours du temps, la bille est mise en mouvement lors du passage de l'onde solitaire :

La variable de phase est définie par :

Avant l'arrivée du soliton au point x (t < \frac{x - \pi L_0}{c}), on a \theta > \pi. Après son passage (t > \frac{x}{c}), on a \theta < 0. Le motif du soliton est non nul uniquement pour \theta \in [0, \pi]. D'après la question Q23, la vitesse particulaire dans cet intervalle s'écrit :

En effectuant le changement de variable, les bornes d'intégration temporelle [t_{\text{avant}}, t_{\text{après}}] deviennent [\pi, 0] :

En remplaçant L_0 = \sqrt{\frac{5}{2}}\,a (équation (8)) et la valeur de l'intégrale I = \frac{3\pi}{8} (équation (10)), on obtient :

D'après l'énoncé, la variation de position des billes après le passage du soliton s'identifie au recouvrement maximal subi lors du choc :

À la question Q14, nous avons établi l'expression du recouvrement maximal :

Pour expliciter le rapport m/q :

• la bille étant sphérique, homogène, de diamètre a et de masse volumique \rho, sa masse s'écrit :

  m = \rho V = \rho \, \frac{\pi a^3}{6}

• la constante de Hertz s'écrit, conformément à la question Q13 (avec un préfacteur unitaire) :

  q = Y a^{1/2}
• la célérité longitudinale du son est définie par c_{\text{son}} = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}, soit \frac{\rho}{Y} = \frac{1}{c_{\text{son}}^2}.

On en déduit l'expression du rapport m/q :

En injectant ce rapport dans l'expression de \delta_{\mathrm{M}} :

En élevant à la puissance 2/5, il vient :

D'après la question Q27, en omettant les préfacteurs numériques, la variation de position s'écrit :

D'après la question Q28, cette même grandeur s'exprime en fonction de v_0 et c_{\text{son}} sous la forme :

En identifiant ces deux expressions de \Delta u, on en déduit l'expression de l'amplitude adimensionnée A :

En injectant cette expression dans la loi d'échelle liant la célérité c du soliton à celle du son c_{\text{son}} (c \sim A^{1/4} c_{\text{son}}) :

soit :

Comparaison pratique : Pour une chaîne de billes en acier :

Dans les situations pratiques courantes de laboratoire ou de jeux de billes, la vitesse d'impact est typiquement v_0 \sim 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Ainsi :

Bien que la puissance 1/5 atténue cet écart :

on a toujours :

La perturbation solitaire se propage donc le long de la chaîne de billes à une vitesse nettement inférieure à la vitesse acoustique dans le matériau massif.

D'après la relation établie à la question Q29 (en omettant les préfacteurs numériques, conformément aux consignes) :

avec c_{\text{son}} = \sqrt{\dfrac{Y}{\rho}}, soit c_{\text{son}}^{4/5} = \left(c_{\text{son}}^2\right)^{2/5} = \left(\dfrac{Y}{\rho}\right)^{2/5}.

Calculons le rapport \dfrac{Y}{\rho} à partir des données de l'énoncé (Y = 200\text{ GPa} = 2 \times 10^{11}\text{ Pa} et \rho = 7800\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 7{,}8 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) :

En élevant à la puissance 2/5, et en remarquant que (10^5)^{2/5} = 10^2 :

Pour v_0 = 1\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on a v_0^{1/5} = 1\text{ m}^{1/5}\cdot\text{s}^{-1/5}. En utilisant la donnée numérique fournie \left(\dfrac{100}{0{,}39}\right)^{2/5} \simeq 9, il vient :

D'après les indications fournies par le texte, deux combustions successives ont lieu dans la flamme du chalumeau :

1. Combustion primaire (au cœur de la flamme) : L'acétylène subit une combustion incomplète en présence du dioxygène pur issu de la buse, formant du monoxyde de carbone et du dihydrogène :

   \boxed{\mathrm{C_2H_{2\,(g)}} + \mathrm{O_{2\,(g)}} = 2\,\mathrm{CO_{(g)}} + \mathrm{H_{2\,(g)}}}

   Cette équation correspond bien au rapport stœchiométrique équimolaire (1 mole de \mathrm{O_2} pour 1 mole de \mathrm{C_2H_2}) mentionné dans le texte pour obtenir la température maximale au cœur de la flamme.

