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Mines Mathématiques 2 PSI 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Endomorphismes échangeurs et sommes de deux endomorphismes de carré nul
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Le problème démontre, en dimension finie sur C, l'équivalence entre trois conditions : u est échangeur, u est somme de deux endomorphismes de carré nul, u et -u sont semblables. Après le cas de la dimension 2 et un calcul par blocs, il traite le cas d'un automorphisme, introduit les sous-espaces caractéristiques, puis conclut dans le cas non bijectif et pour la troisième condition, le cas nilpotent étant admis.

  1. 1Partie A : quelques considérations en dimension 2deuxième annéeTrace nulle, spectre et sous-espaces propres d'un endomorphisme de trace nulle, construction d'une droite échangée.
  2. 2Partie B : la condition (C1) implique (C2) et (C3)Calculs par blocs, matrice diagonale par blocs de similitude et matrice d'un endomorphisme échangeur.
  3. 3Partie C : (C2) implique (C1), cas d'un automorphismepremière annéeComparaison du noyau et de l'image d'un endomorphisme de carré nul, décomposition de E en somme directe de deux noyaux.
  4. 4Partie D : un principe de décompositiondeuxième annéeSuite croissante des noyaux itérés, sous-espace caractéristique, décomposition en somme directe de sous-espaces stables et valeurs propres des endomorphismes induits.
  5. 5Partie E : (C2) implique (C1), cas non bijectifdeuxième annéeCommutation avec le carré de u, stabilité d'une image et réduction au cas d'un automorphisme.
  6. 6Partie F : (C3) implique (C1)Endomorphismes indécomposables, valeurs propres de l'automorphisme de similitude et conclusion générale.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet conforme aux standards du concours en niveau et en longueur, avec une large majorité de questions faciles à moyennes ; seules les questions 14, 15, 18, 20, 21 et 22 ont mis presque tous les candidats en échec.

L'épreuve en chiffres

5 000 copies
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Copies
5 000

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Admettre des propriétés de la similitude · Raisonnements faux en dimension 2 · Confondre endomorphismes et matrices
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La plupart des candidats ont traité les questions 4 à 12, et la moitié des copies montre une maîtrise convenable de l'algèbre linéaire de première année. En revanche, les outils de deuxième année (Cayley-Hamilton, stabilité par commutation, polynôme annulateur) sont peu mobilisés, ce qui a conduit à des calculs lourds. Le jury déplore aussi des copies mal rédigées et des confusions entre endomorphismes et matrices.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Admettre des propriétés de la similitudeQ1

    La notion d'endomorphismes semblables n'est pas au programme : l'invariance de la trace devait être justifiée, par exemple avec tr(uv) = tr(vu).

    « n'était pas acceptable d'annoncer sans explication que deux endomorphismes semblables ont la même trace »
  2. 2
    Raisonnements faux en dimension 2Q2

    Supposer deux valeurs propres distinctes ou confondre un polynôme annulateur de degré 2 avec le polynôme caractéristique ; il fallait aussi justifier que δ et -δ sont distincts.

    « un endomorphisme d'un plan vectoriel n'a pas nécessairement deux valeurs propres distinctes »
  3. 3
    Confondre endomorphismes et matrices

    Les espaces étant abstraits, parler de la matrice d'un endomorphisme sans préciser de base n'est pas accepté.

    « Trop de candidats confondent ouvertement endomorphismes et matrices carrées »
  4. 4
    Oublier les outils de deuxième annéeQ13, Q14, Q17

    La stabilité d'un noyau ou d'une image par commutation et l'usage d'un polynôme annulateur pour localiser un spectre permettaient d'avancer vite.

    « l'utilisation d'un polynôme annulateur pour discuter un spectre (question 14) est une idée qui ne vient spontanément qu'à une vingtaine de candidats »
  5. 5
    Faire commuter a et bQ16

    Pour développer le carré de u = a + b, il ne fallait pas supposer que a et b commutent.

    « Ici a et b n'avaient aucune raison de commuter »
  6. 6
    Symboles logiques mal employés

    Les copies remplies d'implications et d'équivalences utilisées à mauvais escient ont été systématiquement sanctionnées.

    « Des sanctions systématiques ont été appliquées aux copies truffées de symboles »

Ce qui a été bien réussi

  • Le calcul par blocs de la partie B a le plus souvent été réussi.
  • La question 8, classique, a souvent été bien traitée.
  • La question 9 a été au moins partiellement réussie par une bonne proportion de candidats.
  • Aucun contresens particulier n'a été relevé sur les objets définis dans le préambule.

