Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2020

L'approximation acoustique repose sur un ensemble d'hypothèses physiques permettant de linéariser les équations de la mécanique des fluides :

1. Perturbations de faibles amplitudes (hypothèse de linéarisation) :

   • Le champ de vitesse de l'onde reste très petit devant la célérité du son dans le milieu :

     \|\vec{v}_1\| \ll c

   • Les fluctuations de pression et de masse volumique sont très petites devant leurs valeurs de repos :

     |p_1| \ll P_0 \quad \text{et} \quad |\mu_1| \ll \mu_0

     Cette hypothèse autorise la négligence de tous les termes non linéaires (notamment le terme convectif (\vec{v}_1\cdot\vec{\nabla})\vec{v}_1 et les produits de termes perturbatifs tels que \mu_1\vec{v}_1).

2. Fluide non visqueux (fluide parfait) : Les effets de viscosité (frottements internes et dissipation mécanique) sont négligés au sein de l'onde.

3. Caractère isentropique des transformations (adiabatiques et réversibles) :

   • Les transferts thermiques par conduction entre tranches fluides voisines sont trop lents à l'échelle d'une période acoustique T ; les échanges de chaleur sont donc négligeables (transformation adiabatique).
   • En l'absence de viscosité et d'échanges thermiques, la transformation subie par chaque particule fluide est réversible, donc isentropique.
4. Négligence de la pesanteur sur la dynamique de l'onde : Les gradients de pression acoustique sont très grands devant le terme de pesanteur \mu_0 g, ce qui découple la perturbation acoustique de l'état d'équilibre hydrostatique au repos.

En description eulérienne, l'accélération d'une particule fluide s'obtient par la dérivée particulaire du champ des vitesses :

Le champ des vitesses étant purement suivant \widehat{e}_z et unidimensionnel (\vec{v} = v_1(z,t)\,\widehat{e}_z), le terme convectif s'écrit simplement :

Notons T = \frac{2\pi}{\omega} et \lambda = \frac{c}{f} = \frac{2\pi c}{\omega} les échelles caractéristiques de temps et d'espace de l'onde sonore. Les ordres de grandeur des deux composantes de l'accélération sont :

Le rapport du terme convectif sur le terme d'accélération locale s'évalue ainsi :

Or, l'approximation acoustique stipule que la vitesse particulaire est très faible devant la célérité du son (v_1 \ll c). Le terme convectif non linéaire d'ordre 2 est donc négligeable devant le terme d'accélération locale d'ordre 1.

On en déduit l'expression linéarisée de l'accélération :

Considérons une particule fluide de volume \mathrm{d}\tau et de masse \mathrm{d}m = \mu_0 \mathrm{d}\tau, repérée à la cote z. Dans le référentiel lié au laboratoire supposé galiléen, le bilan des forces extérieures s'exerçant sur cette particule s'écrit :

• la force pressante résultante : \mathrm{d}\vec{F}_p = -\vec{\nabla} P\,\mathrm{d}\tau = -\dfrac{\partial P}{\partial z}\,\mathrm{d}\tau\,\widehat{e}_z ;
• le poids : \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,\vec{g} = -\mu_0 g\,\mathrm{d}\tau\,\widehat{e}_z (avec \vec{g} = -g\,\widehat{e}_z).

En utilisant l'expression linéarisée de l'accélération particulaire établie à la question Q2 (\vec{a} \approx \dfrac{\partial v_1}{\partial t}\widehat{e}_z), la relation fondamentale de la dynamique donne, en projection sur l'axe vertical ascendant \widehat{e}_z et après simplification par \mathrm{d}\tau :

Au repos, en l'absence d'onde acoustique, la vitesse est nulle (v_1 = 0) et la pression est égale à la pression hydrostatique P_0(z). L'équation précédente se réduit à la relation fondamentale de la statique des fluides :

En décomposant la pression totale P(z,t) = P_0(z) + p_1(z,t), le terme de gradient spatial de pression devient :

En reportant cette expression dans la RFD, les termes hydrostatiques se compensent exactement, ce qui conduit à l'équation aux dérivées partielles recherchée :

1. Conservation de la masse

L'équation locale de conservation de la masse s'écrit de manière exacte :

Pour un écoulement unidimensionnel selon l'axe Oz, le terme de divergence se réduit à \frac{\partial(\mu v_1)}{\partial z}. En remplaçant \mu(z,t) = \mu_0 + \mu_1(z,t) avec \mu_0 uniforme et stationnaire, et \vec{v}(z,t) = v_1(z,t)\widehat{e}_z :

Au premier ordre acoustique, le produit \mu_1 v_1 est un terme d'ordre 2 négligeable devant \mu_0 v_1. La relation locale linéarisée s'écrit donc :

2. Caractère isentropique de l'évolution

L'évolution du fluide étant supposée adiabatique et réversible (donc isentropique), le coefficient de compressibilité isentropique est défini par :

car pour une masse m = \mu V constante, \mathrm{d}\mu/\mu = -\mathrm{d}V/V.

