Feuille d'entraînement : Mouvement d'une particule chargée dans E et B

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q19

   Un porteur de charge de variété i, de charge q_i et animé de la vitesse \vec{v}_i, est soumis à la force de Lorentz :

   \boxed{\vec{f}_{L,i} = q_i \left(\vec{E} + \vec{v}_i \wedge \vec{B}_0\right)}

   Dans le référentiel lié à la plaquette (supposé galiléen), le principe fondamental de la dynamique appliqué à ce porteur s'écrit :

   m_i \frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t} = \vec{f}_{L,i} + \vec{f}_i = q_i \left(\vec{E} + \vec{v}_i \wedge \vec{B}_0\right) - \lambda_i \vec{v}_i

   En régime de déplacement stationnaire, la vitesse moyenne \vec{v}_{i,\text{s}} est constante au cours du temps, si bien que l'accélération moyenne est nulle :

   \begin{aligned} \vec{0} &= q_i \left(\vec{E} + \vec{v}_{i,\text{s}} \wedge \vec{B}_0\right) - \lambda_i \vec{v}_{i,\text{s}} \\ \lambda_i \vec{v}_{i,\text{s}} &= q_i \left(\vec{E} + \vec{v}_{i,\text{s}} \wedge \vec{B}_0\right) \end{aligned}

   Comme le coefficient de frottement \lambda_i est non nul (\lambda_i > 0), on en déduit :

   \vec{v}_{i,\text{s}} = \frac{q_i}{\lambda_i} \left(\vec{E} + \vec{v}_{i,\text{s}} \wedge \vec{B}_0\right)

   Cette relation s'identifie bien à la forme demandée \vec{v}_{i,\text{s}} = \mu_i \left(\vec{E} + \vec{v}_{i,\text{s}} \wedge \vec{B}_0\right), avec :

   \boxed{\mu_i = \frac{q_i}{\lambda_i}}

   Résultat

   $${\vec{f}}_{L,i}=q_i\left(\vec{E}+{\vec{v}}_i\wedge {\vec{B}}_0\right)$$

   $${\mu }_i=\frac{q_i}{{\lambda }_i}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q14

   Dans le référentiel du conducteur supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron de masse m, de charge q = -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E} + \vec{F}_{\mathrm{d}} = -e\vec{E} - \frac{m}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v}

   Soit, en divisant par m :

   \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v} = -\frac{e}{m}\vec{E}

   Le champ \vec{E} étant supposé constant, l'équation admet pour solution générale :

   \vec{v}(t) = \vec{v}_{\infty} + \left(\vec{v}(0) - \vec{v}_{\infty}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm{d}}} \quad \text{avec} \quad \vec{v}_{\infty} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}

   Pour t \gg \tau_{\mathrm{d}}, le terme transitoire exponentiel s'annule et la vitesse atteint la valeur constante \vec{v}_{\infty} (vitesse limite ou de dérive) :

   \boxed{\vec{v}(t) \xrightarrow[t \gg \tau_{\mathrm{d}}]{} \vec{v}_{\infty} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E} = \text{cste}}

   Le vecteur densité de courant volumique associé au mouvement d'ensemble de ces porteurs de charge s'écrit :

   \vec{\jmath} = (-e)\, n_{\mathrm{e}}\,\vec{v}_{\infty} = (-e)\, n_{\mathrm{e}}\left(-\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}\right) = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}

   Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité électrique :

   \boxed{\sigma = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}}

   Résultat

   $$\vec{v}(t)\underset{t\gg {\tau }_{\mathrm{d}}}{\to }{\vec{v}}_{\infty }=-\frac{e{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}=\text{cste}$$

   $$\sigma =\frac{n_{\mathrm{e}}{e}^2{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2024, Q33

   1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz

   La force de Lorentz subie par l'électron de charge -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

   \vec{F}_{\mathrm{L}} = -e \left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right).

   Pour une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans le vide à la célérité c, les amplitudes des champs électrique et magnétique sont reliées par la relation de structure :

   B = \frac{E}{c}.

   L'ordre de grandeur du rapport des normes des composantes magnétique et électrique est donc majoré par :

   \frac{\|\vec{F}_{\mathrm{mag}}\|}{\|\vec{F}_{\mathrm{el}}\|} = \frac{e \|\vec{v} \times \vec{B}\|}{e E} \le \frac{v B}{E} = \frac{v}{c}.