2. Combustion secondaire (à la périphérie de la flamme) : Le monoxyde de carbone formé réagit avec le dioxygène de l'air ambiant pour donner du dioxyde de carbone :

   \boxed{\mathrm{CO_{(g)}} + \frac{1}{2}\,\mathrm{O_{2\,(g)}} = \mathrm{CO_{2\,(g)}}}

   ou, sous forme entière :

   2\,\mathrm{CO_{(g)}} + \mathrm{O_{2\,(g)}} = 2\,\mathrm{CO_{2\,(g)}}

Hypothèses utilisées :

• La transformation est adiabatique (Q = 0) et isobare (P = P^\circ = \text{cste}), de sorte que \Delta H = Q_P = 0.
• La réaction est supposée totale. Le mélange initial étant stœchiométrique et équimolaire, la combustion de 1\text{ mol} de \mathrm{C_2H_{2\,(g)}} avec 1\text{ mol} de \mathrm{O_{2\,(g)}} produit 2\text{ mol} de \mathrm{CO_{(g)}} et 1\text{ mol} de \mathrm{H_{2\,(g)}}.
• Les gaz sont assimilés à des gaz parfaits.
• Les capacités thermiques molaires isobares C_{p,m}^\circ des espèces sont indépendantes de la température entre T_0 et T_f.
• La température initiale des réactifs est T_0 = 300\text{ K}.

D'après la question précédente, la réaction de combustion au cœur de la flamme s'écrit :

L'enthalpie standard de cette réaction à T_0 = 300\text{ K} est donnée par la loi de Hess :

Pour un système fermé constitué de 1\text{ mol} de \mathrm{C_2H_2} et 1\text{ mol} de \mathrm{O_2} à T_0, on décompose la transformation adiabatique réelle en deux étapes fictives :

1. Réaction totale à la température T_0 :

   \Delta H_1 = \xi_{\max} \Delta_r H^\circ(T_0) = 1\text{ mol} \times \Delta_r H^\circ(T_0)

2. Échauffement des produits de T_0 à la température finale T_f :

   \Delta H_2 = \int_{T_0}^{T_f} C_{p,\text{produits}}\,\mathrm{d}T = \left[ 2\,C_p^\circ(\mathrm{CO}) + C_p^\circ(\mathrm{H_2}) \right] (T_f - T_0)

La transformation étant adiabatique et isobare :

On en déduit l'élévation de température :

Calcul de la capacité thermique des produits formés :

Application numérique :

1. Hypothèses adoptées

• La transformation globale conduisant aux gaz à la périphérie est adiabatique et isobare (P = P^\circ = \text{cste}, donc \Delta H = 0).

• La réaction de combustion du monoxyde de carbone à la périphérie est totale :

  \mathrm{CO_{(g)}} + \frac{1}{2}\,\mathrm{O_{2\,(g)}} \longrightarrow \mathrm{CO_{2\,(g)}}
• L'air est modélisé par un mélange de composition molaire 20\,\% de \mathrm{O_2} et 80\,\% de \mathrm{N_2} (soit 4\text{ moles} de \mathrm{N_2} pour 1\text{ mole} de \mathrm{O_2}), initialement à la température ambiante T_0 = 300\text{ K}.
• D'après l'énoncé, l'apport d'air correspond exactement à la quantité stœchiométrique requise pour consommer quantitativement le \mathrm{CO} formé. Le dihydrogène \mathrm{H_2} issu du cœur ne réagit donc pas par manque d'oxydant et se comporte comme un gaz inerte récepteur de chaleur.
• Tous les gaz sont supposés parfaits et leurs capacités thermiques molaires C_{p,i}^\circ sont indépendantes de la température.

