La composition de physique X-ENS PSI 2020 (épreuve XCR, 4 heures) porte sur la métrologie en trois parties indépendantes. Elle étudie d'abord les biais de l'ancien prototype international du kilogramme (géométrie, poussée d'Archimède, adsorption), puis l'effet Hall et son usage pour mesurer un courant, enfin le bruit thermique dans une résistance jusqu'à la relation de Johnson-Nyquist.

1Partie I : prototype international du kilogrammeForme optimale d'un étalon, sensibilité aux dimensions, poussée d'Archimède de l'air et couche d'adsorption décrite par la loi de Boltzmann.
2Partie II : effet Hall et mesuresModèle de conduction avec champ magnétique, sonde de Hall, capteur de courant à circuit ferromagnétique avec entrefer, pertes fer et effet Hall quantique.
3Partie III : bruit de mesureBruit blanc, équation de Langevin pour la vitesse d'un électron, densité spectrale et diagramme de Bode, puis relation de Johnson-Nyquist.

Difficulté moyenne. Le jury indique que le sujet se veut de difficulté moyenne et d'une longueur permettant aux meilleurs de le traiter en entier.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9 / 20 · écart-type 3,49 · 1 230 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9/ 20
Écart-type: 3,49
Présents: 1 230

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Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Calculs de base et variations relatives · Poussée d'Archimède mal formulée · Conversions et facteur de Boltzmann

Le sujet mêle questions de cours et raisonnements plus longs afin de classer les candidats. Le jury insiste sur des défauts récurrents : applications numériques évitées ou fausses, ordres de grandeur absurdes non commentés, résultats non homogènes et copies peu soignées. Il se montre sévère envers les démonstrations malhonnêtes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Calculs de base et variations relativesQ2, Q4
Des erreurs apparaissent sur le volume et l'aire d'un cylindre, et les variations relatives sont mal connues : certains écrivent que la variation de x au cube est le cube de la variation.
« il est aberrant de voir que »
2
Poussée d'Archimède mal formuléeQ5
On ne doit pas cumuler poussée d'Archimède et résultante des forces de pression, et une force doit être donnée avec sa direction et son sens.
3
Conversions et facteur de BoltzmannQ7, Q8
La conversion des grammes en kilogrammes pose beaucoup de problèmes, et le facteur de Boltzmann est peu connu.
« La notion de facteur de Boltzmann est assez peu connue des étudiants »
4
Effet Hall et électrocinétique flousQ14, Q15, Q16
Très peu de candidats signalent l'absence de champ magnétique pour interpréter la conductivité, l'effet Hall n'est pas expliqué simplement et l'impédance d'entrée est confondue avec une résistance.
« Seuls une poignée de candidats ont précisé l'absence de champ magnétique »
5
Magnétostatique des ferromagnétiquesQ22, Q23, Q26, Q30
Les définitions de l'excitation magnétique et de l'ARQS sont parfois ignorées. Pour l'entrefer, beaucoup comparent une épaisseur à une surface, et les pertes fer restent confuses.
« Très souvent, les candidats comparent l'épaisseur de l'entrefer et la surface du matériau ferromagnétique »
6
Démonstrations forcées et changements de variableQ38, Q45
Pour la solution de l'équation différentielle, il fallait varier la constante ou vérifier la solution, sans maquiller le raisonnement. Des résultats inhomogènes comme 1+(2πf)² révèlent des changements de variable mal maîtrisés.
« Trop de candidats essayent d'arnaquer le correcteur »

Conseils du jury

Faire systématiquement les applications numériques, avec une unité, et commenter l'ordre de grandeur obtenu.
Vérifier l'homogénéité de chaque résultat.
Toujours comparer une grandeur à une autre de même dimension avant de la dire petite ou grande.
Préférer un schéma clair à de longues explications, et traiter les questions d'une même partie dans l'ordre.
Dans une comparaison théorie-expérience, relever à la fois les concordances et les écarts, et lire chaque question jusqu'au bout.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

