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Mines Mathématiques 2 PSI 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices symplectiques : groupe symplectique, centre et déterminant
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Le sujet étudie l'ensemble des matrices symplectiques de taille 2n, défini par la relation tMJM = J. Après des rappels sur le calcul par blocs, il établit que cet ensemble est un groupe, détermine son centre, puis démontre que toute matrice symplectique a pour déterminant 1, en distinguant selon qu'un bloc diagonal est inversible ou non.

  1. 1Partie I : le groupe symplectiquePropriétés de la matrice J, exemples de matrices symplectiques, stabilité par produit, inverse et transposée, caractérisation par blocs.
  2. 2Partie II : centre du groupe symplectiqueDémonstration que le centre est réduit à l'identité et à son opposée, à l'aide de matrices symplectiques bien choisies.
  3. 3Partie III : déterminant d'une matrice symplectiqueFactorisation par blocs quand D est inversible, puis argument d'algèbre bilinéaire et de famille libre pour traiter le cas général.

Difficulté moyenne. La première partie était facile et une grande partie des candidats a atteint les questions 13 et 14, avec une moyenne de 9 sur 20 sous un barème jugé généreux.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9 / 20
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Moyenne
9/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Calcul par blocs maladroit · Symplectique confondu avec orthogonal · Erreurs de logique
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Le sujet demandait de l'aisance en calcul matriciel par blocs, une bonne connaissance de l'algèbre linéaire et bilinéaire et une compréhension de son enchaînement logique. Les résultats sont très variables : certains candidats ont tout traité correctement, d'autres lisent mal l'énoncé et connaissent mal le cours. Le jury regrette aussi que de bonnes copies soient rédigées de façon approximative.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calcul par blocs maladroitQ1, Q3 et Q8

    Le déterminant de J et la transposée d'une matrice par blocs sont souvent faux. Certains écrivent un déterminant égal à une matrice.

  2. 2
    Symplectique confondu avec orthogonalQ1

    Affirmer dès Q1 qu'une matrice est symplectique si et seulement si elle est orthogonale fausse presque toute la suite.

  3. 3
    Erreurs de logiqueQ4, Q5, Q6, Q8 et Q13

    Confusion entre une propriété et sa réciproque, entre condition nécessaire et condition suffisante, ou vérification sur deux exemples présentée comme une preuve générale.

    « Il y a toujours des problèmes de logique (confusion entre condition nécessaire et condition suffisante) »
  4. 4
    Produit matriciel supposé commutatifQ13

    De nombreux calculs sont faux parce que deux matrices carrées sont supposées commuter.

    « le candidat pense que la multiplication de deux matrices carrées est commutative »
  5. 5
    Opérations illicites en algèbre bilinéaireQ15

    Divisions de matrices, produits scalaires entre matrices et vecteurs, produits impossibles : seule une copie sur quatre réussit Q15.

    « les candidats montrent leur grande incompréhension en algèbre linéaire et bilinéaire, et font des opérations illicites »
  6. 6
    Résultat affirmé comme s'il était du coursQ12

    Pour conclure que A est scalaire, il faut exploiter la commutation avec les matrices I + Eij. Une matrice diagonale de déterminant 1 n'a pas forcément des coefficients égaux.

    « Certains affirment le résultat de la question sans démonstration, comme s'il s'agissait d'un résultat du cours, ce qui n'est pas le cas. »

Ce qui a été bien réussi

  • La question 11 est facile et presque toujours bien traitée.
  • La question 14, de synthèse, a été bien traitée dans les meilleures copies, et la question 16 est souvent réussie quand elle est abordée.
  • Un certain nombre de candidats ont traité correctement l'intégralité du sujet.

Conseils du jury

  • Lire le sujet en entier avant de commencer : l'énoncé suggère souvent quelles questions précédentes utiliser.
  • Même sur des questions faciles, expliquer les calculs au lieu de les enchaîner sans commentaire.
  • Réfléchir complètement à une question avant de la rédiger pour gagner en clarté et en rigueur.
  • Employer implications et équivalences avec précaution et bien délimiter chaque preuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP,
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Notations

Dans tout le problème n désigne un entier naturel non nul : n ∈ N^∗.
  • Dans E_n = M_(n, 1)(R) espace vectoriel réel de dimension n, on utilisera le produit scalaire canonique défini par :
∀U, V ∈ E_n, (U|V) = ^t UV
  • On notera M_n = M_n(R), l'espace vectoriel des matrices carrées de taille n à coefficients réels.
  • Pour A ∈ M_n, on notera kerA, le noyau de A vu comme endomorphisme de E_n.
  • Dans M_n, on notera 0_n la matrice nulle et I_n la matrice unité. Le déterminant est noté det.
  • G_n = GL_n(R) = {M ∈ M_n, det(M) ≠ 0} désigne le groupe linéaire des matrices inversibles de M_n.
  • O_n = {M ∈ M_n, ^t MM = I_n} désigne le groupe orthogonal d'indice n, formé des matrices orthogonales de M_n.
  • On sera enfin amené à utiliser des décompositions par blocs. On rappelle en particulier que si A, B, C, D, A^′, B^′, C^′, D^′ ∈ M_n, on a alors dans M_(2n) :
[A, B; C, D][A^′, B^′; C^′, D^′] = [AA^′ + BC^′, AB^′ + BD^′; CA^′ + DC^′, CB^′ + DD^′].; det([A, C; 0_n, D]) = det([A, 0_n; C, D]) = det(A)det(D).