   La condition pour pouvoir négliger la composante magnétique devant la composante électrique est que le mouvement de l'électron soit non relativiste :

   \boxed{v \ll c}

   2. Justification de l'approximation dipolaire électrique

   Pour une onde plane progressive monochromatique, le champ électrique dépend de la position par le terme de phase spatiale \vec{k}\cdot\vec{r} :

   \vec{E}(\vec{r}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r} + \varphi_0),

   où \|\vec{k}\| = \frac{2\pi}{\lambda}. L'électron étant confiné au sein de l'atome de rayon R, sa position vérifie à tout instant \|\vec{r}\| \le R. La variation spatiale maximale de phase s'évalue par :

   \|\vec{k} \cdot \vec{r}\| \le k R = \frac{2\pi R}{\lambda}.

   D'après les données de l'énoncé, le rayon atomique vaut R \sim 10^{-10}\text{ m} et la longueur d'onde du laser vaut \lambda = 8,0 \times 10^2\text{ nm} = 8,0 \times 10^{-7}\text{ m}, soit :

   k R \approx \frac{2\pi \times 10^{-10}}{8,0 \times 10^{-7}} \approx 8 \times 10^{-4} \ll 1.

   La dimension de l'atome étant négligeable devant la longueur d'onde du rayonnement (R \ll \lambda), le champ électrique est spatialement quasi-uniforme à l'échelle atomique. En choisissant l'origine des temps telle que la phase à l'origine soit nulle (\varphi_0 = 0), on a bien :

   \boxed{\vec{E}(\vec{r}, t) \simeq \vec{E}(\vec{0}, t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t)}

   Résultat

   $$v\ll c$$

   $$\vec{E}(\vec{r},t)\simeq \vec{E}(\vec{0},t)={\vec{E}}_0\cos (\omega t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2020, Q13

   Dans le référentiel d'étude supposé galiléen, appliquons le principe fondamental de la dynamique à un électron de charge q = -e et de masse effective m^*, animé d'une vitesse \vec{v} = v_x \vec{e}_x + v_y \vec{e}_y dans le plan (\mathrm{O}xy) :

   m^* \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\left(\vec{E} + \vec{v} \wedge \vec{B}_0\right) - \frac{m^*}{\tau}\vec{v}

   En régime permanent, la vitesse moyenne est constante, soit \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \vec{0} :

   \frac{m^*}{\tau}\vec{v} + e\left(\vec{v} \wedge \vec{B}_0\right) = -e\vec{E}

   La densité surfacique de courant associée au gaz bidimensionnel d'électrons s'écrit :

   \vec{j}_{\text{S}} = -e N_{\text{s}}\vec{v} \iff \vec{v} = -\frac{\vec{j}_{\text{S}}}{e N_{\text{s}}}

   En substituant cette relation dans l'équation du mouvement permanent, on obtient :

   \begin{aligned} -\frac{m^*}{e N_{\text{s}}\tau}\vec{j}_{\text{S}} - \frac{1}{N_{\text{s}}}\left(\vec{j}_{\text{S}} \wedge \vec{B}_0\right) &= -e\vec{E} \end{aligned}

   En multipliant par \frac{e N_{\text{s}}\tau}{m^*} et en introduisant la conductivité \sigma_0 = \frac{N_{\text{s}}e^2\tau}{m^*} et la pulsation cyclotron \omega_{\text{c}} = \frac{e B_0}{m^*} avec \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z :

   \vec{j}_{\text{S}} + \omega_{\text{c}}\tau \left(\vec{j}_{\text{S}} \wedge \vec{e}_z\right) = \sigma_0 \vec{E}

   Puisque \vec{j}_{\text{S}} \wedge \vec{e}_z = (j_{\text{S}x}\vec{e}_x + j_{\text{S}y}\vec{e}_y)\wedge \vec{e}_z = j_{\text{S}y}\vec{e}_x - j_{\text{S}x}\vec{e}_y, la projection sur les axes \mathrm{O}x et \mathrm{O}y donne :

   \begin{cases} j_{\text{S}x} + \omega_{\text{c}}\tau \, j_{\text{S}y} = \sigma_0 E_x \\[4pt] -\omega_{\text{c}}\tau \, j_{\text{S}x} + j_{\text{S}y} = \sigma_0 E_y \end{cases} \iff \begin{pmatrix} 1 & \omega_{\text{c}}\tau \\ -\omega_{\text{c}}\tau & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_{\text{S}x} \\ j_{\text{S}y} \end{pmatrix} = \sigma_0 \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}

