Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2024 (page 2/2 : Partie I (question 21) et partie II)

La vitesse radiale v = 2 \times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} est très faible devant la vitesse de la lumière dans le vide c = 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (v/c \approx 7 \times 10^{-6} \ll 1). L'effet Doppler s'écrit donc au premier ordre non relativiste :

Avec \lambda_0 = 676{,}778\text{ nm} \approx 677\text{ nm}, on obtient :

En respectant la consigne d'arrondi à un seul chiffre significatif :

La largeur de la raie d'absorption du nickel est \Delta\lambda_{\text{raie}} = 0{,}012\text{ nm} = 12\text{ pm}. On constate donc que :

Le déplacement Doppler \delta\lambda est du même ordre de grandeur que la largeur de la raie (environ 40\,\% de celle-ci).

Commentaire : Ce déplacement est suffisamment notable pour induire une asymétrie mesurable entre les intensités F_i réparties sur la raie (et rendre la combinaison C de la question 19 très sensible à la vitesse), tout en restant assez petit pour que la raie demeure entièrement dans l'intervalle exploré par les cinq filtres et dans la bande passante du filtre de Lyot (0{,}047\text{ nm}).

Considérons le fluide au repos de masse volumique \rho_0 et de pression uniforme P_0. Le passage de l'onde acoustique unidimensionnelle induit des perturbations d'amplitudes faibles :

avec |p| \ll P_0, |\rho_1| \ll \rho_0 et |v| \ll c.

• Équation de conservation de la masse :

  \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial x} = 0

  À l'ordre 1, en négligeant le terme du second ordre \rho_1 v, il vient :

  \frac{\partial \rho_1}{\partial t} + \rho_0 \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \tag{1}

• Équation de la dynamique (équation d'Euler) : Le fluide étant supposé non visqueux et isolé (la pesanteur est négligée) :

  \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t} + v\frac{\partial v}{\partial x}\right) = -\frac{\partial P}{\partial x}

  En négligeant le terme convectif non linéaire v\,\frac{\partial v}{\partial x} devant \frac{\partial v}{\partial t}, la linéarisation à l'ordre 1 donne :

  \rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial p}{\partial x} \tag{2}

• Hypothèse thermodynamique : Les compressions et détendues acoustiques sont suffisamment rapides devant la diffusion thermique, mais lentes par rapport aux temps de relaxation microscopiques : les transformations sont modélisées comme adiabatiques réversibles (isentropiques). La surpression et la variation de masse volumique sont reliées par :

  p = \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_S \rho_1 = c^2 \rho_1 \iff \rho_1 = \frac{p}{c^2} \tag{3}

  où c désigne la vitesse de propagation du son dans le fluide.

En dérivant l'équation de continuité  (1) par rapport au temps et en y injectant la relation  (3) :

En dérivant ensuite l'équation d'Euler  (2) par rapport à x, sous réserve de régularité (théorème de Schwarz pour intervertir les dérivées croisées) :

En combinant ces deux relations, on obtient l'équation d'onde de d'Alembert pour la surpression :

Dans un milieu tridimensionnel homogène et isotrope, la dérivée seconde spatiale selon x est remplacée par l'opérateur laplacien scalaire \Delta. L'équation de propagation de la surpression acoustique p(\vec{r},t) s'écrit alors sous la forme de l'équation de d'Alembert tridimensionnelle :

En coordonnées cartésiennes (x,y,z), le laplacien scalaire s'exprime par :

La surpression acoustique associée à un mode propre s'écrit :

La condition de périodicité spatiale imposée par la géométrie fermée de l'équateur impose, pour tout x, z et t :

Cette condition est vérifiée si et seulement si le facteur de phase spatiale vérifie :

Les valeurs permises pour la composante horizontale du vecteur d'onde sont donc quantifiées :

Pour une onde se propageant dans le sens des x croissants (\omega > 0), on restreint généralement l à l'ensemble des entiers naturels \mathbb{N}.

D'après la question Q18, le diamètre de l'image du Soleil sur le capteur est :

Avec un pas de pixel p = 21\text{ }\mu\text{m}, le diamètre du disque solaire s'étend sur :

Le satellite n'observe que la face visible du Soleil, soit un demi-tour d'équateur correspondant à une longueur curviligne \pi R.