52 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

52 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ECOLES NORMALES SUPERIEURES - ECOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D'ADMISSION 2020

MERCREDI 22 AVRIL 2020-8h00-12h00 FILIERE PSI

COMPOSITION de PHYSIQUE (XCR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être
une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre

Mesures de précision - Application à la métrologie

Lors de sa

25^e

réunion en novembre 2014, la Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) a adopté une résolution sur la révision du Système International d'unités (S.I). Dans le S.I révisé, quatre des sept unités de base du S.I. - à savoir le kilogramme, l'ampère, le kelvin et la mole - seront redéfinies en s'appuyant sur des constantes de la nature. La motivation principale de changement est la définition du kilogramme qui est encore défini à partir d'un objet matériel (artefact), à savoir le prototype international du kilogramme conservé au Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). Tout le travail du BIPM est de fournir des séries d'instructions qui permettent de réaliser la définition en pratique, au plus haut niveau métrologique, de chacune des unités de base. Ce nouveau système d'unités a été adopté le 16 novembre 2018.

La première partie traite des problèmes liés à la définition du kilogramme via l'artefact et du dispositif permettant de mesurer avec la plus grande précision la valeur de la masse de ce prototype. La seconde partie étudie le phénomène de l'effet Hall à la base de la définition de l'Ohm et de la mesure de courant de précision.

I Prototype international du kilogramme

Lors de la première conférence en 1889 , il a été décidé que le kilogramme était défini par la masse d'un objet en platine iridié, alliage de platine (

90%

) et d'iridium (

10%

). Plusieurs autres références ont été fabriquées et étalonnées par rapport au prototype initial dans le but d'être distribuées sur tous les continents pour que l'ensemble des physiciens puissent avoir leur propre référence. En mesurant au fil des années la masse du prototype initial et des références, les résultats de comparaisons ont indiqué une certaine divergence avec le temps (figure 1).

Fig. 1 - Variation des différentes références de masse au cours du temps. Mesures réalisées par M. Stock, P. Barat, R. Davis, A. Picard et M. J. T. Milton (2015).

Il s'agit dans un premier temps d'étudier différents effets susceptibles d'introduire des biais dans les comparaisons.

I. 1 Quelques propriétés des étalons de masse

I.1.1 Propriétés géométriques

À cause du phénomène d'adsorption, étudié un peu plus tard dans le sujet, il est souhaitable de donner aux objets matériels une forme susceptible de rendre minimale la surface de ces objets.

Pour un matériau homogène, quelle est la forme géométrique assurant, à une masse donnée, la surface extérieure minimale? Commenter l'aspect pratique de ce résultat.
Par commodité, les étalons sont des cylindres droits à base circulaire de hauteur $h$ et de diamètre D . Déterminer la relation entre $h$ et D pour obtenir, à volume fixé, une surface extérieure $S_(ext)$ minimale?

Dans toute la suite de cette partie les étalons employés satisfont cette condition.
3. Pour obtenir des étalons de masse nominale 1 kg , quelles valeurs doit-on donner à D et

h

dans le cas d'un étalon en platine iridié de masse volumique

ρ_(Pt - Ir) = 2 \times 10^4 kg.m^(- 3)

? Calculer dans ces conditions le volume V du cylindre obtenu.
4. Pour quelle variation relative de

h

ou D la masse varie-t-elle de

Δm_1 = 10μ g

? Que conclure pour de tels étalons?

I.1.2 Poussée d'Archimède

Les comparaisons entre étalons de masse et les étalonnages ne sont pas effectuées dans le vide mais dans l'air. On notera

ρ_(air)

la masse volumique de l'air et

g_0

l'accélération de la pesanteur.
5. Rappeler la force totale exercée par l'air sur l'étalon. Contribue-t-elle à augmenter ou diminuer la masse apparente de l'étalon?
6. Exprimer, en valeur absolue, la variation de masse apparente

Δm_2

associée à cet effet, c'est-à-dire la variation de masse qui serait nécessaire pour, en l'absence de cet effet, obtenir la même force.
7. Application numérique: l'air sec à la pression

p_(air)

et à la température

T_(air)

