Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2024 (page 2/3 : Partie II)

On étudie le système \Sigma_1 (les dix wagons et leur chargement, de masse totale M_{\mathrm{c}}) dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni d'un repère d'espace (O, \vec{u}_x, \vec{u}_z) où \vec{u}_x est le vecteur unitaire horizontal colinéaire à l'accélération \vec{a}_0 = a_0 \, \vec{u}_x et \vec{u}_z est le vecteur unitaire vertical ascendant.

Le système \Sigma_1 est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :

• son poids : \vec{P}_1 = - M_{\mathrm{c}} g \, \vec{u}_z ;
• l'action normale résultante exercée par les rails sur l'ensemble des roues des wagons, notée \vec{N}_{r/1} = N_{r/1} \, \vec{u}_z (la composante tangentielle est nulle car les roues sont supposées de masse négligeable) ;
• la force de traction horizontale exercée par la locomotive \Sigma_2 : \vec{F}_{\Sigma_2/\Sigma_1} = F_{\Sigma_2/\Sigma_1} \, \vec{u}_x.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système \Sigma_1 s'écrit :

En projetant sur l'axe horizontal (\vec{u}_x), on obtient :

On étudie le système \Sigma_2 constitué de la locomotive de Trevithick, de masse M_\ell, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base orthonormée directe (\vec{u}_x, \vec{u}_z) où \vec{u}_x est horizontal orienté dans le sens de la marche (et de l'accélération \vec{a}_0 = a_0 \vec{u}_x) et \vec{u}_z est vertical ascendant.

Le système \Sigma_2 est soumis aux actions extérieures suivantes :

• Son poids :

  \vec{P}_2 = - M_\ell g \, \vec{u}_z

  appliqué au centre d'inertie G_2 de la locomotive ;

• L'action exercée par les wagons \Sigma_1 sur la locomotive \Sigma_2 au niveau de l'attelage. D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) et le résultat de la question Q19 :

  \vec{F}_{\Sigma_1/\Sigma_2} = - \vec{F}_{\Sigma_2/\Sigma_1} = - M_{\mathrm{c}} \vec{a}_0 = - M_{\mathrm{c}} a_0 \, \vec{u}_x

  Cette force est horizontale et orientée vers l'arrière (-\vec{u}_x) ;

• Les actions de contact rail-roue exercées sur chacune des quatre roues motrices i \in \{1, 2, 3, 4\} au point de contact I_i :

  \vec{F}_{r/2, i} = \vec{N}_{r/2, i} + \vec{T}_{r/2, i}

  où la réaction normale \vec{N}_{r/2, i} est verticale ascendante (+\vec{u}_z) et la composante tangentielle \vec{T}_{r/2, i} est motrice, donc orientée vers l'avant (+\vec{u}_x) pour propulser l'ensemble vers l'avant sans glissement.

Sur le schéma de profil ci-dessous, la locomotive est représentée avec ses deux essieux visibles (chacun regroupant deux roues) et les actions de contact sont représentées au niveau des roues.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au système \Sigma_2 (la locomotive, de masse M_\ell) dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

Les forces normales \vec{N}_{r/2}^{(i)} ainsi que le poids M_\ell \, \vec{g} sont strictement verticaux. Par symétrie et selon l'énoncé, les quatre roues motrices sont soumises à la même force tangentielle \vec{T}_{r/2}.

En projetant cette relation sur l'axe horizontal Ox orienté dans le sens du mouvement, et en utilisant la troisième loi de Newton \vec{F}_{\Sigma_1/\Sigma_2} = -\vec{F}_{\Sigma_2/\Sigma_1} = -M_{\mathrm{c}} \, \vec{a}_0 établie à la question Q20 :

On en déduit immédiatement :

soit :

Puisque le train démarre avec une accélération non nulle (\vec{a}_0 \neq \vec{0}) et que la masse totale du convoi M_\ell + M_{\mathrm{c}} est strictement positive, la composante tangentielle \vec{T}_{r/2} est nécessairement non nulle.

