Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2026

D'après la figure 1a, le circuit est formé d'une seule maille associant en série le générateur réel (e_0, r_i) et la résistance de charge r_e. L'intensité du courant circulant dans la boucle s'écrit, d'après la loi des mailles :

La puissance électrique fournie par le générateur au récepteur (qui est intégralement dissipée par effet Joule dans r_e) vaut alors :

Pour trouver la valeur de r_e maximisant cette puissance à e_0 et r_i fixés, on peut :

• soit dériver P_g par rapport à r_e :

  \frac{\mathrm{d}P_g}{\mathrm{d}r_e} = e_0^2 \, \frac{(r_i + r_e)^2 - 2r_e(r_i + r_e)}{(r_i + r_e)^4} = e_0^2 \, \frac{r_i - r_e}{(r_i + r_e)^3}

  La dérivée s'annule en changeant de signe (de positif à négatif) pour r_e = r_i, ce qui correspond bien à un maximum ;

• soit réécrire P_g sous la forme :

  P_g = e_0^2 \, \frac{r_e}{r_e^2 + 2 r_i r_e + r_i^2}

  et appliquer la propriété donnée dans le préambule pour la fonction f(x) = \frac{x}{x^2 + 2kax + a^2} avec x = r_e, a = r_i et k = 1 > -1, dont le maximum est atteint en x = a.

Dans les deux cas, la puissance fournie au récepteur est maximale pour :

En remplaçant r_e par r_i dans l'expression de P_g, on obtient la puissance maximale correspondante :

D'après le schéma de la figure 1b, le circuit forme une maille unique où le générateur réel (de f.e.m. \underline{e} et d'impédance interne \underline{Z}_i) alimente le dipôle récepteur d'impédance \underline{Z}_e.

En appliquant la loi des mailles avec les conventions de la figure 1b, l'intensité complexe \underline{i}_e traversant le circuit vaut :

En convention récepteur pour l'impédance \underline{Z}_e, la loi d'Ohm complexe ou la formule du pont diviseur de tension donne directement :

La puissance active moyenne consommée par le dipôle récepteur linéaire d'impédance complexe \underline{Z}_e = Z_e \mathrm{e}^{j\varphi_e} s'écrit :

Comme la tension efficace aux bornes du récepteur est reliée à l'intensité efficace par la loi d'Ohm U_{e,\text{eff}} = |\underline{Z}_e| \, I_{e,\text{eff}} = Z_e I_{e,\text{eff}}, on obtient :

D'après la question Q2, l'intensité complexe est donnée par :

L'intensité efficace s'en déduit en prenant le module :

Le carré du module de la somme des impédances complexes vaut :

En injectant l'expression de I_{e,\text{eff}}^2 dans celle de P_a, on aboutit à :

D'après le résultat de la question Q3, la puissance moyenne consommée par le récepteur s'écrit :

En introduisant l'hypothèse \varphi_i = -\varphi_e, on a \varphi_e - \varphi_i = 2\varphi_e, d'où :

On reconnaît la fonction f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 2kax + a^2} donnée en préambule avec :

D'après la propriété admise, cette fonction admet un maximum en x = a, ce qui donne directement :

À ce maximum, en utilisant la relation trigonométrique 1 + \cos(2\varphi_e) = 2\cos^2\varphi_e, il vient :

Soit :

Puisque Z_e = Z_i et \varphi_e = -\varphi_i, les impédances sont complexes conjuguées : \underline{Z}_e = \underline{Z}_i^*. L'impédance équivalente vue par la source est :

Le courant efficace traversant le circuit vaut donc :

La puissance moyenne dissipée dans l'impédance interne du générateur est la puissance active reçue par \underline{Z}_i :

On obtient ainsi :

Commentaire :

• À l'adaptation d'impédance (\underline{Z}_e = \underline{Z}_i^*), la puissance dissipée dans le générateur est exactement égale à la puissance maximale fournie au récepteur : P_{\text{diss}} = P_{a,\text{max}}.

• Le rendement du transfert est donc de :

  \eta = \frac{P_{a,\text{max}}}{P_{a,\text{max}} + P_{\text{diss}}} = 50\%

  Cette condition est recherchée en télécommunications ou en instrumentation pour extraire un signal de puissance maximale, mais elle est inadaptée au transport d'énergie de forte puissance, pour lequel on cherche au contraire à minimiser les pertes par effet Joule (Z_i \ll Z_e afin d'obtenir un rendement proche de 100\%).

Le récepteur est constitué de la mise en série d'une résistance r_e et d'une bobine d'inductance \ell_e. Son impédance complexe s'écrit :

D'après la question Q4, l'adaptation d'impédance impose Z_i = Z_e et \varphi_i = -\varphi_e, ce qui équivaut à la relation de conjugaison complexe :

La partie réelle de \underline{Z}_i est positive et indépendante de la fréquence, elle correspond à une résistance pure :

La partie imaginaire de \underline{Z}_i étant strictement négative, elle peut être réalisée par un condensateur de capacité C_i branché en série avec la résistance r_i :

Par identification avec l'expression de \underline{Z}_e^*, on obtient :

Application numérique avec f = 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz} et \ell_e = 0{,}5\text{ mH} = 0{,}5 \times 10^{-3}\text{ H} :

L'impédance interne optimale \underline{Z}_i est donc réalisée par l'association en série :

D'après la question Q4, la condition d'adaptation d'impédance assurant un transfert maximal de puissance active s'écrit :

Examinons le montage de la figure 2 :

• D'après l'énoncé et la délimitation de la figure 2, le générateur présente une impédance interne nulle :

  \underline{Z}_i = 0

  Le récepteur, constitué de l'association parallèle de R et C, possède une impédance d'entrée :

  \underline{Z}_e = \frac{R}{1 + jRC\omega} \neq 0

  On a donc manifestement \underline{Z}_e \neq \underline{Z}_i^*.