, supposées uniformes, peut être assimilé à un mélange idéal de gaz parfaits de masse molaire M. On donne

p_(air) = 1

bar,

T_(air) = 300 K, M = 30 g \cdot mol^(- 1)

.
(a) Déterminer

Δm_2

dans le cas de l'étalon en platine iridié. Commenter.
(b) Quelle variation relative (en valeur absolue) de la masse volumique

ρ_(air)

provoquerait un décalage de la variation de masse apparente de

10μ g

I.1.3 Adsorption de particules

On s'intéresse à un gaz de particules toutes identiques, supposées ponctuelles et sans interaction entre elles, occupant le demi-espace

z > 0

limité par le plan

xOy

. Le demi-espace

z < 0

est constitué d'un milieu homogène fixe. La température

T_0

est supposée uniforme dans tout l'espace. L'interaction entre le gaz et la paroi est décrite par une énergie d'interaction du type

W_(ad)(z) = - K_(ad)/z^3

avec

K_(ad) = 3 \times 10^(- 49) J.m^3

. Compte tenu de l'interaction avec la paroi, la densité dans le gaz et la pression

p(z)

à la distance

z

de la paroi ne peuvent être uniformes pour

z > 0

. On néglige toute autre énergie devant

W_(ad)

dans cette partie.

On assimile localement le gaz à un gaz parfait et l'équilibre thermodynamique est atteint à la température

T_0

.
8. Avec les conditions précédentes, la loi de Boltzmann est vérifiée pour la pression. Donner l'expression de

p(z)

en notant

p(+ \infty)

la pression à la température

T_0

en un point

z = + \infty

infiniment éloigné de la paroi.
9. Quelle est, dans l'expression précédente, la limite de

p(z)

lorsque

z

tend vers 0 ? Qu'arrive-t-il lorsque

p(z)

devient supérieure à

p_s(T_0)

, la pression de vapeur saturante du gaz à la température

T_0

?
10. En déduire qu'il existe à la surface de la paroi une «couche liquide» sur une épaisseur

d_(liq)

dont on déterminera l'expression en fonction de

K_(ad)

, la constante de Boltzmann

k_B, T_0

p_s(T_0)

p(+ \infty)

.
11. Pour les molécules envisagées,

p_s(T_0) = 24hPa

T_0 = 300 K, p(+ \infty) = 8hPa

.
(a) Déterminer la valeur numérique de

d_(liq)

. Commenter la valeur obtenue.
(b) Quelle serait la masse excédentaire

Δm_4

adsorbée sur toute la surface de l'étalon de platine, si le fluide adsorbé a une densité de

10^3 kg \cdot m^(- 3)

? On prendra une surface totale

S_(ext) = 70 cm^2

I. 2 Comparaison des effets

Parmi les effets étudiés précédemment, quels sont ceux qui contribuent le plus à l'incertitude des étalonnages de masses ? Lesquels peuvent être «facilement» corrigés?

II Effet Hall et mesures

II. 1 Principe

On s'intéresse à un gaz bidimensionnel d'électrons libres que l'on fabrique à l'interface entre deux semiconducteurs de surface carrée de côté L. Le gaz d'électrons a une densité surfacique

N_s = 8 \times 10^(15) m^(- 2)

. On place une sonde de même dimension que le gaz au niveau de cette interface, dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan

(Oxy) : B_0^(\to-) = B_0 e_z\to

. On note

E\to(r⃗) = E_x(r⃗)e_x^(\to-) + E_y(r⃗)e_y\to

le champ électrique dans ce même plan. On fait circuler un courant dans cette sonde et on suppose que les électrons dans le plan sont soumis à l'action de la force de Lorentz et d'une force de frottement

f⃗ = - m^* v⃗/τ

où

τ

désigne un temps de collision moyen et

m^* = 0, 07m_e

où

m_e

est la masse de l'électron. Dans tous les calculs, la masse de l'électron est remplacée par sa masse

m^*

dite effective.
13. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron, et montrer que la solution en régime permanent peut se mettre sous la forme matricielle:

