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Approximation par des fonctions lipschitziennes, fonctions concaves et fonctions semi-concaves
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Le problème étudie d'abord une opération de régularisation qui approche une fonction bornée par des fonctions lipschitziennes, en reliant la qualité de l'approximation au module de continuité de la fonction. Il établit ensuite des propriétés des fonctions concaves sur un espace vectoriel de dimension finie, notamment leur continuité et l'existence d'un hyperplan d'appui, avant de définir les fonctions semi-concaves et de montrer qu'une fonction à la fois semi-concave et semi-convexe est de classe C1.

  1. 1Partie I : approximation par des fonctions LipschitziennesDéfinit une transformation qui régularise une fonction minorée en une fonction lipschitzienne, étudie son effet sur des exemples puis relie l'écart entre la fonction et son approximation au module de continuité.
  2. 2Partie II : fonctions concavesÉtablit l'inégalité de concavité pour une combinaison de plusieurs points, montre qu'une fonction concave sur un espace de dimension finie est continue, puis construit pour tout point un hyperplan d'appui du graphe de la fonction.
  3. 3Partie III : fonctions semi-concavesDéfinit une fonction semi-concave comme une fonction dont on retranche une forme quadratique pour obtenir une fonction concave, en déduit qu'elle est localement lipschitzienne, puis montre qu'une fonction à la fois semi-concave et semi-convexe est différentiable de classe C1.

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Aucun document n'est autorisé Aucune calculatrice n'est autorisée
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout l'énoncé, on adopte les notations suivantes:
  • Si E et F sont deux ensembles non vides, alors E × F désigne l'ensemble de tous les couples de la forme (x, y) avec x ∈ E et y ∈ F. Si k ⩾ 1 est un entier, on note E^k l'ensemble des k-uplets ( x_1, ⋯, x_k ) avec x_i ∈ E pour 1 ⩽ i ⩽ k.
  • Pour tout entier d ⩾ 1, ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ désigne le produit scalaire canonique sur ℝ^d défini par
∀x = (x_1, ⋯, x_d) ∈ ℝ^d, ∀y = (y_1, ⋯, y_d) ∈ ℝ^d, ⟨x|y⟩ = ∑_(i = 1)^d x_i y_i
On note ‖ ⋅ ‖ la norme associée définie sur ℝ^d par:
∀x = (x_1, ⋯, x_d) ∈ ℝ^d, ‖x‖ = (∑_(i = 1)^d x_i^2)^(1/2)
On note ( e_1, ⋯, e_d ) la base canonique de ℝ^d.
  • Si E est un ensemble non vide et g une application de E dans ℝ, on note inf_(x ∈ E)g(x) la borne inférieure de l'ensemble non vide g(E) défini par
g(E):={y ∈ ℝ|∃x ∈ E tel que y = g(x)}.
On rappelle que cette borne inférieure est bien définie si g est minorée sur E, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel m tel que
∀x ∈ E, g(x) ⩾ m.
De même, on note sup_(x ∈ E)g(x) la borne supérieure de g(E). Cette borne supérieure est bien définie s'il existe un nombre réel M tel que
∀x ∈ E, g(x) ⩽ M
Si f_1 et f_2 sont deux fonctions de E dans ℝ, on note min(f_1, f_2) la fonction de E dans ℝ définie par
∀x ∈ E, min(f_1, f_2)(x) = min(f_1(x), f_2(x)).
  • Si d ⩾ 1 est un entier, f : ℝ^d → ℝ une fonction et K ⩾ 0 une constante réelle, on dit que f est K-Lipschitzienne si
∀(x, y) ∈ ℝ^d × ℝ^d, |f(x) − f(y)| ⩽ K‖x − y‖.
On dit que f est Lipschitzienne s'il existe une constante réelle K ⩾ 0 telle que f est K-Lipschitzienne.
On note B(ℝ^d, ℝ) l'ensemble des fonctions bornées de ℝ^d dans ℝ. Pour toute fonction f ∈ B(ℝ^d, ℝ) on pose
|f|_∞ = sup_(x ∈ ℝ^d)|f(x)|
Dans toute la suite, d désignera un entier naturel non nul.