• Même si l'on incluait la bobine d'inductance L dans l'impédance interne équivalente de la source vue par le récepteur (\underline{Z}_{i,\text{tot}} = jL\omega), la partie réelle de cette impédance serait nulle (\operatorname{Re}(\underline{Z}_{i,\text{tot}}) = 0), alors que le récepteur dissipe de la puissance et présente une partie réelle strictement positive :

  \operatorname{Re}(\underline{Z}_e) = \frac{R}{1 + R^2 C^2 \omega^2} > 0

  L'égalité des parties réelles ne peut donc en aucun cas être satisfaite.

Le récepteur est constitué de la mise en parallèle de la résistance R et de la capacité C. Son admittance équivalente s'écrit :

L'ensemble du circuit est alimenté par la source de tension idéale \underline{e} en série avec la bobine d'impédance \underline{Z}_L = jL\omega. Par application du pont diviseur de tension, la tension complexe \underline{u}_s aux bornes du récepteur s'exprime par :

En remplaçant \underline{Z}_L et \underline{Y}_{RC} par leurs expressions :

On identifie cette expression avec la forme canonique imposée :

Par identification terme à terme :

• le gain statique est :

  \boxed{H_0 = 1}

• la pulsation propre \omega_0 vérifie \omega_0^2 = \frac{1}{LC}, soit :

  \boxed{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}

• le facteur de qualité Q vérifie \frac{1}{Q\omega_0} = \frac{L}{R}, ce qui conduit à :

  \boxed{Q = \frac{R}{L\omega_0} = R\sqrt{\frac{C}{L}}}

Le récepteur est constitué d'une résistance R et d'un condensateur de capacité C montés en parallèle.

• Un condensateur idéal est un dipôle purement réactif : il stocke et restitue de l'énergie électrostatique au cours de la période, de sorte que la puissance active moyenne qu'il absorbe est strictement nulle :

  \langle p_C(t) \rangle = 0
• Seule la résistance R dissipe de la puissance sous forme d'effet Joule.

La tension aux bornes du récepteur (donc aux bornes de la résistance R) étant u_s(t) de valeur efficace U_{s,\text{eff}}, la puissance moyenne consommée par le récepteur s'écrit :

D'après la question Q7, la fonction de transfert entre la sortie et l'entrée s'écrit :

La relation entre les amplitudes ou entre les valeurs efficaces est donnée par le module de la fonction de transfert :

Le carré du module vaut :

En injectant cette relation dans l'expression de la puissance active P_a, il vient :

Cette expression est bien de la forme demandée :

par identification avec le terme constant au numérateur :

D'après le résultat de la question Q8, le rapport réduit y = \frac{P_a}{P_{a,0}} s'écrit en fonction de la pulsation réduite x = \frac{\omega}{\omega_0} :

1. Détermination du facteur de qualité Q

Pour x = 1 (\omega = \omega_0), l'expression se simplifie immédiatement :

Sur le graphe agrandi de la figure 3 (à droite), on lit très précisément pour l'abscisse x = 1 l'ordonnée y(1) = 16. On en déduit :

2. Évaluation de l'écart relatif \dfrac{\delta\omega}{\omega_0}

Le maximum de y(x) correspond au minimum du dénominateur D(x) = \left(1 - x^2\right)^2 + \dfrac{x^2}{Q^2}. Posons la variable auxiliaire u = x^2 \geqslant 0 :

Ce trinôme du second degré en u admet son minimum pour :

Pour Q = 4, u_{\max} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32} \approx 0{,}9688 > 0. La pulsation de résonance \omega_{\max} vérifie donc :

Sur le graphe agrandi, on observe bien que le sommet de la courbe se situe à l'abscisse x_{\max} \approx 0{,}984 (avec y_{\max} = \frac{1}{1 - \frac{31^2}{32^2}} = \frac{1024}{63} \approx 16{,}25).

L'écart relatif algébrique entre la pulsation du maximum et \omega_0 s'écrit :

Numériquement pour Q = 4 :

3. Dépendance de l'écart vis-à-vis de Q

Pour des facteurs de qualité usuels élevés (Q \gg 1), un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de \frac{1}{Q^2} = 0 donne :

D'où l'expression approchée de l'écart relatif :

Cet écart est négatif (le maximum a toujours lieu pour une pulsation légèrement inférieure à \omega_0) et décroît en valeur absolue comme \frac{1}{Q^2}. Ainsi, plus le facteur de qualité Q est grand, plus la pulsation de résonance de puissance est proche de la pulsation propre \omega_0.

1. Valeur de l'inductance L

D'après la question précédente, l'écart relatif entre la pulsation de puissance maximale \omega_{\max} et la pulsation propre \omega_0 n'est que de 1{,}6\,\%. En assimilant la fréquence de résonance à la fréquence propre f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}, on obtient :

Pour f_0 = 200\text{ kHz} = 2{,}00\times 10^5\text{ Hz} et C = 20\text{ pF} = 2{,}0\times 10^{-11}\text{ F} :

Remarque : si l'on prend rigoureusement f_{\max} = f_0 = 200\text{ kHz} avec \omega_{\max} = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}} et Q = 4, on a L = \frac{1 - 1/(2Q^2)}{4\pi^2 f_{\max}^2 C} = \frac{31}{32}\frac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} \approx 30{,}7\text{ mH}.

