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Banque commune École Polytechnique - InterENS

PSI

Session 2015

Épreuve de Mathématiques

Durée: 4 heures

Aucun document n'est autorisé
Aucune calculatrice n'est autorisée

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le problème, on adopte les notations suivantes :

Pour $z \in ℂ, ℜe(z)$ et $ℑm(z)$ désignent les parties réelle et imaginaire de $z$ respectivement, $z¯$ désigne le conjugué de $z$ , et $|z|$ le module de $z$ .
Pour $n \in ℕ^*$ , on identifie les vecteurs de $ℝ^n$ avec les éléments de $M_(n, 1)(ℝ)$ .
Pour $u = (u_1; u_2; u_3)$ et $v = (v_1; v_2; v_3)$ deux vecteurs de $ℝ^3, u \land v = (u_2 v_3 - u_3 v_2; u_3 v_1 - u_1 v_3; u_1 v_2 - u_2 v_1)$ désigne le produit vectoriel de $u$ et $v$ . On pourra utiliser librement la formule du double produit vectoriel

\forall(u, v, w) \in ℝ^3 \times ℝ^3 \times ℝ^3, u \land (v \land w) = (u \cdot w)v - (u \cdot v)w

Pour $n \in ℕ^*$ et $(u, v) \in ℝ^n \times ℝ^n, u \cdot v$ désigne le produit scalaire euclidien de $u$ et $v$ et $‖u‖ = \sqrt(u \cdot u)$ .
Soit $I$ un intervalle de $ℝ$ . Lorsque $f : I \times ℝ \to ℂ$ , on note $f(t, \cdot) : x \mapsto f(t, x)$ et $f(\cdot, x) : t \mapsto f(t, x)$ les applications partielles correspondantes.
Pour $t \in I$ , si l'application partielle $f(t, \cdot) \in C^2(ℝ, ℂ)$ , on note $(\partialf)/(\partialx)(t, \cdot) \in C^1(ℝ, ℂ)$ et $(\partial^2 f)/(\partialx^2)(t, \cdot) \in C(ℝ, ℂ)$ ses dérivées.
Pour $x \in ℝ$ , si l'application partielle $f(\cdot, x) \in C^1(I, ℂ)$ , on note $(\partialf)/(\partialt)(\cdot, x) \in C(I, ℂ)$ sa dérivée.
Soit $I$ un intervalle de $ℝ$ . Lorsque $f : I \times ℝ \to ℝ^3, (t, x) \mapsto (f_1(t, x), f_2(t, x), f_3(t, x))$ , on note $f(t, \cdot) : x \mapsto f(t, x)$ et $f(\cdot, x) : t \mapsto f(t, x)$ les applications partielles correspondantes.
Pour $t \in I$ , si $f(t, \cdot) \in C^2(ℝ, ℝ^3)$ , on note

(\partialf)/(\partialx)(t, \cdot) = ((\partialf_1)/(\partialx)(t, \cdot), (\partialf_2)/(\partialx)(t, \cdot), (\partialf_3)/(\partialx)(t, \cdot)), (\partial^2 f)/(\partialx^2)(t, \cdot) = ((\partial^2 f_1)/(\partialx^2)(t, \cdot), (\partial^2 f_2)/(\partialx^2)(t, \cdot), (\partial^2 f_3)/(\partialx^2)(t, \cdot)).

Pour

x \in ℝ

, si

f(\cdot, x) \in C^1(I, ℝ^3)

, on note

(\partialf)/(\partialt)(\cdot, x) = ((\partialf_1)/(\partialt)(\cdot, x), (\partialf_2)/(\partialt)(\cdot, x), (\partialf_3)/(\partialt)(\cdot, x)).

