Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie TSI 2020

Pour étudier le mouvement du palet, on choisit le référentiel terrestre, lié à la patinoire (ou au laboratoire), auquel le plan incliné est rigidement fixé.

La durée caractéristique de l'expérience (la phase de propulsion dure \Delta t = 0{,}5\text{ s}, et l'ensemble du mouvement quelques secondes) est extrêmement courte devant la période de rotation propre de la Terre sur elle-même :

Durant cet intervalle de temps, les effets liés à la rotation terrestre (forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis) sont totalement négligeables.

Le référentiel terrestre peut donc être considéré comme galiléen avec une excellente approximation.

Le système étudié est le palet, assimilé à son centre d'inertie G de masse m.

Durant la phase de propulsion, les frottements entre le palet et la glace étant supposés négligeables (\vec{R}_T = \vec{0}), le palet est soumis à trois forces extérieures :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, vertical et dirigé vers le bas ;
• la réaction normale de la glace \vec{R}_N = R_N\,\vec{u}_y, perpendiculaire au plan incliné et orientée vers le haut ;
• la force de propulsion exercée par la crosse \vec{F} = F\,\vec{u}_x, parallèle au plan incliné et orientée selon la ligne de plus grande pente vers le haut.

On applique le principe fondamental de la dynamique au palet de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

En projetant cette relation vectorielle sur l'axe (Ox) orienté selon la ligne de plus grande pente vers le haut :

où a désigne l'accélération du palet selon l'axe (Ox).

On en déduit immédiatement l'expression de l'intensité de la force de propulsion F :

Le mouvement étant rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale (v(0) = 0), la vitesse à l'instant t s'écrit :

À la fin de la phase de propulsion, pour t = \Delta t = 0{,}5\text{ s}, le palet atteint la vitesse du record du monde v_1 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

D'après la relation établie à la question Q3, l'intensité de la force de propulsion exercée par le joueur s'écrit :

Application numérique :

• m = 160\text{ g} = 0{,}160\text{ kg} ;
• a = 100\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \sin(20^\circ) \cong 0{,}34 (aide au calcul).

On obtient :

En ne conservant que deux chiffres significatifs en accord avec les données :

Dans cette deuxième phase, le palet n'est plus en contact avec la crosse et les frottements restent négligés. Le système {palet} n'est soumis qu'à deux forces :

• le poids \vec{P} = m\vec{g}, dirigé verticalement vers le bas ;
• la réaction normale de la glace \vec{R}_N = R_N\,\vec{u}_y, orthogonale au plan incliné et orientée vers le haut.

Le vecteur vitesse du centre d'inertie s'écrit \vec{v} = \dot{x}\,\vec{u}_x avec \dot{x} > 0 lors de la montée. Étudions la puissance de chaque force :

• Réaction normale \vec{R}_N :
  \vec{R}_N est orthogonale à chaque instant au déplacement (\vec{R}_N \cdot \vec{v} = 0). Son travail est nul : cette force est sans effet sur le mouvement (elle n'accélère ni ne freine le palet).

• Poids \vec{P} :
  En projetant le poids dans la base (\vec{u}_x, \vec{u}_y), on a \vec{P} = -mg\sin\alpha\,\vec{u}_x - mg\cos\alpha\,\vec{u}_y. La puissance développée vaut :

  \mathcal{P}(\vec{P}) = \vec{P}\cdot\vec{v} = -mg\dot{x}\sin\alpha < 0

  Le travail du poids est strictement négatif lors de la montée : le poids a un caractère résistant.