2. Valeur de la résistance R

D'après la question Q8, la puissance moyenne s'écrit P_a(x) = y(x)\,P_{a,0} avec P_{a,0} = \frac{E_{0,\text{eff}}^2}{R}.

Le maximum de la fonction y(x), visible sur la figure 3 et calculé en Q9, vaut :

On en déduit :

Avec E_{0,\text{eff}} = 100\text{ V}, P_{a,\max} = 1\text{ kW} = 1000\text{ W} et y_{\max} \approx 16{,}25 (ou 16 au premier ordre) :

3. Écart de fréquence acceptable

La condition sur la puissance s'écrit :

Par lecture sur l'agrandissement de la figure 3 au niveau de l'ordonnée y = 14{,}6, on relève l'intervalle de pulsations réduites :

Vérification analytique : l'équation (1-x^2)^2 + \frac{x^2}{16} = \frac{0{,}0615}{0{,}90} = 0{,}0684 donne x_1 = 0{,}941 et x_2 = 1{,}025, en parfait accord avec le graphe.

Puisque f = x f_0, les fréquences correspondantes sont :

L'écart de fréquence toléré est donc :

Ce qui correspond à une variation autorisée d'environ \pm 4\,\% autour de la fréquence du pic (f_{\max} \approx 197\text{ kHz}).

4. Commentaire et solution proposée

La résonance est relativement aiguë. Or, la fréquence propre dépend de la capacité selon f_0 \propto C^{-1/2}, ce qui donne par dérivation logarithmique :

Dans un transfert sans contact, la capacité C dépend de l'entrefer et de l'alignement mécanique des armatures ; une variation de C de seulement 10\,\% décale f_0 de 5\,\%, ce qui fait sortir le système de la bande passante admissible et entraîne une chute drastique de la puissance transmise.

Solutions possibles :

• Asservissement de fréquence (recommandé) : asservir la fréquence d'alimentation de l'onduleur à la fréquence de résonance instantanée du circuit à l'aide d'une boucle à verrouillage de phase (PLL) ou d'un algorithme de recherche du point de puissance maximale (MPPT).
• Accord dynamique : adapter l'inductance L ou adjoindre un banc de condensateurs commutables pour réajuster la fréquence propre.

1. Propriétés générales du champ électrique et des lignes de champ

Le champ électrostatique dérive du potentiel selon la relation :

Par conséquent :

• en tout point, le vecteur \vec{E} est orthogonal à la surface équipotentielle passant par ce point ;
• \vec{E} est dirigé dans le sens des potentiels décroissants (des potentiels positifs vers les potentiels négatifs) ;
• les lignes de champ sont des courbes orthogonales aux équipotentielles et orientées dans le sens de \vec{E}.

D'après la figure 5, l'armature inférieure (en y = -d/2 = -5{,}5\text{ cm}) est au potentiel +V_0 = +100\text{ V} (lignes de niveau positives en trait plein), tandis que l'armature supérieure (en y = +d/2 = +5{,}5\text{ cm}) est au potentiel -V_0 = -100\text{ V} (lignes de niveau négatives en pointillés).

2. Représentation aux points A, B et C

• Au point A (x = 0, situé entre les armatures) : par symétrie plane, le champ est purement selon l'axe vertical (Oy). Les potentiels décroissent lorsque y augmente (de +100\text{ V} à -100\text{ V}), donc \vec{E}(A) est vertical ascendant (selon +\vec{e}_y). La ligne de champ est le segment rectiligne de l'axe (Oy) joignant l'armature inférieure à l'armature supérieure, orienté vers le haut.
• Au point B (x \approx 30\text{ cm}, y \approx 2\text{ cm}, à l'extérieur des armatures) : le champ \vec{E}(B) est orthogonal à l'équipotentielle passant par B, dirigé vers les potentiels décroissants (vers le haut et légèrement vers la gauche, en direction de l'armature négative). La ligne de champ contourne le bord de l'armature depuis la face extérieure positive vers la face négative.
• Au point C (x = 0, y \approx -9{,}5\text{ cm}, sous l'armature inférieure) : par symétrie, le champ est selon (Oy). Le potentiel décroît lorsque l'on s'éloigne de l'armature vers le bas (de +100\text{ V} vers 0\text{ V} à l'infini), donc \vec{E}(C) est vertical descendant (selon -\vec{e}_y). La ligne de champ est la demi-droite portée par (Oy) pour y \leqslant -5{,}5\text{ cm}, orientée vers le bas.

3. Évaluation numérique de la norme du champ en A et en C

La norme du champ s'estime par :

où |\Delta V| = 10\text{ V} entre deux équipotentielles consécutives et \Delta n est leur espacement spatial.

• Au point A : Entre les armatures distantes de d = 11\text{ cm} = 0{,}11\text{ m}, la différence de potentiel totale est de 200\text{ V}, répartie sur 20 intervalles de 10\text{ V}, soit un espacement moyen :

  \Delta y_A = \frac{11\text{ cm}}{20} = 0{,}55\text{ cm} = 5{,}5 \times 10^{-3}\text{ m}

  D'où :

  E_A \approx \frac{10\text{ V}}{5{,}5 \times 10^{-3}\text{ m}} \approx 1{,}8 \times 10^3\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}
  \boxed{E_A \approx 1{,}8\text{ kV}\cdot\text{m}^{-1}}

• Au point C : Sur la figure 5, le point C se situe vers y \approx -9{,}5\text{ cm}, entre les équipotentielles +90\text{ V} et +80\text{ V}. L'écartement mesuré selon l'axe vertical entre ces deux équipotentielles vaut environ :

