Feuille d'entraînement : Électronique de puissance

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q19

   En régime permanent périodique de période T, le courant vérifie la condition aux limites temporelles :

   i_1(T) = i_1(0)

   Ce qui se traduit, par intégration de la dérivée temporelle de i_1(t) sur une période, par l'annulation de la tension moyenne aux bornes de l'inductance :

   \langle u_L \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T L \frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t = \frac{L}{T} \big( i_1(T) - i_1(0) \big) = 0

   D'après les équations établies à la question Q18 :

   • sur l'intervalle [0, \, \alpha T] : u_L(t) = U ;
   • sur l'intervalle [\alpha T, \, T] : u_L(t) = U - E.

   Il vient ainsi :

   \begin{aligned} \int_0^T u_L(t) \, \mathrm{d}t &= \int_0^{\alpha T} U \, \mathrm{d}t + \int_{\alpha T}^T (U - E) \, \mathrm{d}t = 0 \\ \alpha T \cdot U + (1 - \alpha) T \cdot (U - E) &= 0 \\ U - (1 - \alpha) E &= 0 \end{aligned}

   On en déduit la relation fondamentale du hacheur parallèle (élévateur) :

   \boxed{E = \frac{U}{1 - \alpha}} \quad \text{soit} \quad \boxed{\alpha = 1 - \frac{U}{E}}

   Application numérique : Avec U = 12\text{ V} et E = 30\text{ V} :

   \alpha = 1 - \frac{12}{30} = 1 - 0{,}40

   \boxed{\alpha = 0{,}60}

   Résultat

   $$E=\frac{U}{1-\alpha }$$

   $$\alpha =1-\frac{U}{E}$$

   $$\alpha =0,60$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie PSI 2025, Q35

   D'après le schéma du pont en H (figure 7), la tension aux bornes de la charge est orientée de sorte que :

   u_{\text{ch}}(t) = V_{\text{gauche}} - V_{\text{droite}}

   Les interrupteurs d'un même bras fonctionnent de façon complémentaire sur une période T :

   • Bras gauche : \text{K}_1 est fermé sur \left[\frac{T}{12},\,\frac{7T}{12}\right] (alors V_{\text{gauche}} = U), et \text{K}_3 est fermé sur \left[\frac{7T}{12},\,\frac{13T}{12}\right] (alors V_{\text{gauche}} = 0).
   • Bras droit : \text{K}_4 est fermé sur \left[-\frac{T}{12},\,\frac{5T}{12}\right] (alors V_{\text{droite}} = 0), et \text{K}_2 est fermé sur \left[\frac{5T}{12},\,\frac{11T}{12}\right] (alors V_{\text{droite}} = U).

   Déterminons l'état du pont et l'expression de u_{\text{ch}}(t) sur les différents intervalles composant la période [0,\, T] :

   • Pour t \in \left[0,\, \frac{T}{12}\right] : \text{K}_3 et \text{K}_4 sont fermés \implies V_{\text{gauche}} = 0 et V_{\text{droite}} = 0 \implies u_{\text{ch}}(t) = 0 ;
   • Pour t \in \left[\frac{T}{12},\, \frac{5T}{12}\right] : \text{K}_1 et \text{K}_4 sont fermés \implies V_{\text{gauche}} = U et V_{\text{droite}} = 0 \implies u_{\text{ch}}(t) = +U ;
   • Pour t \in \left[\frac{5T}{12},\, \frac{7T}{12}\right] : \text{K}_1 et \text{K}_2 sont fermés \implies V_{\text{gauche}} = U et V_{\text{droite}} = U \implies u_{\text{ch}}(t) = 0 ;
   • Pour t \in \left[\frac{7T}{12},\, \frac{11T}{12}\right] : \text{K}_3 et \text{K}_2 sont fermés \implies V_{\text{gauche}} = 0 et V_{\text{droite}} = U \implies u_{\text{ch}}(t) = -U ;
   • Pour t \in \left[\frac{11T}{12},\, T\right] : \text{K}_3 et \text{K}_4 sont fermés \implies V_{\text{gauche}} = 0 et V_{\text{droite}} = 0 \implies u_{\text{ch}}(t) = 0.

