Feuille d'entraînement : Machines thermiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2024, Q1

   Le cycle se décompose en six étapes successives :

   • A_0 \to A : admission isobare à la pression atmosphérique P_A = P_{A_0} = P_{\mathrm{atm}}, le volume augmentant de V_{\min} à V_{\max} ;
   • A \to B : compression adiabatique réversible (loi de Laplace P V^\gamma = \text{cste}), le volume diminuant de V_{\max} à V_{\min} et la pression augmentant de P_{\mathrm{atm}} à P_B ;
   • B \to C : combustion isobare à la pression P_B = P_C, le volume augmentant de V_{\min} à V_C avec V_{\min} < V_C < V_{\max} ;
   • C \to D : détente adiabatique réversible (loi de Laplace P V^\gamma = \text{cste}), le volume augmentant de V_C à V_{\max} et la pression chutant de P_C à P_D ;
   • D \to A : refroidissement isochore à volume constant V_{\max}, la pression chutant brutalement de P_D à P_{\mathrm{atm}} ;
   • A \to A_0 : éjection isobare à la pression P_{\mathrm{atm}}, le volume diminuant de V_{\max} à V_{\min} (trajet confondu avec A_0 A, parcouru en sens inverse).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2024, Q3

   Le rendement thermodynamique \eta_D d'un moteur thermique est le rapport entre l'énergie mécanique utile fournie à l'extérieur, -W, et l'énergie thermique reçue par le fluide moteur lors de la combustion, Q_c = Q_{BC} :

   \eta_D = \frac{-W}{Q_{BC}}

   Les évolutions d'admission A_0 \to A et d'éjection A \to A_0 s'effectuant à la même pression P_{\mathrm{atm}}, leurs travaux se compensent exactement :

   W_{A_0A} + W_{AA_0} = -P_{\mathrm{atm}}(V_{\max} - V_{\min}) - P_{\mathrm{atm}}(V_{\min} - V_{\max}) = 0

   Il suffit donc d'étudier le cycle fermé A-B-C-D-A.

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur ce cycle :

   \Delta U_{\text{cycle}} = 0 = W + Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CD} + Q_{DA}

   Les transformations A \to B et C \to D étant adiabatiques (Q_{AB} = Q_{CD} = 0), le travail total fourni s'écrit :

   -W = Q_{BC} + Q_{DA}

   Le rendement prend donc la forme :

   \eta_D = 1 + \frac{Q_{DA}}{Q_{BC}}

   Calculons les transferts thermiques reçus par le gaz parfait :

   • pour la transformation isobare B \to C :

     Q_{BC} = \Delta H_{BC} = n\,C_{pm}(T_C - T_B) > 0

   • pour la transformation isochore D \to A :

     Q_{DA} = \Delta U_{DA} = n\,C_{vm}(T_A - T_D) = -n\,C_{vm}(T_D - T_A) < 0

   En remarquant que \dfrac{C_{vm}}{C_{pm}} = \dfrac{1}{\gamma}, on obtient :

   \boxed{\eta_D = 1 - \frac{T_D - T_A}{\gamma(T_C - T_B)}}

   Résultat

   $${\eta }_D=1-\frac{T_D-T_A}{\gamma (T_C-T_B)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique MP 2023, Q45

   Une machine frigorifique (\mathscr{S}) prélève de la chaleur à la source froide pour la transférer à la source chaude, ce qui nécessite un apport de travail de la part de l'extérieur :

   • La machine reçoit du travail du milieu extérieur : \delta W > 0 (sens réel de l'extérieur vers (\mathscr{S})) ;
   • La machine reçoit un transfert thermique de la source froide (eau de mer à la température instantanée T') : \delta Q_f > 0 (sens réel de l'eau vers (\mathscr{S})) ;
   • La machine cède un transfert thermique à la source chaude (atmosphère à la température \theta_c) : \delta Q_c < 0, soit un transfert réel -\delta Q_c = |\delta Q_c| > 0 de la machine vers l'atmosphère.

   Le schéma de principe avec les sens réels des transferts est représenté ci-dessous :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique MP 2023, Q46

   On applique le second principe de la thermodynamique au système constitué par le fluide de la machine (\mathscr{S}) entre les instants t et t + \mathrm{d}t.

   La durée d'un cycle étant très inférieure au temps caractéristique de refroidissement de l'eau, l'intervalle \mathrm{d}t correspond à la description d'un nombre entier de cycles au cours duquel la température T' de la mer peut être considérée comme constante.