Pour de petites variations autour de l'état de repos (\mu_0, P_0), on effectue un développement au premier ordre à entropie constante :

La relation locale reliant la surpression et la perturbation de masse volumique est ainsi :

que l'on peut également écrire sous forme dérivée par rapport au temps :

D'après la question Q4, la conservation de la masse et le comportement isentropique s'écrivent :

En dérivant la seconde relation par rapport au temps t (\mu_0 et \chi_S étant constants) et en l'injectant dans la première, on obtient :

D'après la question Q3, l'équation du mouvement (Euler acoustique) est :

Dérivons l'équation (1) par rapport à z et l'équation (2) par rapport à t :

Puisque les champs sont de classe \mathcal{C}^2, le théorème de Schwarz assure l'égalité des dérivées partielles croisées :

Il vient ainsi :

soit :

Cette équation est l'équation de d'Alembert (ou équation des ondes à une dimension non dispersive). Par identification avec la forme demandée :

On en déduit l'expression de la célérité c :

L'équation de la chaleur sans terme source dans le fluide s'écrit :

où D = \dfrac{\kappa}{\mu_0 c_p} est la diffusivité thermique du milieu.

Sur une distance caractéristique de variation spatiale de la température associée à l'onde acoustique, prise égale à la longueur d'onde \lambda, le temps caractéristique de transfert thermique par diffusion est :

L'hypothèse d'évolution adiabatique suppose que les transferts thermiques n'ont pas le temps de s'établir au cours de la période temporelle T = \dfrac{1}{f} de l'onde :

En utilisant la relation de dispersion \lambda = \dfrac{c}{f} et T = \dfrac{1}{f}, cette condition devient :

L'hypothèse d'adiabaticité est donc valide tant que f \ll f_{\max}, avec :

Application numérique :

On obtient :

Dans le cadre de cette expérience, la fréquence de travail est :

La fréquence de l'onde est inférieure de plus de cinq ordres de grandeur à f_{\max} : l'hypothèse d'adiabaticité est donc très largement vérifiée.

La vitesse de déplacement de la membrane selon l'axe vertical (Oz) s'écrit :

En intégrant par rapport au temps, sachant que la membrane oscille autour de sa position moyenne h, on obtient :

L'amplitude Z_m des oscillations de la membrane est donc :

Application numérique :

• U_m = 10\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 0{,}10\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• f = 20\text{ kHz} = 2{,}0 \times 10^4\text{ Hz}
• (4\pi)^{-1} = 8{,}0 \times 10^{-2}

Il vient :

Soit finalement :

À la surface de la membrane du transducteur, située à la cote mobile z_m(t), le fluide reste en contact parfait avec la paroi (absence de cavitation et non-pénétration). La composante normale de la vitesse particulaire du fluide coïncide donc avec la vitesse de la membrane :

D'après la question Q7, l'oscillation de la membrane s'effectue autour de sa cote moyenne h avec une amplitude Z_m = 8{,}0 \times 10^{-7}\text{ m} :

La longueur d'onde de l'onde sonore vaut :

L'amplitude de déplacement de la membrane est ainsi négligeable devant l'échelle caractéristique de variation spatiale de l'onde acoustique :

En effectuant un développement de Taylor du champ de vitesse v_1 au voisinage de z = h :

Comme \left|\frac{\partial v_1}{\partial z}\right| \sim \frac{2\pi}{\lambda} |v_1|, le terme correctif vérifie :

Il est donc tout à fait légitime de linéariser la condition aux limites en évaluant le champ de vitesse à la position moyenne fixe z = h, ce qui conduit bien à :

Le champ des vitesses v_1(z,t) vérifie l'équation de d'Alembert (question Q5) :

En régime sinusoïdal permanent de pulsation \omega, la solution générale s'écrit par séparation des variables :

où k = \dfrac{\omega}{c} désigne le nombre d'onde.