On étudie le palet de masse m assimilé à son centre d'inertie G, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Dans cette deuxième phase, le palet n'est plus en contact avec la crosse (\vec{F} = \vec{0}) et les frottements restent négligés (\vec{R}_T = \vec{0}). Les forces appliquées sont le poids \vec{P} et la réaction normale de la glace \vec{R}_N.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur l'axe (Ox) orienté vers le haut de la pente, avec P_x = -mg\sin\alpha et R_{N,x} = 0, on obtient :

Le mouvement est rectiligne uniformément décéléré selon (Ox). En intégrant une première fois par rapport au temps :

À l'instant initial de cette deuxième phase (t=0), la vitesse est \dot{x}(0) = v_0, d'où C_1 = v_0 :

En intégrant une seconde fois :

En choisissant l'origine des positions à l'endroit où commence cette deuxième phase, soit x(0) = 0, la constante d'intégration vaut C_2 = 0. On en déduit l'expression du déplacement :

Méthode cinématique :

D'après la question précédente, la vitesse et la position du palet selon l'axe (Ox) au cours de la deuxième phase sont données par :

Le palet s'arrête à un instant noté t_a tel que sa vitesse s'annule :

La distance d parcourue avant l'arrêt correspond à la position x(t_a) :

On obtient bien :

Application numérique : avec v_0 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \sin(20^\circ) \cong 0{,}34 :

Non, les forces de frottement ne sont pas des forces conservatives : ce sont des forces dissipatives (ou non conservatives).

En effet :

• le travail d'une force de frottement dépend du chemin suivi reliant deux points donnés (il n'est pas nul sur une boucle fermée, mais au contraire strictement résistant) ;
• une force de frottement ne dérive d'aucune énergie potentielle ;
• au cours d'un glissement, la force de frottement dissipe l'énergie mécanique du système sous forme d'énergie thermique.

Le mouvement a lieu sur une surface horizontale. Choisissons un axe horizontal (Ox) dirigé dans le sens du déplacement du palet, de vecteur unitaire \vec{u}_x, et un axe vertical ascendant (Oy) de vecteur unitaire \vec{u}_y.

Le palet étant en glissement selon (Ox), la composante normale de la réaction du support est :

Le mouvement s'effectuant uniquement le long de l'axe horizontal, la projection du principe fondamental de la dynamique sur l'axe (Oy) donne :

D'après les lois de Coulomb (document 1), le palet étant en phase de glissement sur la glace, la norme de la composante tangentielle vaut :

La force de frottement s'opposant au glissement, son vecteur s'écrit :

Lors d'un déplacement d'une distance d dans le sens de \vec{u}_x, le vecteur déplacement est \vec{\Delta r} = d\,\vec{u}_x. Comme \vec{R}_T est constant au cours du mouvement, le travail s'écrit :

On applique le théorème de l'énergie cinétique au palet de masse m, modélisé par un point matériel, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, entre l'instant initial (vitesse v_0 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et l'instant d'arrêt (vitesse nulle) :

Sur un plan horizontal, le poids \vec{P} et la réaction normale \vec{R}_N sont perpendiculaires au déplacement rectiligne, donc leurs travaux sont nuls :

D'après le résultat de la question Q9, le travail de la force de frottement dynamique s'écrit :

Le théorème de l'énergie cinétique donne ainsi :

Application numérique :

D'après le texte introductif, la patinoire mesure L = 60\text{ m} de long. Le nombre de longueurs de patinoire que le palet pourrait parcourir avant de s'arrêter est :

1. Énoncé du théorème du moment cinétique :

Dans un référentiel galiléen, pour un solide indéformable en rotation autour d'un axe fixe \Delta = (Oz) orienté par le vecteur unitaire \vec{u}_z, le théorème du moment cinétique scalaire s'écrit :

où L_{\Delta} = J \dot{\theta} est le moment cinétique du solide par rapport à l'axe \Delta, J son moment d'inertie par rapport à cet axe et \sum \mathcal{M}_{\Delta}\big(\vec{F}_{\text{ext}}\big) la somme des moments scalaires des forces extérieures appliquées au solide par rapport à l'axe \Delta.

2. Bilan des actions extérieures appliquées à la crosse : On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le système étudié est la crosse de masse M.

• Action de la liaison pivot en O : la liaison étant supposée parfaite, elle n'exerce aucun couple résistant selon l'axe (Oz), d'où :

  \mathcal{M}_{\Delta}\big(\vec{R}_O\big) = 0
• Frottements de l'air : négligés d'après l'énoncé.