((j_(Sx))/(j_(Sy))) = (σ_(xx), σ_(xy); σ_(yx), σ_(yy))((E_x)/(E_y))

où

σ_(ij)

représente les composantes de la matrice conductivité et où

j_S\to

est la densité surfacique de courant qui parcourt le gaz d'électrons bidimensionnel. Exprimer les composantes de la matrice conductivité en fonction de la pulsation cyclotron

ω_c = (e B_0)/(m^*) > 0

et de

σ_0 = (N_s e^2 τ)/(m^*)

.
14. Quelle est la signification physique de

σ_0

Lors d'une mesure d'effet Hall, on observe seulement un courant qui circule, en régime permanent, dans la direction

Ox

en présence d'un champ

B_0^(\to-) = B_0 e_z\to

. On mesure la tension transversale

V_H

à l'aide d'un voltmètre d'impédance d'entrée infinie.
15. Expliquer brièvement l'origine de la tension transversale

V_H

.
16. Définir l'impédance d'entrée. Pourquoi doit-on avoir une impédance d'entrée du voltmètre « très grande»?

Fig. 2 - Représentation dans le plan (

Oxy

) du gaz d'électrons (carré grisé).

Établir la relation entre $j_(Sx)$ et $E_y$ en régime permanent en fonction de $σ_0, ω_c$ et $τ$ (effet Hall).
En déduire l'expression de la résistance de Hall définie par: $R_H = V_H/I$ en fonction de $e$ , $B_0$ et $N_s$ .

On polarise une sonde à effet Hall avec une densité surfacique de courant limitée à cause des problèmes d'échauffement à

j_S = 200 A \cdot m^(- 1)

.
19. Exprimer la sensibilité de la sonde de Hall définie par

s = δV_H/δB

en fonction de

L, N_s

j_S

e

.
20. Calculer la valeur numérique de

s

pour

L = 5μ m

.
21. L'imperfection des appareils limite la précision de la mesure de la tension de Hall à

\pm 1nV

. Quel est le champ minimal que l'on peut mesurer à l'aide de la sonde précédente?

II. 2 Application à la mesure de courant

Dans cette partie, nous utilisons un capteur à effet Hall pour obtenir une tension image d'un courant à étudier.

On représente une structure possible sur la figure ci-dessous. Le système est constitué d'un matériau ferromagnétique doux de perméabilité relative

μ_r

, de longueur L et de section

S_f

et d'un bobinage de N spires parcouru par un courant d'intensité

i(t)

entourant le circuit magnétique. L'entrefer a une longueur

ℓ

et une section

S_e

. Hormis dans les trois dernières questions de cette partie, on néglige toutes les pertes.

Fig. 3 - Schéma simplifié de la structure.

Définir l'excitation magnétique $H⃗$ .
Définir l'ARQS magnétique. Que deviennent les équations de Maxwell dans cette approximation?
Quelle est la caractéristique principale d'un milieu ferromagnétique doux? Donner un ordre de grandeur de $μ_r$ pour ces milieux en précisant le milieu.
Qu'appelle-t-on l'approximation linéaire des ferromagnétiques doux? En déduire la relation entre le champ magnétique dans le matériau ferromagnétique, noté $B_f$ , et l'excitation magnétique $H_f$ .

La résolution numérique des équations issues de l'étude de l'association du matériau ferromagnétique et du bobinage permet de tracer les lignes de champ (figure 4).

Fig. 4 - Lignes de champ obtenues par résolution numérique.

À quelle condition géométrique peut-on considérer que les lignes de champ restent parallèles entre elles dans l'entrefer? On supposera cette condition vérifiée dans tout le sujet.
D'après la figure, que peut-on dire du flux magnétique?
Montrer que le champ magnétique $B_e$ dans l'entrefer vérifie la relation $B_e = αi$ avec $α$ une constante à déterminer en fonction de $S_e, S_f, L, μ_0, N, ℓ$ et $μ_r$ .
On place maintenant un capteur à effet Hall dans l'entrefer. En fixant le plus précisément possible un courant d'intensité I continu, montrer que l'on récupère une tension $V_H$ proportionnelle à l'intensité $i(t)$ . Déterminer le coefficient de proportionnalité.