1. Condition à la paroi réfléchissante (z = 0) :
La paroi étant fixe et rigide, la vitesse particulaire normale s'y annule à tout instant :

Le champ s'écrit donc sous la forme :

2. Condition à la membrane du transducteur (z = h) :
D'après la question Q8, la continuité de la vitesse en z = h impose :

Par identification pour tout instant t :

On en déduit l'expression complète de la vitesse particulaire pour 0 \le z \le h :

3. Amplitude maximale V_1 :
L'amplitude spatiale de la vitesse est donnée par |v_1(z,t)|_{\max, t} = \dfrac{U_m}{\left|\sin\left(\frac{\omega h}{c}\right)\right|} \left|\sin\left(\frac{\omega z}{c}\right)\right|.

En supposant que la cavité acoustique contient au moins un ventre de vibration (où \left|\sin\left(\frac{\omega z}{c}\right)\right| = 1), l'amplitude maximale V_1 vaut :

D'après la question Q9, la vitesse acoustique s'écrit :

L'amplitude locale de la vitesse au point z est donnée par |v_1(z)| = V_1 |\sin(kz)|.

1. Positions spatiales des maxima de vitesse :

Les maxima de vitesse (ventres de vitesse) sont atteints pour les positions z_n vérifiant :

Comme k = \frac{2\pi}{\lambda}, on en déduit les positions dans la cavité 0 \le z_n \le h :

Commentaire : Les ventres de vitesse de l'onde stationnaire sont régulièrement espacés d'une demi-longueur d'onde \lambda/2. La paroi rigide en z=0 impose un nœud de vitesse (v_1(0,t)=0), le premier ventre se situe donc à une distance \lambda/4 du réflecteur.

2. Divergence de l'amplitude V_1 :

L'amplitude maximale s'écrit :

Cette amplitude diverge (V_1 \to +\infty) lorsque le dénominateur s'annule, soit pour :

d'où les pulsations de résonance :

Ces pulsations correspondent aux modes propres d'une cavité résonante de longueur h = n\frac{\lambda}{2}.

3. Phénomènes limitant la valeur de V_1 en pratique :

• Les dissipations visqueuses au sein du fluide et les effets de couche limite aux parois ;
• Les transferts thermiques conductifs (atténuation acoustique) ;
• Les pertes par réflexion incomplète au niveau du réflecteur et du transducteur ;
• Les effets non linéaires (terme convectif (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} et non-linéarités d'état), qui conduisent à un transfert d'énergie vers des harmoniques supérieures dès que l'amplitude devient grande.

1. Expression de la surpression acoustique p_1(z,t)
D'après l'équation d'Euler acoustique linéarisée établie à la question Q3 :

En utilisant l'expression du champ de vitesse obtenue à la question Q9, v_1(z,t) = \frac{U_m}{\sin(kh)} \sin(kz) \sin(\omega t) avec k = \frac{\omega}{c} :

Par intégration par rapport à z :

Par ailleurs, la combinaison de la conservation de la masse et du caractère isentropique (question Q4) donne :

dont l'intégration temporelle confirme que la fonction d'intégration est identiquement nulle, la surpression acoustique ayant une moyenne temporelle nulle :

En introduisant l'amplitude V_1 = \frac{U_m}{\left|\sin\left(\frac{\omega h}{c}\right)\right|}, l'amplitude de la surpression s'écrit P_1 = \mu_0 c V_1.

2. Résultante des forces de pression sur la bille
La bille, de rayon a \ll \lambda, occupe un volume \mathcal{V}_b = \frac{4}{3}\pi a^3. Ce volume étant élémentaire à l'échelle de variation spatiale de l'onde acoustique, le gradient de pression peut être considéré comme uniforme sur le volume de la bille. D'après le théorème de Green-Ostrogradsky :

Le champ de pression total étant P(z,t) = P_0(z) + p_1(z,t), le gradient selon \widehat{e}_z vaut :

où l'on a utilisé la relation de la statique des fluides \frac{\mathrm{d}P_0}{\mathrm{d}z} = -\mu_0 g (question Q3). On en déduit :

3. Moyenne temporelle et interprétation de la lévitation
Sur une période acoustique T = \frac{2\pi}{\omega}, la moyenne du terme harmonique est nulle : \langle \cos(\omega t) \rangle = 0. Il ne subsiste donc que la poussée d'Archimède statique :

La force acoustique moyenne est strictement nulle : \langle \vec{F}_{\mathrm{ac}} \rangle = \vec{0}. La bille est également soumise à son poids :

Le bilan des forces moyennes s'écrit :

Pour un solide ou un liquide (par exemple le polystyrène expansé avec \mu_b \approx 20\text{ à }50\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), \mu_b \gg \mu_0 = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}. La poussée d'Archimède statique est négligeable devant le poids et la force acoustique d'ordre 1 a une résultante temporelle nulle.