D'après la question Q24, la longueur d'onde spatiale d'un mode l le long de l'équateur est \lambda_x = \frac{2\pi R}{l}. Sur la face visible du Soleil, il y a donc :

D'après le théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist, il faut au moins 2 pixels par période spatiale pour reconstruire un signal sans repliement spectral :

Pour l = 200, la face visible comprend \frac{l}{2} = 100\text{ périodes}, ce qui correspond en moyenne à :

Cette valeur est largement supérieure au seuil minimal de 2 pixels par période. Elle permet d'assurer une très bonne précision pour l'analyse de Fourier, tout en compensant la déformation géométrique (projection en cosinus) qui resserre les franges au voisinage du limbe solaire.

Dans le cadre de l'approximation des ondes peu profondes au voisinage de l'équateur, la géométrie est modélisée par des coordonnées cartésiennes (x,z). La surpression ne dépendant pas de la coordonnée transverse y, le laplacien tridimensionnel se réduit à :

L'équation de propagation acoustique obtenue en Q23 s'écrit alors :

En adoptant la notation complexe \underline{p}(x,z,t) = f(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_x x - \omega t)}, les dérivées partielles s'expriment selon :

En injectant ces dérivées dans l'équation d'onde et en simplifiant par le terme oscillant \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_x x - \omega t)} \neq 0, on obtient l'équation différentielle satisfaite par f(z) :

L'équation d'Euler linéarisée régissant le mouvement acoustique s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical ascendant Oz, la composante verticale de la vitesse acoustique v_z vérifie :

• Condition en z = -H (f'(-H) = 0) :
  La dérivée spatiale f'(-H) = 0 implique \left.\dfrac{\partial p}{\partial z}\right|_{z=-H} = 0, et donc une vitesse verticale nulle :

  \boxed{v_z(x,-H,t) = 0}

  Il s'agit d'une condition de paroi rigide imperméable (nœud de vitesse, ventre de surpression). Le fond de la cavité (z = -H) se comporte comme une frontière infranchissable sur laquelle les ondes acoustiques se réfléchissent totalement vers le haut.

• Condition en z = 0 (f(0) = 0) :
  La surpression acoustique est nulle à la surface du Soleil :

  \boxed{p(x,0,t) = 0}

  Il s'agit d'une condition de surface libre (nœud de surpression, ventre de vitesse). La photosphère est au contact du milieu extérieur (la couronne solaire), dont l'impédance acoustique et la densité chutent très brutalement par rapport à l'intérieur. La pression totale s'y identifie à la pression extérieure, ce qui impose une surpression acoustique nulle.

D'après la question Q26, la fonction f(z) satisfait l'équation différentielle :

Pour obtenir des solutions non triviales compatibles avec les conditions aux limites, la constante doit être strictement positive. On pose donc :

La solution générale s'écrit :

où A et B sont des constantes d'intégration.

Application des conditions aux limites :

• En z = 0, la condition f(0) = 0 donne immédiatement :

  A = 0 \implies f(z) = B \sin(k_z z)

• La dérivée s'écrit alors f'(z) = B k_z \cos(k_z z). La condition en z = -H impose :

  f'(-H) = B k_z \cos(-k_z H) = B k_z \cos(k_z H) = 0

Pour une solution non identiquement nulle (B \neq 0), cette condition impose l'annulation du cosinus :

Le nombre d'onde vertical est donc quantifié selon :

Pulsations des modes propres : En réinjectant dans la relation de dispersion \omega^2 = c^2 (k_x^2 + k_z^2), les pulsations propres \omega_n (choisies positives) s'écrivent :

Pour un k_x fixé, ces pulsations forment bien une suite strictement croissante avec l'entier n \ge 0.

D'après le résultat de la question Q28, la relation de dispersion pour le mode n (n \in \mathbb{N}) s'écrit :

où l'on a posé la pulsation de coupure du mode :

Les trois premiers modes correspondent à n = 0, n = 1 et n = 2, soit :

Chaque courbe présente les caractéristiques remarquables suivantes :

• Pour k_x = 0, la pulsation minimale non nulle vaut \omega_n(0) = \omega_{c,n}. La dérivée vérifie \left.\frac{\mathrm{d}\omega_n}{\mathrm{d}k_x}\right|_{k_x=0} = 0, ce qui correspond à une tangente horizontale à l'origine.
• Pour k_x \to +\infty, les courbes admettent pour asymptote oblique commune la droite d'équation \omega = c\, k_x.