   Le déterminant de la matrice 2 \times 2 vaut \det = 1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2 \neq 0. En inversant cette matrice, il vient :

   \begin{pmatrix} j_{\text{S}x} \\ j_{\text{S}y} \end{pmatrix} = \frac{\sigma_0}{1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2} \begin{pmatrix} 1 & -\omega_{\text{c}}\tau \\ \omega_{\text{c}}\tau & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix}

   Cette relation s'identifie bien à la forme matricielle demandée \begin{pmatrix} j_{\text{S}x} \\ j_{\text{S}y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} E_x \\ E_y \end{pmatrix} avec :

   \boxed{ \sigma_{xx} = \sigma_{yy} = \frac{\sigma_0}{1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2}, \quad \sigma_{xy} = -\frac{\sigma_0 \omega_{\text{c}}\tau}{1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2}, \quad \sigma_{yx} = \frac{\sigma_0 \omega_{\text{c}}\tau}{1 + (\omega_{\text{c}}\tau)^2} = -\sigma_{xy} }

   Résultat

   $${\sigma }_{xx}={\sigma }_{yy}=\frac{{\sigma }_0}{1+({\omega }_{\text{c}}\tau {)}^2},{\sigma }_{xy}=-\frac{{\sigma }_0{\omega }_{\text{c}}\tau }{1+({\omega }_{\text{c}}\tau {)}^2},{\sigma }_{yx}=\frac{{\sigma }_0{\omega }_{\text{c}}\tau }{1+({\omega }_{\text{c}}\tau {)}^2}=-{\sigma }_{xy}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5X-ENS Physique PSI 2020, Q15

   L'origine de la tension transversale V_{\text{H}} s'explique par les mécanismes microscopiques suivants :

   • Déflexion magnétique : Les électrons de conduction, de charge q = -e, animés d'une vitesse moyenne d'entraînement longitudinale \vec{v} = v_x \vec{e}_x (avec v_x < 0 pour un courant orienté selon +\vec{e}_x), subissent sous l'action du champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{e}_z une force de Lorentz magnétique :

     \vec{F}_{\text{m}} = q\,\vec{v} \times \vec{B}_0 = (-e)(v_x \vec{e}_x) \times (B_0 \vec{e}_z) = e v_x B_0 \,\vec{e}_y

     Comme v_x < 0, cette force est dirigée selon -\vec{e}_y et dévie les électrons vers le bord inférieur.

   • Accumulation de charges et champ de Hall : Cette déviation entraîne une accumulation d'électrons sur la face inférieure et un défaut d'électrons (charges positives nettes non compensées du réseau) sur la face supérieure. Cette séparation de charges génère un champ électrique transverse dit champ de Hall \vec{E}_{\text{H}} = E_y \vec{e}_y (orienté vers les y décroissants, soit E_y < 0).

   • Établissement du régime permanent : L'apparition de ce champ engendre une force électrostatique \vec{F}_{\text{e}} = -e \vec{E}_{\text{H}} qui s'oppose à la force magnétique. En régime stationnaire, la composante transverse du courant s'annule (j_{\text{S}y} = 0), ce qui correspond à la compensation moyenne des forces transverses :

     \vec{F}_{\text{e}} + \vec{F}_{\text{m}} = \vec{0}

   • Tension de Hall : La circulation de ce champ électrique transverse \vec{E}_{\text{H}} entre les deux faces latérales opposées de la sonde produit une différence de potentiel mesurable, la tension de Hall V_{\text{H}} :

     \boxed{V_{\text{H}} = -\int_{\text{face 1}}^{\text{face 2}} \vec{E}_{\text{H}} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell}}

   Résultat

   $$V_{\text{H}}=-{\int }_{\text{face 1}}^{\text{face 2}}{\vec{E}}_{\text{H}}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique PSI 2020, Q18

   Le courant total I circulant selon \vec{e}_x traverse un segment de longueur L selon la direction \vec{e}_y. Le champ de courant étant uniforme dans le plan :

   I = \int_0^L j_{\mathrm{S}x}\,\mathrm{d}y = j_{\mathrm{S}x}\, L

   D'autre part, la tension transversale de Hall V_{\mathrm{H}} mesurée entre les deux bords opposés selon l'axe Oy, distants de L, est reliée au champ électrique uniforme E_y par circulation du champ électrostatique :

   V_{\mathrm{H}} = -\int_0^L E_y\,\mathrm{d}y = -E_y\, L

   avec la convention habituelle où la borne positive du voltmètre se trouve au potentiel le plus élevé (en y = L).