Conclusion : Le modèle acoustique linéaire étudié jusqu'à présent ne permet pas d'interpréter la lévitation de la bille.

L'approximation acoustique repose sur la linéarisation des équations de la mécanique des fluides, ce qui exige notamment que :

• la vitesse particulaire soit très faible devant la célérité du son : v_1 \ll c ;
• l'amplitude de la surpression acoustique soit très faible devant la pression au repos : |p_1| \ll P_0.

Calculons le rapport entre l'amplitude de la vitesse V_1 et la célérité c :

Le terme d'accélération convective (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim \frac{V_1^2}{\lambda} représente une fraction non négligeable de l'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \sim \frac{c V_1}{\lambda} :

De plus, d'après la relation entre surpression et vitesse obtenue à la question Q11, l'amplitude de la surpression acoustique vaut :

Pour une pression atmosphérique ambiante P_0 \approx 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}, on obtient :

Les termes non linéaires d'ordre 2 dans les équations d'Euler et de continuité ne peuvent plus être négligés.

1. Détermination des entiers \ell et q

La surpression p_2(z,t) est homogène à une pression, de dimension :

La fonction cosinus étant adimensionnée, le terme \mu_0^\ell V_1^q a la dimension d'une pression :

Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :

On vérifie la cohérence pour la longueur : q - 3\ell = 2 - 3 = -1.

2. Moyenne temporelle de la résultante des forces de pression

La bille ayant un rayon a \ll \lambda, le gradient de pression peut être considéré comme uniforme sur le volume \mathcal{V}_b = \frac{4}{3}\pi a^3 de la bille. La résultante des forces de pression s'écrit (théorème de Green-Ostrogradski) :

Le champ total de pression s'écrit :

Prenons la moyenne temporelle \langle \cdot \rangle sur une période acoustique :

• La pression au repos vérifie la loi de la statique des fluides (Q3) : \left\langle \frac{\mathrm{d}P_0}{\mathrm{d}z} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}P_0}{\mathrm{d}z} = -\mu_0 g.
• La surpression d'ordre 1 est purement sinusoïdale de pulsation \omega (Q11) : \left\langle \frac{\partial p_1}{\partial z} \right\rangle = 0.

• Pour la surpression d'ordre 2 :

  p_2(z,t) = \frac{1}{4} \mu_0 V_1^2 \cos\left(\frac{2\omega z}{c}\right) + f(z) \cos(2\omega t)

  Comme \langle \cos(2\omega t) \rangle = 0, la moyenne temporelle de p_2 se réduit à sa partie statique :

  \langle p_2(z,t) \rangle = \frac{1}{4}\mu_0 V_1^2 \cos\left(\frac{2\omega z}{c}\right)

  D'où :

  \left\langle \frac{\partial p_2}{\partial z} \right\rangle = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \left[ \frac{1}{4}\mu_0 V_1^2 \cos\left(\frac{2\omega z}{c}\right) \right] = -\frac{\mu_0 \omega V_1^2}{2c} \sin\left(\frac{2\omega z}{c}\right)

On en déduit la composante selon \widehat{e}_z de la force moyenne :

En remplaçant \mathcal{V}_b = \frac{4}{3}\pi a^3, on obtient :

La bille, de volume \mathcal{V}_b = \frac{4}{3}\pi a^3 et de masse m_b = \mu_b \mathcal{V}_b, est soumise à son poids :

et à la résultante moyenne des forces de pression \langle \vec{F} \rangle = \langle F_z \rangle(z)\widehat{e}_z établie à la question Q13 :

À l'équilibre, la résultante moyenne totale des forces est nulle :

ce qui se réécrit :

Pour un objet plus dense que l'air (\mu_b > \mu_0), cette équation admet des solutions si et seulement si le membre de droite est inférieur ou égal à 1 :

On en déduit l'expression de la masse volumique maximale :

Stabilité des positions d'équilibre :

Pour \mu_b < \mu_{b,\max}, la droite horizontale d'ordonnée P_b = \mu_b \mathcal{V}_b g coupe la courbe \langle F_z \rangle(z) en deux positions par période spatiale \frac{\lambda}{2} = \frac{\pi c}{\omega} :

Soit un petit écart \delta z à partir d'une position d'équilibre z_{\text{eq}}. La force nette selon \widehat{e}_z au premier ordre en \delta z s'écrit :

Pour que l'équilibre soit stable, la force doit être de rappel, c'est-à-dire s'opposer au déplacement (\delta F < 0 pour \delta z > 0) :

Les positions d'équilibre stables sont donc situées sur les pentes descendantes de la fonction \langle F_z \rangle(z), c'est-à-dire là où le cosinus est négatif :

À l'inverse, les positions d'équilibre situées sur les pentes ascendantes (\frac{\mathrm{d}\langle F_z \rangle}{\mathrm{d}z} > 0) sont instables.