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la locomotive \Sigma_2 dans le référentiel terrestre galiléen. En projection sur la verticale ascendante \vec{u}_y, le mouvement étant purement horizontal (accélération verticale nulle) et l'action de l'attelage \vec{F}_{\Sigma_1/\Sigma_2} étant horizontale :

D'après la question Q21, la composante tangentielle sur chacune des quatre roues motrices s'écrit :

En utilisant la condition imposée par l'énoncé, \|\vec{T}_{r/2}\| = 0{,}1 f_a \|\vec{N}_{r/2}\|, il vient :

Le démarrage s'effectuant à accélération constante a_0 depuis l'arrêt (v(0) = 0), la vitesse à l'instant t est v(t) = a_0 t. Le temps \Delta t nécessaire pour atteindre la vitesse de croisière v_0 s'exprime donc par :

Application numérique :

• v_0 = 8\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{8}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 2{,}22\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• M_\ell = 1\text{ t} = 1{,}0 \times 10^3\text{ kg}
• M_{\mathrm{c}} = 10\text{ t} = 1{,}0 \times 10^4\text{ kg}, soit M_\ell + M_{\mathrm{c}} = 11\text{ t}
• f_a = 0{,}12
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

On calcule d'abord l'accélération :

Puis la durée nécessaire :

Soit O le centre du cercle \mathcal{C} et R_{\mathcal{C}} son rayon. Les deux tronçons rectilignes A_0A et BB_0 se raccordent tangentiellement au cercle \mathcal{C} respectivement en A et en B. Par conséquent, les rayons [OA] et [OB] sont perpendiculaires aux tangentes en ces points :

Notons S le point d'intersection des deux droites (A_0A) et (BB_0) (matérialisé par les pointillés sur la figure 4). L'angle formé par les deux tronçons est l'angle obtus \widehat{ASB} = 120^\circ.

Dans le quadrilatère convexe OASB, la somme des angles vaut 360^\circ :

Sachant que \widehat{OAS} = \widehat{SBO} = 90^\circ, il vient pour l'angle au centre \theta = \widehat{AOB} :

Le triangle OAB est isocèle en O puisque OA = OB = R_{\mathcal{C}}. Possédant un angle au sommet \widehat{AOB} = 60^\circ, il est donc équilatéral.

La distance en ligne droite entre A et B étant notée d_{AB} = AB, on en déduit directement :

De manière générale, pour un angle quelconque \alpha entre les deux tronçons, l'angle au centre vaut \theta = 180^\circ - \alpha, et la relation trigonométrique dans le triangle isocèle donne d_{AB} = 2 R_{\mathcal{C}} \sin(\theta / 2), soit R_{\mathcal{C}} = \frac{d_{AB}}{2\sin(30^\circ)} = d_{AB}.

Dans la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n) associée à la trajectoire, l'accélération d'un point matériel se décompose selon :

où R est le rayon de courbure local de la trajectoire et v(t) = V_0 est la vitesse scalaire, constante sur tout le trajet (\mathrm{d}v/\mathrm{d}t = 0).

Le mouvement se décompose en trois phases :

• Pour t \in [0, t_A[, le train circule sur le tronçon rectiligne A_0A : le rayon de courbure est infini (R \to \infty). L'accélération est donc identiquement nulle :

  \|\vec{a}(t)\| = 0

• Pour t \in ]t_A, t_B[, le train parcourt l'arc de cercle AB de rayon constant R_{\mathcal{C}} à la vitesse V_0. L'accélération est purement centripète :

  \vec{a}(t) = \frac{V_0^2}{R_{\mathcal{C}}} \, \vec{u}_n \implies \|\vec{a}(t)\| = a_{\mathcal{C}} = \frac{V_0^2}{R_{\mathcal{C}}}

• Pour t \in ]t_B, t_{\mathrm{f}}], le train circule sur le tronçon rectiligne BB_0 (R \to \infty) :

  \|\vec{a}(t)\| = 0

Les instants de transition s'écrivent :

où \mathcal{L}_{AB} = R_{\mathcal{C}} \frac{\pi}{3} est la longueur de l'arc circulaire (l'angle au centre étant \theta = 60^\circ = \pi/3\text{ rad}).

L'évolution de la norme de l'accélération est représentée ci-dessous :

D'après les questions Q23 et Q24, entre les points A et B, le mouvement est circulaire uniforme sur un arc de cercle de rayon R_{\mathcal{C}} = d_{AB} à la vitesse V_0. L'accélération est purement normale et a pour norme :

Convertissons les grandeurs dans le système international d'unités :

L'application numérique donne :

Dans le référentiel non galiléen lié au train en virage circulaire uniforme de rayon R_c = 4{,}0\text{ km} à la vitesse v = 287\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{287}{3{,}6}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \approx 79{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, la masse m_{\mathrm{p}} du pendule est soumise à :

• son poids : \vec{P} = m_{\mathrm{p}} \vec{g} (vertical descendant) ;
• la force d'inertie d'entraînement (centrifuge) : \vec{F}_{\mathrm{ie}} = m_{\mathrm{p}} \dfrac{v^2}{R_c} \vec{u}_{\mathrm{ext}} (horizontale, dirigée vers l'extérieur du virage) ;
• la tension du fil \vec{T}.