Partie I : approximation par des fonctions Lipschitziennes

Dans toute cette partie, ε et α désignent deux nombres réels avec ε > 0 et α ⩾ 1. Si h : ℝ^d → ℝ est une fonction minorée, on définit, sous réserve d'existence, la fonction T_ε h : ℝ^d → ℝ par
∀x ∈ ℝ^d, (T_ε h)(x) = inf_(y ∈ ℝ^d)(h(y) + 1/ε‖y − x‖^α).
  1. Soit h : ℝ^d → ℝ une fonction minorée. Montrer que la fonction T_ε h est bien définie sur ℝ^d et que
∀x ∈ ℝ^d, (T_ε h)(x) ⩽ h(x)
  1. Soient h_1 et h_2 deux fonctions de ℝ^d dans ℝ minorées. On pose H = min(h_1, h_2). Montrer que T_ε H est bien définie sur ℝ^d et que T_ε H = min(T_ε h_1, T_ε h_2).
    Indication : pour prouver cette dernière identité, on peut d'abord montrer que T_ε H ⩽ min(T_ε h_1, T_ε h_2).
  2. On suppose dans cette question uniquement que α = 2. Soit g : ℝ^d → ℝ la fonction définie par
∀x ∈ ℝ^d, g(x) = ‖x‖^2.
Calculer (T_ε g)(x) pour tout x ∈ ℝ^d.
Indication : pour x ∈ ℝ^d fixé, on peut décomposer tout vecteur y ∈ ℝ^d sous la forme y = λx + y_⊥ avec λ un nombre réel et y_⊥ un vecteur orthogonal à x.
4. On suppose ici uniquement que α = 1. Soit h : ℝ^d → ℝ une fonction minorée.
(a) Montrer que T_ε h est 1/ε-Lipschitzienne.
(b) Montrer que T_ε h = h si et seulement si h est 1/ε-Lipschitzienne
(c) On se place dans le cas où h(x) = ‖x‖ pour tout x ∈ ℝ^d. Montrer que
∀x ∈ ℝ^d, (T_ε h)(x) = min(1, 1/ε)‖x‖.
(d) Soit ℓ : ℝ^d → ℝ la fonction définie par : ℓ(x) = min(1, ‖x‖) pour x ∈ ℝ^d. Exprimer (T_ε ℓ)(x) en fonction de ε et x pour tout x ∈ ℝ^d.
On revient désormais au cas général où α ⩾ 1. Dans toute la suite de cette partie, f ∈ B(ℝ^d, ℝ) est une fonction fixée.
5. Montrer que T_ε f ∈ B(ℝ^d, ℝ) et que |T_ε f|_∞ ⩽ |f|_∞.
6 . Soit x ∈ ℝ^d. On pose
A(x) = {y ∈ ℝ^d| f(y) + 1/ε‖y − x‖^α ⩽ f(x)}.
Montrer que A(x) ≠ ∅, que
∀y ∈ A(x), ‖y − x‖ ⩽ (2ε|f|_∞)^(1/α).
et que
(T_ε f)(x) = inf_(y ∈ A(x))(f(y) + 1/ε‖y − x‖^α).
  1. On suppose dans cette question que f est continue. Montrer que pour tout x ∈ ℝ^d, il existe y_x ∈ ℝ^d tel que
(T_ε f)(x) = f(y_x) + 1/ε‖y_x − x‖^α
  1. Montrer que pour tous x ∈ ℝ^d et y ∈ ℝ^d, on a
|f(y) − f(x)| ⩽ |T_ε f − f|_∞ + 1/ε‖y − x‖^α
  1. On pose ici et dans toute la suite, sous réserve d'existence,
∀r ∈ [0, + ∞[, ω_f(r) = sup_((x, y) ∈ B_0(r))|f(x) − f(y)|
où
B_0(r) = {(x, y) ∈ ℝ^d × ℝ^d|‖x − y‖ ⩽ r}
Démontrer les deux assertions suivantes
(a) Pour tout réel r ⩾ 0, ω_f(r) est bien défini et
ω_f(r) ⩽ |T_ε f − f|_∞ + 1/εr^α
(b) La fonction r ∈ [0, + ∞[ ↦ ω_f(r) est croissante.
10. Montrer que
|T_ε f − f|_∞ ⩽ ω_f(r_ε) où r_ε = (2ε|f|_∞)^(1/α).
  1. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes:
    (i) La suite de fonctions (T_(1/n)f)_(n ⩾ 1) converge uniformément vers f.
    (ii) lim_(t → 0^+)ω_f(t) = 0.