1. Calcul de µ_{b, \max} :

D'après la question Q14, la masse volumique maximale assurant l'existence d'une position d'équilibre s'écrit :

Puisque le terme acoustique est très grand devant 1, on a \mu_{b, \max} \approx \frac{\mu_0 \omega V_1^2}{2cg}.

L'énoncé donne :

• \mu_0 = 1{,}2\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;

• f = 20\text{ kHz} \implies \omega = 2\pi f = 4\pi \times 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}. Avec l'indication (4\pi)^{-1} = 8{,}0 \times 10^{-2}, il vient :

  \omega = \frac{10^4}{(4\pi)^{-1}} = \frac{10^4}{8{,}0 \times 10^{-2}} = 1{,}25 \times 10^5\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}
• V_1 = 50\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \implies V_1^2 = 2{,}5 \times 10^3\text{ m}^2\cdot\text{s}^{-2} ;
• c = 3{,}4 \times 10^2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• On prend l'accélération de la pesanteur usuelle g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

L'application numérique donne :

(ou 5{,}5 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} en prenant g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}).

2. Estimation de la masse maximale m_{b, \max} :

Le modèle n'est valide que si la bille reste petite devant la longueur d'onde de l'onde sonore, soit a \ll \lambda. La longueur d'onde vaut :

Pour respecter la condition a \ll \lambda, on peut raisonnablement choisir un rayon maximal a_{\max} \approx \frac{\lambda}{10} \approx 1{,}7\text{ mm} (ou a \sim 1\text{ mm}).

Le volume maximal correspondant de la bille sphérique est :

La masse maximale théorique correspond à une bille de masse volumique \mu_{b, \max} et de rayon a_{\max} :

Si l'on adopte le critère plus strict a \approx 1\text{ mm}, on obtient m_{b, \max} \approx 0{,}2\text{ g}. Dans tous les cas, l'ordre de grandeur de la masse maximale est de l'ordre du gramme :

3. Commentaires des valeurs numériques :

• La masse volumique maximale \mu_{b, \max} \approx 5{,}6 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} est gigantesque : elle est plus de 50 fois supérieure à celle de l'eau (1{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}) et dépasse largement celle des métaux les plus denses connus (or : 1{,}9 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, platine : 2{,}1 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, osmium : 2{,}3 \times 10^4\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}). Ainsi, ce dispositif acoustique peut faire léviter n'importe quel matériau terrestre existant.
• En revanche, la masse totale pouvant être soulevée est limitée par la contrainte géométrique a \ll \lambda : la force de radiation acoustique volumique ne s'exerce efficacement que sur de petits objets de dimensions millimétriques.
• Pour les matériaux couramment manipulés (polystyrène expansé avec \mu \approx 20\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ou gouttelettes d'eau avec \mu \approx 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}), les masses des échantillons lévités sont typiquement comprises entre 0{,}1\text{ mg} et 20\text{ mg}, ce qui est en parfait accord avec les expériences décrites en préambule.

D'après les questions Q13 et Q14, la force moyenne exercée sur une bille dépend de l'altitude z par l'intermédiaire du terme :

La condition d'équilibre stable impose :

Cette condition sélectionne une unique position d'équilibre stable par période spatiale de la fonction \sin\left(\frac{4\pi}{\lambda} z\right). La période spatiale de cette force de radiation acoustique est :

Deux positions d'équilibre stable consécutives z_{\text{eq}, n} et z_{\text{eq}, n+1} sont donc séparées par une distance fixe :

Avec \lambda = 1{,}7\text{ cm} (question Q8), cette distance vaut numériquement d \approx 8{,}5\text{ mm}, ce qui correspond bien à l'ordre de grandeur de l'espacement visible sur la photographie de la figure 1.

L'espace utile entre le réflecteur (z = 0) et le transducteur (z = h) a pour longueur h. Le nombre maximal N_{\max} d'objets pouvant léviter simultanément correspond au nombre de positions stables pouvant s'insérer sur cette hauteur, soit la partie entière du rapport h/d :

La bille, de masse m_b = \mu_b \mathcal{V}_b, est soumise à son poids \vec{P} = -m_b g \widehat{e}_z et à la force de pression moyenne \langle \vec{F} \rangle = \langle F_z \rangle(z)\widehat{e}_z. La force totale moyenne exercée sur la bille selon l'axe (Oz) s'écrit, d'après la question 13 :

À une position d'équilibre z_{\text{eq}}, la force totale s'annule : F_{\text{tot}}(z_{\text{eq}}) = 0.