On s'intéresse maintenant aux pertes fer.
30. Quels sont les deux phénomènes associés aux pertes fer? On détaillera l'origine de chaque perte. Quel autre type de perte existe dans ce système?
31. En pratique, comme règle empirique, on considère que les pertes fer sont minimisées si le produit

N \times i \times f

( N est le nombre de spires du bobinage,

f

la fréquence du courant d'intensité

i(t))

est le plus faible possible. Justifier cette règle empirique.
32. Pourquoi doit-on alors être vigilant lorsqu'on utilise ce type de capteur avec un courant d'intensité

i(t)

périodique non-sinusoïdal quelconque même de faible amplitude?

II. 3 Mesure expérimentale

Pour des raisons pratiques, les mesures de précision sont faites à de basses températures (cf prochaine partie). On donne ci-dessous le résultat expérimental de la mesure de la résistance Hall

R_H

d'un gaz d'électrons d'un échantillon GaAs/AlGaAs en fonction du champ magnétique appliqué à une température de

0, 1 K

Fig. 5 - Mesure expérimentale de la résistance Hall

R_H

d'un gaz d'électrons d'un échantillon GaAs/AlGaAs en fonction du champ magnétique B à une température de

0, 1 K

D'après les résultats de la partie II.1, quelle courbe attend-on? Commenter la courbe obtenue.
Retrouver l'ordre de grandeur de la valeur de la charge élémentaire $e$ sachant que le gaz d'électrons a une densité surfacique de $N_(s, exp) = 8 \times 10^(15) m^(- 2)$ .
Seule la mécanique quantique peut prédire la courbe obtenue expérimentalement à basse température (effet Hall quantique). Elle montre que l'écart de résistance entre deux paliers successifs est une fonction universelle $R_u$ de la constante de Planck $h$ et de la charge élémentaire $e$ .
Par analyse dimensionnelle, déterminer l'expression de la résistance $R_u$ en fonction de $h$ et de $e$ . En déduire sa valeur numérique. La constante multiplicative sans dimension est prise égale à 1 .
Expliquer l'intérêt d'utiliser l'effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance.

III Bruit de mesure

Lorsqu'on cherche à faire des mesures de précision, il faut prendre en compte les fluctuations plus ou moins importantes du signal étudié. Ces fluctuations, dont les origines peuvent être diverses, sont appelées bruit. On peut citer par exemple les parasites audios dans un récepteur radio ou le bruit de souffle à la sortie d'un amplificateur. Un signal n'est jamais sans bruit mais ce bruit peut être plus ou moins important. Si celui-ci est très faible par rapport au signal, il devient «invisible à l'oscilloscope».

On s'intéresse ici au bruit thermique généré par une résistance électrique R . On note

b(t)

le bruit généré par cette résistance. Les fluctuations étant aléatoires, il est clair qu'en moyenne

b(t)

est aussi souvent positive que négative: sa valeur moyenne est nulle. Par contre, sa valeur efficace ne l'est pas. L'information contenue dans le bruit est mesurée grâce à la densité spectrale

S_b(f)

qui représente le spectre du bruit en fonction de la fréquence.

L'origine du bruit thermique d'une résistance réside dans les fluctuations de la vitesse dans les conducteurs électriques. On se propose de déterminer l'expression de

S_b(f)

et de la relier à la tension efficace du bruit générée par une résistance électrique.