  \Delta y_C \approx 2{,}0\text{ à }2{,}5\text{ cm} = (2{,}0\text{ à }2{,}5)\times 10^{-2}\text{ m}

  On en déduit :

  E_C \approx \frac{10\text{ V}}{2{,}2 \times 10^{-2}\text{ m}} \approx 4{,}5 \times 10^2\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}
  \boxed{E_C \approx 4\text{ à }5 \times 10^2\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}}

La densité volumique d'énergie électrique s'écrit en tout point où règne un champ électrique \vec{E} :

Entre deux armatures planes parallèles séparées d'une distance d et portées à une différence de potentiel U = V_1 - V_2, le champ électrique uniforme normal aux plaques a pour norme :

En supposant le champ strictement confiné au volume délimité par les plaques de surface S = \ell^2, le volume inter-armatures vaut \mathcal{V} = S d = \ell^2 d. L'énergie électrique emmagasinée s'obtient par intégration :

Par identification avec l'expression macroscopique de l'énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur, U_E = \frac{1}{2} C_0 U^2, on en déduit la capacité C_0 :

Application numérique : Avec \varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}, \ell = 0{,}48\text{ m} et d = 0{,}11\text{ m} :

Pour une différence de potentiel U = 2V_0 fixée entre les armatures, la capacité est directement liée à l'énergie électrostatique totale emmagasinée dans tout l'espace :

Dans le modèle idéal de la question Q12, on a supposé le champ électrique strictement confiné au volume délimité par les deux plaques en regard, d'où :

Or, la topographie des équipotentielles de la figure 5 montre sans ambiguïté l'existence de lignes de champ électrique s'étendant à l'extérieur des armatures (sur les côtés au voisinage du point B, ainsi qu'au-dessus et en dessous des plaques comme au point C).

La densité volumique d'énergie u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 étant une grandeur positive, l'intégration sur l'espace extérieur apporte une contribution strictement positive supplémentaire à l'énergie totale :

À tension U imposée, il en résulte directement :

La loi régissant la capacité réelle s'écrit :

En prenant le logarithme népérien de cette expression :

Avec les variables définies par l'énoncé, x = \ln(d/\ell) et y = \ln((C_{\text{réel}} - C_0)/C_0), on obtient l'équation d'une droite :

Par identification avec l'équation de régression fournie par la figure 6, y = 0{,}927\,x + 0{,}819 :

Pour le condensateur de la figure 5, on a d = 11\text{ cm} et \ell = 48\text{ cm} :

D'où l'ordonnée correspondante :

Le terme correctif vaut ainsi :

En utilisant la valeur de la capacité idéale calculée à la question Q12 (C_0 \approx 18{,}5\text{ pF}) :

1. Complétion des lignes 19 à 21 du code Python

• Ligne 19 : La boucle interne doit parcourir les indices des points expérimentaux, soit de 0 à 9 (la taille du tableau y étant de 10). On écrit :

  for j in range(len(y)):   (ou for j in range(10):)

• Ligne 20 : Le sujet précise dans ses données la fonction np.random.uniform(a, b). Si l'on modélise l'incertitude sur chaque mesure par une loi uniforme de demi-largeur \Delta centrée sur y_j, son écart-type (incertitude-type) vaut u_y = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}, soit \Delta = \sqrt{3}\,u_y. La valeur simulée est tirée uniformément dans [y_j - \sqrt{3}\,u_y,\, y_j + \sqrt{3}\,u_y] :

  Y_i.append(np.random.uniform(y[j] - np.sqrt(3)*u_y, y[j] + np.sqrt(3)*u_y))

  Remarque : l'instruction Y_i.append(np.random.uniform(y[j] - u_y, y[j] + u_y)) est également couramment acceptée si l'énoncé assimile u_y à la demi-largeur du tirage uniforme.

• Ligne 21 : D'après les spécifications données en fin de sujet, la fonction np.polyfit(x, Y_i, 1) effectue la régression linéaire d'ordre 1 et renvoie le tuple (\text{pente}, \text{ordonnée à l'origine}), soit (a_i, b_i) :

  a_i, b_i = np.polyfit(x, Y_i, 1)

2. Justification des lignes 30 et 31

• Ligne 30 (kappa = np.exp(b_m)) : D'après la modélisation introduite à la question Q14, l'équation de la droite s'écrit :

  y = \beta x + \ln \kappa

  L'ordonnée à l'origine théorique est donc b = \ln \kappa, d'où :

  \kappa = \exp(b)

  Pour un grand nombre de tirages, la meilleure estimation de \kappa est donc calculée à partir de la valeur moyenne b_m des ordonnées à l'origine obtenues :

  \boxed{\kappa = \exp(b_m)}

• Ligne 31 (u_kappa = kappa * u_b) : Considérons la relation fonctionnelle \kappa(b) = \exp(b). Par la formule de propagation des incertitudes au premier ordre (développement de Taylor pour une grandeur mono-variable) :

  u(\kappa) = \left| \frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}b} \right| u(b)

  Or \frac{\mathrm{d}\kappa}{\mathrm{d}b} = \exp(b) = \kappa > 0, ce qui conduit directement à :

  \boxed{u(\kappa) = \kappa \cdot u(b)}

  Cette relation justifie l'affectation u_kappa = kappa * u_b.