• Dans le plan (k_x, \omega), chaque courbe est une branche d'hyperbole d'équation :

  \frac{\omega^2}{\omega_{c,n}^2} - \frac{k_x^2}{k_{z,n}^2} = 1

D'après la question Q28, la pulsation propre du mode n vérifie :

En divisant cette relation par \omega_n^2, on obtient :

En introduisant les grandeurs X = \dfrac{\omega_n}{k_x} et Y = \left(n + \dfrac{1}{2}\right)\dfrac{\pi}{\omega_n}, cette équation devient :

Puisque Y > 0 et que \omega_n \ge c k_x impose X \ge c, on en déduit l'expression univoque de Y en fonction de X :

Cette relation ne fait intervenir ni le nombre d'onde k_x, ni l'entier n. Ainsi, l'infinité de courbes de dispersion \omega_n(k_x) se réduit à une courbe unique (ou courbe maîtresse) dans le plan (X, Y).

Propriétés de la fonction Y(X) :

• Définie pour X \in [c, +\infty[ ;

• En X = c, Y(c) = 0 avec une demi-tangente verticale :

  \frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \frac{H c}{X^3 \sqrt{1 - \frac{c^2}{X^2}}} \xrightarrow[X \to c^+]{} +\infty

• Lorsque X \to +\infty, Y(X) tend vers l'asymptote horizontale :

  \lim_{X \to +\infty} Y(X) = \frac{H}{c}

Dans le cadre de l'approximation de l'acoustique géométrique, le milieu est considéré comme localement homogène à l'échelle de la longueur d'onde. En chaque point d'altitude z, l'onde acoustique se propage localement à la célérité c(z) avec une pulsation temporelle \omega.

La norme locale du vecteur d'onde \vec{k}(z) = (k_x, k_z(z)) vérifie donc la relation de dispersion usuelle des ondes acoustiques non dispersives :

On en déduit la relation de dispersion reliant \omega, k_x, k_z(z) et c(z) :

ou, de façon équivalente pour la composante verticale :

Dans le cadre de l'approximation de l'acoustique géométrique, la direction locale du rayon sonore est portée par le vecteur d'onde \vec{k} = (k_x, k_z).

L'angle i étant défini comme l'inclinaison du rayon par rapport à la verticale axiale z, les composantes horizontale et verticale de \vec{k} vérifient :

D'après la relation de dispersion établie à la question 31, la norme du vecteur d'onde vaut \|\vec{k}\| = \frac{\omega}{c(z)}. On en déduit immédiatement :

Puisque k_x et \omega sont constants le long d'un même rayon, cette relation se réécrit sous la forme :

En optique géométrique, la propagation dans un milieu stratifié d'indice n(z) est régie par la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

Ce résultat est donc l'analogue acoustique de la loi de Snell-Descartes, où la célérité locale du son c(z) joue un rôle inversement proportionnel à celui de l'indice optique (n(z) \propto \frac{1}{c(z)}).

D'après la relation établie à la question Q32, l'inclinaison i du rayon sonore par rapport à la verticale vérifie :

Comme la fonction sinus est bornée par 1, la propagation sous forme de rayon n'est possible que si :

De manière équivalente, la relation de dispersion obtenue à la question Q31 s'écrit :

ce qui impose également c(z) \le \frac{\omega}{k_x}.

Par hypothèse, c(z) croît de manière continue et indéfinie lorsque z diminue (en s'enfonçant dans le Soleil). Il existe donc une profondeur limite, notée z_{\text{min}}, pour laquelle cette borne est atteinte :

À cette altitude z_{\text{min}}, on a \sin i = 1, soit i = \frac{\pi}{2} : le rayon sonore devient strictement horizontal (k_z = 0). Pour z < z_{\text{min}}, on aurait k_z^2 < 0 (champ évanescent) ; le rayon ne peut donc pas pénétrer dans cette région et subit une réflexion totale continue, remontant vers la surface.

D'après la question 32, l'angle d'inclinaison i du rayon par rapport à la verticale satisfait :

• Lorsque le rayon part de la surface z = 0 et pénètre vers l'intérieur (z diminue), la vitesse du son c(z) croît, donc \sin i(z) augmente : le rayon s'écarte de la verticale et s'incurve vers l'horizontale (concavité tournée vers le haut).
• À l'altitude minimale z_{\text{min}}, \sin i(z_{\text{min}}) = 1 d'après la question 33 : la tangente à la trajectoire devient strictement horizontale (\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = 0), et le rayon amorce une remontée symétrique vers la surface.
• À la surface z = 0, le rayon subit une réflexion totale (avec égalité des angles d'incidence et de réflexion), puis replonge vers l'intérieur.

La trajectoire est ainsi constituée d'une succession périodique d'arches régulières (festons), incurvées avec une tangente horizontale en z = z_{\text{min}} et des réflexions en biseau à la surface z = 0.