2. Bilan de matière à la périphérie (pour 1\text{ mol} de \mathrm{C_2H_2} consommé au cœur) La combustion au cœur a produit 2\text{ mol} de \mathrm{CO_{(g)}} et 1\text{ mol} de \mathrm{H_{2\,(g)}}. La combustion complète de ces 2\text{ mol} de \mathrm{CO_{(g)}} consomme 1\text{ mol} de \mathrm{O_{2\,(g)}}, ce qui correspond à l'admission d'air contenant :

Le mélange gazeux final à la périphérie est donc constitué de :

3. Bilan enthalpique global L'enthalpie étant une fonction d'état, on peut choisir un chemin fictif reliant l'ensemble des réactifs initiaux à T_0 (le mélange acétylène-dioxygène du chalumeau et l'air ambiant) aux produits finaux à la température T_{f,\text{périph}}. La transformation étant adiabatique et isobare :

L'enthalpie standard de la transformation globale s'écrit :

où \Delta_r H^\circ_2(T_0) est l'enthalpie standard de combustion de 2\text{ mol} de \mathrm{CO} :

D'après la question Q2, \Delta_r H^\circ_1(T_0) = -450\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}, d'où :

La capacité thermique molaire du mélange de produits vaut :

On en déduit l'élévation de température :

Soit une température finale :

En respectant deux chiffres significatifs :

La température théorique calculée (T_f \simeq 5\,300\text{ K}) surestime nettement la température réelle (T_{\text{réelle}} \simeq 3\,800\text{ K}). Ce désaccord provient de la remise en cause des hypothèses suivantes :

• Dissociation thermique des espèces chimiques (réaction non totale) : À des températures supérieures à 2\,500 - 3\,000\text{ K}, les liaisons chimiques se rompent partiellement sous l'effet de l'agitation thermique. Les produits de combustion (\mathrm{CO}, \mathrm{H_2}) et les intermédiaires subissent des équilibres de dissociation thermique (formation d'espèces radicalaires telles que \mathrm{H}^\bullet, \mathrm{O}^\bullet, \mathrm{OH}^\bullet, etc.) :

  \mathrm{H_{2\,(g)}} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{H^\bullet_{(g)}} \quad \text{ou} \quad \mathrm{CO_{(g)}} \rightleftharpoons \mathrm{C_{(s/g)}} + \mathrm{O^\bullet_{(g)}}

  Ces réactions de dissociation étant fortement endothermiques, elles absorbent une fraction majeure de l'énergie libérée par la combustion, ce qui plafonne la température de flamme.

• Absence de pertes thermiques (hypothèse adiabatique) : La flamme n'est pas un système isolé :

  • elle émet un rayonnement thermique très intense vers l'extérieur (selon la loi de Stefan-Boltzmann, la puissance rayonnée croît en T^4) ;
  • elle dissipe de la chaleur par convection et conduction avec l'air environnant et le corps métallique de la buse du chalumeau.
• Constance des capacités thermiques molaires C_p^\circ : Les données ont été supposées indépendantes de la température. En réalité, lorsque la température s'élève, les modes de vibration des molécules diatomiques (\mathrm{CO} et \mathrm{H_2}) sont activés, ce qui entraîne une augmentation notable de C_p^\circ(T). Pour une enthalpie de réaction donnée, une capacité thermique moyenne \overline{C_p^\circ} plus élevée conduit à une élévation de température \Delta T plus modérée.

L'énoncé précise explicitement que la température maximale de la flamme est atteinte pour un mélange équimolaire d'acétylène et de dioxygène, proportions stœchiométriques de la combustion au cœur de la flamme :

Lorsqu'on introduit un excès de combustible (\mathrm{C_2H_2}) ou de comburant (\mathrm{O_2}) :

• la quantité de chaleur libérée par la réaction reste limitée par le réactif en défaut ;
• le réactif en excès ne participe pas à cette réaction primaire et se comporte comme un « ballast thermique » (ou lest thermique) : il doit être échauffé de la température initiale T_0 jusqu'à la température finale de flamme T_f.

La capacité thermique molaire totale du mélange de sortie, \sum n_{i,\text{final}} C_{p,i}^\circ, est donc plus élevée qu'au dosage stœchiométrique. L'élévation de température :

est par conséquent plus faible.