Posons z(t) = z_{\text{eq}} + \zeta(t), où \zeta(t) représente un petit écart à la position d'équilibre (|\zeta| \ll \lambda). Au premier ordre en \zeta, un développement de Taylor de F_{\text{tot}} donne :

La dérivée spatiale de la force totale s'exprime par :

La relation fondamentale de la dynamique appliquée à la bille selon \widehat{e}_z s'écrit alors :

Soit, en divisant par m_b = \mu_b \mathcal{V}_b :

D'après la question 14, une position d'équilibre stable vérifie impérativement \cos\left(\frac{2\omega z_{\text{eq}}}{c}\right) < 0. On pose alors :

On obtient ainsi l'équation d'un oscillateur harmonique \ddot{\zeta} + \widetilde{\omega}^2 \zeta = 0, de pulsation propre :

En exprimant \cos\left(\frac{2\omega z_{\text{eq}}}{c}\right) = -\sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{2\omega z_{\text{eq}}}{c}\right)} avec la condition d'équilibre \sin\left(\frac{2\omega z_{\text{eq}}}{c}\right) = \frac{2c(\mu_b - \mu_0)g}{\mu_0 \omega V_1^2}, la pulsation s'écrit également de manière univoque en fonction des seules constantes du système :

Ce convertisseur statique, alimenté par une source de tension continue et délivrant une grandeur alternative à la charge via une structure en pont à quatre interrupteurs, est un onduleur (plus précisément un onduleur de tension autonome monophasé en pont, ou pont en H).

Parmi les applications courantes de ce dispositif de conversion continu-alternatif (DC/AC), on peut citer :

1. L'injection réseau de l'énergie photovoltaïque : conversion de la tension continue produite par des panneaux solaires en tension alternative synchrone avec le réseau électrique de distribution.
2. Les alimentations sans interruption (ASI) : maintien d'une alimentation électrique alternative de secours pour des dispositifs critiques (hôpitaux, centres de données) à partir de parcs de batteries d'accumulateurs continus.
3. La commande des machines électriques alternatives : alimentation à fréquence et tension variables des moteurs synchrones ou asynchrones (véhicules électriques, trains, variateurs industriels).

1. États respectifs des couples (K_1, K'_1) et (K_2, K'_2) :

• Évitement du court-circuit : si les deux interrupteurs d'un même bras étaient simultanément fermés (K_1 = K'_1 = 1 ou K_2 = K'_2 = 1), la source continue de tension E serait mise en court-circuit franc, ce qui engendrerait des surintensités destructrices.
• Continuité et potentiel fixé : si les deux interrupteurs d'un bras étaient simultanément ouverts, le potentiel du nœud correspondant serait flottant ; de surcroît, le courant traversant une charge inductive ne pourrait plus s'écouler, provoquant des surtensions destructrices.

• Règle de commande : chaque interrupteur devant être fermé pendant une durée totale de T/2 par période, les interrupteurs d'un même bras sont commandés de façon strictement complémentaire :

  \boxed{K'_1 = \overline{K_1} = 1 - K_1 \quad \text{et} \quad K'_2 = \overline{K_2} = 1 - K_2}

2. Relation entre la tension u(t) et les états des interrupteurs :

En prenant le rail inférieur comme référence de potentiel (0\text{ V}), les potentiels aux bornes de la charge s'écrivent V_A = K_1 E et V_B = K_2 E. D'après la convention récepteur adoptée sur la figure 2 :

On en déduit les états nécessaires :

• u(t) = +E \iff (K_1, K_2) = (1, 0), soit (K_1, K_2, K'_1, K'_2) = (1, 0, 0, 1) ;
• u(t) = -E \iff (K_1, K_2) = (0, 1), soit (K_1, K_2, K'_1, K'_2) = (0, 1, 1, 0) ;
• u(t) = 0 \iff K_1 = K_2, ce qui offre deux possibilités : la « roue libre par le bas » (0, 0, 1, 1) ou la « roue libre par le haut » (1, 1, 0, 0).

3. Séquences possibles sur une période :

Sur une période T, la phase positive dure T/2 - 2t_0 et la phase négative dure T/2 - 2t_0. Pour que chaque interrupteur soit fermé pendant une durée totale de T/2, l'un des paliers nuls de durée 2t_0 doit être réalisé avec K_1 = K_2 = 1 et l'autre avec K_1 = K_2 = 0.