1. Relations traduisant le couplage magnétique

Orientons les deux mailles dans le sens horaire, cohérent avec les sens fléchés pour les courants \underline{i}_e et \underline{i}_s. Le couplage magnétique étant compté positivement avec ces orientations, les flux totaux à travers les bobines s'écrivent :

Les forces électromotrices induites sont données par la loi de Faraday :

• Maille primaire : en appliquant la loi des mailles orientée dans le sens horaire :

  \begin{aligned} \underline{u}_e - \frac{1}{jC_1\omega}\underline{i}_e + \underline{e}_1 &= 0 \\ \underline{u}_e &= \left(jL_1\omega + \frac{1}{jC_1\omega}\right)\underline{i}_e + jM\omega\underline{i}_s \end{aligned}

• Maille secondaire : de même, en parcourant la maille dans le sens horaire (le dipôle de la batterie étant en convention récepteur, la tension \underline{u}_s s'oppose à \underline{i}_s) :

  \begin{aligned} \underline{e}_2 - \frac{1}{jC_2\omega}\underline{i}_s - \underline{u}_s &= 0 \\ -jM\omega\underline{i}_e &= \left(jL_2\omega + \frac{1}{jC_2\omega}\right)\underline{i}_s + \underline{u}_s \end{aligned}

Les deux relations traduisant le couplage magnétique sont donc :

2. Simplification au cas idéal

Dans le cas idéal, les capacités vérifient L_1 C_1 \omega^2 = 1 et L_2 C_2 \omega^2 = 1, ce qui équivaut à :

Les impédances propres des branches L\text{--}C s'annulent par résonance série. Les équations se réduisent alors simplement à :

3. Rôle des condensateurs

Les condensateurs C_1 et C_2 permettent de :

• Compenser la composante inductive des bobines L_1 et L_2 à la fréquence de fonctionnement en plaçant les deux circuits à la résonance série ;
• Annuler la puissance réactive propre des bobines, ce qui optimise le transfert de puissance en éliminant les chutes de tension inductives ;
• Rendre le transfert indépendant des inductances propres L_1 et L_2, seul le terme de couplage mutuel M intervenant dans le transfert effectif.

4. Calcul de C_1

À partir de la condition de résonance primaire avec \omega = 2\pi f :

Application numérique avec L_1 = 50\,\mu\text{H} = 50\times 10^{-6}\text{ H} et f = 120\text{ kHz} = 1{,}20\times 10^5\text{ Hz} :

Le récepteur (circuit de la batterie) est équivalent à une résistance pure R, ce qui impose en convention récepteur :

D'après les relations simplifiées obtenues à la question Q16 à la résonance idéale :

On en déduit l'expression du courant secondaire :

En réinjectant \underline{i}_s dans l'expression de \underline{u}_e :

En prenant l'intensité \underline{i}_e comme référence des phases (\varphi(\underline{i}_e) = 0) :

• \underline{u}_e est en phase avec \underline{i}_e : \varphi(\underline{u}_e) = 0 ;
• \underline{u}_s et \underline{i}_s sont en phase entre eux et en quadrature retard par rapport à \underline{i}_e : \varphi(\underline{u}_s) = \varphi(\underline{i}_s) = -\dfrac{\pi}{2}.

On trace le diagramme de Fresnel associé :

La puissance moyenne transmise à la batterie est la puissance active dissipée dans la résistance équivalente R :

Comme le système est résonnant et non dissipatif en amont de R, l'impédance équivalente vue par le générateur est purement réelle :

Par conservation de l'énergie (ou par P = U_{e,\text{eff}} I_{e,\text{eff}} \cos(0)) :

Application numérique :

D'où :

Le secondaire reste accordé à la résonance (L_2 C_2 \omega^2 = 1), de sorte que la seconde équation établie en Q16 et Q17 demeure inchangée :

Les vecteurs associés à \underline{i}_s et \underline{u}_s restent donc strictement colinéaires entre eux et en quadrature retard (-\pi/2) par rapport à \underline{i}_e.

En revanche, la capacité C_1 = 40\text{ nF} est désormais différente de la valeur d'accord C_{1,\text{id}} \approx 35{,}2\text{ nF} déterminée à la question Q16. La réactance propre du primaire n'est plus nulle :

Avec \omega = 2\pi f = 2\pi \times 120\times 10^3 \approx 7{,}54\times 10^5\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} :

La tension aux bornes du primaire s'écrit alors :

où R_r = \frac{(M\omega)^2}{R} \approx \frac{(20{,}44)^2}{10} \approx 41{,}8\ \Omega est la résistance ramenée.

Modification du diagramme de Fresnel :

• Les positions relatives de \underline{i}_e, \underline{i}_s et \underline{u}_s ne sont pas modifiées.
• La tension \underline{u}_e n'est plus en phase avec \underline{i}_e : elle acquiert une composante imaginaire positive j X_1\,\underline{i}_e orthogonale à \underline{i}_e (en quadrature avance).

• Le vecteur \vec{U}_e tourne donc d'un angle de déphasage positif :

  \varphi_e = \arctan\left(\frac{X_1}{R_r}\right) = \arctan\left(\frac{4{,}54}{41{,}8}\right) \approx 6{,}2^\circ

Variation de la puissance transférée :

À la batterie, la puissance moyenne reçue est purement dissipée dans R :

Or, la loi d'Ohm au primaire donne :

Il vient :

où P_{\text{id}} = \frac{U_{e,\text{eff}}^2}{R_r} \approx \frac{9^2}{41{,}8} \approx 1{,}94\text{ W} est la puissance transférée dans le cas idéal (question Q17).