L'intérêt de l'apport de carbone pour la solidité de la soudure repose sur la métallurgie des aciers :

• Formation et maintien de l'alliage d'insertion (acier) : L'acier est un alliage constitué d'une matrice de fer dans laquelle de petites quantités de carbone sont insérées dans les sites interstitiels du réseau cristallin. À haute température, sous l'action de la flamme, le carbone solide formé par la décomposition de l'acétylène selon la réaction (1) peut diffuser et se dissoudre dans le fer porté à haute température (ou en fusion).
• Amélioration des propriétés mécaniques (durcissement par insertion) : La présence d'atomes de carbone dans les sites interstitiels du fer induit des contraintes et des distorsions locales du réseau cristallin. Ces distorsions bloquent et freinent la mobilité des dislocations (phénomène de durcissement par solution solide d'insertion et ancrage des dislocations). De plus, lors du refroidissement, la précipitation de carbures (tels que la cémentite \mathrm{Fe_3C}) contribue également au renforcement de la matrice métallique. Cela augmente significativement la limite d'élasticité, la dureté et la résistance mécanique globale du cordon de soudure.
• Compensation de la décarburation : Aux températures très élevées de la soudure, le carbone initialement présent dans l'acier risque de s'oxyder au contact de traces d'oxygène pour former des gaz volatils (\mathrm{CO}, \mathrm{CO_2}), ce qui conduirait à une décarburation locale de l'acier et affaiblirait ses propriétés mécaniques. L'apport de carbone issu de la flamme réductrice compense ces pertes et préserve la composition nominale de l'acier au niveau du joint de soudure.

Pour la réaction de décomposition de l'acétylène :

l'enthalpie libre standard de réaction à la température T s'écrit :

La constante thermodynamique d'équilibre K est reliée à l'enthalpie libre standard par :

On en déduit l'expression de \ln K :

Calculons d'abord \Delta_{\mathrm{r}}G_{(1)}^\circ(298\text{ K}) avec \Delta_{\mathrm{r}}H_{(1)}^\circ = -228\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} et \Delta_{\mathrm{r}}S_{(1)}^\circ = -60\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

Avec la constante des gaz parfaits R \simeq 8{,}31\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

On obtient ainsi :

1. Effet de la température sur la position de l'équilibre

D'après la loi de van 't Hoff :

La réaction (1) étant exothermique (\Delta_{\mathrm{r}}H_{(1)}^\circ = -228\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} < 0), on a :

Une augmentation de température entraîne donc une diminution de la constante d'équilibre K. D'après le principe de modération de Le Chatelier, l'augmentation de température déplace l'équilibre dans le sens indirect (sens endothermique, reformation de \mathrm{C_2H_2}).

2. Effet de la pression sur la position de l'équilibre

En modélisant la phase gazeuse par un mélange de gaz parfaits et le carbone solide comme pur (a(\mathrm{C_{(s)}}) = 1), le quotient de réaction s'écrit :

La variation du nombre de moles de gaz est nulle :

Le quotient réactionnel Q_{\mathrm{r}} est donc strictement indépendant de la pression totale P. Par conséquent, une augmentation de pression n'a aucune influence sur la composition d'équilibre du système.

3. Explication de l'augmentation du risque d'explosivité

D'un point de vue thermodynamique, l'acétylène est instable à 298 K (\ln K \simeq 85, soit K \sim 10^{37}, réaction quasi-totale), mais il est cinétiquement métastable en raison d'une forte énergie d'activation liée à la rupture de liaisons (présence de la triple liaison \mathrm{C\equiv C}).

Le risque d'explosion est régi par des considérations cinétiques :

• Effet de la température : d'après la loi d'Arrhenius, la constante de vitesse k(T) = A \exp\left(-\frac{E_{\mathrm{a}}}{RT}\right) croît exponentiellement avec la température. Une élévation de T lève le blocage cinétique et accélère considérablement la vitesse de décomposition.
• Effet de la pression : une élévation de pression augmente la concentration molaire [\mathrm{C_2H_2}] = \frac{P}{RT}, augmentant ainsi la fréquence des chocs moléculaires et donc la vitesse de décomposition.
• Emballement thermique : la réaction étant très exothermique, la puissance thermique libérée par la décomposition dépasse rapidement la puissance évacuée par transfert thermique vers l'extérieur. L'auto-échauffement accélère la réaction de manière divergente, menant à l'explosion.

1. Changement d'hypothèse sur la transformation

Dans la sous-partie précédente, la flamme brûlait à l'air libre de manière isobare et adiabatique, ce qui imposait \Delta H = Q_p = 0.