Conseils du jury

  • Maîtriser parfaitement le cours, en particulier les outils de réduction de deuxième année.
  • Préparer au brouillon la structure du raisonnement, puis donner toutes les justifications utiles et seulement elles.
  • Traiter en profondeur un nombre réduit de questions : selon le jury, deux tiers des questions bien traitées suffisaient pour une note tout à fait satisfaisante.
  • Toujours préciser la base quand on associe une matrice à un endomorphisme.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Concours Centrale-Supelec (Cycle International), Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.

CONCOURS 2017

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Endomorphismes échangeurs

Durée prévue : 3 h

Dans tout le problème, les espaces vectoriels considérés ont C, le corps des nombres complexes, pour corps de base.
Étant donné deux entiers naturels n et p non nuls, on note M_(n, p)(C) l'espace vectoriel des matrices à n lignes, p colonnes et à coefficients dans C (et 0_(n, p) sa matrice nulle) et M_n(C) celui des matrices carrées à n lignes et à coefficients dans C (et 0_n sa matrice nulle).
Soit E in C-espace vectoriel. On note L(E) l'espace vectoriel des endomorphismes de E.
Un endomorphisme u de E est dit échangeur lorsqu'il existe des sous-espaces vectoriels F et G de E tels que
E = F ⊕ G, u(F) ⊂ G et u(G) ⊂ F.
Étant donné deux endomorphismes u et v de E, on dit que v est semblable à u lorsqu'il existe un automorphisme φ de E tel que v = φ ∘ u ∘ φ^(− 1). On notera que dans ce cas u = φ^(− 1) ∘ v ∘ (φ^(− 1))^(− 1), si bien que u est semblable à v.
On dit que u est de carré nul lorsque u^2 est l'endomorphisme nul de E. On dit que u est nilpotent lorsqu'il existe un entier naturel n ≥ 1 tel que u^n = 0. Une matrice A ∈ M_n(C) est dite de carré nul lorsque A^2 = 0_n.
L'objectif du problème est d'établir, pour un endomorphisme u d'un C -espace vectoriel E de dimension finie, l'équivalence entre les conditions suivantes :
(C1) L'endomorphisme u est échangeur.
(C2) Il existe a ∈ L(E) et b ∈ L(E), tous deux de carré nul, tels que u = a + b.
(C3) Les endomorphismes u et − u sont semblables.
Chacune des parties A et B est indépendante des autres. Les résultats de la partie D sont essentiels au traitement des parties E et F.

A Quelques considérations en dimension 2

On se donne ici un C-espace vectoriel E de dimension 2 et un endomorphisme u de E.
  1. Montrer que si u vérifie la condition (C3) alors u est de trace nulle.
Jusqu'à la fin de cette partie, on suppose u de trace nulle et de déterminant non nul.
On choisit un nombre complexe δ tel que δ^2 = − detu.
2. Montrer que u^2 = δ^2 I_E, déterminer le spectre de u et préciser la dimension des sous-espaces propres de u.
3. Expliciter, à l'aide de vecteurs propres de u, une droite vectorielle D telle que u(D)⊄D, et en déduire que u est échangeur.

B La condition (C1) implique (C2) et (C3)

Soit n et p deux entiers naturels non nuls. Soit A ∈ M_(p, n)(C) et B ∈ M_(n, p)(C). On considère dans M_(n + p)(C) la matrice
M:=[0_n, B; A, 0_p]
  1. Calculer le carré de la matrice [0_n, B; 0_(p, n), 0_p] de M_(n + p)(C). Montrer ensuite que M est la somme de deux matrices de carré nul.
  2. On considère dans M_(n + p)(C) la matrice diagonale par blocs
D:=[I_n, 0_(n, p); 0_(p, n), − I_p]
Montrer que D est inversible, calculer D^(− 1) puis DMD^(− 1), et en déduire que M est semblable à − M.
Jusqu'à la fin de cette partie, on se donne un endomorphisme u d'un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose que u est échangeur, et on se donne donc une décomposition E = F ⊕ G dans laquelle F et G sont des sous-espaces vectoriels vérifiant u(F) ⊂ G et u(G) ⊂ F.
6. On suppose ici F et G tous deux non nuls.
On se donne une base (f_1, …, f_n) de F et une base (g_1, …, g_p) de G. La famille B = (f_1, …, f_n, g_1, …, g_p) est donc une base de E.
Compte tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice de u dans B.
7. Déduire des questions précédentes que u vérifie les conditions (C2) et (C3).
On n'oubliera pas de considérer le cas où l'un des sous-espaces vectoriels F et G est nul.

C La condition (C2) implique la condition (C1): cas d'un automorphisme

Dans cette partie, u désigne un automorphisme d'un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes a et b de E tels que
u = a + b et a^2 = b^2 = 0
  1. Soit f un endomorphisme de E tel que f^2 = 0. Comparer Kerf à Imf et en déduire
dimKerf ≥ (dimE)/2
  1. Démontrer que E = Kera ⊕ Kerb, et que Kera = Ima et Kerb = Imb.
  2. En déduire que u est échangeur.

