Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2023

L'énergie potentielle d'interaction de Morse est donnée par :

Dérivons cette fonction par rapport à la variable x :

À la position d'équilibre x_{\text{éq}}, la force dérivant de l'énergie potentielle s'annule :

Puisque a > 0 et V_o > 0, l'unique solution est :

De plus, V(x_o) = 0 et V(x) \geqslant 0 pour tout x, ce qui assure qu'il s'agit bien d'un minimum d'énergie potentielle (équilibre stable).

La position s'écrit x = x_o + \varepsilon avec |\varepsilon| \ll x_o. Développons le terme exponentiel à l'ordre 1 en \varepsilon :

En injectant ce développement dans l'expression du potentiel de Morse :

Puis en élevant au carré, le terme dominant est directement d'ordre 2 :

L'énergie potentielle au second ordre en \varepsilon s'écrit donc :

La force d'interaction conservative dérivant de cette énergie potentielle s'obtient par dérivation par rapport à \varepsilon :

Cette force est de la forme F = -k\varepsilon, caractéristique d'une force de rappel élastique exercée par un ressort de longueur à vide x_o et de constante de raideur :

Dans le référentiel galiléen d'étude, appliquons le principe fondamental de la dynamique à la particule de masse m soumise à la force de rappel élastique F = -k\varepsilon établie à la question Q2 :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique linéaire non amorti. La pulsation propre des oscillations \omega_o s'identifie immédiatement :

En utilisant l'expression de la raideur k = 2V_oa^2 obtenue à la question Q2, on a :

La forme générale du mouvement s'écrit :

La vitesse s'en déduit par dérivation temporelle :

La condition sur la vitesse initiale donne \dot{\varepsilon}(0) = \omega_o B = 0, soit B = 0. La condition sur la position initiale donne \varepsilon(0) = A = \beta. La loi horaire du déplacement s'écrit donc :

La période temporelle des oscillations associées est notée T_0 = \frac{2\pi}{\omega_o}.

L'énergie potentielle de Morse et son approximation harmonique au second ordre obtenue à la question Q2 s'écrivent respectivement :

Les caractéristiques principales de ces deux fonctions sont les suivantes :

• À l'équilibre (x = x_o) : les deux potentiels s'annulent (V(x_o) = V_{\text{harm}}(x_o) = 0) et admettent un minimum avec une tangente horizontale (\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}(x_o) = 0). Au voisinage immédiat de x_o, la parabole osculatrice et la courbe de Morse se confondent au second ordre en (x - x_o).

• À grande distance (x \to +\infty) :

  • Le potentiel de Morse tend vers une asymptote horizontale : \lim_{x\to +\infty} V(x) = V_o. Cette valeur correspond à l'énergie de dissociation de la molécule.
  • L'approximation harmonique diverge vers +\infty : \lim_{x\to +\infty} V_{\text{harm}}(x) = +\infty.

• À courte distance (x < x_o) :

  • Le potentiel de Morse présente une répulsion très raide (croissance exponentielle due au recouvrement des nuages électroniques et à la répulsion internucléaire).
  • L'approximation harmonique est symétrique par rapport à la verticale x = x_o.

À l'instant initial t = 0, la chaîne infinie est au repos, ce qui signifie que chaque masse se trouve à sa position d'équilibre.

La distance entre deux masses consécutives à l'équilibre est constante et égale à a, et l'origine de l'axe (Ox) est choisie à la position de la masse d'indice n = 0. La position initiale (qui est également la position d'équilibre) de la n^{\text{ième}} masse s'écrit donc :

Par définition, u_n(t) représente le déplacement algébrique de la n^{\text{ième}} masse par rapport à sa position d'équilibre x_n(0) = na. On en déduit :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la n^{\text{ième}} masse de masse m, repérée par sa position x_n(t) le long de l'axe (Ox), dans le référentiel galiléen du laboratoire.

La masse n est soumise aux forces de rappel exercées par :

• le ressort de gauche, reliant la masse n-1 à la masse n, de longueur instantanée x_n - x_{n-1} et de longueur à vide \ell_0 = a :

  \vec{F}_{n-1 \to n} = -k\left[(x_n - x_{n-1}) - a\right]\vec{u}_x

• le ressort de droite, reliant la masse n à la masse n+1, de longueur instantanée x_{n+1} - x_n et de longueur à vide \ell_0 = a :

  \vec{F}_{n+1 \to n} = +k\left[(x_{n+1} - x_n) - a\right]\vec{u}_x

En sommant ces deux forces selon l'axe (Ox), les termes constants a s'annulent :

D'après la relation établie à la question Q5, la position s'écrit x_n(t) = na + u_n(t). Par dérivation temporelle, on a :

De plus, la combinaison des positions s'exprime directement en fonction des écarts u_n :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur (Ox) donne alors :

En introduisant la pulsation propre \omega_o = \sqrt{\frac{k}{m}} définie à la question Q3, il vient :

Par identification avec la relation proposée, on en déduit :

La grandeur physique réelle associée à la notation complexe est la partie réelle de \underline{u_n}(t) :

• Caractère harmonique : Pour chaque masse n, l'évolution temporelle du déplacement est purement sinusoïdale à la pulsation unique \omega. L'onde est donc bien harmonique (ou monochromatique).
• Signification de U_o : U_o est l'amplitude de vibration (déplacement maximal des masses par rapport à leur position d'équilibre).
• Signification de \omega : \omega est la pulsation temporelle (ou pulsation angulaire) de l'onde, liée à la période temporelle T et à la fréquence f par \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f.