   D'après le résultat de la question Q17, le champ de Hall s'écrit :

   E_y = -\frac{B_0}{N_{\mathrm{s}} e} j_{\mathrm{S}x}

   On en déduit l'expression de la tension de Hall :

   V_{\mathrm{H}} = \frac{B_0}{N_{\mathrm{s}} e}\, j_{\mathrm{S}x} L = \frac{B_0}{N_{\mathrm{s}} e}\, I

   La résistance de Hall R_{\mathrm{H}} = V_{\mathrm{H}}/I s'écrit donc :

   \boxed{R_{\mathrm{H}} = \frac{B_0}{e\, N_{\mathrm{s}}}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{H}}=\frac{B_0}{e{N}_{\mathrm{s}}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q20

   Le courant dans la plaquette est assuré uniquement par les électrons de conduction, de charge q_e = -e et de densité volumique n_e. Le vecteur densité de courant volumique s'écrit :

   \vec{j} = n_e q_e \vec{v}_{e,\mathrm{s}} = - n_e e \vec{v}_{e,\mathrm{s}} \iff \vec{v}_{e,\mathrm{s}} = - \frac{\vec{j}}{n_e e}

   D'après le résultat de la question Q19 appliqué aux électrons libres :

   \vec{v}_{e,\mathrm{s}} = \mu_e \left(\vec{E} + \vec{v}_{e,\mathrm{s}} \wedge \vec{B}_0\right)

   En multipliant cette relation par -n_e e, il vient :

   \begin{aligned} \vec{j} &= -n_e e \mu_e \left(\vec{E} + \vec{v}_{e,\mathrm{s}} \wedge \vec{B}_0\right) \\ &= -n_e e \mu_e \left(\vec{E} - \frac{1}{n_e e} \vec{j} \wedge \vec{B}_0\right) \end{aligned}

   On met ainsi cette relation sous la forme demandée :

   \vec{j} = \gamma \left(\vec{E} + K_H \vec{j} \wedge \vec{B}_0\right)

   par identification :

   \boxed{\gamma = -n_e e \mu_e}

   \boxed{K_H = -\frac{1}{n_e e}}

   Résultat

   $$\gamma =-n_{e}e{\mu }_e$$

   $$K_H=-\frac{1}{n_{e}e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q21

   D'après la question Q20, la constante de Hall et la conductivité de l'arséniure d'indium s'écrivent :

   \begin{aligned} |K_H| &= \frac{1}{n_e e} \\ \gamma &= -n_e e \mu_e = \frac{|\mu_e|}{|K_H|} \end{aligned}

   On en déduit l'expression de la densité volumique d'électrons :

   \boxed{n_e = \frac{1}{e |K_H|}}

   Application numérique avec e = 1{,}602 \times 10^{-19}\text{ C} et |K_H| = 9{,}98 \times 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{C}^{-1} :

   n_e = \frac{1}{1{,}602 \times 10^{-19} \times 9{,}98 \times 10^{-5}} \approx 6{,}25 \times 10^{22}\text{ m}^{-3}

   Pour la conductivité \gamma, avec |\mu_e| = 3{,}3\text{ U.S.I.} :

   \boxed{\gamma = \frac{|\mu_e|}{|K_H|}}

   Application numérique :

   \gamma = \frac{3{,}3}{9{,}98 \times 10^{-5}} \approx 3{,}31 \times 10^4\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}

   Comparaison avec un métal usuel :

   • Pour un bon métal conducteur (tel que le cuivre), la densité volumique d'électrons libres est de l'ordre de n_{\text{métal}} \sim 10^{28}\text{ à }10^{29}\text{ m}^{-3} (environ un électron de conduction par atome). La densité dans InAs est donc environ 10^6 fois plus faible.
   • La conductivité d'un métal usuel est de l'ordre de \gamma_{\text{métal}} \sim 10^7\text{ à }6 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}. Celle de l'arséniure d'indium est donc environ 10^3 fois plus faible.