D Intermède : un principe de décomposition

On se donne dans cette partie un C-espace vectoriel E de dimension finie, ainsi qu'un endomorphisme f de E. On se donne un nombre complexe λ arbitraire. On pose v:=f − λI_E.
11. Montrer que la suite (Ker(v^k))_(k ∈ N) est croissante pour l'inclusion.
12. Montrer qu'il existe un entier naturel p tel que
∀k ≥ p, Kerv^k = Kerv^p
On pourra introduire la plus grande dimension possible pour un sous-espace vectoriel de la forme Kerv^k pour k dans N. Montrer qu'alors
Kerv^p = ⋃_(k ∈ N)Kerv^k
et que p peut être choisi parmi les entiers pairs.
Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pair p donné par la question 12 et l'on pose
E_λ^c(f):=⋃_(k ∈ N)Kerv^k = Kerv^p
On notera que E_λ^c(f) est un sous-espace vectoriel de E.
13. Montrer que E_λ^c(f) = Ker(v^(2p)) et en déduire
E = E_λ^c(f) ⊕ Im(v^p).
Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels E_λ^c(f) et Im(v^p) sont tous deux stables par f.
14. Montrer que λ n'est pas valeur propre de l'endomorphisme induit par f sur Im(v^p). Montrer que si E_λ^c(f) n'est pas nul alors λ est l'unique valeur propre de l'endomorphisme induit par f sur E_λ^c(f).
15. On se donne ici un nombre complexe μ différent de λ. On suppose que toute valeur propre de f différente de λ est égale à μ.
Montrer que Im(v^p) ⊂ E_μ^c(f), puis que E = E_λ^c(f) ⊕ E_μ^c(f).
On pourra s'intéresser au polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par f sur Im(v^p).

E La condition (C2) implique la condition (C1): cas non bijectif

Dans cette partie, on admet la validité de l'énoncé suivant :
Théorème : Tout endomorphisme nilpotent d'un espace vectoriel de dimension finie est échangeur.
On se donne ici un endomorphisme non bijectif u d'un C-espace vectoriel E de dimension finie. On suppose qu'il existe deux endomorphismes a et b de E tels que
u = a + b et a^2 = b^2 = 0
  1. Montrer que a et b commutent avec u^2.
On fixe maintenant un entier pair p tel que E_0^c(u) = Keru^p, donné par la question 12.
17. Montrer que le sous-espace vectoriel G:=Imu^p est stable par a et b et que les endomorphismes induits a_G et b_G sont de carré nul.
18. En déduire que u est échangeur. On pourra utiliser, entre autres, le résultat final de la partie C.

F La condition (C3) implique la condition (C1)

Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Un endomorphisme u de E est dit indécomposable lorsque :
(i) La condition (C3) est vérifiée par u.
(ii) Il n'existe aucune décomposition E = F ⊕ G dans laquelle F et G sont des sous-espaces vectoriels non nuls, stables par u et tels que les endomorphismes induits respectifs u_F et u_G vérifient tous deux la condition (C3).
Jusqu'à la question 21 incluse, on se donne un endomorphisme indécomposable u de E. On dispose en particulier d'un automorphisme φ de E tel que
− u = φ ∘ u ∘ φ^(− 1)
  1. Montrer que φ^2 commute avec u.
  2. Montrer que φ^2 possède une unique valeur propre λ. En déduire que les valeurs propres de φ sont parmi α et − α, pour un certain nombre complexe non nul α.
    On utilisera l'indécomposabilité de u ainsi que les résultats des questions 13 et 14.
  3. En déduire que u est échangeur.
On pourra appliquer le résultat final de la question 15.
22. En déduire plus généralement que, pour tout endomorphisme d'un C-espace vectoriel de dimension finie, la condition (C3) implique la condition (C1).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PSI 2017 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mines Maths 2 PSI 2017 ?

Il mobilise l'algèbre linéaire de première et de deuxième année de PSI, y compris la réduction des endomorphismes et les polynômes d'endomorphismes, autour des endomorphismes échangeurs.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines Maths 2 PSI 2017 ?

Des propriétés de la similitude admises sans preuve, la confusion entre endomorphismes et matrices, des raisonnements faux en dimension 2 et le recours à des techniques lourdes au lieu des outils de deuxième année.

Quelles sont les questions les plus difficiles de Mines Maths 2 PSI 2017 ?

Le jury cite les questions 14, 15, 18, 20, 21 et 22, qui ont départagé les meilleurs candidats et mis presque tous les autres en échec.

Combien de questions faut-il traiter à Mines Maths 2 PSI 2017 pour avoir une bonne note ?

Le jury indique qu'une note tout à fait satisfaisante était possible en traitant correctement les deux tiers des questions.

Pas de description pour le moment