   Valeur moyenne : Le signal présente une symétrie de glissement (symétrie de demi-onde) : pour tout t,

   u_{\text{ch}}\!\left(t + \frac{T}{2}\right) = -u_{\text{ch}}(t)

   L'aire sous la courbe sur une demi-période compense exactement celle sur l'autre demi-période. Par conséquent :

   \boxed{U_{\text{moy}} = 0}

   Valeur efficace : Par définition de la valeur efficace :

   \begin{aligned} U_{\text{eff}}^2 &= \frac{1}{T} \int_0^T u_{\text{ch}}^2(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{T} \left[ \int_{T/12}^{5T/12} U^2\,\mathrm{d}t + \int_{7T/12}^{11T/12} (-U)^2\,\mathrm{d}t \right] \\ &= \frac{U^2}{T} \left( \frac{4T}{12} + \frac{4T}{12} \right) = \frac{U^2}{T} \times \frac{8T}{12} = \frac{2}{3}\,U^2 \end{aligned}

   On en déduit :

   \boxed{U_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\,U}

   Résultat

   $$U_{\text{moy}}=0$$

   $$U_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{2}{3}}U$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2025, Q9

   Pour une bobine idéale d'inductance L, la relation tension-courant en convention récepteur s'écrit :

   V_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}(t)

   En régime périodique établi de période T = \frac{1}{f}, le courant traversant chaque bobine est une fonction périodique du temps, de sorte que i_L(T) = i_L(0). La valeur moyenne de la tension sur une période vaut :

   \langle V_L \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T V_L(t) \, \mathrm{d}t = \frac{L}{T} \int_0^T \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t = \frac{L}{T} \Big( i_L(T) - i_L(0) \Big) = 0

   Cette propriété s'applique directement aux deux bobines L_1 et L_2 du convertisseur :

   \boxed{\langle V_{L_1} \rangle = 0 \quad \text{et} \quad \langle V_{L_2} \rangle = 0}

   D'après le schéma de la figure 8, appliquons la loi des mailles le long du contour fermé comprenant la source d'entrée V_e, l'inductance L_1, la capacité C_1, l'inductance L_2 et la ligne de masse inférieure :

   V_e - V_{L_1}(t) - V_{C_1}(t) - V_{L_2}(t) = 0

   soit :

   V_{C_1}(t) = V_e - V_{L_1}(t) - V_{L_2}(t)

   Par linéarité de l'opération moyenne temporelle, et sachant que la tension d'entrée V_e est supposée constante (\langle V_e \rangle = V_e) :

   \langle V_{C_1} \rangle = V_e - \langle V_{L_1} \rangle - \langle V_{L_2} \rangle

   Comme \langle V_{L_1} \rangle = 0 et \langle V_{L_2} \rangle = 0, on en déduit :

   \boxed{\langle V_{C_1} \rangle = V_e}

   Résultat

   $$⟨V_{L_1}⟩=0\text{et}⟨V_{L_2}⟩=0$$

   $$⟨V_{C_1}⟩=V_e$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2025, Q11

   D'après la question Q10, la tension instantanée aux bornes de l'inductance L_2 s'écrit :

   V_{L_2}(t) = \begin{cases} -V_{\mathrm{e}} & \text{pour } t \in [0, \alpha T[ \\ +V_{\mathrm{s}} & \text{pour } t \in [\alpha T, T[ \end{cases}

   La valeur moyenne de cette tension sur une période T vaut donc :

   \begin{aligned} \langle V_{L_2} \rangle &= \frac{1}{T} \int_0^T V_{L_2}(t) \, \mathrm{d}t \\ &= \frac{1}{T} \left[ \int_0^{\alpha T} (-V_{\mathrm{e}}) \, \mathrm{d}t + \int_{\alpha T}^T V_{\mathrm{s}} \, \mathrm{d}t \right] \\ &= -\alpha V_{\mathrm{e}} + (1 - \alpha) V_{\mathrm{s}} \end{aligned}

   En régime périodique établi, la valeur moyenne de la tension aux bornes d'une inductance est nulle (\langle V_{L_2} \rangle = 0, question Q9), ce qui conduit directement à :

   \begin{aligned} (1 - \alpha) V_{\mathrm{s}} - \alpha V_{\mathrm{e}} = 0 \end{aligned}

   On en déduit le gain statique du convertisseur :

   \boxed{\frac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} = \frac{\alpha}{1 - \alpha}}

   Intérêts du convertisseur SEPIC :

   • Caractère élévateur/abaisseur (Buck-Boost) sans inversion de polarité : La fonction de transfert montre que :

     • pour \alpha < 0{,}5, \dfrac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} < 1 (fonctionnement abaisseur) ;
     • pour \alpha > 0{,}5, \dfrac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}} > 1 (fonctionnement élévateur).

     Dans le vélo hybride, la tension d'entrée varie entre 27\text{ V} et 54\text{ V} alors que la tension de sortie requise est constante à V_{\mathrm{s}} = 36\text{ V}. Le convertisseur doit donc impérativement pouvoir abaisser la tension quand le pack est pleinement chargé (V_{\mathrm{e}} > 36\text{ V}) et l'élever lorsqu'il est déchargé (V_{\mathrm{e}} < 36\text{ V}). De plus, contrairement au hacheur Buck-Boost classique, le SEPIC conserve la même polarité entre l'entrée et la sortie (masse commune).