   L'entropie S étant une fonction d'état, sa variation sur un nombre entier de cycles est nulle :

   \mathrm{d}S = 0

   Le bilan d'entropie s'écrit alors sous forme infinitésimale :

   \mathrm{d}S = \delta S_e + \delta S_c = 0

   où :

   • l'entropie échangée s'exprime à partir des températures des sources en contact :

     \delta S_e = \frac{\delta Q_f}{T'} + \frac{\delta Q_c}{\theta_c}

   • la machine fonctionnant de manière réversible, l'entropie créée est nulle :

     \delta S_c = 0

   On en déduit la relation de Clausius sous forme infinitésimale :

   \boxed{\frac{\delta Q_f}{T'} + \frac{\delta Q_c}{\theta_c} = 0}

   ou de manière équivalente :

   \delta Q_c = -\frac{\theta_c}{T'} \, \delta Q_f

   Résultat

   $$\frac{\delta Q_f}{T^{\prime }}+\frac{\delta Q_c}{{\theta }_c}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MP 2023, Q36

   Pour un cycle ditherme décrit par le fluide frigorigène, les premier et second principes s'écrivent :

   \begin{aligned} W + Q_C + Q_F &= 0 \\ \Delta S_{\mathrm{cycle}} = \frac{Q_C}{T_C} + \frac{Q_F}{T_F} + S_{\mathrm{cr}} &= 0 \end{aligned}

   Dans le cas d'un fonctionnement réversible (S_{\mathrm{cr}} = 0), on en déduit :

   Q_F = -\frac{T_F}{T_C}\,Q_C \implies W = -Q_C\left(1 - \frac{T_F}{T_C}\right) = -Q_C\,\frac{T_C - T_F}{T_C}

   L'efficacité thermodynamique (ou coefficient de performance) d'une pompe à chaleur est définie par le rapport entre la chaleur utile cédée à la source chaude (-Q_C > 0) et le travail électrique reçu (W > 0) :

   \mathrm{COP}_{\mathrm{rev}} = \frac{-Q_C}{W} = \frac{T_C}{T_C - T_F}

   Avec T_C = 70 + 273{,}15 = 343{,}15\text{ K} et T_F = 7 + 273{,}15 = 280{,}15\text{ K}, on a \Delta T = T_C - T_F = 63\text{ K} :

   \mathrm{COP}_{\mathrm{rev}} = \frac{343{,}15}{63} \approx 5{,}45

   \boxed{\mathrm{COP}_{\mathrm{rev}} \approx 5{,}45}

   D'après la documentation technique de la machine (figure D du document réponse), pour une température d'eau en sortie de 70\,^\circ\text{C} et une température extérieure de +7\,^\circ\text{C}, les valeurs constructeur sont :

   • En mode « priorité COP » : \mathrm{COP} = 1{,}76 ;
   • En mode « priorité puissance » : \mathrm{COP} = 1{,}80.

   Résultat

   $${\mathrm{COP}}_{\mathrm{rev}}\approx 5,45$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MP 2023, Q21

   Pour un moteur thermique opérant de façon cyclique, le but est de convertir de l'énergie thermique issue d'une source chaude en énergie mécanique.

   Le rendement \eta est défini comme le rapport sans dimension de l'énergie utile extraite au cours d'un cycle (le travail W) sur l'énergie thermique qu'il a fallu lui fournir (le transfert thermique Q cédé par la source chaude) :

   \boxed{\eta = \frac{W}{Q}}

   Avec les conventions de l'énoncé, W > 0 représente le travail extrait (fourni au milieu extérieur) et Q > 0 l'énergie thermique cédée par la source chaude au système.

   Résultat

   $$\eta =\frac{W}{Q}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique MP 2023, Q22

   Considérons le fluide décrivant un cycle au contact de deux thermostats aux températures T_1 (source chaude) et T_2 (source froide). Notons Q_2 le transfert thermique reçu par le fluide de la part de la source froide au cours d'un cycle. Le travail reçu par le fluide étant -W (avec W le travail extrait), le premier principe s'écrit sur un cycle :

   \Delta U = 0 \implies -W + Q + Q_2 = 0 \implies W = Q + Q_2

   Le second principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur ce même cycle conduit à :

   \Delta S = 0 \implies \frac{Q}{T_1} + \frac{Q_2}{T_2} + S_\text{c} = 0

   où S_\text{c} \geq 0 désigne l'entropie créée au cours du cycle due aux irréversibilités. On en déduit l'expression de Q_2 :

   Q_2 = - T_2 \left( \frac{Q}{T_1} + S_\text{c} \right)

   En reportant cette relation dans l'expression du travail extrait W, on obtient :

   W = Q \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right) - T_2 S_\text{c}

   Les températures absolues étant strictement positives, le travail extrait W est maximal lorsque le cycle est réversible, c'est-à-dire pour S_\text{c} = 0 :

   \boxed{W_{\max} = Q \left( 1 - \frac{T_2}{T_1} \right)}

   Le rendement maximal associé, noté \eta_0, est le rendement de Carnot d'un moteur ditherme :

   \boxed{\eta_0 = \frac{W_{\max}}{Q} = 1 - \frac{T_2}{T_1}}

   Résultat

   $$W_{\max }=Q\left(1-\frac{T_2}{T_1}\right)$$

   $${\eta }_0=\frac{W_{\max }}{Q}=1-\frac{T_2}{T_1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique MP 2023, Q27