III. 1 Bruit et vitesse dans les conducteurs

On considère un conducteur à l'équilibre thermodynamique à la température T dans lequel se déplacent des électrons à la vitesse

v⃗(t) = v(t)e_x^(\to-)

. Les porteurs de charge sont soumis à une force de frottement

f⃗ = - (m^*)/(τ_0)v(t)e_x^(\to-)

, avec

m^* = 0, 07m_e

où

m_e

est la masse de l'électron, qui freine leur mouvement et à une force aléatoire

f_b^(\to-) = m^* b(t)e_x^(\to-)

où

b(t)

le bruit étudié. Sauf dans la partie III.2, on ne considérera que ces forces par la suite.
37. Écrire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse

v(t)

d'un électron de masse effective

m^*

.
38. En déduire que la solution de cette équation vérifiant

v(0) = v_0

est

v(t) = v_0 e^(- t/τ_0) + \int_0^t exp(- (t - u)/(τ_0))b(u)du

Identifier le terme du régime transitoire. Quelle est la durée $Δt$ de ce régime?

Dans toute la suite, on considérera que le régime transitoire est négligeable, c'est-à-dire pour

t≫τ_0

III.1.1 Bruit blanc

On s'intéresse maintenant à un bruit dont le spectre est constant quelle que soit la fréquence. On parle alors de bruit blanc (par analogie avec la lumière blanche).

b(t)

est alors caractérisé par les relations suivantes:

⟨b(t)⟩ = 0 et C_b(τ) = ⟨b(t)b(t + τ)⟩ = Γδ(τ)

où

Γ

est une constante,

δ(τ)

est la fonction impulsion (définition et propriétés données en annexe). Pour les signaux considérés,

C_b(τ)

ne dépend pas du temps

t

⟨\dots⟩

est la valeur moyenne temporelle définie par

C_b(τ) = lim_(T_0 \to \infty)1/(T_0)\int_(t_0 - T_0/2)^(t_0 + T_0/2) dtb(t)b(t + τ)

La densité spectrale associée à ce bruit est définie par

S_b(f) = \int_(- \infty)^(+ \infty)dτe^(- 2iπfτ)C_b(τ)

Par le calcul de $S_b(f)$ et des relations fournies dans le formulaire, montrer que l'expression de $C_b(τ)$ est cohérente avec la définition d'un bruit blanc.
Quel commentaire peut-on faire entre l'élargissement temporel de $C_b(τ)$ et celui fréquentiel de $S_b(f)$ ? Citer un autre phénomène où cette propriété apparaît.

III.1.2 Densité spectrale de la vitesse des électrons

D'après l'expression obtenue de $v(t)$ , calculer $⟨v(t)⟩$ . On supposera qu'on peut intervertir les intégrales et la moyenne temporelle.

On cherche à trouver un lien entre le facteur

Γ

et d'autres paramètres physiques du problème.
43. Montrer que pour

t≫τ_0, ⟨v^2(t)⟩ ≃ Γτ_0/2

. On pourra s'aider du formulaire et d'un changement de variable

u^' = u + τ

dans une des intégrales pour se ramener à la définition du bruit blanc de l'énoncé.
44. On peut montrer que la relation entre l'énergie cinétique moyenne d'une particule dans un gaz parfait et l'agitation thermique reste valable en ordre de grandeur pour les électrons. En déduire la relation qui existe entre

Γ, m^*, τ_0

, la température T et la constante de Boltzmann

k_B

De la même façon, on peut montrer que pour

t≫τ_0

C_v(τ) = ⟨v(t)v(t + τ)⟩ = (k_B T)/(m^*)exp(- |τ/(τ_0)|)

La densité spectrale de la vitesse

S_v(f)

est reliée à

C_v(τ)

de la même façon que

S_b(f)

C_b(τ)

.
45. Déterminer l'expression littérale de

S_v(f)

.
46. Tracer alors le diagramme de Bode

20log S_v = F(logf)

pour

f > 0

.
47. En déduire la fréquence de coupure

f_c

et que pour

f≪f_c, S_v(f) = 2k_B Tτ_0/m^*

.
48. Sachant que

τ_0 < 10 ns

, la condition

f≪f_c

est-elle en général vérifiée en TP ? On supposera cette condition vérifiée par la suite.