Ici, la décomposition se produit dans une enceinte indéformable (V = \mathrm{cste}) et adiabatique (Q = 0). L'absence de travail des forces pressantes (W = 0) conduit, d'après le premier principe de la thermodynamique, à la conservation de l'énergie interne du système :

2. Détermination des grandeurs d'intérêt à partir des grandeurs tabulées

• Énergie interne standard de réaction \Delta_r U_{(1)}^\circ :
  Par définition, H = U + PV. En assimilant les gaz à des gaz parfaits et en négligeant le volume molaire des phases condensées devant celui des gaz, on a :

  \Delta_r H_{(1)}^\circ(T) = \Delta_r U_{(1)}^\circ(T) + \Delta \nu_g \, R T

  où \Delta \nu_g = \sum_i \nu_i^{\mathrm{gaz}} est la variation du nombre de moles de gaz pour la réaction :

  \mathrm{C_2H_{2\,(g)}} = 2\,\mathrm{C_{(s)}} + \mathrm{H_{2\,(g)}}

  On a \Delta \nu_g = 1 - 1 = 0, d'où :

  \Delta_r U_{(1)}^\circ(T_0) = \Delta_r H_{(1)}^\circ(T_0) = -228\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

• Capacités thermiques molaires à volume constant C_{v,m}^\circ des produits :

  • Pour le gaz \mathrm{H_2}, assimilé à un gaz parfait, on utilise la relation de Mayer :

    C_{v,m}^\circ(\mathrm{H_2}) = C_{p,m}^\circ(\mathrm{H_2}) - R

  • Pour la phase condensée \mathrm{C_{(s)}}, la dilatation thermique étant négligeable, on pose :

    C_{v,m}^\circ(\mathrm{C_{(s)}}) \simeq C_{p,m}^\circ(\mathrm{C_{(s)}})

3. Écriture du bilan d'énergie interne

En considérant la décomposition complète d'une mole de \mathrm{C_2H_2}, on décompose la transformation selon un chemin fictif à deux étapes :

1. Réaction totale isotherme à T_0 = 300\text{ K} : \Delta U_1 = \Delta_r U_{(1)}^\circ(T_0) ;

2. Échauffement isochore des produits (2\text{ mol} de \mathrm{C_{(s)}} et 1\text{ mol} de \mathrm{H_{2\,(g)}}) de T_0 à T_f :

   \Delta U_2 = \int_{T_0}^{T_f} \left[ 2\,C_{v,m}^\circ(\mathrm{C_{(s)}}) + C_{v,m}^\circ(\mathrm{H_2}) \right] \mathrm{d}T = C_{v,\mathrm{prod}} \, (T_f - T_0)

La condition \Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 0 donne alors :

Considérons une enceinte fermée de volume constant V contenant initialement n moles d'acétylène gazeux à la température T_i = 298\text{ K} sous la pression P_i = 2\text{ bar}. D'après le modèle du gaz parfait :

La réaction de décomposition s'écrit :

La réaction étant quasi-totale (K \gg 1), la décomposition de n moles de \mathrm{C_2H_2} produit n moles de dihydrogène gazeux \mathrm{H_2} et 2n moles de carbone solide \mathrm{C_{(s)}}.

Le volume molaire du carbone solide étant négligeable devant le volume de la phase gazeuse, le volume offert au gaz reste égal à V. De plus, la variation de quantité de matière gazeuse est nulle :

À l'état final, pour la température adiabatique T_f = 6300\text{ K}, la pression du gaz parfait s'écrit :

Le rapport des deux équations fournit immédiatement :

L'augmentation de pression subie par l'enceinte est alors :

Application numérique :

L'arc électrique repose sur l'ionisation du gaz présent entre l'électrode et la pièce à souder afin de créer des porteurs de charge (électrons et cations) assurant la conduction électrique.

L'analyse des données de l'annexe met en évidence deux aspects déterminants :

• Énergie réticulaire : La cohésion de l'oxyde de potassium est nettement plus faible que celle de la matrice de dioxyde de titane :

  |E_{\text{rét}}(\mathrm{K_2O})| = 2\,240\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} \ll |E_{\text{rét}}(\mathrm{TiO_2})| = 12\,150\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

  L'oxyde de potassium se décompose et se vaporise donc beaucoup plus aisément sous l'effet de l'échauffement, libérant des atomes de potassium dans l'espace interélectrode.