D'après l'expression de l'onde proposée par l'énoncé :

La condition de périodicité spatiale \underline{u_p(t)} = \underline{u_n(t)} pour deux masses p > n se traduit par :

La distance au repos séparant ces deux masses est :

La longueur d'onde \lambda est définie comme la plus petite distance au repos non nulle séparant deux masses vibrant en phase, ce qui correspond à k = 1 :

Puisque \lambda est un multiple entier de la distance interatomique au repos (\lambda = (p-n)a), cela s'écrit également :

On en déduit que q représente le nombre d'onde (ou la norme du vecteur d'onde) associé à la propagation de l'onde dans le réseau discret :

D'après la question Q6 (avec \alpha = 2), l'équation du mouvement de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

En notation complexe, en posant \underline{u_n}(t) = U_o \exp(i(\omega t - qna)), les grandeurs nécessaires valent :

En injectant ces expressions dans l'équation du mouvement et en simplifiant par \underline{u}_n(t) \neq 0, on obtient :

D'après la formule de duplication rappelée dans le formulaire (\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)), on a :

On en déduit immédiatement la relation de dispersion demandée :

Puisque \omega > 0 et \omega_o > 0, on a de manière générale \omega(q) = 2\omega_o \left| \sin\frac{qa}{2} \right|.
Sur l'intervalle prescrit q \in \left[0, \frac{2\pi}{a}\right], on a \frac{qa}{2} \in [0, \pi], d'où \sin\left(\frac{qa}{2}\right) \ge 0. L'expression se simplifie donc en :

Cette fonction présente les caractéristiques suivantes :

• pour q = 0 : \omega(0) = 0, avec une tangente de pente \left.\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}\right|_{q=0} = \omega_o a ;
• pour q = \frac{\pi}{a} : \omega atteint un maximum égal à \omega_{\max} = 2\omega_o, avec une tangente horizontale ;
• pour q = \frac{2\pi}{a} : \omega\left(\frac{2\pi}{a}\right) = 0, avec une tangente de pente -\omega_o a.

1. Vitesse de phase

• Définition : Pour une composante harmonique de pulsation \omega et de nombre d'onde q, la vitesse de phase est définie par :

  \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{q}}
• Signification physique : Elle correspond à la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase (ou fronts d'onde), c'est-à-dire à la vitesse apparente de translation des crêtes et des creux de la sinusoïde.
• Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q) établi à la question Q9, la vitesse de phase v_\varphi associée au point (q, \omega(q)) est égale à la pente de la droite sécante joignant l'origine (0,0) au point de fonctionnement (q, \omega(q)).

2. Vitesse de groupe

• Définition : Pour un groupe d'ondes ou un paquet d'ondes centré autour du nombre d'onde q, la vitesse de groupe est définie par :

  \boxed{v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}q}}
• Signification physique : Elle représente la vitesse à laquelle se déplace l'enveloppe du paquet d'ondes. Dans un milieu transparent ou peu absorbant, elle correspond à la vitesse de propagation de l'énergie et de l'information (ou signal).
• Lecture graphique : Sur le graphe \omega(q), la vitesse de groupe v_g est égale à la pente de la tangente à la courbe de dispersion au point d'abscisse q.

D'après la question Q9, la relation de dispersion pour une onde se propageant dans le sens des x croissants s'écrit :

La vitesse de phase associée est donc :

La vitesse de phase dépend du nombre d'onde q (et donc de la pulsation \omega), ou de façon équivalente v_g \neq v_\varphi :

Pour qu'une onde se propage sans amortissement, le nombre d'onde q doit être réel. La relation de dispersion impose :

Pour q \in \mathbb{R}, la fonction sinus est bornée par 1. La pulsation \omega étant strictement positive d'après l'énoncé, l'existence d'une solution réelle q nécessite :

La condition sur \omega s'écrit donc :

Les ondes de pulsation inférieure ou égale à la pulsation de coupure \omega_c = 2\omega_o peuvent se propager dans la chaîne, tandis que les ondes de pulsation supérieure à \omega_c sont spatialement atténuées (ondes évanescentes car q possède une partie imaginaire non nulle).

La chaîne d'oscillateurs constitue ainsi un :

de pulsation de coupure \omega_c = 2\omega_o.

D'après les questions Q9 et Q10, pour q \in \left[0, \frac{\pi}{a}\right], la pulsation s'écrit \omega(q) = 2\omega_o \sin\left(\frac{qa}{2}\right). Les vitesses de phase et de groupe valent donc :

1. Cas des grandes longueurs d'onde : q \ll \frac{\pi}{a} Dans cette limite, on a \frac{qa}{2} \ll 1. Au premier ordre :

On obtient ainsi :

Nature de l'onde : Comme v_g \approx v_\varphi = \text{cte}, la dispersion est négligeable : il s'agit d'une onde progressive non dispersive (branche acoustique du réseau). Les perturbations se propagent sans déformation à la vitesse du son dans le milieu c_s = \omega_o a = a\sqrt{\frac{k}{m}}.

2. Cas limite de coupure : q = \frac{\pi}{a} Pour q = \frac{\pi}{a}, l'argument vaut \frac{qa}{2} = \frac{\pi}{2}. Par conséquent :

Nature de l'onde : Puisque la vitesse de groupe s'annule (v_g = 0), l'onde ne transporte aucune énergie le long de la chaîne : il s'agit d'une onde stationnaire. En effet, pour q = \frac{\pi}{a}, le déplacement de la n^{\text{ième}} masse s'écrit :

Les masses consécutives oscillent en opposition de phase parfaite sans transfert net de quantité de mouvement ni d'énergie.