À l'équilibre, le fil s'aligne selon la direction du champ de pesanteur effectif \vec{g}_{\mathrm{eff}} = \vec{g} + \dfrac{v^2}{R_c}\vec{u}_{\mathrm{ext}}. L'angle \theta_0 entre \vec{g}_{\mathrm{eff}} et la verticale terrestre vérifie :

Numériquement :

1. Rail surélevé : Pour compenser la force centrifuge \vec{F}_{\mathrm{ie}} qui déporte les passagers vers l'extérieur du virage, le train doit être incliné vers l'intérieur. La composante du poids parallèle au plancher, P_\parallel = m_{\mathrm{p}} g \sin\alpha, est alors dirigée vers l'intérieur du virage et s'oppose à la force centrifuge. C'est donc le rail extérieur au virage qui est surélevé.

2. Estimation du dévers : Le segment noir matérialise la direction perpendiculaire au plancher du train (verticale lorsque le train est à plat). Sur la photographie de droite, le fil du pendule fait un angle résiduel \theta_{\mathrm{rel}} avec ce segment noir, mesuré à environ :

L'angle de dévers de la voie est donc :

La différence de hauteur entre les deux rails (le dévers) s'en déduit par h = E_{\mathrm{r}} \sin\alpha :

Le référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} a pour origine le centre de masse de la Terre et ses trois axes sont dirigés vers trois étoiles lointaines supposées fixes.

Le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{t}} est lié à la Terre solide.

Par conséquent, le référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{t}} est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} autour de l'axe des pôles (axe Sud-Nord géographique).

• Sens de rotation : de l'ouest vers l'est (sens direct lorsqu'on regarde le pôle Nord depuis l'espace).

• Période de rotation : le jour sidéral, de durée :

  T_{\text{sid}} \approx 23\text{ h } 56\text{ min } 4\text{ s} \approx 86\,164\text{ s}

• Vitesse angulaire de rotation :

  \Omega = \frac{2\pi}{T_{\text{sid}}} \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}

1. Bilan cinématique et force d'inertie de Coriolis

Le train circule de Paris (latitude 48{,}9^\circ\,\text{N}) vers Lyon (latitude 45{,}8^\circ\,\text{N}) le long d'une ligne méridienne nord-sud. Sa vitesse par rapport au référentiel terrestre \mathcal{R}_{\mathrm{t}} est donc orientée vers le sud :

où (\vec{u}_{\mathrm{E}}, \vec{u}_{\mathrm{N}}, \vec{u}_z) désigne la base locale orthonormée directe (Est, Nord, Verticale ascendante).

Le vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique \mathcal{R}_{\mathrm{g}} s'écrit dans cette base :

avec \Omega > 0 et la latitude \lambda > 0 dans l'hémisphère nord.

La force d'inertie de Coriolis subie par une masse m liée au train s'exprime par :

Comme \vec{u}_{\mathrm{N}} \wedge \vec{u}_z = \vec{u}_{\mathrm{E}}, on obtient :

où \vec{u}_{\mathrm{O}} = -\vec{u}_{\mathrm{E}} est le vecteur unitaire orienté vers l'ouest.

2. Identification du rail concerné

La force d'inertie de Coriolis est orientée horizontalement vers l'Ouest (vers la droite dans le sens de la marche du train). Elle plaque le boudin de la roue droite contre la face intérieure du rail droit.

Pour maintenir le train sur une trajectoire rectiligne, le rail situé à l'ouest doit compenser cette force en exerçant une force normale horizontale de réaction orientée vers l'Est.

3. Schéma des forces de contact

Plaçons-nous face au train (le train avance vers l'observateur, \odot vers le sud) :

• L'ouest (droite du train) se trouve à la gauche du schéma ;
• L'est (gauche du train) se trouve à la droite du schéma.

Les forces de contact exercées par les rails sur les roues dans le plan de coupe sont :

• Deux forces normales d'appui vertical \vec{N}_{\mathrm{v,1}} et \vec{N}_{\mathrm{v,2}}, dirigées vers le haut ;
• Une force normale horizontale \vec{N}_{\mathrm{h}} exercée par la face intérieure du rail ouest sur le boudin de la roue droite, dirigée vers l'est.