• Énergie de première ionisation : Le potassium, alcalin possédant un unique électron de valence sur la couche externe 4\mathrm{s}, présente une énergie de première ionisation particulièrement faible :

  E_{i,1}(\mathrm{K}) = 419\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}

  Cette valeur est très inférieure à celles du titane (619\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}), du fer (763\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}) et de l'oxygène (1\,314\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}).

Par conséquent, sous l'effet de la température ou du champ électrique appliqué, le potassium se transforme très facilement en plasma selon :

La présence d'oxyde de potassium permet d'abaisser le potentiel d'ionisation global du milieu gazeux. Elle garantit une forte densité électronique dès l'application de la tension, ce qui favorise l'amorçage rapide de l'arc électrique et assure sa stabilité lors du soudage.

1. Volume par atome dans le fer \alpha (cubique centré) :

La maille cubique centrée possède des atomes aux 8 sommets et 1 au centre de la maille. La population par maille vaut :

Le volume disponible par atome de fer dans la phase \alpha est donc :

2. Volume par atome dans le fer \gamma (cubique à faces centrées) :

La maille cubique à faces centrées comporte des atomes aux 8 sommets et au centre des 6 faces. La population par maille vaut :

Le volume disponible par atome de fer dans la phase \gamma est donc :

3. Conclusion sur l'apparition de craquelures :

On constate que v_\gamma < v_\alpha : la transition allotropique du fer \alpha vers le fer \gamma s'accompagne d'une contraction volumique (diminution du volume molaire d'environ 2 à 3\,\%, liée à la plus grande compacité de la structure CFC par rapport à la structure CC).

Au cours du soudage, la zone proche du cordon de soudure atteint une température supérieure à 912\ ^\circ\text{C} et subit cette contraction, tandis que les zones adjacentes plus froides demeurent sous forme de fer \alpha sans subir cette réduction de volume. Cette discontinuité dimensionnelle et l'empêchement du retrait par la matrice environnante engendrent de très fortes contraintes mécaniques de traction et de cisaillement à l'interface, ce qui peut dépasser la limite de rupture du matériau et provoquer l'apparition de craquelures (fissuration).

Lors de l'opération de soudage, la zone proche du cordon de soudure (zone affectée thermiquement) subit un cycle thermique particulièrement brutal : montée quasi-instantanée à haute température suivie d'un refroidissement très rapide (trempe) dû à l'évacuation de la chaleur par conduction vers la masse imposante et froide du reste de la pièce métallique.

Deux facteurs principaux expliquent la perte de cristallinité (désorganisation du réseau cristallin à longue distance) :

• Blocage cinétique de la diffusion (effet de trempe) : la restructuration d'un réseau cristallin stable et ordonné nécessite une réorganisation par diffusion atomique, phénomène thermiquement activé. Lors d'un refroidissement brutal, l'abaissement rapide de température fige la matière : les atomes de fer ne disposent pas du temps nécessaire pour diffuser et retrouver leurs positions d'équilibre dans un réseau périodique bien ordonné, favorisant ainsi des structures désordonnées, métastables ou à grains ultra-fins.
• Contraintes thermomécaniques et création massive de défauts : les gradients thermiques spatiaux intenses, conjugués à la variation volumique locale lors de la transformation allotropique réversible \alpha \rightleftharpoons \gamma (mise en évidence à la question 12), engendrent des contraintes mécaniques internes considérables, dépassant la limite d'élasticité du matériau. La relaxation de ces contraintes s'effectue par déformation plastique, générant une profusion de défauts réticulaires (dislocations, lacunes, empilements défectueux, multiplication de micro-joints de grains) qui détruisent l'ordre cristallin à longue distance.