Soit $(n, k) \in ℕ^* \times ℕ^*$ . Lorsque $M : ℝ \to M_(n, k)(ℝ), t \mapsto M(t) = (m_(ij)(t))_(1 \leq i \leq n)$ , on dit que $M \in 1 \leq j \leq kC^1(ℝ, M_(n, k)(ℝ))$ si et seulement si $m_(ij) \in C^1(ℝ, ℝ)$ pour tout $(i, j) ∈ {1, …, n} × {1, …, k}^2$ . Dans ce cas, on note $M^'(t) = (m_(ij)^'(t))_(1 \leq i \leq n; 1 \leq j \leq k)$ .
On dit qu'une fonction $f : ℝ \to ℂ$ est périodique s'il existe $T \in ℝ^*$ tel que pour tout $x \in ℝ$ , on ait $f(x + T) = f(x)$ .
$I_3$ désigne la matrice carrée identité de taille 3 .
Pour $θ \in ℝ, R(θ) \in M_3(ℝ)$ est la matrice

R(θ) = (cos(θ), - sin(θ), 0; sin(θ), cos(θ), 0; 0, 0, 1)

Partic (I).

Soit

α \in ℝ

. On dit que

f

est une solution de l'équation

(E_α)

f \in C^2(ℝ, ℂ)

(E_α) \forallx \in ℝ, f^('')(x) + (ix)/2f^'(x) + (f(x))/2(α|f(x)|^2 + 1) = 0.

Dans les questions 1 à 7 de la Partie (I) on suppose que

α > 0

. De plus, on suppose qu'il existe une solution

f

de (

E_α

) qui vérifie

f(0) = 1

f^'(0) = 0

On pose $f_1 = ℜe(f)$ et $f_2 = ℑm(f)$ . Exprimer $f_1^('')$ et $f_2^('')$ en fonction de $f_1^', f_2^', f_1$ et $f_2$ .
Montrer que

\forallx \in ℝ, |f^'(x)|^2 + 1/(4α)(α|f(x)|^2 + 1)^2 = 1/(4α)(α + 1)^2.

Montrer que

\forallx \in ℝ, |f(x)| \leq 1,

et que

\forallx \in ℝ, |f^'(x)| \leq 1/(2\sqrtα)(α + 1)

Le but de cette question est de démontrer qu'il existe $(ℓ, M_0) \in ℝ_+^2$ tel que

\forallx \in ℝ_+^*, ||f(x)|^2 - ℓ| \leq (M_0)/x.

(a) Montrer que

\forallx \in ℝ, ℑm(f^'(x)f¯(x)) + x/4|f(x)|^2 - 1/4\int_0^x|f(t)|^2 dt = 0

(b) Montrer que

\forallx \in ℝ_+^*, d/(dx)(1/x\int_0^x|f(t)|^2 dt) = - 4/(x^2)ℑm(f^'(x)f¯(x))

ℓ \in ℝ_+

tel que

1/x\int_0^x|f(t)|^2 dt ⟶ _(x \to + \infty)ℓ

(d) Montrer qu'il existe

M \in ℝ_+

tel que

\forallx \in ℝ_+^*, |1/x\int_0^x|f(t)|^2 dt - ℓ| \leq M/x.

(e) Conclure.
5.
(a) On suppose dans cette question que

ℓ = 1

. Montrer qu'il existe

M_1 \in ℝ_+

tel que

\forallx \in ℝ_+^*, ||f(x)|^2 - 1| \leq (M_1)/(x^(3/2))

(b) En déduire que

ℓ < 1

.
6. Montrer que

|f|

n'est pas périodique.
7. Pour

(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ

, on pose

f_α(x) = f(x)exp(i(x^2)/4), Ψ_α(t, x) = 1/(\sqrtt)f_α(x/(\sqrtt)).

(a) Existe-t-il

t \in ℝ_+^*

tel que

Ψ_α(t, \cdot)

soit périodique?
(b) Exprimer

f_α^', f_α^('')

|f_α|

en fonction de

f, f^', f^('')

|f|

.
(c) Justifier que pour tout

(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ

on a

Ψ_α(\cdot, x) \in C^1(ℝ_+^*, ℂ)

Ψ_α(t, \cdot) \in C^2(ℝ, ℂ)

, puis démontrer que

Ψ_α

vérifie l'équation (

F_α

) :

(F_α) \forall(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ, i(\partialΨ_α)/(\partialt)(t, x) + (\partial^2 Ψ_α)/(\partialx^2)(t, x) + 1/2Ψ_α(t, x)(α|Ψ_α|^2(t, x) + 1/t) = 0

Soit $(a_k)_(k \in ℕ)$ une suite à termes complexes telle que la série de terme général $k^2 a_k$ est absolument convergente. Pour $(t, x) \in ℝ^2$ on note alors