Deux séquences sont alors possibles, selon le choix de la phase de roue libre au voisinage de t = 0 :

Dans les deux cas, le temps de conduction de chaque interrupteur vaut bien (T/2 - 2t_0) + 2t_0 = T/2.

1. Choix judicieux de l'origine des temps

En choisissant l'origine des temps au centre d'un palier nul (comme visible sur la figure 3), la fonction u(t) vérifie la symétrie d'imparité :

Par conséquent :

• la valeur moyenne du signal est nulle : a_0 = \langle u \rangle = 0 ;

• tous les coefficients des termes en cosinus s'annulent par parité de l'intégrande sur une période symétrique :

  a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} u(t)\cos(n\omega t)\,\mathrm{d}t = 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}^*

Le développement en série de Fourier est ainsi considérablement simplifié puisqu'il ne contient plus que des composantes sinusoïdales impaires en temps.

2. Annulation des harmoniques pairs (b_{2p} = 0)

Le signal u(t) présente une symétrie de demi-onde (anti-périodicité de période T/2) :

Calculons l'effet d'une translation temporelle de T/2 = \pi/\omega sur les fonctions de base :

Le coefficient de Fourier b_n s'écrit en découpant l'intégrale sur deux demi-périodes :

Pour un rang pair n = 2p (p \in \mathbb{N}), le facteur [1 - (-1)^{2p}] s'annule identiquement :

Un signal anti-périodique de demi-période ne comporte aucun harmonique de rang pair.

L'amplitude du rang 2p+1 dans le spectre de Fourier est donnée par :

Les harmoniques pairs étant déjà nuls du fait des symétries du signal, le premier harmonique parasite est l'harmonique de rang 3 (p = 1, pulsation 3\omega). C'est le plus difficile à éliminer par filtrage car sa fréquence est la plus proche de celle du fondamental \omega, et c'est celui dont l'amplitude est a priori la plus grande (en 1/3).

Pour annuler cet harmonique (b_3 = 0), on impose :

La plus petite valeur positive non nulle est :

Cette valeur correspond bien au zéro de la courbe p = 1 représentée sur la figure 4.

Pour ce choix t_0 = T/12, on a \alpha = 2\pi \frac{t_0}{T} = \frac{\pi}{6} :

• Harmonique fondamental (p = 0, rang 1) :

  b_1 = \frac{4E}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{\pi} E

• Harmonique 3 (p = 1, rang 3) :

  b_3 = \frac{4E}{3\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0

• Premier harmonique non nul restant (p = 2, rang 5) :

  b_5 = \frac{4E}{5\pi}\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{2\sqrt{3}}{5\pi} E \implies |b_5| = \frac{|b_1|}{5}

• Deuxième harmonique non nul restant (p = 3, rang 7) :

  b_7 = \frac{4E}{7\pi}\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{2\sqrt{3}}{7\pi} E \implies |b_7| = \frac{|b_1|}{7}

On a ainsi les rapports d'amplitude :

Commentaire : L'harmonique 3 étant complètement éliminé, le premier harmonique parasite non nul apparaît à la fréquence 5f. Étant nettement plus éloigné de la fréquence fondamentale que l'harmonique 3 (5\omega contre 3\omega), il sera beaucoup plus efficacement atténué par un filtre passe-bas, tout en ne dégradant que faiblement l'amplitude du fondamental puisque \cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}87 (perte de seulement 13\,\% par rapport au créneau sans palier nul).

1. Expression de la valeur efficace U :

Par définition, la valeur efficace d'un signal périodique u(t) de période T est :

D'après la figure 3, la tension u(t) vaut +E sur un intervalle de durée \frac{T}{2} - 2t_0, -E sur un intervalle de même durée \frac{T}{2} - 2t_0, et s'annule sur les paliers de durée cumulée 4t_0. Ainsi, u^2(t) = E^2 pendant une durée totale T - 4t_0 sur chaque période :

On en déduit :

2. Expression de la valeur efficace du fondamental U_f :

Le terme fondamental est donné par u_f(t) = b_1 \sin(\omega t). Sa valeur efficace est donc :

Avec b_1 = \dfrac{4E}{\pi} \cos(\alpha) où \alpha = \dfrac{2\pi t_0}{T} :

3. Calcul numérique du taux de distorsion pour t_0 = T/12 :

Pour la valeur retenue à la question Q21, t_0 = \dfrac{T}{12}, on a \alpha = \dfrac{\pi}{6} et :

Le rapport des carrés des valeurs efficaces vaut :

Le taux global de distorsion harmonique s'exprime donc sous la forme :

Avec \pi \approx 3{,}14 soit \pi^2 \approx 9{,}87 :

Soit numériquement :

4. Comparaison avec le créneau sans palier nul (t_0 = 0) :

Pour un créneau symétrique sans palier (t_0 = 0) :

Le taux de distorsion harmonique vaut alors :

Soit :

L'introduction du palier nul de largeur 2t_0 = T/6 permet de réduire le taux de distorsion de 48\,\% à 31\,\%, ce qui confirme l'intérêt d'éliminer l'harmonique 3 pour purifier le spectre du signal.