   Intérêt d'un semi-conducteur : La tension de Hall U_H est proportionnelle à la constante de Hall |K_H| = 1/(n_e e). Comme la densité de porteurs n_e dans un semi-conducteur est beaucoup plus faible que dans un métal, le coefficient |K_H| y est considérablement plus élevé (ici de l'ordre de 10^5 fois plus grand que pour le cuivre où |K_H| \sim 10^{-10}\text{ m}^3\cdot\text{C}^{-1}). Cela permet d'obtenir une tension de Hall U_H de l'ordre du millivolt au volt, aisément mesurable sans amplification extrême.

   De plus, la mobilité électronique exceptionnelle de l'InAs (|\mu_e| = 3{,}3\text{ m}^2\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}) confère au matériau une conductivité suffisante pour limiter les pertes par effet Joule lors du passage du courant.

   Résultat

   $$n_e=\frac{1}{e|K_H|}$$

   $$\gamma =\frac{|{\mu }_e|}{|K_H|}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9ENS Physique U PSI 2024, Q[9]

   Dans le référentiel lié au noyau supposé fixe en \vec{r} = \vec{0}, l'électron (masse m_e, charge q_e, position \vec{r}, vitesse \vec{v} = \dot{\vec{r}}) est soumis à :

   • la force de rappel électrostatique exercée par le noyau de Thomson pour r < \mathcal{R}_0 (d'après la question Q[7]) :

     \vec{F}_{\text{noyau}} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} ;

   • la force de Lorentz exercée par l'onde électromagnétique incidente :

     \vec{F}_L = q_e \big( \vec{E}(\vec{r},t) + \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t) \big).

   La force totale s'exerçant sur l'électron s'écrit donc :

   \boxed{\vec{F}_{\text{tot}} = -m_e \omega_0^2 \vec{r} + q_e \vec{E}(\vec{r},t) + q_e \vec{v} \wedge \vec{B}(\vec{r},t)}

   1. Négligence de la composante magnétique de la force de Lorentz :
   D'après la question Q[8], l'amplitude du champ magnétique d'une onde plane monochromatique dans le vide est reliée à celle du champ électrique par B \sim E/c. L'ordre de grandeur du rapport des forces magnétique et électrique est ainsi :

   \frac{\|\vec{F}_{\text{mag}}\|}{\|\vec{F}_{\text{él}}\|} = \frac{\|q_e \vec{v} \wedge \vec{B}\|}{\|q_e \vec{E}\|} \sim \frac{v B}{E} \sim \frac{v}{c}

   Dans le cadre de l'approximation non relativiste, v \ll c, la force magnétique est donc totalement négligeable devant la force électrique :

   \vec{F}_L \approx q_e \vec{E}(\vec{r},t).

   2. Négligence de la dépendance spatiale du champ électrique :
   Le mouvement de l'électron s'effectue à l'échelle atomique avec une vitesse caractéristique v \sim \omega r. L'argument spatial dans l'onde est contrôlé par le produit scalaire \vec{k}\cdot\vec{r}, dont l'ordre de grandeur vaut :

   \|\vec{k}\cdot\vec{r}\| \sim k r = \frac{\omega}{c} r \sim \frac{v}{c} \ll 1

   La variation de phase spatiale est donc négligeable sur l'étendue de la trajectoire :

   e^{-i \vec{k}\cdot\vec{r}} \approx 1.

   Par ailleurs, l'énoncé précise que l'amplitude \vec{E}_0(\vec{r}) varie lentement à l'échelle de la longueur d'onde \lambda, donc a fortiori à l'échelle sub-longueur d'onde de l'atome (r < \mathcal{R}_0 \ll \lambda) : \vec{E}_0(\vec{r}) \approx \vec{E}_0(\vec{0}).

   On peut ainsi assimiler le champ électrique ressenti par l'électron à sa valeur en \vec{r} = \vec{0} (approximation dipolaire électrique) :

   \boxed{\vec{E}(\vec{r},t) \approx \vec{E}(\vec{0},t)}

   Résultat

   $${\vec{F}}_{\text{tot}}=-m_e{\omega }_0^2\vec{r}+q_e\vec{E}(\vec{r},t)+q_e\vec{v}\wedge \vec{B}(\vec{r},t)$$

   $$\vec{E}(\vec{r},t)\approx \vec{E}(\vec{0},t)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10ENS Physique U PSI 2024, Q[14]

    L'atome est constitué :

    • d'un noyau de charge q_N = -q_e > 0, situé en \vec{R}, animé d'une vitesse \vec{v}_N = \dot{\vec{R}} ;
    • d'un électron de charge q_e < 0, situé en \vec{r}_e = \vec{R} + \vec{r}, animé d'une vitesse \vec{v}_e = \dot{\vec{R}} + \dot{\vec{r}}.