Φ_0(t, x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)a_k e^(- ik^2 t + ikx)

(a) Montrer que

Φ_0

est bien définie sur

ℝ^2

.
(b) Montrer que pour tout

(t, x) \in ℝ^2

, on a

Φ_0(\cdot, x) \in C^1(ℝ, ℂ)

Φ_0(t, \cdot) \in C^2(ℝ, ℂ)

. Calculer

(\partialΦ_0)/(\partialt)(t, x)

(\partial^2 Φ_0)/(\partialx^2)(t, x)

.
(c) Soit

(c_k)_(k \in ℕ)

une suite à termes complexes telle que la série de terme général

k^2 c_k

est absolument convergente. Pour

x \in ℝ

, on pose

f_0(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)c_k e^(ikx)

Construire une fonction

Ψ_0

définie sur

ℝ_+^* \times ℝ

qui vérifie :

Pour tout $(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ, Ψ_0(\cdot, x) \in C^1(ℝ_+^*, ℂ)$ et $Ψ_0(t, \cdot) \in C^2(ℝ, ℂ)$ , et $Ψ_0$ est solution de l'équation $(F_0)$ c'est-à-dire

\forall(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ, i(\partialΨ_0)/(\partialt)(t, x) + (\partial^2 Ψ_0)/(\partialx^2)(t, x) + 1/(2t)Ψ_0(t, x) = 0

Pour tout $t \in ℝ_+^*, Ψ_0(t, \cdot)$ est périodique;
Pour tout $x \in ℝ, Ψ_0(1, x) = f_0(x)$ .

Partie (II).

Pour

m \in ℝ

, on note

M

la matrice

M = (0, - m, 0; m, 0, 0; 0, 0, 0)

Pour $t \in ℝ$ et $n \in ℕ^*$ , on introduit la matrice

F_n(t) = I_3 + \sum_(k = 1)^n(t^k M^k)/(k!) \in M_3(ℝ)

Montrer que la suite

(F_n(t))_(n \in ℕ)

converge vers une limite notée

F(t) \in M_3(ℝ)

. Exprimer

F(t)

en fonction de

R(θ)

, où

θ

dépend de

m

t

.
10. Montrer que pour tout

t \in ℝ

X

Y

vecteurs de

ℝ^3

, on a

F(t)X \cdot Y = X \cdot F(- t)Y

. En déduire que

F(t)(X \land Y) = (F(t)X) \land (F(t)Y)

.
11. Montrer que

F \in C^1(ℝ, M_3(ℝ))

et que pour tout

t \in ℝ

on a

F^'(t) = F(t)M

.
12. Montrer que pour

X \in ℝ^3, MX \cdot X = 0

. Interpréter géométriquement l'application

ℝ^3 \to ℝ^3, X \mapsto (I_3 + M)X

.
13. Donner une condition nécessaire et suffisante sur

m

pour que la suite

((I_3 + M)^n)_(n \in ℕ)

converge dans

M_3(ℝ)

Partie (III).

On suppose que

G \in C^2(ℝ, ℝ^3)

vérifie

\forallx \in ℝ, G^('')(x) = 1/2((I_3 + M)G(x)) \land G^'(x)

et que de plus

‖G^'(0)‖ = 1, ((I_3 + M)G(0)) \cdot G^'(0) = 0

On pose

\forallx \in ℝ, T(x) = G^'(x)

Montrer que pour tout $x \in ℝ, ‖T(x)‖ = 1$ .
Montrer que pour tout $x \in ℝ, (I_3 + M)G(x) - xG^'(x) = 2G^'(x) \land G^('')(x)$ .
Pour $(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ$ , on définit $G˜(t, x) = \sqrttF((ln(t))/2)G(x/(\sqrtt))$ , où $F$ est définie à la question 9 . Montrer que pour tout $(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ$ on a $G˜(\cdot, x) \in C^1(ℝ_+^*, ℝ^3)$ et $G˜(t, \cdot) \in C^2(ℝ, ℝ^3)$ , puis établir que

\forall(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ, (\partialG˜)/(\partialt)(t, x) = (\partialG˜)/(\partialx)(t, x) \land (\partial^2 G˜)/(\partialx^2)(t, x)

On suppose dans toute la suite de cette partie que

à m = 0, c'est-à-dire M = (0, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, 0)

On suppose de plus qu'il existe

λ > 0

tel que

G(0) = (0, 0, 2λ), G^'(0) = (1, 0, 0).