III. 2 Bruit dans une résistance

On considère le même gaz d'électrons bidimensionnel de densité surfacique

N_s

, étudié dans la partie II, soumis aux forces

f⃗

f_a^(\to-)

ainsi qu'à l'action du champ électrique

E\to = Ee_x^(\to-)

. En moyenne, la conductivité surfacique de ce gaz est

σ_s = (N_s e^2 τ_0)/(m^*)

En déduire l'expression de la résistance $R_0 = U/I$ .

On peut montrer que la différence de potentiel

V(t)

se met sous la forme

V(t) = \sum_(i = 1)^N V_i(t) = (R_0 e)/L\sum_(i = 1)^N v_i(t)

où

v_i

est la vitesse de l'électron

i

et N le nombre total d'électrons contenus dans le gaz.
50. Exprimer la densité spectrale de la quantité

V_i(t)

, notée

S_(V_i)(f)

en fonction de la densité spectrale de la vitesse

S_v(f)

trouvée précédemment.
51. On admet que

S_V(f) = NS_(V_i)(f)

. Déduire de cette relation et de la question précédente, la relation de Johnson Nyquist

S_V(f) = 2k_B TR_0

Commenter l'intérêt de travailler à des basses températures lors de mesures de précision.
52. La tension efficace du bruit est donnée par

U_(eff, b) = \sqrt(S_V(f)Δf)

avec

Δf

la bande passante associée au diagramme de Bode précédent. Pour

τ_0 = 10 ns

, estimer la valeur numérique de

U_(eff,b)

pour une résistance de

300Ω

à température ambiante. Commenter.

Formulaire

«Fonction» impulsion (ou de Dirac)

δ(t)

$δ(t) = \infty$ si $t = 0; δ(t) = 0$ si $t \neq 0$
Pour toute fonction $f, \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)δ(t - t_0)dt = f(t_0)$
En particulier, $\int_(- \infty)^(+ \infty)δ(t - t_0)dt = 1$

Une intégrale particulière:

Pour une fonction $f(t) = e^(- |t|), \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)e^(- 2iπft) dt = 2/(1 + 4π^2 f^2)$

Constantes usuelles:

Nombre d'Avogadro: $N_A = 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)$ ;
Constante de Boltzmann : $k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J.K^(- 1)$ ;
Masse de l'électron : $m_e = 9, 11 \times 10^(- 31) kg$ ;
Constante de Planck : $h = 6, 63 \times 10^(- 34)$ J.s ;
Charge élémentaire : $e = 1, 60 \times 10^(- 19)C$ ;
Perméabilité du vide : $μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H.m^(- 1)$ .

Aides numériques pour les applications numériques:

	$6^(1/3)$	$10^(- 5/3)$	$ln3$	$10^(- 28/3)$
Valeur approchée	2	0,02	1	$5 \times 10^(- 10)$

Fin de l'épreuve

Questions fréquentes

4 questions

Quel est le thème du sujet de physique X-ENS PSI 2020 ?

La métrologie : les limites de l'ancien prototype du kilogramme, l'effet Hall appliqué à la mesure de courant, puis le bruit thermique dans une résistance et la relation de Johnson-Nyquist.

Quelle est la moyenne de physique X-ENS PSI 2020 ?

Sur 1230 candidats, la moyenne est de 9,00 sur 20 avec un écart-type de 3,49 ; les notes vont de 0 à 20.

Quelles erreurs le jury de physique XCR PSI 2020 a-t-il relevées ?

Applications numériques absentes ou sans unité, variations relatives mal calculées, facteur de Boltzmann méconnu, confusions sur l'effet Hall, l'impédance d'entrée et les ferromagnétiques, et démonstrations maquillées.

Quels chapitres réviser pour la physique X-ENS PSI 2020 ?

La statique des fluides, le facteur de Boltzmann, la conduction électrique et l'effet Hall, les milieux ferromagnétiques en ARQS, les équations différentielles linéaires et l'analyse spectrale.

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Commentaires• X ENS Physique PSI 2020

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