Corrigé détaillé X ENS Physique PSI 2020

Pour un matériau homogène de masse volumique \rho, fixer la masse m équivaut à fixer le volume V = \frac{m}{\rho}.

D'après le théorème isopérimétrique dans l'espace tridimensionnel, à volume donné, la forme géométrique qui minimise l'aire de la surface extérieure est la sphère.

Sur le plan pratique, une forme sphérique présente des inconvénients majeurs pour un étalon de mesure :

• elle est instable et roule très facilement sur un plateau de balance ou un support plan ;
• elle est difficile à préempter, à manipuler et à usiner avec précision sans risquer de l'endommager ou d'introduire des impuretés.

C'est pourquoi on lui préfère en métrologie un cylindre droit à base circulaire, stable lorsqu'il repose sur sa base.

Pour un cylindre droit à base circulaire de hauteur h et de diamètre D, le volume s'écrit :

La surface extérieure totale comprend les deux bases de section circulaire et la paroi latérale :

Le volume V étant fixé, on exprime la hauteur sous la forme :

En injectant cette relation dans l'expression de la surface extérieure, on obtient :

La fonction S_{\text{ext}}(D) est continue et dérivable sur ]0, +\infty[. Sa dérivée par rapport à D vaut :

La surface extérieure est extrémale lorsque cette dérivée s'annule :

En remplaçant V par son expression en fonction de D et h :

Comme D \neq 0, on en déduit :

La dérivée seconde vérifie \dfrac{\mathrm{d}^2S_{\text{ext}}}{\mathrm{d}D^2} = \pi + \dfrac{8V}{D^3} > 0, ce qui garantit qu'il s'agit bien d'un minimum absolu.

Le matériau étant homogène de masse volumique \rho_{\text{Pt-Ir}}, le volume de l'étalon de masse m = 1\text{ kg} est donné par :

L'application numérique donne directement :

D'après le résultat de la question Q2, la surface extérieure est minimale lorsque la hauteur est égale au diamètre :

Le volume d'un tel cylindre s'exprime donc sous la forme :

Avec V = 5 \times 10^{-5}\text{ m}^3 et en prenant \frac{4}{\pi} \simeq 1{,}2 (soit \frac{20}{\pi} \simeq 6{,}3 \approx 6) :

À l'aide des valeurs approchées fournies (6^{1/3} \simeq 2 et 10^{-5/3} \simeq 0{,}02) :

Comme h = D, on a également h \simeq 4\text{ cm}.

La masse de l'étalon cylindrique s'écrit en fonction de son volume V = \dfrac{\pi D^2 h}{4} :

Puisque la condition h = D est vérifiée pour ces étalons (d'après les questions Q2 et Q3), le volume s'écrit V = \dfrac{\pi D^3}{4} = \dfrac{\pi h^3}{4}.

Par différentiation logarithmique à masse volumique constante :

Pour une variation finie \Delta m_1, la variation relative de h ou D nécessaire s'exprime donc par :

Remarque : si l'on considérait une variation d'une seule des deux dimensions à l'autre fixée, on obtiendrait \dfrac{\Delta h}{h} = \dfrac{\Delta m_1}{m} ou \dfrac{\Delta D}{D} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta m_1}{m}.

Avec m = 1\text{ kg} et \Delta m_1 = 10\ \mu\text{g} = 10 \times 10^{-9}\text{ kg} = 1{,}0 \times 10^{-8}\text{ kg} :

On en déduit numériquement :

(ou entre 5 \times 10^{-9} et 10^{-8} si l'on ne fait varier qu'une seule dimension).

Conclusion pour de tels étalons : Avec D \simeq 4\text{ cm} = 4 \times 10^{-2}\text{ m} (d'après Q3), la variation absolue de dimension correspondante est :

Cette valeur est de l'ordre de grandeur du rayon d'un atome, soit l'épaisseur d'une fraction de monocouche atomique.

On en conclut que :

• Les étalons matériels sont extrêmement vulnérables à l'environnement : le simple dépôt par adsorption de quelques monocouches de gaz ou de polluants, ou un frottement minime lors des manipulations, modifie leur masse de plusieurs dizaines de microgrammes (comme observé sur la figure 1 au fil des décennies).
• Un artefact matériel ne peut donc pas assurer la reproductibilité et la pérennité requises pour la métrologie de haute précision, ce qui justifie la redéfinition du kilogramme à partir d'une constante fondamentale de la physique (h).