La loi de Preston-Archard modélise le volume V de matière arrachée par usure abrasive sous la forme :

L'analyse de chaque terme met en évidence des comportements physiques tout à fait intuitifs :

• Dépendance vis-à-vis de la distance de glissement d (V \propto d) : l'usure est proportionnelle à la distance parcourue avec frottement. Plus le glissement se prolonge, plus le travail des forces de frottement est important, ce qui conduit à un arrachement cumulatif accru de matière.
• Dépendance vis-à-vis de la force normale F_{\mathrm{n}} (V \propto F_{\mathrm{n}}) : l'effort presseur favorise l'interpénétration des aspérités microscopiques de la roue et du rail. Une augmentation de la charge normale accroît l'aire réelle de contact et les contraintes de cisaillement au niveau des micro-jonctions, facilitant ainsi leur rupture et la formation de débris.
• Dépendance vis-à-vis de la dureté H (V \propto 1/H) : la dureté mesure la résistance mécanique superficielle du matériau à la pénétration et à la déformation plastique locale. Un matériau plus dur s'oppose plus efficacement à l'abrasion par les aspérités antagonistes, ce qui réduit le volume de débris formés.
• Rôle du coefficient d'Archard k : ce préfacteur phénoménologique traduit la probabilité qu'a une aspérité en contact de se rompre pour engendrer une particule d'usure. Il synthétise l'effet de l'état de surface, de la lubrification éventuelle, de la température et de l'environnement chimique.

D'après la loi d'usure de Preston-Archard :

Déterminons la dimension de chacune des grandeurs :

• Le volume de matière usée : [V] = \mathrm{L}^3.
• La dureté H, dont l'unité est donnée dans l'énoncé en \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-2} : [H] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}^{-2}.
• La force normale F_{\mathrm{n}}, homogène à une masse multipliée par une accélération : [F_{\mathrm{n}}] = \mathrm{M}\cdot\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-2}.
• La distance de glissement : [d] = \mathrm{L}.

En effectuant le quotient des dimensions :

L'unité de k dans le Système International est donc le \mathrm{s}^2\cdot\mathrm{m}^{-1}.

D'après la loi de Preston-Archard établie à la question précédente :

En supposant la dureté H et le coefficient k identiques pour les deux zones de contact, le rapport des volumes de matière usée s'écrit :

1. Rapport des forces normales :

• Sur la face supérieure (table de roulement), les roues supportent le poids du train. En supposant une répartition équitable de la masse M entre les deux rails :

  F_{\mathrm{n,sup}} \approx \frac{1}{2} M g

• Sur la face intérieure du rail Ouest (question Q28), la force normale compense la force d'inertie de Coriolis F_{\mathrm{ie}} = 2 M V_0 \Omega \sin\lambda :

  F_{\mathrm{n,int}} \approx 2 M V_0 \Omega \sin\lambda

Le rapport des forces normales vaut donc :

Avec V_0 = 300\text{ km}\cdot\text{h}^{-1} = \frac{300}{3{,}6} \approx 83{,}3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \Omega \approx 7{,}29 \times 10^{-5}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, une latitude moyenne \lambda \approx 47^\circ (\sin\lambda \approx 0{,}73) et g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

La force normale sur la face intérieure est environ mille fois plus faible que sur la face supérieure.

2. Rapport des distances de glissement :

• Sur la face supérieure, le contact correspond macroscopiquement à un roulement sans glissement. Le glissement n'a lieu que par déformation élastique dans l'aire de contact (pseudo-glissement de contact de Carter-Reynolds), soit une distance de glissement d_{\mathrm{sup}} = \varepsilon D, avec un taux de glissement \varepsilon \sim 10^{-3}\text{ à } 10^{-2} sur la distance totale parcourue D.
• Sur la face intérieure, le contact entre le boudin de la roue et le flanc du rail s'effectue avec un glissement cinématique continu sur une distance d_{\mathrm{int}} \sim D (ou une fraction notable de D).

Ainsi, le rapport des distances de glissement est de l'ordre de :

3. Bilan comparatif et approximations :

• Si l'on fait l'approximation usuelle de premier niveau d_{\mathrm{int}} \approx d_{\mathrm{sup}}, l'usure de la face intérieure est négligeable devant celle de la face supérieure (V_{\mathrm{int}} \ll V_{\mathrm{sup}} d'un facteur 10^3).
• En tenant compte de la différence entre roulement avec micro-glissement (\varepsilon \ll 1) et frottement franc sur le boudin (d_{\mathrm{int}} \sim D), le facteur d_{\mathrm{int}}/d_{\mathrm{sup}} compense le faible rapport des forces normales : le volume usé V_{\mathrm{int}} est du même ordre de grandeur que V_{\mathrm{sup}}. De plus, l'aire de contact boudin-rail étant beaucoup plus étroite que celle de la table de roulement, l'usure linéaire (profondeur d'usure) sur la face intérieure est particulièrement marquée et asymétrique.

Approximations réalisées :

• Voie rectiligne et horizontale sans dévers, vitesse V_0 constante.
• Répartition égale du poids du train sur les deux rails.
• Guidage latéral assuré uniquement par le contact boudin-rail du rail Ouest soumis à la force de Coriolis.
• Identité des caractéristiques tribologiques (k et H) pour les deux surfaces en contact.