Partie II : fonctions concaves

On dit que f : ℝ^d → ℝ est concave si pour tous x, y ∈ ℝ^d et λ ∈ [0, 1],
f(λx + (1 − λ)y) ⩾ λf(x) + (1 − λ)f(y)
On dit que f est convexe si − f est concave.
Dans la suite, f sera une fonction concave de ℝ^d dans ℝ.
12. Soit f_0 une autre fonction concave de ℝ^d dans ℝ. Montrer que f + f_0 et min(f, f_0) sont concaves.
13. Montrer que pour tout entier n ⩾ 2, si x_1, ⋯, x_n ∈ ℝ^d et λ_1, ⋯, λ_n ∈ [0, 1] vérifient ∑_(i = 1)^n λ_i = 1, alors
f(∑_(i = 1)^n λ_i x_i) ⩾ ∑_(i = 1)^n λ_i f(x_i)
  1. Soient x ≠ z deux points distincts de ℝ^d et λ ∈ ]0, 1[. On pose y = λx + (1 − λ)z. Montrer que
(f(z) − f(y))/λ ⩽ f(z) − f(x) ⩽ (f(y) − f(x))/(1 − λ)
  1. Soit M > 0 un réel fixé. On note X_1, ⋯, X_(2^d) les 2^d éléments de { − M, M}^d (énumérés dans un ordre arbitraire).
    (a) Montrer que pour tout x ∈ [ − M, M]^d, il existe λ_1, ⋯, λ_(2^d) ∈ [0, 1] tels que
∑_(i = 1)^(2^d)λ_i = 1 et ∑_(i = 1)^(2^d)λ_i X_i = x
Indication : on peut procéder par récurrence.
(b) Montrer qu'il existe une constante réelle D ⩽ 0 telle que :
∀x ∈ [ − M, M]^d, f(x) − f(0) ⩾ D
(c) En déduire que
∀x ∈ [ − M, M]^d, |f(x) − f(0)| ⩽ |D|
Indication : on peut observer que 0 = 1/2x + 1/2(− x) pour tout x ∈ [ − M, M]^d
(d) En déduire que pour tous x, y ∈ [ − M/2, M/2]^d on a
|f(x) − f(y)| ⩽ (4|D|)/M‖x − y‖
Indication : on peut considérer un point z = y + t(y − x) avec t > 0 un nombre réel convenablement choisi.
(e) Montrer que f est continue sur ℝ^d.
16. Soit C ⊂ ℝ^(d + 1) un ensemble convexe fermé non vide et Y ∈ ℝ^(d + 1).
(a) Montrer qu'il existe Y_0 ∈ C tel que
∀X ∈ C, ‖Y − Y_0‖ ⩽ ‖Y − X‖
(b) Montrer que
∀X ∈ C, ⟨Y − Y_0|X − Y_0⟩ ⩽ 0
(c) En déduire que Y_0 est unique.
17. On note E_f = {(x, y) ∈ ℝ^d × ℝ|y ⩽ f(x)} ⊂ ℝ^(d + 1). On fixe dans la suite de cette question x_⋆ ∈ ℝ^d et un nombre réel ε > 0.
(a) Montrer qu'il existe un unique X_ε = (x_ε, y_ε) ∈ E_f tel que
∀X ∈ E_f, ‖(x_⋆, f(x_⋆) + ε) − X_ε‖ ⩽ ‖(x_⋆, f(x_⋆) + ε) − X‖.
(b) Montrer que y_ε = f(x_ε).
(c) On pose désormais a(ε) = f(x_⋆) − f(x_ε) + ε. Montrer que
∀x ∈ ℝ^d, ⟨x − x_⋆|x_⋆ − x_ε⟩ + ‖x_⋆ − x_ε‖^2 + a(ε)(f(x) − f(x_ε)) ⩽ 0
(d) En déduire les deux inégalités
0 < a(ε) ⩽ ε; ‖x_⋆ − x_ε‖ ⩽ ε/2
(e) On suppose dans cette question que ε ∈ ]0, 1]. Montrer qu'il existe une constante K_0 dépendant uniquement de f et de x_⋆, et indépendante de ε, telle que
1/(a(ε))‖x_⋆ − x_ε‖ ⩽ K_0
  1. Soit (u_n)_(n ⩾ 0) une suite réelle vérifiant: ∀n ⩾ 0, |u_n| ⩽ K_0.
On définit les suites (a_n)_(n ⩾ 0) et (b_n)_(n ⩾ 0) de la manière suivante :
− a_0 = − K_0 et b_0 = K_0
  • pour tout entier n ⩾ 0 :
  • si l'ensemble {k ∈ ℕ| u_k ∈ [a_n, (a_n + b_n)/2]} est infini alors
a_(n + 1) = a_n et b_(n + 1) = (a_n + b_n)/2
  • sinon
a_(n + 1) = (a_n + b_n)/2 et b_(n + 1) = b_n
(a) Montrer que ces deux suites (a_n)_(n ⩾ 0) et (b_n)_(n ⩾ 0) sont adjacentes.
(b) Montrer que pour tout entier n ⩾ 0, l'ensemble {k ∈ ℕ|u_k ∈ [a_n, b_n]} est infini.
(c) En déduire qu'il existe une suite extraite (u_(φ(n)))_(n ⩾ 0) qui converge.
19. Montrer l'existence d'un vecteur p_⋆ ∈ ℝ^d tel que
∀x ∈ ℝ^d, f(x) − f(x_⋆) ⩽ ⟨p_⋆|x − x_⋆⟩
Indication : on peut considérer les éléments de ℝ^d
p_n = 1/(a(1/n))(x_(1/n) − x_⋆), pour n ⩾ 1
  1. Déterminer toutes les fonctions g : ℝ^d → ℝ qui sont à la fois convexes et concaves.