Dans l'air au repos soumis au champ de pesanteur uniforme \vec{g}_0, la résultante des forces de pression exercées sur un corps de volume V totalement immergé est la poussée d'Archimède :

Cette force est verticale, dirigée vers le haut (à l'opposé du champ de pesanteur), et a pour norme \Pi = \rho_{\text{air}} V g_0.

À l'équilibre mécanique de l'étalon sur une balance dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la force de soutien \vec{R} exercée par le plateau compense le poids et la poussée d'Archimède :

Le poids apparent mesuré par la balance est donc :

avec une masse apparente m_{\text{app}} = m - \rho_{\text{air}}V < m.

La poussée d'Archimède s'opposant au poids, elle contribue donc à diminuer la masse apparente de l'étalon.

Dans l'air, le poids apparent correspond à la résultante des forces volumiques et de surface exercées sur l'étalon :

En l'absence de poussée d'Archimède (dans le vide), pour exercer la même force sur un dispositif de pesée, il faudrait une masse égale à la masse apparente m_{\text{app}} = m - \rho_{\text{air}}V.

La variation de masse apparente \Delta m_2, prise en valeur absolue, s'exprime donc par :

En utilisant le volume V = \dfrac{m}{\rho_{\text{Pt-Ir}}} établi à la question Q3, on obtient :

(a) Détermination de \Delta m_2 pour l'étalon en platine iridié

D'après le modèle du gaz parfait appliqué à l'air sec :

On en déduit l'expression de la masse volumique de l'air :

La constante des gaz parfaits vaut :

L'application numérique donne :

En utilisant le volume V = 5 \times 10^{-5}\text{ m}^3 obtenu à la question Q3 et l'expression établie à la question Q6, on calcule \Delta m_2 :

Commentaire : La correction de poussée d'Archimède (\Delta m_2 \simeq 60\text{ mg} = 60\,000\ \mu\text{g}) est colossale devant les incertitudes métrologiques recherchées et les dérives observées sur la figure 1 (de l'ordre de quelques dizaines de microgrammes sur un siècle). Cet effet systématique ne peut absolument pas être négligé lors des comparaisons de masses dans l'air.

(b) Variation relative de la masse volumique de l'air

Le volume de l'étalon étant constant, une variation \delta \rho_{\text{air}} de la masse volumique de l'air entraîne une variation \delta(\Delta m_2) donnée par :

La variation relative en valeur absolue s'écrit donc simplement :

Pour \delta(\Delta m_2) = 10\ \mu\text{g} = 10 \times 10^{-6}\text{ g} et \Delta m_2 = 60\text{ mg} = 60 \times 10^{-3}\text{ g} :

À l'équilibre thermodynamique à la température uniforme T_0, en présence d'un potentiel extérieur d'énergie W_{\text{ad}}(z) et en l'absence d'interactions mutuelles entre particules, la densité volumique de particules n(z) suit la loi de distribution de Boltzmann :

Le gaz étant localement assimilé à un gaz parfait, la pression locale vérifie p(z) = n(z)k_{\text{B}}T_0, et en z = +\infty, où W_{\text{ad}}(+\infty) = 0, on a p(+\infty) = n(+\infty)k_{\text{B}}T_0. Il s'ensuit que :

En substituant l'expression de l'énergie d'interaction W_{\text{ad}}(z) = -\dfrac{K_{\text{ad}}}{z^3}, on obtient :

D'après le résultat de la question 8, la pression du gaz à la distance z > 0 de la paroi s'écrit :

Puisque la constante d'adsorption K_{\text{ad}} et la température T_0 sont strictement positives, l'exposant tend vers +\infty lorsque z tend vers 0 par valeurs supérieures :

On en déduit immédiatement la limite de la pression :

D'un point de vue thermodynamique, à la température T_0, un gaz ne peut exister à l'équilibre sous forme de vapeur stable à une pression strictement supérieure à sa pression de vapeur saturante p_{\text{s}}(T_0).

Lorsque p(z) dépasse p_{\text{s}}(T_0), la vapeur se trouve dans un état sursaturé métastable ou instable : il se produit un changement d'état, à savoir la liquéfaction (ou condensation) du gaz. Le fluide se dépose alors sous forme d'une phase liquide à la surface de la paroi.