1. Condition d'insertion :

Un atome étranger de rayon r_{\mathrm{H}} = 53\text{ pm} peut s'insérer dans un site interstitiel de rayon r_{\text{site}} avec une tolérance d'élargissement de 10\,\% si :

2. Sites interstitiels dans le fer \alpha (cubique centré) :

La maille CC comporte Z_\alpha = 2 atomes de fer. L'énoncé précise qu'elle contient 12 sites tétraédriques de rayon :

Ces 12 sites tétraédriques sont donc tous accessibles à l'hydrogène. Le nombre de sites d'insertion accessibles par atome de fer vaut :

3. Sites interstitiels dans le fer \gamma (cubique faces centrées) :

La maille CFC comporte Z_\gamma = 4 atomes de fer et deux types de sites interstitiels :

• Sites octaédriques : situés au centre de la maille et au milieu des 12 arêtes, soit 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 4 sites par maille. Le long d'une arête de longueur a_\gamma = 356\text{ pm} :

  2r_{\mathrm{Fe}} + 2r_{\text{oct}} = a_\gamma \implies r_{\text{oct}} = \frac{a_\gamma}{2} - r_{\mathrm{Fe}} = \frac{356}{2} - 127 = 51\text{ pm}

  Comme 51\text{ pm} > 48{,}2\text{ pm}, les sites octaédriques sont accessibles.

• Sites tétraédriques : au nombre de 8 par maille (centres des 8 petits cubes d'arête a_\gamma/2). La distance entre le sommet et le centre du site vaut \frac{a_\gamma \sqrt{3}}{4} :

  r_{\mathrm{Fe}} + r_{\text{tet}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_\gamma \implies r_{\text{tet}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_\gamma - r_{\mathrm{Fe}}

  En utilisant l'approximation numérique fournie \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0{,}4 :

  r_{\text{tet}} \approx 0{,}4 \times 356 - 127 = 142{,}4 - 127 \simeq 15\text{ pm}

  Ce rayon est très inférieur au seuil de 48{,}2\text{ pm} : les sites tétraédriques du fer \gamma ne peuvent absolument pas accueillir d'atome d'hydrogène.

Dans le fer \gamma, seuls les 4 sites octaédriques sont accessibles, ce qui donne :

4. Conclusion :

En comparant le nombre de sites accessibles par atome de fer :

Le réseau du fer \alpha offre une capacité d'accueil pour l'hydrogène six fois plus importante que celui du fer \gamma, ce qui montre que l'hydrogène y est bien plus soluble.

Considérons deux zones adjacentes de fer en phase \alpha à la même température T :

• la zone 1 (métal sain non affecté), sous une pression de référence P_1, de fraction molaire en hydrogène quasi-nulle (x_{\mathrm{H},1} \simeq 0) et donc x_{\mathrm{Fe},1} \simeq 1 ;
• la zone 2 (zone sous-jacente à la soudure), sous une pression P_2, enrichie en hydrogène de fraction molaire x_{\mathrm{H},2} = x_{\mathrm{H}} > 0, soit x_{\mathrm{Fe},2} = 1 - x_{\mathrm{H}}.

1. Approche thermodynamique (équilibre osmotique du réseau de fer)

Dans le cadre d'un modèle de solution solide où le fer joue le rôle de solvant, le potentiel chimique du fer s'écrit :

La dépendance en pression du potentiel chimique standard du fer pur s'obtient via le volume molaire V_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}} du fer en phase condensée (supposé incompressible) :

À l'équilibre mécanique et thermodynamique du réseau de fer à travers la frontière entre les deux zones, l'égalité des potentiels chimiques du fer impose :

Ce qui conduit à :

Pour une solution diluée (x_{\mathrm{H}} \ll 1), \ln(1 - x_{\mathrm{H}}) \simeq -x_{\mathrm{H}}, d'où la surpression \Delta P = P_2 - P_1 :

Comme x_{\mathrm{H}} > 0 et V_{\mathrm{m},\mathrm{Fe}} > 0, la zone sous-jacente enrichie en hydrogène est nécessairement soumise à une surpression par rapport au métal sain.

2. Interprétation mécanique et cristallographique

L'atome d'hydrogène possède un rayon atomique (r_{\mathrm{H}} = 53\text{ pm}) légèrement supérieur au rayon des sites tétraédriques du fer \alpha (r_{\mathrm{site}} = 51\text{ pm}). L'insertion en grand nombre d'atomes d'hydrogène entraîne une distorsion et une tendance à la dilatation volumique des mailles du fer \alpha.

Le métal sain environnant, non enrichi en hydrogène et rigide, s'oppose à cette dilatation libre : cette déformation contrariée engendre localement un champ de contraintes de compression triaxiale au sein de la zone sous-jacente, se traduisant macroscopiquement par une intense surpression mécanique.