La variation relative de puissance s'exprime par :

Application numérique :

En valeur absolue :

Un porteur de charge de variété i, de charge q_i et animé de la vitesse \vec{v}_i, est soumis à la force de Lorentz :

Dans le référentiel lié à la plaquette (supposé galiléen), le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce porteur s'écrit :

En régime de déplacement stationnaire, la vitesse moyenne \vec{v}_{i,\text{s}} est constante au cours du temps, si bien que l'accélération moyenne est nulle :

Comme le coefficient de frottement \lambda_i est non nul (\lambda_i > 0), on en déduit :

Cette relation s'identifie bien à la forme demandée \vec{v}_{i,\text{s}} = \mu_i \left(\vec{E} + \vec{v}_{i,\text{s}} \wedge \vec{B}_0\right), avec :

Le courant dans la plaquette est assuré uniquement par les électrons de conduction, de charge q_e = -e et de densité volumique n_e. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit :

D'après le résultat de la question Q19 appliqué aux électrons libres :

En multipliant cette relation par -n_e e, il vient :

On met ainsi cette relation sous la forme demandée :

par identification :

D'après la question Q20, la constante de Hall et la conductivité de l'arséniure d'indium s'écrivent :

On en déduit l'expression de la densité volumique d'électrons :

Application numérique avec e = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C} et |K_H| = 9{,}98 \times 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{C}^{-1} :

Pour la conductivité \gamma, avec |\mu_e| = 3{,}3\text{ U.S.I.} :

Application numérique :

Comparaison avec un métal usuel :

• Pour un bon métal conducteur (tel que le cuivre), la densité volumique d'électrons libres est de l'ordre de n_{\text{métal}} \sim 10^{28}\text{ à }10^{29}\text{ m}^{-3} (environ un électron de conduction par atome). La densité dans InAs est donc environ 10^6 fois plus faible.
• La conductivité d'un métal usuel est de l'ordre de \gamma_{\text{métal}} \sim 10^7\text{ à }6 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}. Celle de l'arséniure d'indium est donc environ 10^3 fois plus faible.

Intérêt d'un semi-conducteur : La tension de Hall U_H est proportionnelle à la constante de Hall |K_H| = 1/(n_e e). Comme la densité de porteurs n_e dans un semi-conducteur est beaucoup plus faible que dans un métal, le coefficient |K_H| y est considérablement plus élevé (ici de l'ordre de 10^5 fois plus grand que pour le cuivre où |K_H| \sim 10^{-10}\text{ m}^3\cdot\text{C}^{-1}). Cela permet d'obtenir une tension de Hall U_H de l'ordre du millivolt au volt, aisément mesurable sans amplification extrême.

De plus, la mobilité électronique exceptionnelle de l'InAs (|\mu_e| = 3{,}3\text{ m}^2\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}) confère au matériau une conductivité suffisante pour limiter les pertes par effet Joule lors du passage du courant.

D'après le résultat de la question Q20, la loi d'Ohm généralisée s'écrit :

Avec \vec{j} = j_x \vec{e}_x, \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z et \vec{E} = E_x \vec{e}_x + E_y \vec{e}_y, calculons le produit vectoriel :

En projetant la relation vectorielle sur l'axe Oy (où j_y = 0 en régime stationnaire, aucun courant ne pouvant traverser les faces latérales isolées) :

Puisque la conductivité \gamma \neq 0, on en déduit directement :

Le champ électrique dérive du potentiel scalaire : \vec{E} = -\vec{\nabla} V. Le champ transverse E_y étant uniforme, la circulation de \vec{E} entre le point C (situé sur la face y = 0) et le point D (situé sur la face y = b) donne :

L'intensité I traverse la section transverse S = b c perpendiculaire à l'axe Ox. Le courant étant uniforme :

On en déduit l'expression de la tension de Hall en fonction de I :

Par ailleurs, la projection de la loi d'Ohm sur l'axe Ox donne :

La tension u appliquée entre les faces d'entrée et de sortie distantes de a vaut :

Il vient ainsi :

En injectant cette relation dans l'expression de U_H = - K_H B_0 j_x b :

On retrouve bien la relation U_H = A_H B_0 u par identification, avec :

1. Expression du champ magnétique dans l'entrefer

On applique le théorème d'Ampère à l'excitation magnétique \vec{H} le long de la ligne moyenne \Gamma du tore, de longueur totale l, orientée dans le sens de circulation associé à i :

Le contour traverse le matériau ferromagnétique sur une longueur l - \ell_e et l'entrefer sur une longueur \ell_e. En négligeant les fuites magnétiques (car l \gg \ell_e, l \gg h et l \gg h'), la conservation du flux magnétique impose la continuité de la composante normale de \vec{B}, d'où B_{\text{fer}} \approx B_{\text{entrefer}} = B_0. Avec \vec{B} = \mu_0 \mu_r \vec{H} dans le tore et \vec{B} = \mu_0 \vec{H} dans l'entrefer :

Comme \mu_r = 10^5, on a \dfrac{l - \ell_e}{\mu_r} \approx \dfrac{50 \times 10^{-3}}{10^5} = 5 \times 10^{-7}\text{ m} \ll \ell_e = 2 \times 10^{-3}\text{ m}. L'entrefer concentre l'essentiel de la réluctance du circuit :

2. Proportionnalité et calcul de \alpha

D'après la question Q22, la tension de Hall s'écrit U_H = A_H B_0 u. En remplaçant B_0 par son expression :

La mesure de la tension de Hall U_H est donc bien proportionnelle au produit instantané u \times i :

Application numérique :

• A_H = \dfrac{b}{a} |\mu_e| = \dfrac{3 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} \times 3{,}3 = 1{,}98\text{ T}^{-1} ;
• \alpha = 1{,}98 \times \dfrac{1{,}26 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}} \approx 1{,}25 \times 10^{-3}\text{ A}^{-1}.