D'après la question précédente, le profil théorique de pression est :

Pour z > 0, la fonction z \mapsto p(z) est continue et strictement décroissante :

• en z \to 0^+, p(z) \to +\infty ;
• en z \to +\infty, p(z) \to p(+\infty) < p_{\text{s}}(T_0).

Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une cote unique z = d_{\text{liq}} où la pression atteint la pression de vapeur saturante p_{\text{s}}(T_0).

Pour tout z \in [0, d_{\text{liq}}], la pression théorique dépasserait p_{\text{s}}(T_0) : le gaz se condense donc à l'état liquide sur la paroi, formant un film liquide d'épaisseur d_{\text{liq}}.

La cote d_{\text{liq}} est définie par la condition à la frontière liquide-vapeur :

En prenant le logarithme népérien :

On en déduit l'expression de l'épaisseur de la couche liquide :

(a) Valeur numérique de d_{\text{liq}} et commentaire

D'après le résultat de la question Q10, l'épaisseur de la couche adsorbée s'écrit :

Le rapport des pressions vaut :

L'aide numérique fournie donne \ln 3 \simeq 1.

Au dénominateur sous la racine cubique :

Le terme sous la racine cubique vaut donc :

En utilisant l'aide numérique 10^{-28/3} \simeq 5 \times 10^{-10} et le fait que (0{,}72)^{1/3} \simeq 0{,}9 \approx 1 :

Commentaire : Cette épaisseur est de l'ordre de grandeur nanométrique (quelques angströms), ce qui correspond typiquement à une ou deux monocouches moléculaires adsorbées à la surface de l'étalon (le diamètre d'une molécule d'eau étant d'environ 0{,}3\text{ nm}).

(b) Masse excédentaire \Delta m_4 adsorbée

L'épaisseur d_{\text{liq}} étant infime devant les dimensions macroscopiques du cylindre, le volume de la couche liquide s'exprime simplement par V_{\text{liq}} = S_{\text{ext}} \, d_{\text{liq}}. La masse excédentaire associée est donc :

Avec \rho_{\text{liq}} = 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, S_{\text{ext}} = 70\text{ cm}^2 = 7{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^2 et d_{\text{liq}} \simeq 5 \times 10^{-10}\text{ m} :

Les trois effets étudiés précédemment présentent des caractéristiques très différentes :

• La poussée d'Archimède représente l'effet de plus grande amplitude absolue (\Delta m_2 \simeq 60\text{ mg}, soit plusieurs dizaines de milliers de microgrammes). Cependant, c'est un effet facilement corrigeable :

  • En mesurant avec précision la pression p, la température T et le taux d'humidité de l'air de la salle de pesée, la masse volumique de l'air \rho_{\text{air}} est connue avec une excellente précision, ce qui permet de retrancher par calcul la poussée d'Archimède subie par l'étalon de volume V.
  • On peut également procéder à des pesées sous vide ou utiliser une masse de référence de volume quasi identique (pesée par double pesée ou substitution).

• L'adsorption superficielle induit des variations de masse \Delta m_4 \sim \text{quelques }\mu\text{g} à plusieurs dizaines de microgrammes. Contrairement à la poussée d'Archimède, cet effet contribue le plus à l'incertitude de mesure et à la dérive temporelle des étalons :

  • La quantité adsorbée dépend fortement de l'humidité relative, des polluants atmosphériques (composés organiques volatils), de la rugosité microscopique réelle (surface effective bien supérieure à la surface géométrique) et de l'histoire thermique de la pièce.
  • Les procédures de nettoyage au solvant ou par traitement thermique éliminent une partie de cette couche adsorbée, mais modifient l'état de surface de manière difficilement reproductible et peuvent arracher des atomes du matériau.
• L'altération géométrique / l'usure mécanique : comme calculé à la question 4, la perte ou l'ajout d'une couche monoatomique (\Delta D \sim 0{,}13\text{ nm}) entraîne une variation de 10\ \mu\text{g}. Les frottements lors des manipulations ou le nettoyage introduisent donc une incertitude irréversible.

En conclusion :

• L'effet facilement corrigé est la poussée d'Archimède.
• Les effets qui contribuent le plus à l'incertitude résiduelle sont l'adsorption de surface et l'usure/pollution superficielle.