I Le groupe symplectique

Soit n ∈ N^∗ et soit J_n ou simplement J la matrice de M_(2n) définie par
J = [0_n, − I_n; I_n, 0_n]
On note
Sp_(2n) = {M ∈ M_(2n), ^t MJM = J}.
  1. Calculer J^2 et ^t J en fonction de I_(2n) et J. Montrer que J est inversible et identifier son inverse.
  2. Vérifier que J ∈ Sp_(2n) et que pour tout réel α,
K(α) = [I_n, 0_n; − αI_n, I_n] ∈ Sp_(2n).
  1. Pour tout U ∈ G_n, vérifier que L_U = [U, 0_n; 0_n, ^t U^(− 1)] est dans Sp_(2n).
  2. Si M ∈ Sp_(2n), préciser les valeurs possibles de det(M).
  3. Montrer que le produit de deux éléments de Sp_(2n) est un élément de Sp_(2n).
  4. Montrer qu'un élément de Sp_(2n) est inversible et que son inverse appartient à Sp_(2n).
  5. Montrer que si M ∈ Sp_(2n) alors ^t M ∈ Sp_(2n).
Soit M une matrice de M_(2n) écrite sous la forme
M = [A, B; C, D], avec A, B, C, D ∈ M_n
  1. Déterminer des relations sur A, B, C et D caractérisant l'appartenance de M à Sp_(2n).

II Centre de Sp_(2n)

On s'intéresse ici au centre Z de Sp_(2n) c'est-à-dire :
Z = {M ∈ Sp_(2n), ∀N ∈ Sp_(2n), MN = NM}.
  1. Justifier l'inclusion suivante : { − I_(2n), I_(2n)} ⊂ Z.
Réciproquement, soit M ∈ Z écrite sous la forme
M = [A, B; C, D], avec A, B, C, D ∈ M_n
  1. En utilisant L = [I_n, I_n; 0_n, I_n] et sa transposée, obtenir B = C = 0_n et D = A, A étant inversible.
  2. Soit U ∈ G_n. En utilisant L_U = [U, 0_n; 0_n, ^t U^(− 1)], montrer que A commute avec toute matrice U ∈ G_n.
  3. Conclure que A ∈ { − I_n, I_n} et Z = { − I_(2n), I_(2n)}.
Indication : on montrera d'abord que les matrices I_n + E_(ij) commutent avec A, où ( E_(ij), 1 ≤ i, j ≤ n ) est la base canonique de M_n.

III Déterminant d'une matrice symplectique

Soit M dans Sp_(2n) que l'on décompose sous forme de matrices blocs
M = [A, B; C, D]
avec A, B, C, D ∈ M_n. Dans toute cette partie, les matrices A, B, C, D sont les matrices de cette décomposition.
On suppose dans les questions 13 et 14 que D est inversible.
13. Montrer qu'il existe quatre matrices Q, U, V, W de M_n telles que
[I_n, Q; 0_n, I_n][U, 0_n; V, W] = [A, B; C, D]
  1. En utilisant la question 8 , vérifier que BD^(− 1) est symétrique, puis que
det(M) = det(^t AD − ^t CB) = 1
Soit P, Q ∈ M_n telles que ^t PQ soit symétrique et Q non inversible. On suppose qu'il existe deux réels différents s_1, s_2 et deux vecteurs V_1, V_2 non nuls dans E_n tels que:
(Q − s_1 P)V_1 = (Q − s_2 P)V_2 = 0
  1. Montrer que le produit scalaire (QV_1|QV_2) est nul.
On suppose dorénavant D non inversible.
16. Montrer que kerB ∩ kerD = {0}.
Soit m un entier, m ≤ n. Soit s_1, ⋯, s_m des réels non nuls et deux à deux distincts et V_1, ⋯, V_m des vecteurs non nuls tels que
(D − s_i B)V_i = 0 pour i = 1, ⋯, m
  1. Montrer que pour tout i ∈ {1, ⋯, m}, DV_i ≠ 0 et que la famille ( DV_i, i = 1, ⋯, m ) forme un système libre de E_n.
  2. En déduire qu'il existe un réel α tel que D − αB soit inversible.
  3. Montrer alors que toute matrice de Sp_(2n) est de déterminant égal à 1 .

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2015 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PSI 2015 ?

Sur les matrices symplectiques : structure de groupe, calcul du centre du groupe symplectique et démonstration que toute matrice symplectique a pour déterminant 1.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de maths 2 Mines PSI 2015 ?

Le rapport indique une moyenne de 9 sur 20, avec des notes étalées de 0 à 20 et un barème jugé généreux par les correcteurs.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines Ponts PSI 2015 ?

Des calculs par blocs faux, la confusion entre matrices symplectiques et orthogonales, des erreurs de logique sur les réciproques, la commutativité supposée du produit matriciel et des opérations illicites en algèbre bilinéaire.

Quels chapitres réviser pour le sujet Mines maths 2 PSI 2015 ?

Le calcul matriciel par blocs, les déterminants, les matrices orthogonales et symétriques, le produit scalaire et les familles libres, soit l'algèbre linéaire et bilinéaire.

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