D'après la figure 5, la charge constituée de la résistance r est placée en série avec la bobine d'inductance L. En convention récepteur pour les dipôles L et r, parcourus par le même courant i(t), la loi des mailles s'écrit :

Sachant que u_r(t) = r\,i(t), il vient :

L'équation différentielle liant la tension de sortie u_r(t) à la tension d'entrée u(t) est linéaire à coefficients constants, ce qui démontre que u_r(t) est issue d'un filtrage linéaire de u(t).

En régime sinusoïdal de pulsation quelconque \Omega, en adoptant la notation complexe soulignée :

L'allure du gain montre que :

• pour \Omega \to 0, |\underline{H}| \to 1 (la bobine se comporte comme un fil en basse fréquence) ;
• pour \Omega \to +\infty, |\underline{H}| \to 0 avec une décroissance en -20\text{ dB/décade} (la bobine se comporte comme un circuit ouvert en haute fréquence).

Le dispositif réalise ainsi un filtre passe-bas du premier ordre, de pulsation de coupure à -3\text{ dB} :

Le système étant linéaire et régi par la fonction de transfert harmonique obtenue à la question Q23 :

on applique le théorème de superposition à la décomposition en série de Fourier de la tension d'entrée u(t) :

Pour chaque harmonique de pulsation \Omega_p = (2p+1)\omega, le filtre modifie :

• l'amplitude par le gain du filtre :

  G(\Omega_p) = |\underline{H}(\mathrm{j}\Omega_p)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{(2p+1)\omega}{\omega_c}\right)^2}}

• la phase par l'argument de la fonction de transfert :

  \Delta \varphi_p = \arg\left(\underline{H}(\mathrm{j}\Omega_p)\right) = -\arctan\left(\frac{(2p+1)\omega}{\omega_c}\right)

En sommant l'ensemble des réponses harmoniques en régime sinusoïdal établi, on obtient l'expression générale de la tension u_r(t) :

D'après la question Q21, pour t_0 = \frac{T}{12}, l'harmonique de rang 3 est nul (b_3 = 0), et les amplitudes des premières harmoniques du signal d'entrée u(t) vérifient :

D'après la question Q24, l'amplitude U_{r, n} de l'harmonique de rang n = 2p+1 dans la tension filtrée u_r(t) s'écrit, pour \omega_c = \omega :

Calculons les amplitudes du fondamental et des deux premières harmoniques non nulles restantes (n = 5 et n = 7) :

• Pour le fondamental (n = 1) :

  U_{r, 1} = \frac{b_1}{\sqrt{1 + 1^2}} = \frac{b_1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\pi} E \approx 0{,}78\, E

• Pour l'harmonique 5 (n = 5) :

  U_{r, 5} = \frac{|b_5|}{\sqrt{1 + 5^2}} = \frac{b_1}{5\sqrt{26}} = U_{r, 1} \frac{\sqrt{2}}{5\sqrt{26}} = \frac{U_{r, 1}}{5\sqrt{13}} \approx \frac{U_{r, 1}}{18} \approx 0{,}055\, U_{r, 1}

• Pour l'harmonique 7 (n = 7) :

  U_{r, 7} = \frac{|b_7|}{\sqrt{1 + 7^2}} = \frac{b_1}{7\sqrt{50}} = \frac{b_1}{35\sqrt{2}} = \frac{U_{r, 1}}{35} \approx 0{,}029\, U_{r, 1}

Les harmoniques restants représentent ainsi respectivement moins de 5{,}5\,\% et 2{,}9\,\% du fondamental en amplitude. On peut donc valablement négliger tous les harmoniques de rang n \ge 5 devant le fondamental.

Le déphasage du fondamental à la traversée du filtre est :

La forme approchée du signal u_r(t) s'écrit donc :

Ce signal sinusoïdal est retardé d'une durée \Delta t par rapport au fondamental de u(t) :

Représentons u(t) et u_r(t) en concordance des temps sur une période T :