Dans un milieu homogène, la vitesse du son c ne dépend pas de l'altitude z. L'inclinaison i du rayon par rapport à la verticale est donc constante le long de la propagation :

Le rayon sonore se propage en ligne droite entre la surface z = 0 et la limite inférieure z = -H.

• En z = -H, la condition aux limites de paroi rigide (f'(-H) = 0) correspond à une réflexion spéculaire : le rayon est réfléchi vers le haut avec le même angle par rapport à la verticale.
• En z = 0, la condition aux limites de surface libre (f(0) = 0) impose également une réflexion spéculaire : le rayon repart vers le bas.

La trajectoire est ainsi une ligne brisée périodique (profil en zigzag) comprise entre z = -H et z = 0.

Dans le modèle de fluide uniforme étudié en première partie :

• la propagation s'effectue dans une couche d'épaisseur finie s'étendant de z = -H à z = 0, de sorte que l'altitude limite inférieure est z_{\min} = -H ;

• la célérité c est uniforme, donc le nombre d'onde vertical k_z ne dépend pas de z :

  k_z(z) = k_z = \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2} - k_x^2} = \text{cste}.

L'intégrale de l'équation (3) se calcule alors directement :

La condition de quantification (3) s'écrit donc :

D'après la question 28, les modes propres vérifient :

Par identification directe entre ces deux expressions, on en déduit :

D'après la question Q32, l'angle i(z) d'inclinaison locale du rayon par rapport à la verticale est régi par :

La pente de la trajectoire x(z) dans le plan (x, z) s'écrit donc :

De plus, d'après la question Q33, l'altitude de retournement z_{\min} est fixée par :

La trajectoire d'un rayon partant d'un même point de la surface dépend ainsi uniquement du rapport \dfrac{\omega}{k_x}.

Par conséquent, deux ondes (\omega, k_x) et (\omega', k'_x) correspondent à des rayons identiques si et seulement si elles possèdent le même rapport :

D'après la relation de dispersion locale (question Q31), la composante verticale du vecteur d'onde s'écrit :

En introduisant l'abscisse de la figure 3, à savoir la vitesse de phase horizontale X = \frac{\omega}{k_x}, on peut factoriser par \omega :

D'après la question Q33, l'altitude de rebroussement z_{\min} vérifie c(z_{\min}) = \frac{\omega}{k_x} = X. Le profil de vitesse c(z) étant une fonction bijective décroissante de z, z_{\min} ne dépend que de X : z_{\min} = z_{\min}(X).

En substituant cette expression dans la condition de quantification (3) pour un mode propre de pulsation \omega_n :

En divisant les deux membres par \omega_n, on obtient :

On reconnaît dans le membre de gauche l'ordonnée Y = \frac{(n + \alpha)\pi}{\omega_n} de la figure 3. L'intégrale du membre de droite ne dépend quant à elle que du profil c(z) et de la variable X. On peut donc écrire :

La fonction F est complètement indépendante de l'entier n et du mode circonférentiel l (donc de k_x). Par conséquent, tous les points (X, Y) associés aux différents modes (n, l) se placent nécessairement sur la courbe unique d'équation Y = F(X).

L'approximation de l'acoustique géométrique (analogue à l'approximation eikonale en optique ou à l'approximation semi-classique WKB) est valable lorsque la longueur d'onde acoustique locale \lambda est très petite devant l'échelle spatiale caractéristique L de variation des paramètres du milieu (ici le gradient de vitesse du son c(z) ou de masse volumique) :

Cette condition se traduit sur les deux dimensions de l'espace :

• Selon la direction verticale z : D'après l'équation (3), la phase verticale accumulée entre z_{\min} et la surface vaut (n+\alpha)\pi. Le mode vertical comporte donc environ n ventres de surpression. Pour que la longueur d'onde verticale \lambda_z \sim 2|z_{\min}|/n soit petite devant la profondeur de pénétration |z_{\min}| et l'échelle de variation de c(z), le nombre de nœuds doit être grand, ce qui impose :

  \boxed{n \gg 1}

• Selon la direction horizontale x : La longueur d'onde horizontale vaut \lambda_x = \frac{2\pi}{k_x} = \frac{2\pi R}{l} d'après la question 24. Pour pouvoir définir localement un rayon acoustique sans diffraction horizontale et assimiler localement la géométrie sphérique à un milieu plan (courbure négligeable à l'échelle de l'onde), il faut que la longueur d'onde horizontale soit très petite devant le rayon du Soleil R (\lambda_x \ll R), ce qui se traduit par :

  \boxed{l \gg 1}

En résumé, l'approximation géométrique et la condition de quantification semi-classique associée sont pleinement justifiées dans le régime asymptotique :