   D'après la question Q24, la puissance moyenne extraite s'écrit pour T_2 \le T_3 \le T_1 :

   \mathcal{P}(T_3) = \frac{W}{\tau} = G_{\mathrm{th}} (T_1 - T_3) \left(1 - \frac{T_2}{T_3}\right)

   En développant cette expression, on obtient :

   \mathcal{P}(T_3) = G_{\mathrm{th}} \left( T_1 + T_2 - T_3 - \frac{T_1 T_2}{T_3} \right)

   La fonction \mathcal{P} est continûment dérivable par rapport à T_3 sur ]T_2, T_1[. Sa dérivée s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}T_3} = G_{\mathrm{th}} \left( -1 + \frac{T_1 T_2}{T_3^2} \right)

   La condition d'annulation \frac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}T_3} = 0 conduit à :

   T_3^2 = T_1 T_2

   Les températures étant strictement positives, l'unique solution est la moyenne géométrique des températures T_1 et T_2 :

   T_{3,\mathrm{opt}} = \sqrt{T_1 T_2}

   Puisque T_1 > T_2 > 0, on a bien T_2 < \sqrt{T_1 T_2} < T_1, de sorte que cette valeur appartient à l'intervalle physique considéré.

   De plus, la dérivée seconde :

   \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{P}}{\mathrm{d}T_3^2} = -\frac{2 G_{\mathrm{th}} T_1 T_2}{T_3^3} < 0

   est strictement négative sur tout l'intervalle, ce qui assure que cette valeur correspond bien au maximum absolu de la puissance.

   La valeur optimale de T_3 est donc :

   \boxed{T_{3,\mathrm{opt}} = \sqrt{T_1 T_2}}

   Résultat

   $$T_{3,\mathrm{opt}}=\sqrt{T_1{T}_2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MP 2021, Q14

   D'après la description des différentes étapes du cycle à quatre temps :

   • Admission A \to B : le mélange est admis dans la chambre lorsque le piston va du PMH au PMB. Le volume augmente de V_{\min} à V_{\max} sous la pression d'admission P_0.
   • Compression adiabatique réversible B \to C : les soupapes sont fermées, le volume diminue de V_{\max} à V_{\min}, la pression s'élève de P_B = P_0 à P_C.
   • Explosion / combustion isochore C \to D : le mélange s'enflamme instantanément à volume constant V_{\min}, la pression passe de P_C à son maximum P_D.
   • Détente adiabatique réversible D \to E : le gaz chaud repousse le piston jusqu'au PMB, le volume passe de V_{\min} à V_{\max} et la pression décroît de P_D à P_E.

   • Échappement :

     • ouverture de la soupape à volume constant V_{\max}, chute de pression isochore E \to B ;
     • refoulement des gaz brûlés B \to A à pression constante P_0 de V_{\max} à V_{\min}.

   Le cycle fermé décrit par le fluide moteur est le cycle B \to C \to D \to E \to B, parcouru dans le sens horaire (sens moteur).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2021, Q15

    Le gaz est modélisé par un gaz parfait de coefficient isentropique \gamma constant.

    Transformation \mathrm{B}\to\mathrm{C} : Il s'agit d'une compression adiabatique et réversible entre les volumes V_{\mathrm{B}} = V_{\max} et V_{\mathrm{C}} = V_{\min}. D'après la loi de Laplace :

    T_{\mathrm{B}} V_{\mathrm{B}}^{\gamma - 1} = T_{\mathrm{C}} V_{\mathrm{C}}^{\gamma - 1} \implies \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{B}}} = \left(\frac{V_{\mathrm{B}}}{V_{\mathrm{C}}}\right)^{\gamma - 1} = \left(\frac{V_{\max}}{V_{\min}}\right)^{\gamma - 1}

    Transformation \mathrm{D}\to\mathrm{E} : Il s'agit d'une détente adiabatique et réversible entre les volumes V_{\mathrm{D}} = V_{\min} et V_{\mathrm{E}} = V_{\max}. De même, la loi de Laplace s'écrit :

    T_{\mathrm{D}} V_{\mathrm{D}}^{\gamma - 1} = T_{\mathrm{E}} V_{\mathrm{E}}^{\gamma - 1} \implies \frac{T_{\mathrm{D}}}{T_{\mathrm{E}}} = \left(\frac{V_{\mathrm{E}}}{V_{\mathrm{D}}}\right)^{\gamma - 1} = \left(\frac{V_{\max}}{V_{\min}}\right)^{\gamma - 1}

    On en déduit :

    \boxed{\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{B}}} = \frac{T_{\mathrm{D}}}{T_{\mathrm{E}}} = a^{\gamma - 1}}

    Résultat

    $$\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{B}}}=\frac{T_{\mathrm{D}}}{T_{\mathrm{E}}}=a^{\gamma -1}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question