    D'après le principe des actions réciproques, la somme des forces d'interaction interne entre le noyau et l'électron est nulle. La résultante des forces électromagnétiques appliquées à l'atome se réduit donc à la somme des forces de Lorentz exercées par l'onde incidente :

    \vec{F} = -q_e \left[ \vec{E}(\vec{R}) + \dot{\vec{R}} \wedge \vec{B}(\vec{R}) \right] + q_e \left[ \vec{E}(\vec{R}+\vec{r}) + (\dot{\vec{R}} + \dot{\vec{r}}) \wedge \vec{B}(\vec{R}+\vec{r}) \right].

    L'atome étant de dimensions spatiales très petites devant la longueur d'onde du laser (r \ll \lambda), on effectue un développement de Taylor à l'ordre 1 au voisinage de \vec{R} :

    \begin{aligned} \vec{E}(\vec{R}+\vec{r}) &= \vec{E}(\vec{R}) + (\vec{r} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{E}(\vec{R}) + \dots \\ \vec{B}(\vec{R}+\vec{r}) &= \vec{B}(\vec{R}) + (\vec{r} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{B}(\vec{R}) + \dots \end{aligned}

    En injectant ces développements dans l'expression de \vec{F} :

    \begin{aligned} \vec{F} &= q_e \left[ \vec{E}(\vec{R}+\vec{r}) - \vec{E}(\vec{R}) \right] + q_e \dot{\vec{r}} \wedge \vec{B}(\vec{R}+\vec{r}) + q_e \dot{\vec{R}} \wedge \left[ \vec{B}(\vec{R}+\vec{r}) - \vec{B}(\vec{R}) \right] \\ &\approx q_e (\vec{r} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{E}(\vec{R}) + q_e \dot{\vec{r}} \wedge \vec{B}(\vec{R}) + \mathcal{O}(r^2) + \mathcal{O}(\dot{R} \cdot r). \end{aligned}

    La vitesse du centre de masse de l'atome est thermique donc très faible devant celle de l'électron (\|\dot{\vec{R}}\| \ll \|\dot{\vec{r}}\|), et le dernier terme est d'ordre 2 en perturbations. En introduisant le moment dipolaire électrique \vec{d} = q_e \vec{r}, on obtient bien :

    \boxed{\vec{F} \approx (\vec{d} \cdot \overrightarrow{\operatorname{grad}}) \vec{E} + \dot{\vec{d}} \wedge \vec{B}}

    où les champs \vec{E} et \vec{B} sont évalués en \vec{R}.

    Domaine de validité :

    • Approximation dipolaire électrique : la dimension de l'atome doit être très petite devant la longueur d'onde optique incidente (r \ll \lambda, soit kr \ll 1), assurant la convergence rapide du développement de Taylor.
    • Approximation non relativiste : la vitesse de l'électron doit rester faible devant c (\|\dot{\vec{r}}\| \ll c), ce qui garantit que les termes d'ordres multipolaires supérieurs (quadripolaire électrique, dipolaire magnétique) sont négligeables.

    Rôle de la force magnétique :

    • À la question Q[9], on étudiait le mouvement relatif de l'électron dans l'atome : la force électrique dominante était d'ordre 0, à savoir q_e \vec{E}. La force magnétique q_e \dot{\vec{r}} \wedge \vec{B} était d'un facteur v/c \ll 1 plus petite et pouvait être négligée.
    • Pour l'atome globalement neutre (q_{\text{tot}} = q_N + q_e = 0), les contributions électriques d'ordre 0 s'annulent exactement : -q_e\vec{E}(\vec{R}) + q_e\vec{E}(\vec{R}) = \vec{0}.

    • L'ordre le plus bas de la force électrique est donc le terme dipolaire :

      \|(\vec{d}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{E}\| \sim d \, k E \sim q_e r \, \frac{\omega}{c} E.

    • Or, la force magnétique s'écrit :

      \|\dot{\vec{d}} \wedge \vec{B}\| \sim q_e (\omega r) \, B \sim q_e (\omega r) \frac{E}{c} = q_e r \, \frac{\omega}{c} E.

      La force magnétique est donc du même ordre de grandeur que la force électrique dipolaire résiduelle : elle ne peut plus être négligée.

    Résultat

    $$\vec{F}\approx (\vec{d}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{E}+\dot{\vec{d}}\wedge \vec{B}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question