Partie III : fonctions semi-concaves

Soit f une fonction de ℝ^d dans ℝ et K ⩾ 0 un nombre réel. On dit que f est K-semiconcave si la fonction x ↦ f(x) − K‖x‖^2 est concave. On dit que f est K-semi-convexe si − f est K-semi-concave.
La fonction f est semi-concave s'il existe une constante K ⩾ 0 telle que f est K -semi-concave. Enfin, on dit que f est semi-convexe si − f est semi-concave.
21. Soit ε > 0 un nombre réel et f ∈ B(ℝ^d, ℝ). On rappelle que quand α = 2, T_ε f est définie par
∀x ∈ ℝ^d, (T_ε f)(x) = inf_(y ∈ ℝ^d)(f(y) + 1/ε‖y − x‖^2)
Montrer que, dans ce cas, T_ε f est 1/ε-semi-concave.
22. On suppose dans cette question et dans toute la suite que f ∈ B(ℝ^d, ℝ) est une fonction K-semi-concave. Montrer que pour tout x ∈ ℝ^d, il existe p_x ∈ ℝ^d tel que
∀y ∈ ℝ^d, f(y) − f(x) ⩽ ⟨p_x|y − x⟩ + K‖y − x‖^2
  1. (a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ^d, la fonction y ↦ f(y) − K‖y − x‖^2 est concave.
    (b) Montrer qu'il existe une constante K^′ > 0 telle que pour tous x, y ∈ ℝ^d vérifiant ‖x − y‖ ⩽ 1,
|f(x) − f(y)| ⩽ K^′‖x − y‖
(c) Montrer que f est K^′-Lipschitzienne.
24. On suppose dans cette question que f est à la fois K-semi-concave et K-semiconvexe.
(a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ^d, il existe p_x, q_x ∈ ℝ^d tels que
∀y ∈ ℝ^d, ⟨q_x|y − x⟩ − K‖y − x‖^2 ⩽ f(y) − f(x) ⩽ ⟨p_x|y − x⟩ + K‖y − x‖^2
(b) Montrer que pour tout x ∈ ℝ^d on a p_x = q_x.
(c) Conclure que f admet des dérivées partielles en tout x ∈ ℝ^d et que ∇f(x) = p_x (où l'on a noté ∇f(x) le vecteur de ℝ^d dont les coordonnées dans la base canonique sont les dérivées partielles en x de f ).
(d) Montrer que pour tous x, y, h ∈ ℝ^d on a l'inégalité
|⟨∇f(y) − ∇f(x)|h⟩| ⩽ K(‖h‖^2 + ‖x + h − y‖^2 + ‖x − y‖^2)
Indication : on peut utiliser l'inégalité suivante après l'avoir justifiée :
− K‖y + h − x‖^2 ⩽ f(y + h) − f(x) − ⟨∇f(x)|y + h − x⟩ ⩽ K‖y + h − x‖^2
valables pour tous x, y, h ∈ ℝ^d.
(e) En déduire que pour tous x, y ∈ ℝ^d on a ‖∇f(x) − ∇f(y)‖ ⩽ 6K‖x − y‖ et que f est de classe C^1.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques X-ENS PSI 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques X-ENS PSI 2020 ?

Il porte sur les fonctions lipschitziennes, la convexité et la concavité des fonctions de plusieurs variables, la géométrie euclidienne avec projection sur un convexe, et la différentiabilité des fonctions semi-concaves.

Quelles parties sont indépendantes dans ce problème ?

La partie I sur l'approximation lipschitzienne peut être traitée indépendamment ; les parties II et III s'enchaînent car la partie III réutilise les propriétés des fonctions concaves établies en partie II.

Ce sujet porte-t-il sur les fonctions d'une ou de plusieurs variables ?

Sur des fonctions de plusieurs variables définies sur un espace vectoriel de dimension finie quelconque, ce qui demande de manipuler le produit scalaire et la norme euclidienne en dimension d.

Faut-il connaître la notion de fonction semi-concave avant de traiter ce sujet ?

Non, l'énoncé la définit dans la troisième partie à partir de la concavité étudiée dans la partie précédente.

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