• Poids de la crosse : \vec{P} = M\vec{g} = M g \vec{u}_x (l'axe (Ox) étant orienté selon la verticale descendante), appliqué au centre d'inertie G.

  Le vecteur position du centre d'inertie s'écrit :

  \vec{OG} = h\cos\theta\,\vec{u}_x + h\sin\theta\,\vec{u}_y

  Le moment du poids par rapport au point O est donné par :

  \begin{aligned} \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P}) &= \vec{OG} \wedge \vec{P} \\ &= (h\cos\theta\,\vec{u}_x + h\sin\theta\,\vec{u}_y) \wedge (Mg\,\vec{u}_x) \\ &= - Mgh\sin\theta\,(\vec{u}_x \wedge \vec{u}_y) \\ &= - Mgh\sin\theta\,\vec{u}_z \end{aligned}

  puisque \vec{u}_x \wedge \vec{u}_y = \vec{u}_z. Le moment scalaire par rapport à l'axe (Oz) vaut donc :

  \mathcal{M}_{\Delta}(\vec{P}) = \vec{\mathcal{M}}_O(\vec{P})\cdot \vec{u}_z = - Mgh\sin\theta

3. Équation différentielle du mouvement :

En appliquant le théorème du moment cinétique scalaire selon l'axe (Oz) :

ce qui conduit immédiatement à la forme demandée :

La position d'équilibre stable de la crosse correspond à la verticale descendante, soit \theta_{\text{éq}} = 0.

Dans le cadre de l'approximation des petites oscillations (|\theta| \ll 1\text{ rad}), on réalise un développement limité à l'ordre 1 :

En injectant cette approximation dans l'équation (1), J\ddot{\theta} + Mgh\sin\theta = 0, on obtient l'équation différentielle linéaire du mouvement, notée (2) :

que l'on peut également écrire sous la forme canonique de l'oscillateur harmonique :

D'après l'équation (2) établie à la question Q12, le mouvement de la crosse pour des oscillations de faible amplitude est régi par l'équation d'un oscillateur harmonique :

La pulsation propre du mouvement s'écrit donc :

La période T_0 des petites oscillations s'en déduit directement par la relation T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} :

L'équation différentielle (1) établie à la question Q11 s'écrit :

Multiplions cette relation par \dot{\theta} :

En reconnaissant des dérivées par rapport au temps :

L'équation se met donc sous la forme d'une dérivée temporelle nulle :

Par intégration par rapport au temps t, on obtient une intégrale première du mouvement, notée (3) :

Remarque : On peut également écrire cette relation sous la forme :

en choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur à la position d'équilibre stable (\theta = 0).

D'après la question Q14, l'intégrale première du mouvement s'écrit :

1. Interprétation énergétique des différents termes :

• Le terme \dfrac{1}{2}J\dot{\theta}^2 représente l'énergie cinétique E_c du solide en rotation autour de l'axe fixe (Oz) avec la vitesse angulaire \dot{\theta}.

• Le terme -Mgh\cos\theta représente l'énergie potentielle de pesanteur E_{pp} de la crosse (à une constante additive près). En effet, en repérant l'altitude z selon un axe vertical ascendant avec l'origine en O, le centre d'inertie G a pour altitude z_G = -h\cos\theta, soit :

  E_{pp} = M g z_G = -Mgh\cos\theta

• L'équation (3) traduit ainsi la conservation de l'énergie mécanique totale de la crosse :

  E_m = E_c + E_{pp} = \text{cte}

  Cette conservation est conforme aux hypothèses : la liaison pivot en O est parfaite et les frottements de l'air sont négligés, le système est donc conservatif.

2. Vérification de l'homogénéité dans le Système International d'unités (SI) :

Dans le SI, une énergie E a pour unité dérivée le joule (\text{J}). À partir de l'expression du travail d'une force (W = F \cdot d) et du principe fondamental de la dynamique (F = m a), sa dimension s'écrit :

L'unité SI de base d'une énergie est donc le \mathbf{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}.