3. Protocole expérimental de mesure de \alpha

• Dispositif :

  • Une alimentation continue réglable en tension alimente la plaquette sous une tension u, mesurée à l'aide d'un voltmètre.
  • Une alimentation continue réglable en courant alimente le fil traversant le tore sous une intensité i, mesurée à l'aide d'un ampèremètre.
  • Un nanovoltmètre ou millivoltmètre de précision est branché entre les bornes C et D pour mesurer U_H.
• Mesures : On fixe une tension u donnée, puis on fait varier le courant i sur une gamme connue (ou inversement, on fait varier le produit u \cdot i sur plusieurs points de fonctionnement). Pour éliminer la tension d'asymétrie résiduelle (défaut d'alignement des contacts C et D), on peut inverser le sens de i et mesurer U_H = \frac{U_H(i) - U_H(-i)}{2}.
• Exploitation : On trace la droite d'étalonnage U_H = f(u \cdot i). La pente obtenue par régression linéaire fournit la valeur expérimentale de \alpha.

1. Population de la maille

• Les ions indium \mathrm{In}^{3+} forment un réseau cubique à faces centrées (cfc) :

  • 8 ions aux sommets du cube, appartenant chacun à 8 mailles : 8 \times \frac{1}{8} = 1 ;
  • 6 ions aux centres des faces, appartenant chacun à 2 mailles : 6 \times \frac{1}{2} = 3.

  Soit :

  N(\mathrm{In}^{3+}) = 1 + 3 = 4

• Les sites tétraédriques d'un réseau cfc sont situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, donc entièrement intérieurs à la maille (chacun compte pour 1). Les ions arséniure \mathrm{As}^{3-} occupant la moitié de ces sites :

  N(\mathrm{As}^{3-}) = \frac{1}{2} \times 8 = 4

La maille contient donc :

soit Z = 4 motifs formulaires \mathrm{InAs} par maille conventionnelle.

2. Électro-neutralité du cristal

La charge électrique totale contenue dans une maille s'écrit :

La présence d'un même nombre de cations tricationiques \mathrm{In}^{3+} et de trianions \mathrm{As}^{3-} assure la neutralité électrique globale du cristal.

3. Coordinence As-In

Chaque ion arséniure \mathrm{As}^{3-} occupe le centre d'un site tétraédrique, c'est-à-dire le centre de gravité d'un tétraèdre régulier dont les 4 sommets sont occupés par des ions \mathrm{In}^{3+}.

Le nombre de plus proches voisins indium autour d'un ion arséniure est donc égal à 4 :

Le centre d'un site tétraédrique est situé sur la diagonale principale d'un des huit petits cubes d'arête a/2, à la distance :

À la limite de contact entre l'anion \text{As}^{3-} occupant le site et le cation \text{In}^{3+} situé au sommet le plus proche :

On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

Application numérique : Avec r_{\text{In}^{3+}} = 80\text{ pm} et r_{\text{As}^{3-}} = 160\text{ pm} :

La maille élémentaire contient Z = 4 motifs de formule InAs (établi à la question Q24). Sa masse molaire est :

La masse volumique s'exprime donc par :

Application numérique :

Le théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon énonce qu'un signal à spectre borné par une fréquence maximale F peut être parfaitement reconstruit sans perte d'information à partir de ses échantillons si la fréquence d'échantillonnage f_e = \dfrac{1}{T_e} est strictement supérieure au double de cette fréquence maximale :

(on tolère également la condition au sens large f_e \geqslant 2F).

Sur l'intervalle de temps [n T_e, (n+1)T_e], la tension échantillonnée en sortie du bloqueur est constante et vaut :

D'après la figure 12a, le signal en rampe s_r(t) est une fonction affine du temps sur l'intervalle [n T_e, (n+1)T_e[, croissant de -U_0 à +U_0 :

L'amplificateur linéaire intégré est modélisé comme idéal en régime saturé (comparateur simple) :

• la borne non inverseuse (+) reçoit u_{\text{ech}}(t) = u_n ;
• la borne inverseuse (-) reçoit s_r(t).

La tension de sortie vaut donc :

Comme |u(t)| < U_0, on a u_n > -U_0 = s_r(n T_e) : le signal S(t) est donc initialement à +V_{\text{sat}} > 0.

Le basculement vers -V_{\text{sat}} s'effectue à la date t_n = n T_e + \alpha_n T_e telle que s_r(t_n) = u_n :

On en déduit l'expression du rapport cyclique \alpha_n :

L'amplificateur linéaire intégré (ALI) est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire grâce à la boucle de rétroaction négative reliant la sortie à l'entrée inverseuse par la résistance R.

On a donc :

• une tension différentielle d'entrée nulle : V_+ - V_- = 0, soit avec la borne non-inverseuse reliée à la masse (V_+ = 0\text{ V}), une masse virtuelle en entrée :

  V_- = V_+ = 0\text{ V}
• des courants de polarisation nuls : i_+ = i_- = 0.

En appliquant la loi des nœuds au potentiel V_- :

On en déduit l'expression de la tension v_i(t) :

Intérêt de ce montage :

• Il s'agit d'un convertisseur courant-tension (ou amplificateur à transimpédance) : il transforme une intensité i(t) en une tension v_i(t) proportionnelle, grandeur manipulable par les étages électroniques en aval (échantillonneur, modulateur).
• Grâce à la masse virtuelle (V_- = 0\text{ V}), l'impédance d'entrée du montage est rigoureusement nulle en modélisation idéale : l'insertion de l'étage ne perturbe pas le circuit parcouru par le courant i(t) (comportement d'un ampèremètre idéal).