Montrer que pour tout $x \in ℝ$ , on a $|G_1(x)| \leq |x|$ , où l'on note $G_1 \in C^2(ℝ, ℝ)$ la première coordonnée de $G = (G_1, G_2, G_3)$ .
Montrer que $G \in C^\infty(ℝ, ℝ^3)$ .
Montrer que pour tout $x \in ℝ$ , on a $‖T^'(x)‖ = λ$ .

20 . Pour

x \in ℝ

, on introduit les vecteurs

n(x) = (T^'(x))/λ, b(x) = T(x) \land n(x),

de sorte que

(T(x), n(x), b(x))

forme une base orthonormale directe.
(a) En utilisant la question 15, montrer que pour tout

x \in ℝ

, on a

2b^'(x) = - xn(x)

.
(b) En déduire que

n^'(x) = - λT(x) + x/2b(x)

.
(c) Montrer que

G

vérifie

\forallx \in ℝ, G^(''')(x) + (λ^2 + (x^2)/4)G^'(x) - x/4G(x) = 0.

(a) Écrire l'équation différentielle linéaire

Y^(''') + (λ^2 + (x^2)/4)Y^' - x/4Y = 0

, où

Y \in C^3(ℝ, ℝ^3)

, sous la forme d'un système différentiel

X^' = AX

, où

X \in C^1(ℝ, M_(n, 1)(ℝ))

et où

A \in C(ℝ, M_n(ℝ))

, avec

n \in ℕ^*

. On précisera

n

A

.
(b) Montrer que les coordonnées

G_1, G_2

G_3

G

vérifient

\forallx \in ℝ, G_1(- x) = - G_1(x), G_2(- x) = G_2(x), G_3(- x) = G_3(x).

x \in ℝ, ‖G(x)‖^2 = x^2 + 4λ^2

.
(d) Établir que si

G_1

ne s'annule pas sur

ℝ^*

alors

G

est une application injective sur

ℝ

.
22.
(a) Montrer que

\forallx \in ℝ, |G_1^'(x) - cos(λx)| \leq (x^3)/(6λ).

Indication : On pourra admettre que pour

r \in C(ℝ, ℝ)

, si

y \in C^2(ℝ, ℝ)

vérifie

y^('')(x) + λ^2 y(x) = r(x)

pour tout

x \in ℝ

, alors

y(x) = cos(λx)y(0) + (sin(λx))/λy^'(0) + 1/λ\int_0^x r(s)sin(λ(x - s))ds

(b) En déduire qu'il existe

λ_0 > 0

tel que si

λ > λ_0

alors il existe

x_0 \neq 0

tel que

G_1(x_0) = 0

.
23. Soit

H \in C^\infty(ℝ, ℝ^3)

telle que

‖H^'(x)‖ = 1

H^('')(x) \neq 0

pour tout

x \in ℝ

. On note

T_H(x) = H^'(x), n_H(x) = T_H^'(x)/‖T_H^'(x)‖

b_H(x) = T_H(x) \land n_H(x)

. On admet qu'il existe

k_H(x)

τ_H(x)

tels que

{T_H^′(x) = k_H(x)n_H(x); n_H^′(x) = − k_H(x)T_H(x) + τ_H(x)b_H(x); b_H^′(x) = − τ_H(x)n_H(x)

Exprimer

k_G

τ_G

, puis montrer qu'il existe

α \in ℝ

tel que la fonction

Ψ(t, x) = 1/(\sqrtt)k_G(x/(\sqrtt))exp(i\int_0^x 1/(\sqrtt)τ_G(y/(\sqrtt))dy)

est solution de l'équation (

F_α

) définie à la question 7 (c), c'est-à-dire

\forall(t, x) \in ℝ_+^* \times ℝ, i(\partialΨ)/(\partialt)(t, x) + (\partial^2 Ψ)/(\partialx^2)(t, x) + 1/2Ψ(t, x)(α|Ψ|^2(t, x) + 1/t) = 0.

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