• Pour le premier terme \dfrac{1}{2}J\dot{\theta}^2 :

  • Le moment d'inertie J s'exprime en \text{kg}\cdot\text{m}^2 ([J] = [M]\cdot[L]^2) ;
  • La vitesse angulaire \dot{\theta} s'exprime en \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}, le radian étant sans dimension ([\dot{\theta}] = [T]^{-1}).

  Ainsi :

  \left[\frac{1}{2}J\dot{\theta}^2\right] = [M]\cdot[L]^2\cdot[T]^{-2} \implies \text{unité : } \mathbf{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}

• Pour le second terme Mgh\cos\theta :

  • La masse M s'exprime en \text{kg} ([M]) ;
  • L'accélération de pesanteur g s'exprime en \text{m}\cdot\text{s}^{-2} ([L]\cdot[T]^{-2}) ;
  • La distance h s'exprime en \text{m} ([L]) ;
  • Le cosinus est une grandeur adimensionnée.

  Ainsi :

  [Mgh\cos\theta] = [M]\cdot\left([L]\cdot[T]^{-2}\right)\cdot[L] = [M]\cdot[L]^2\cdot[T]^{-2} \implies \text{unité : } \mathbf{kg\cdot m^2\cdot s^{-2}}

D'après le portrait de phase de la figure 3, le mouvement est pendulaire (oscillatoire).

En effet :

• la trajectoire de phase reste localisée au voisinage de l'origine (0,0) : l'angle \theta reste borné entre une valeur minimale et une valeur maximale (il n'augmente ni ne diminue indéfiniment) ;
• la courbe coupe l'axe des abscisses (\dot{\theta} = 0), ce qui correspond à l'annulation de la vitesse angulaire aux points de rebroussement du mouvement ;
• dans un mouvement révolutif, le solide effectuerait des tours complets sans changer de sens de rotation, \dot{\theta} garderait un signe constant (sans s'annuler) et \theta croîtrait (ou décroîtrait) indéfiniment.

Au début de la partie II (et à la question Q11), le modèle reposait sur deux hypothèses simplificatrices :

• une liaison pivot en O supposée parfaite (absence de frottements mécaniques au niveau de l'axe) ;
• des frottements de l'air négligés.

Sous ces hypothèses conservatives, l'énergie mécanique se conserve (E_m = \text{cte}, question Q15), ce qui devrait conduire dans l'espace des phases (\theta, \dot{\theta}) à une trajectoire fermée (ellipse dans l'approximation des petites oscillations).

Or, l'observation du portrait de phase expérimental (figure 3) montre que :

• la trajectoire n'est pas une courbe fermée : elle forme une spirale qui converge vers le centre d'équilibre (0, 0) ;
• les amplitudes angulaire \theta_{\max} et de vitesse angulaire \dot{\theta}_{\max} diminuent à chaque oscillation.

Cela traduit une dissipation continue d'énergie mécanique au cours du temps.

Pour rendre compte des frottements (frottement visqueux de l'air ou frottement dans la liaison pivot), il faut introduire dans l'équation différentielle du mouvement un couple résistant s'opposant à la vitesse angulaire, classiquement modélisé sous la forme d'un terme proportionnel à \dot{\theta} :

C'est cette modification de l'équation (1) qui permet d'obtenir le portrait de phase de la figure 3.

Concernant l'évolution du tracé au cours du temps :

• Le point représentatif (\theta(t), \dot{\theta}(t)) parcourt la trajectoire dans le sens horaire, puisque \theta croît quand \dot{\theta} > 0 (demi-plan supérieur, \dot{\theta} > 0 \implies \text{déplacement vers la droite}) et décroît quand \dot{\theta} < 0 (demi-plan inférieur, \dot{\theta} < 0 \implies \text{déplacement vers la gauche}).
• En raison de la dissipation continue d'énergie mécanique, l'amplitude des oscillations diminue : la trajectoire s'enroule en une spirale convergeant vers l'origine (\theta = 0, \dot{\theta} = 0), qui constitue un point d'équilibre stable (puits ou foyer attracteur).