L'amplificateur linéaire intégré est supposé idéal et fonctionne en régime linéaire grâce à la rétroaction négative sur sa borne inverseuse (-), de sorte que les courants d'entrée sont nuls (i_+ = i_- = 0) et la tension différentielle d'entrée est nulle :

1. Cas où S(t) > 0 : interrupteur K fermé

• L'interrupteur K étant fermé, la borne non inverseuse (+) est directement reliée à la masse :

  V_+ = 0 \implies V_- = 0

• La borne inverseuse (-) constitue une masse virtuelle. La loi des nœuds en (-) s'écrit :

  \frac{v_{i,\text{ech}} - 0}{R} + \frac{v_{i,\text{mod}} - 0}{R} = 0 \implies v_{i,\text{mod}} = -v_{i,\text{ech}}

  Le montage se comporte comme un amplificateur inverseur de gain -1.

2. Cas où S(t) < 0 : interrupteur K ouvert

• L'interrupteur K étant ouvert, aucun courant ne peut traverser la branche reliée à la borne (+) puisque i_+ = 0. Il n'y a donc aucune chute de tension dans les résistances connectées à cette entrée, ce qui impose :

  V_+ = v_{i,\text{ech}} \implies V_- = v_{i,\text{ech}}

• Le courant arrivant à la borne (-) depuis v_{i,\text{ech}} est alors nul :

  i = \frac{v_{i,\text{ech}} - V_-}{R} = 0

  Puisque i_- = 0, aucun courant ne traverse la résistance de contre-réaction :

  \frac{V_- - v_{i,\text{mod}}}{R} = 0 \implies v_{i,\text{mod}} = V_- = v_{i,\text{ech}}

  Le montage se comporte comme un suiveur de gain +1.

En synthèse :

On réalise un montage intégrateur inverseur à l'aide d'un ALI considéré comme idéal, alimenté de manière symétrique et fonctionnant en régime linéaire grâce à la boucle de contre-réaction reliant la sortie à l'entrée inverseuse (-).

L'ALI étant idéal et fonctionnant en régime linéaire, les courants d'entrée sont nuls (i_+ = i_- = 0) et la tension différentielle d'entrée est nulle (\varepsilon = V_+ - V_- = 0). L'entrée non-inverseuse étant reliée à la masse (V_+ = 0), on a :

La loi d'Ohm aux bornes du conducteur ohmique R_0 donne :

Le courant i_- étant nul, ce même courant i(t) traverse l'armature amont du condensateur C_0 dans la chaîne de retour :

On en déduit l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la tension de sortie :

En intégrant entre un instant initial t_0 et l'instant courant t, on obtient l'expression de la tension de sortie :

En posant \tau = R_0 C_0 et en supposant le condensateur déchargé à l'instant initial t_0 (v_s(t_0) = 0), on retrouve bien :

Sur l'intervalle de temps [n T_e, (n+1)T_e], la tension d'entrée échantillonnée est constante :

D'après la question Q29, la tension v_{i,\text{mod}}(t) en sortie du modulateur prend deux valeurs constantes successives :

• pour t \in [n T_e, n T_e + \alpha_n T_e[, S(t) > 0 donc v_{i,\text{mod}}(t) = -v_{i,n} ;
• pour t \in [n T_e + \alpha_n T_e, (n+1)T_e[, S(t) < 0 donc v_{i,\text{mod}}(t) = +v_{i,n}.

L'intégrale intervenant dans l'expression de v_m((n+1)T_e) s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q27, le rapport cyclique vaut :

En injectant cette relation ainsi que v_{i,n} = -R \, i_n, il vient :

La tension en sortie de l'intégrateur à la fin de la période d'échantillonnage s'exprime donc par :

soit :

Les grandeurs R, T_e, \tau et U_0 étant des constantes caractéristiques du montage, la tension v_{m,n} est strictement proportionnelle au produit u_n i_n = u(n T_e) \cdot i(n T_e). Le montage réalise donc bien l'opération de multiplication souhaitée à une constante multiplicative près.

Pour déterminer la nature de ce filtre, étudions le comportement de la fonction de transfert \underline{H}(\omega) aux pulsations extrêmes :

• À basse fréquence (\omega \to 0) :

  \lim_{\omega \to 0} \frac{1}{jRC\omega}\left(6 - \frac{1}{(RC\omega)^2}\right) = \infty \implies \lim_{\omega \to 0} |\underline{H}(\omega)| = 0

  Physiquement, à basse fréquence (et en particulier en régime continu), les trois condensateurs se comportent comme des circuits ouverts placés en série sur la ligne de transmission, bloquant ainsi tout passage du signal : la tension de sortie s'annule.

• À haute fréquence (\omega \to \infty) :

  \lim_{\omega \to \infty} \frac{1}{RC\omega} = 0 \implies \lim_{\omega \to \infty} \underline{H}(\omega) = \frac{1}{1 - 0 + 0} = 1

  Physiquement, à très haute fréquence, l'impédance des condensateurs \frac{1}{jC\omega} tend vers 0 (ils se comportent comme des courts-circuits), et la tension d'entrée est transmise sans atténuation (v \approx v_e).

En multipliant le numérateur et le dénominateur par (jRC\omega)^3, la fonction de transfert se met sous la forme canonique :

Le dénominateur est un polynôme de degré 3 en j\omega, dont le module est strictement croissant avec 1/\omega.

Le filtre atténue les basses fréquences et laisse passer les hautes fréquences sans atténuation.