   • Courant d'entrée continu : La présence de l'inductance L_1 directement en série avec la source permet de lisser le courant prélevé sur le pack de supercondensateurs, limitant l'échauffement par effet Joule et le rayonnement électromagnétique.

   Résultat

   $$\frac{V_{\mathrm{s}}}{V_{\mathrm{e}}}=\frac{\alpha }{1-\alpha }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5ENS Physique U PSI 2025, Q53

   Le dipôle constitué de l'association en série de la résistance r et de la bobine d'inductance L est parcouru par le courant i(t). En convention récepteur (la flèche de tension U étant opposée au sens de parcours du courant i), la relation constitutive s'écrit à tout instant :

   U(t) = r \, i(t) + L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}(t)

   Première phase (0 \le t < T/2) :
   D'après la question Q52, la tension aux bornes du dipôle vaut U(t) = E - R\,i(t). En égalant les deux expressions :

   L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + r\,i = E - R\,i

   ce qui donne l'équation différentielle :

   \boxed{L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + (R + r)\,i = E \quad \text{pour} \quad 0 \le t < \frac{T}{2}}

   Seconde phase (T/2 \le t < T) :
   D'après la question Q52, on a U(t) = -E - R\,i(t). On obtient de même :

   L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + r\,i = -E - R\,i

   soit :

   \boxed{L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + (R + r)\,i = -E \quad \text{pour} \quad \frac{T}{2} \le t < T}

   Résultat

   $$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+(R+r)i=E\text{pour}0\le t<\frac{T}{2}$$

   $$L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}+(R+r)i=-E\text{pour}\frac{T}{2}\le t<T$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2023, Q44

   La relation constitutive d'une bobine idéale d'inductance L s'écrit :

   v_L(t) = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}

   Par définition de la valeur moyenne sur une période T :

   \langle v_L(t) \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_L(t)\,\mathrm{d}t = \frac{L}{T} \int_0^T \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \frac{L}{T} \big(i_L(T) - i_L(0)\big)

   Le régime périodique étant établi, le courant est strictement périodique de période T, soit i_L(T) = i_L(0) = i_{L,\min}. On en déduit :

   \boxed{\langle v_L(t) \rangle = 0}

   Par ailleurs, la tension v_L(t) prend les valeurs suivantes au cours d'une période :

   • pour 0 \leqslant t < \alpha T (phase active) : v_L(t) = V_{ps} ;
   • pour \alpha T \leqslant t < T (phase de roue libre) : v_L(t) = V_{ps} - v_s(t).

   Sous l'hypothèse d'une tension de sortie quasi-constante (v_s(t) \approx \langle v_s(t) \rangle), ou en intégrant directement :

   \begin{aligned} \langle v_L(t) \rangle &= \frac{1}{T} \int_0^{\alpha T} V_{ps}\,\mathrm{d}t + \frac{1}{T} \int_{\alpha T}^T \big(V_{ps} - v_s(t)\big)\,\mathrm{d}t \\ &= \alpha V_{ps} + (1 - \alpha) V_{ps} - (1 - \alpha)\langle v_s(t) \rangle \\ &= V_{ps} - (1 - \alpha)\langle v_s(t) \rangle \end{aligned}

   Comme \langle v_L(t) \rangle = 0 (ce qui revient également à égaler les deux expressions de l'ondulation de courant \Delta i_L établies à la question Q42) :

   V_{ps} - (1 - \alpha)\langle v_s(t) \rangle = 0

   On obtient ainsi :

   \boxed{\langle v_s(t) \rangle = \frac{V_{ps}}{1 - \alpha}}

   Résultat

   $$⟨v_L(t)⟩=0$$

   $$⟨v_s(t)⟩=\frac{V_{ps}}{1-\alpha }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2020, Q18

   Ce convertisseur statique, alimenté par une source de tension continue et délivrant une grandeur alternative à la charge via une structure en pont à quatre interrupteurs, est un onduleur (plus précisément un onduleur de tension autonome monophasé en pont, ou pont en H).

   \boxed{\text{Il s'agit d'un onduleur (ou onduleur de tension).}}

   Parmi les applications courantes de ce dispositif de conversion continu-alternatif (DC/AC), on peut citer :

   1. L'injection réseau de l'énergie photovoltaïque : conversion de la tension continue produite par des panneaux solaires en tension alternative synchrone avec le réseau électrique de distribution.
   2. Les alimentations sans interruption (ASI) : maintien d'une alimentation électrique alternative de secours pour des dispositifs critiques (hôpitaux, centres de données) à partir de parcs de batteries d'accumulateurs continus.
   3. La commande des machines électriques alternatives : alimentation à fréquence et tension variables des moteurs synchrones ou asynchrones (véhicules électriques, trains, variateurs industriels).

   Résultat

   $$\text{Il s’agit d’un onduleur (ou onduleur de tension).}$$

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8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q16

   L'inductance pure L remplit plusieurs rôles fondamentaux :

   1. Respect des règles d'interconnexion des sources :

      • La batterie d'entrée U est une source de tension continue. En sortie, le condensateur C impose également une tension quasi-constante e(t), se comportant ainsi comme une source de tension.
      • En électronique de puissance, il est interdit d'interconnecter directement deux sources de tension ou de court-circuiter une source de tension à travers un interrupteur fermé, sous peine de courants infinis destructeurs.
      • Grâce à la continuité du courant qui la traverse, l'inductance L placée en série transforme la source de tension continue U en une source de courant pour la cellule de commutation. La fermeture de l'interrupteur K_1 ne provoque ainsi aucun court-circuit de tension.

   2. Respect de la contrainte d'ondulation (lissage du courant) :

      • L'inductance s'oppose aux variations rapides du courant (\Delta i_1 = \frac{1}{L}\int u_L\,\mathrm{d}t). Elle assure le lissage du courant d'entrée i_1(t) et permet de respecter le cahier des charges imposant une ondulation \Delta I_1 \le 0{,}10\,I_1.

   3. Stockage et transfert d'énergie (effet élévateur) :

      • Elle sert d'élément de stockage temporaire d'énergie magnétique : emmagasinant de l'énergie lors de la conduction de K_1 (u_L = U > 0), elle la restitue ensuite à la charge à une tension supérieure E > U lors de l'ouverture de K_1 (u_L = U - E < 0).

   \boxed{\text{Fonctions de } L\text{ : source de courant aux commutations, lissage de } i_1(t) \text{ et stockage/transfert élévateur d'énergie.}}

   Résultat

   $$\text{Fonctions de }L\text{ : source de courant aux commutations, lissage de }{i}_1(t)\text{ et stockage/transfert eˊleˊvateur d’eˊnergie.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie PSI 2026, Q17

   Le condensateur de capacité C, placé en parallèle avec la résistance de charge R, assure deux rôles essentiels dans ce hacheur survolteur (hacheur parallèle/boost) :

   • Réservoir d'énergie et maintien de la continuité de l'alimentation : Lorsque l'interrupteur K_1 est fermé (intervalle [0, \alpha T]), l'interrupteur K_2 est bloqué. La source d'entrée et l'inductance sont isolées de la charge. Le condensateur se décharge alors dans la résistance R, fournissant l'énergie nécessaire pour alimenter le composant et maintenir le courant i_R(t).
   • Filtrage et lissage de la tension de sortie : Grâce à la condition \tau = RC \gg T, la décharge du condensateur sur chaque période est très faible. Le condensateur lisse la tension e(t) aux bornes de la charge, maintenant son ondulation à un niveau minimal (\Delta E \le 100\text{ mV}) autour de sa valeur moyenne E = 30\text{ V}.

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10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q44

    Le sens du courant électrique dans la borne positive dépend du régime de fonctionnement de l'accumulateur :

    • En décharge : l'accumulateur fonctionne en générateur. Le courant sort de la cathode (électrode positive) pour traverser le circuit extérieur récepteur. D'après la question précédente, la réduction du dioxygène doit se faire sur l'électrode de carbone poreux (électrode 2). Le courant doit donc circuler de l'électrode 2 vers le circuit extérieur.
    • En charge : l'accumulateur fonctionne en récepteur, alimenté par un chargeur externe imposant un courant entrant par l'électrode positive (anode d'oxydation de l'eau). Cette oxydation doit avoir lieu sur l'électrode de nickel (électrode 1). Le courant doit donc circuler du circuit extérieur vers l'électrode 1.

    Pour assurer une commutation spontanée régie uniquement par le sens du courant, on insère deux diodes :

    • Une diode D_1 orientée dans le sens direct du circuit extérieur vers l'électrode de nickel ;
    • Une diode D_2 orientée dans le sens direct de l'électrode de carbone poreux vers le circuit extérieur.

    Vérification du fonctionnement :

    • En décharge : le courant i > 0 sort de la cellule : la diode D_2 est polarisée en direct et conduit le courant vers le circuit extérieur, tandis que D_1 est bloquée (courant inverse empêché). L'électrode de carbone est active.
    • En charge : le générateur externe applique une tension supérieure à la f.e.m. et injecte un courant : la diode D_1 est passante, dirigeant le courant vers l'électrode de nickel, tandis que la diode D_2 est bloquée, protégeant ainsi l'électrode de carbone de toute oxydation anodique.

    Indice, stratégie et pièges de cette question